Содержание к диссертации
Введение
1 Введение и основные результаты . 2
2 Подход Ольшанского к построению групп с заданными свойствами [23] 6
3 Теорема вложения в нетопологизируемую группу 37
4 Об одной комбинаторной проблеме. 46
5 Число нерешений уранения в группе и нетопологизируемые группы без кручения 58
6 Совершенная нетопологизируемая группа 64
Выводы
- Введение и основные результаты
- Теорема вложения в нетопологизируемую группу
- Об одной комбинаторной проблеме.
- Совершенная нетопологизируемая группа
Введение к работе
Основные результаты этой работы связанны с исследованием групп, допускающих только дискретные групповые топологии (нетопологизируемые группы) и уравнений над ними. В третей, пятой и шестой главах приведены примеры нетопологизируемых непериодических групп, нетопологи-зируемой группы без кручения и совершенной нетопологизируемой группы. Четвертая глава посвящена известной комбинаторной проблеме совпадения многообразия бесконечных групп с тождеством w(x\,. . ., Xk) = 1 и класса бесконечных групп, в котором выполнено «почти тооїсдество» w(x\,.. .,Xk) = 1.
Попытаемся более подробно описать круг исследуемых вопросов. Группа G, которая наделена структурой топологического пространства, называется топологической (непрерывной), если групповые операции непрерывны, т. е. непрерывны отображения х —ї ж-1 и (х, у) -—У ху. Здесь нужно пояснить, что открытыми в G х G считаются все те множества, которые являются объединениями подмножеств вида U х V, где U ж V открыты в G.
В 1946 г. А. А. Марковым в работе [18] был поставлен вопрос о существовании а) бесконечных б) счетных нетопологизируемых групп. Имеются ввиду отделимые топологии (когда для любых различных точек а и Ь найдется окрестность точки а не содержащая Ъ). Спрашивается, всякую ли бесконечную (счетную) группу G можно превратить в топологическую группу путем введения на ней некоторой отделимой недискретной топологии? (Понятно, что всякая группа является топологической с дискретной топологией.) В несчетном случае отрицательный ответ был получен в работе Шелаха [25]. В счетном случае отрицательный ответ был получен А. Ю. Ольшанским в [22, 23] и позже модифицирован Морисом и Образцовым в [19]. Важно отметить, что, пример Ольшанского является факторгруппой по центральной подгруппе группы, построенной Адяном в [7] и является периодическим, а пример Мориса Образцова является квазициклическим.
В третьей главе речь пойдет о первом примере [37] нетопологизируемой группы, которая имеет кручение, но не является периодической, более того, в [37] показано, что любая счетная группа может быть вложена в один из таких примеров.
В августе 1984 года в г. Тирасполе на основе материалов семинара по топологической алгебре был выпущен сборник открытых вопросов по топологической алгебре [21]. В нем был сформулирован список открытых вопросов на два из которых удалось получить ответы. Вопрос 1.1(А. Д. Тайманов) «Допускает ли недискретную групповую топологию бесконечная группа автоморфизмов произвольной группы?»
Отрицательный ответ на этот вопрос вытекает из теоремы 6.2, в которой приводится пример совершенной группы, допускающей только дискретную групповую топологию [38]. (Напомним, что группа автоморфизмов совершенной группы Aut(G) совпадает с исходной группой G.)
Естественно задать вопрос, какие значения могут принимать мощность множества решений уравнения в группе и мощность дополнения до этого множества? Из теоремы 5.1 нетрудно вывести такой факт:
Теорема 1.1 Для любых двух кардиналов s и п, по крайней мере один из которых бесконечещ найдется такая группа G (мощности s+n и такое уравнение и{х) = 1 над ней, что ровно s элементов группы G являются решениями этого уравнения и ровно п элементов группы G не являются решениями этого уравнения.
Замечание 1.2 Условие бесконечности одного из кардиналов здесь суще-, ствепно. Например, нетрудно сообразить, что в группе порядка три число решений никакого уравнения не может быть равно двум.
Также необходимо отметить, что группы, построенные в четвертой главе являются нетопологизируемыми. Благодарности. Автор выражает благодарнсть своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Антону Александровичу Клячко за постановку задач, ценные советы и многочисленные плодотворные обсуждения.
Введение и основные результаты
Основные результаты этой работы связанны с исследованием групп, допускающих только дискретные групповые топологии (нетопологизируемые группы) и уравнений над ними. В третей, пятой и шестой главах приведены примеры нетопологизируемых непериодических групп, нетопологи-зируемой группы без кручения и совершенной нетопологизируемой группы. Четвертая глава посвящена известной комбинаторной проблеме совпадения многообразия бесконечных групп с тождеством w(x\,. . ., Xk) = 1 и класса бесконечных групп, в котором выполнено «почти тооїсдество» w(x\,.. .,Xk) = 1. Попытаемся более подробно описать круг исследуемых вопросов. Группа G, которая наделена структурой топологического пространства, называется топологической (непрерывной), если групповые операции непрерывны, т. е. непрерывны отображения х —ї ж-1 и (х, у) -—У ху. Здесь нужно пояснить, что открытыми в G х G считаются все те множества, которые являются объединениями подмножеств вида U х V, где U ж V открыты в G. В 1946 г. А. А. Марковым в работе [18] был поставлен вопрос о существовании а) бесконечных б) счетных нетопологизируемых групп. Имеются ввиду отделимые топологии (когда для любых различных точек а и Ь найдется окрестность точки а не содержащая Ъ). Спрашивается, всякую ли бесконечную (счетную) группу G можно превратить в топологическую группу путем введения на ней некоторой отделимой недискретной топологии? (Понятно, что всякая группа является топологической с дискретной топологией.) В несчетном случае отрицательный ответ был получен в работе Шелаха [25]. В счетном случае отрицательный ответ был получен А. Ю. Ольшанским в [22, 23] и позже модифицирован Морисом и Образцовым в [19]. Важно отметить, что, пример Ольшанского является факторгруппой по центральной подгруппе группы, построенной Адяном в [7] и является периодическим, а пример Мориса Образцова является квазициклическим. В третьей главе речь пойдет о первом примере [37] нетопологизируемой группы, которая имеет кручение, но не является периодической, более того, в [37] показано, что любая счетная группа может быть вложена в один из таких примеров.
В августе 1984 года в г. Тирасполе на основе материалов семинара по топологической алгебре был выпущен сборник открытых вопросов по топологической алгебре [21]. В нем был сформулирован список открытых вопросов на два из которых удалось получить ответы. Вопрос 1.1(А. Д. Тайманов) «Допускает ли недискретную групповую топологию бесконечная группа автоморфизмов произвольной группы?» Отрицательный ответ на этот вопрос вытекает из теоремы 6.2, в которой приводится пример совершенной группы, допускающей только дискретную групповую топологию [38]. (Напомним, что группа автоморфизмов совершенной группы Aut(G) совпадает с исходной группой G.) Вопрос 1-4 (П. И. Кирку) «Всякая ли счетная группа допускает недискретную групповую топологию? (Известные примеры нетопологизируемых счетных групп являются периодическими.)» Существование группы без кручения, допускающей лишь дискретную групповую топологию, следует из теоремы 5.1 и следствия 5.3, опубликованных в [36]. Отметим, что согласно теореме Маркова [18], дополнение до единицы во всякой счетной нетопологизируемой группе должно разлагаться в объединение множеств решений конечного числа систем уравнений. В известных примерах бесконечных счетных нетопологизируемых групп эти разложения выглядят так: (пример Ольшанского [22, 23] и его модификации [19] ), Здесь gi и а — некоторые фиксированные элементы соответствующей группы G, а число п в обоих случаях является большим (по меньшей мере 665) и нечетным. Разложение (1.1) представляется максимально простым. Отметим однако, что уравнение w(x) = 1, из примера (1.3) более замысловатое чем уравнения хп = а и [а;,о]п = 1, фигурирующие в примерах (1.1) и (1.2) счетных нетопологизируемых групп. Отметим еще, что пример Ольшанского и его модификации является периодическими (при этом примеры Морриса и Образцова [19] являются квазициклическими); примеры из [37] имеют кручение, но периодическими не являются, более того, в [37] показано, что любая счетная группа может быть вложена в один из таких примеров, а пример [36] вообще не имеет кручения (здесь а, 6, Cj — некоторые элемены группы G).
Естественно задать вопрос, какие значения могут принимать мощность множества решений уравнения в группе и мощность дополнения до этого множества? Из теоремы 5.1 нетрудно вывести такой факт: Теорема 1.1 Для любых двух кардиналов s и п, по крайней мере один из которых бесконечещ найдется такая группа G (мощности s+n и такое уравнение и{х) = 1 над ней, что ровно s элементов группы G являются решениями этого уравнения и ровно п элементов группы G не являются решениями этого уравнения. Замечание 1.2 Условие бесконечности одного из кардиналов здесь суще-, ствепно. Например, нетрудно сообразить, что в группе порядка три число решений никакого уравнения не может быть равно двум. Будем говорить, что бесконечная группа G удовлетворяет почти тождеству w = w(xi,...,Xk) — 1, если для произвольного набора бесконечных подмножеств Xi,...,Xk группы G найдется такой набор элементов а?і Є Xi,..., х Є Xk группы G, что w = гу(а;5,..., x) = 1. Рассмотрим групповое многообразие V(w) с тождеством w = 1 и класс групп V(w ) с почти тождеством. В работе [17] был сформулирован вопрос: «Существует ли бесконечная группа G и слово w такие, что G Є V(w ) ПЗ7 и G $. V(w) DJ7 » (здесь Т — множество бесконечных групп ). Отметим, что аналогичная проблема была рассмотрена в работе [20] В. Нейманн для тождества w{x\,X2) = [a?i,#2] = 1- Он доказал, что почти тождество [х\, Х2[ = 1 выполнено в бесконечной группе G тогда и только тогда, когда группа G абелева. Позднее был получен ряд отрицательных ответов для следующих тождеств: В четвертой главе приведен первый пример тождества w = w{x\,..., х\, t), для которого Т П V(w ) \ТГ\ V(w) ф 0. Запишем это тождество. Пусть v = v(xi,... ,xi,t) = [vs, [vs-i... [v2, [vi,tk]kl]k2...J -1], правонормирован-ная нильпотентная скоба и Vj = Vj(xi,... xi) j = 1,.. .1 — некоторые не единичные слова в свободной группе Т с базисом {х\,... х{\ минимальной длины и kj, j = 0,... s — 1 некоторые целые числа, отличные от нуля. Тогда тождество — w = w{x\,..., х\, t) = v{x\,..., xi, t)n = 1 для достаточно большого нечетного п. Из теоремы 4.10, опубликованной в [39], следует даже более сильное утверждение. Для любых фиксированных элементов Хі,...,х некоторой группы G и произвольного конечного подмножества Y С G достаточно большой но конечной мощности т найдется элемент у Є Y такой, что w{x\,...,xl,y) = l. Поскольку в определении тождества w слова Vj{x\,..., xi) и целые ненулевые степени kj (здесь =0,5-1, s Є N) достаточно произвольные, класс тождеств w достаточно широк. К примеру в следствии 4.11 показанно, что классы У(гу)П и V(w )f\J-r разрешимых (нильпотентных) групп достаточно большой нечетной экспоненты п не совпадают.
Теорема вложения в нетопологизируемую группу
Теорема 3.1 (Основная теорема) Произвольная конечно-порожденная группа Н мооїсет быть изоморфно вложена в нетопологизируемую конечно-порожденную группу G той же мощности. Необходимо так же отметить, что: Следствие 3.2 Найдутся такое бесконечное подмножество S и конечное не пустое подмножество S группы G, что S U S = G и S П S = Ф, где S — множество решений некоторой системы уранений над группой G, а S — множество не решений этой системы. Конструкция группы G В соответствии с пунктом 14 главы 2 зафиксируем достаточно большое, нечетное п 1010. Будем строить группу G = G(oo) индуктивно. Начнем индукцию со свободного произведения двух конечных циклических групп и произвольной фиксированной группы Я: . Пусть &2 = %z = $? тогда f j = = 3 = І и соответственно G(3) = (7(2) = (7(1) = (7(0). Очевидно, что слово VK = [а, Ь] в таком случае является свободным и простым в ранге 3. Лемма 3.3 Коммутатор [о, Ь] не является произведением двух инволюций в группе (7(3) = Доказательство. Предположим противное, пусть [a, b] = 11) где hi, h% — инволюции и h\,h2 Є Я. Факторгруппе (7(3) по нормальному замыканию HG подгруппы Я равенство приобретает вид [а,Ь] = 1, что невозможно поскольку, G(3)/HGW — {o)n {b)n- Определим множество 3 4 как максимальное множество свободных простых в ранге 3 слов, содержащее слово W. Множество соотношений 5?± ранга 4 определим следующим образом: Заметим, что слово [а, 6] мы считаем периодом ранга 4, но соотношение [о, b]n = 1 сознательно не накладываем. Для г = 5,6,... множество совпадает с максимальным множеством простых в ранге г — 1 слов, следовательно Таким образом мы построили групппу 1. Предварительные замечания и некоторые леммы Из определения 2.39 нетопологизируемой группы совершенно очевидно, что нетопологизируемость произвольной группы равносильна тому, что одноточечное множество — открыто. Решения системы уравнений (3.2) и (3.3) образуют замкнутое множество, а множество нерешений — соответственно открытое множество. Таким образом, для того чтобы показать открытость одноточечного множества в группе (3.1), достаточно показать, что системе не удовлетворяет лишь конечное непустое множество элементов группы (3.1).
Рассмотрим построенную группу G = С?(оо) и систему уравнений Лемма 3.4 Пусть XQ произвольный элемент группы G{oo). Тогда коммутатор [а, хо] удовлетворяет одному из следующих условий: 1) [a, XQ] сопряжен с элементом h одного из свободных сомножителей группы С?(0); 2) [а, XQ] сопряжен со степенью s элемента В группы G{po) длины 2 или 3; 3) [а, XQ] сопряжен со степенью т произведения двух инволюций. 4) [а, хо] сопряжен со степенью s некоторого периода Л ранга і отличного от [а, Ь]; 5) [а, XQ] сопряжен со степенью периода W = [а, Ь]; Доказательство. Все утверждения леммы следуют из определения простого в ранге г слова, выбора множеств «3 и конструкции группы С7(оо), предложенной в пункте 14 главы 2. Утверждения 1) — 2) леммы очевидны. Инволюции в группе G(oo) могут иметь вид zhz l (здесь h2 = 1 и h слоги, принадлежащие свободному сомножителю Н), поскольку по построению G(oo) (все накладываемые соотношения имеют вид Ап = 1) и из нечетности параметра п вытекает, что элементы порядка 2 в С?(оо) могут содержаться только в подгруппе Н и сопряженных с ней подгруппах zHz-1. Пусть длина коммутатора [а,хо] больше чем 3, тогда по построению группы G(oo) возможны следующие случаи: 1. [a, XQ] сопряжен со степенью т произведения 11 пары инволюций; 2. [a, XQ] сам является периодом и тогда утверждение доказанно; 3. [a, XQ] сопряжен со степенью некоторого периода из множества Щд\, что влечет утверждение леммы; 4. [а, хо] сопряжен со степенью слова меньшей длины, но тогда, ползуясь индуктивными соображениями, можно считать утверждение леммы доказанным. Лемма 3.5 Пусть XQ произвольный элемент группы G{oo) и коммутатор [a, XQ] сопряжен со степенью т произведения двух инволюций. Тогда элемент хо — инволюция в группе G(0), (более точно, хо — инволюция подгруппы Н или сопряженной с пей подгруппы zHz-1 Доказательство. Для начала отметим, что произвольная степеь т двух инволюций р и q — тоже произведение двух инволюций, т. к. (pq)m = Р {( ? ) 4 feO J если т нечетно и (pq)m = pl (qipq)2 ) р (q ipqf J j, если т четно. Элементы порядка 2 в группе G(0) имеют вид zhz-1, где h2 = 1. Это же свойство сохраняется и для группы G(oo), оно вытекает из нечетности п и вида степенных соотношений, накладываемых в группе G{i — 1) г = 4,5,.... Предположим теперь, что в некотором ранге г имеет место равенство z[a, XQ]Z X = Zxhiz 1 z hiz 1, где h±, h,2 Є H — инволюции.
В фактор группе G{po)/G {po) это равенство приобретает вид h±h2 = 1, поэтому Итак, в некотором ранге і 3 мы имеем сопряжение [a, XQ] [zi1Z2, h] или [а,хо] [z, h], если обозначить z = .-1.. Пусть запись элемента z в коммутаторе [z7 h] имеет минимальную длину в G{i). По теореме 2.33 существует кольцевая диаграмма А этого сопряжения, на внешнем контуре которой написан коммутатор [a, XQ] , а на внутреннем [z, h]. Подклеим участки внешнего контура с меткой хо и XQ И получим диаграмму, возможно не приведенную, на сфере с тремя дырами. По лемме 2.10 процедура удаления j-пар из диаграммы А после склеивании изменяет элемент хо, но не выводит его за пределы двойного смежного класса а п XQ а п. Итак, мы получили приведенную диаграмму А на сфере с тремя дырами. По теореме 2.7 в А найдется клетка Р с периметром \А\п (здесь А некоторый период степень которого написана на контуре клетки Р, \А\ 4 и п 1010 ) степень примыкания которой к контурам диаграммы будет более чем j (можно считать, что j = 0,99). Однако, такое примыкание невозможно поскольку длина двух контуров диаграммы А с метками а и а-1 равна 1, элемент z имеет минимальную длину и возможные сокращения в записи комутатора [z, h] не превысят 4. Следовательно, ранг г диаграммы А7 будет равен 0, т. е. сделав разрез между контурами с меткой а и а 1 получится кольцевая диаграмма А" и сопряжение вида [а, архоа9] [z, h], которое для некоторых целых р и q лежать будет в группе G(0) = {а)п (6)п Н. Согласованное чтение контуров диаграммы А" возможно, когда z — a, XQ = h, а сумма чисел р и q равна нулю. Таким образом, мы получили равенство хо — apha p что и требовалось. Лемма 3.6 Пусть для произвольного XQ Є G(oo) коммутатор [a, XQ] сопряжен в некотором ранге г с элементом h одного из свободных сомножителей. Тогда h = 1 Доказательство. Пусть г г[а, XQ]Z = h, ще h элемент одного из свободных сомножителей Н, а п или Ъ п группы ?(0). Рассмотрим приведенную кольцевую диаграмму А этого сопряжения с метками контуров [a, XQ] И h. Склеим внешний контур А по участкам с метками XQ и 31 и удалим j—пары. Получим приведенную диаграмму А на сфере с тремя дырами на контурах которой отмечены слова а, а 1 и h. По лемме 2.10 в полученной диаграмме А найдется путь с меткой akxoal, соединяющий внутренние контуры а и а-1. Предположим, что А имеет ранг і 0, тогда по теореме 2.8 получим, что в Д найдется -клетка П, непосредственно примыкающая к одному из контуров на 1/3 длины своего периметра. По построению периметр любой ё% -клетки — больше чем п, а длина каждого из контуров А не превосходит 1 Поэтому непосредственное примыкание -клетки П к одному из контуров более чем на 1/3 периметра невозможно. Следовательно, предположение о ненулевом ранге і диаграммы А неверно, отсюда г = 0.
Об одной комбинаторной проблеме.
Для построени группы G будем использовать схему описанную в пункте 7 главы 2. В соответствии с пунктом 7 главы 2 зафиксируем достаточно большое, нечетное п 1010. Будем строить группу G = G(oo) индуктивно. Начнем индукцию со свободной группы с двумя порождающими . Для і = 1,2,3 множество S&- совпадает с максимальным множеством 3І простых в ранге г — 1 слов, следовательно Лемма 4.3 Коммутатор [a,b] является простым в ранге Ъ, т. е. в группе G{3) слово [а, Ь] не сопряоюено со степенями слов меньшей длины. Доказательство. Пусть [a,b] Bs и s делится на п. Тогда по выбору множеств ЗСг г = 1,2,3 и лемме 2.13 слово В сопряжено со степенью I некоторого периода А и [а, Ь] Впк Ап = 1, что противоречит определению соотношений группы (7(3). Предположим противное, пусть [a, b] Bs, где s не делится на п и В — некоторое слово в группе G(3) длина которого не превосходит трех. По лемме 2.6 существует приведенная кольцевая диаграмма А на внешнем контуре которой написан коммутатор [a, b], а на внутреннем степень Bs слова В длины не превосходящей трех. Предположим, что ранг і диаграммы А отличен от нуля. Тогда по теореме 2.8 в А найдется "-клетка П, которая более чем на 1/3 своего периметра примыкает к внутреннему контуру с меткой Bs. Примыкание клетки П к внешнему контуру с меткой [а, Ь] более чем на 1/3 периметра клетки П невозможно, поскольку периметр клетки П больше п, а длина внешнего контура не превосходит четырех. Положим, что Сп — степень некоторого периода С, написанного на контуре клетки П. Тогда слово Bs, отмеченное на внутреннем контуре диаграммы А , и слово Сп (как циклическое слово) имеют общее подслово, длина которого пе\С\ 20С. Слово С2 — подслово циклического слова Bs, в котором минимальное расстояние между одинаковыми буквами равно \В\ = 1 В = 2 или \В\ = 3 . Поэтому \С\ делится на \В\ и С = (Bf)k для некоторого циклического сдвига В слова В. Заметим , что С — простое в ранге 0. Следовательно, С = (В ) 1, т. е В — период некоторого ранга г 4. Вырежем клетку П из диаграммы А, после этого в записи слова Bs, записанного на внутреннем контуре диаграммы А , изменится только степень s.
Таким образом, в диаграмме А количество -клеток уменьшилось на одну. Применяя индуктивные соображения, можно считать, что для некоторой степени s слова В диаграмма А вовсе не содержит -клеток, т. е. сопряжений [a, b] Bs, где В период длины не более трех имеет место в свободной группе G(0) = Т (а, Ъ). Коммутатор [a, b] принадлежит декартовой подгруппе группы G(0), следовательно суммы степеней букв а и букв Ь в слове Bs должны равняться нулю. Не сложно проверить, что такое условие на суммы степеней букв а и 6 возможно только в случае В = 1, т. е. [а, Ь] = 1, что в свободной группе невозможно. Следовательно, коммутатор [а, Ъ] — простое в ранге 3 Определим множество как максимальное множество простых в ранге 3 слов, содержащее коммутатор [а, Ь] (это можно сделать поскольку по лемме 4.3 [а,Ь] — простое в ранге 3 слово). Множество соотношений ранга 4 определим следующим образом: Заметим, что слово [а, Ь] мы считаем периодом ранга 4, но соотношение [a, b]n = 1 сознательно не накладываем. Для і = 5,6,... множество J - совпадает с максимальным множеством SCi простых в ранге г — 1 слов, следовательно Таким образом мы построили групппу Доказательство основной теоремы Пусть %о произвольный фиксированный элемент группы G(oo) и Y некоторое достаточно большое конечное множество элементов группы С?(оо) мощности га. Для дальнейших рассуждений нам понадобится следующая лемма. Лемма 4.4 Пусть у EY и [хо,у] некоторый коммутатор не равный единице в группе G(oo) такой, что [хо,у]п Ф 1 . Тогда в некотором ранге г [хо7у] сопряжен [а, б] 1. Доказательство. По построению группы G(oo) и лемме 2.13 любой элемент конечного порядка в группе G(oo) должен быть сопряжен со степенью s некоторого периода А (как мы уже отмечали при построении группы G(oo), слово [а,Ь] считаем периодом ранга 4). Таким образом существуют две возможности: либо [XQ, у] As, где А период некоторого ранга і отличный от [а, Ь], либо [хо, у] [a, b]s. Первый случай невозможен, поскольку тогда [хо,у]п = Asn = 1, что противоречит условию леммы. Покажем, что во втором случае [жо 2/] [a,b]s степень s = ±1. По лемме 2.6 существут приведенная кольцевая диаграмма А сопряжения [XQ, у] [a, b]s. Пусть на внешнем контуре диаграммы написано слово [жо72/], а на внутреннем — [а,б]5. Подклеивая подпути р, р г и q, q x внешнего контура с метками XQ 1, хо и у"1, у, мы получим диаграмму на торе с дыркой. После склеивания в диаграмме А могут возникнуть ,? -пары. Предположим, что какой-то из путей р или q рассекает j-napy. Изменим путь р (или q) так, чтобы он не рассекал j -пару, а обходил ее по контуру одной из сокращаемых клеток. При этом метка пути р (или q) изменится, но она будет представлять тот же элемент хо (или у) группы G(oo). Удалим возникшие после склеивания j— пары и получим приведенную диаграмму А на торе с дыркой, на контуре которой написана степень [a, 6]s. Предположим, что ранг г диаграммы А отличен от нуля, тогда по теореме 2.8 в А найдется клетка П, непосредственно примыкающая к контуру диаграммы не мене чем на 1/3 длины своего периметра. Пусть Сп — степень некоторого периода С, написанного на контуре клетки П. Тогда слово [a, b]s, отмеченное на контуре дырки, и слово Сп (как циклическое слово) имеют общее подслово, длина которого п \\С\ 20С.
Следовательно, С2 — подслово циклического слова [a, b]s, в котором минимальное расстояние между одинаковыми буквами равно \[а, b]\ = 4. Таким образом, длина \С\ периода С делится на длину \[а,Ь]\ и С = ([а,Ь] )к для некоторого циклического сдвига [а, Ь] слова [а, Ъ]. Поскольку С — простое в ранге О, С = ([а, Ь] ) , но это невозможно по построению группы G(oo) (мы специально не накладывали соотношения [а, Ь]п = 1). Итак, диаграмма А , не может иметь ранг і отличный от нуля. Разрежем А по путям р и q и получим диаграмму А". Напомним, что при удалении J-пар мы изменили пути р и q, но их метки, как уже отмечалось, представляют в 6?(оо) те же элементы жо и t/. Диаграмма А" не содержит -клеток, следовательно сопряжение [хо,у] [a,b]s будет в свободной группе G(0). В кольцевой диаграмме А" над свободной группой контуры с метками [a, b]s и [XQ, у] должны непосредственно примыкать друг к другу. Такое примыкание возможно только лишь в случае s = ±1. (Это легко можно проверить совместным чтением букв на внешнем и внутреннем контурах диаграммы А.) Перейдем к доказательству основной теоремы. Рассмотрим множество коммутаторов К = {[хо у]\ У Є Y} (здесь У произвольное множество фиксированной мощности т). Нам необходимо показать, что существует коммутатор [хо,у] Є К такой, что [хо,у]п = 1. Предположим противное, пусть для всех коммутаторов [XQ, у] Є К равенство [хо, у]п = 1 невозможно. Тогда по лемме 4.4 для произвольного коммутатора [XQ, у] из множества К в некотором ранге і имеет место сопряжение По лемме 2.6 существует приведенная диаграмма А, на внешнем контуре которой написанно слово [а, Ь]±г, а на внутренем [хо, у] Подклеим подпути р и р1 внутреннего контура с метками у, у г и удалим j— пары. Получим диаграмму А на сфере с тремя дырами, на контурах которых написаны слова а 1, хо и [а, Ь]±г и путь р с началом в вершине 0\ принадлежащей контуру с меткой XQ1 И концом в вершине 02 принадлежащей контуру с меткой хо и меткой у . Как и в доказательстве леммы 4.4 после приведения диаграммы А путь р изменился, но слово у написанное на пути р по прежнему является записью элемента у группы С?(оо).
Совершенная нетопологизируемая группа
Определение 6.1 Пусть бесконечная группа G имеет тривиальный центр и любой автомотфизм группы G внутренний, тогда группа G называется совершенной. Теорема 6.2 (Основная теорема) Существует такая конечно порожденная бесконечная совершенная группа Н и такое уравнение w(x) = 1 (где w{x) Є Н {X)QQ) над не% что решениями этого уравнения являются все элементы группы Н, кроме одного: Следствие 6.3 Существует счетная бесконечная совершенная нетопологизируемая группа. Конструкция группы Н Пример построенный ниже основан на конструкции примера построеного в главе 5. Копредставление постронной здесь группы получается из копред-ставления бесконечной нетопологизируемой группы без кручения добавлением в рангах 4 и 8 (смотри определение ниже) периодических соотношений. Зафиксируем достаточно большое четное число h и целое число п h. В качестве алфавита 21 возьмем множество букв {а, 6, ci,C2,.. - , %}. Свободную группу с базисом 21 обозначим буквой F. Введем на множестве 21 отношение порядка а Ь с\ - с . На множестве коммутаторов х,у Є $1, х у} введем порядок индуцированный поряд- [v, и], когда либо р v, либо р = v и q и. Пронумеруем коммутаторы [х,у] из множества К простыми числами р[Х)У] большими, чем число п. Положим J?o = У± = 5 2 — 0- Далее, при і 2, предполагая, что копредставление G(i — 1) = (21 с -і) уже определено, определим копредставление G(i) = (21 5?І) . В качестве периодов ранга і ф 4,8 положим множество ЗЄІ — 3f U Lj, где Li = 0, а ЗС удовлетворяет условиям: 1) если А Є ЗС , то А простое в ранге і — 1; 2) различные слова из ЗЄ не сопряжены между собой и не сопряжены к обратным друг другу в группе G{i — 1); 3) каждое слово из 3 равно аЬ в G{i—1)/([G(i—1), G(i—1)] (с\С2... сь) ); 4) множество максимально среди всех множеств, удовлетворяющих условиям 1), 2) и 3), При і = 4 множество , = «5 U L , где « — множество слов, удовлетворяющих условиям 1) — 4), a 1 = if — множество коммутаторов определенное выше. При і = 8 множество 3% = 3 U Ьг-, где сЗ — множество слов, удовлетворяющих условиям 1) — 4), а Ьг- = {[а, Ь][х,у] \ [х,у] Є К \ [а,6]}, где [а, 6] — наибольший коммутатор из К. Определим множество 3 ,z Я. F, где j = 1,..., h, Z Є (?(г — 1), как множество всех минимальных (то есть не равных словам меньшей длины) в G(i — 1) слов длины меньшей, чем di, представляющих в G{i — 1) элемент ZCJZ X.
Положим Здесь З 1 есть максимальное множество попарно несопряженных в G{i — 1) слов вида a J 2 определяется по правилу: если г ф 4,8, то 52 = 0; если г = 4, то 2 — множество слов R = [х,у]р , где [х,у] Є L4 = К, а 2Э[а;)2/] — простое число, которым пронумерован коммутатор [х,у] в множестве К; если г = 8, то 2 — множество слов Л = ([а, 6] [ж, j/]) ». ».»], где [а, 6][ж, /] Є 8 & Р[о,ь]Р[яг,у] простые числа, которыми пронумерованы коммутаторы [а,Ь], [х,у] в множестве К. Лемма 6.4 Градуированное копредставление удовлетворяет условию R. Доказательство. Заметим, что по модулю коммутанта каждое соотношение первого типа тривиально. Поэтому проверка условий Rl — R6 совпадает с доказательством леммы 5.6 Условие R7 очевидно, поскольку периоды соотношений первого и второго типа не совпадают даже по модулю коммутанта. Доказательство основной теоремы Лемма 6.5 Для каоюдого элемента g, коммутанта группы Н, и слова А, сопряженного в Н элементу g-1agb} найдется такое слово Z, длины не большей \d\A\, что Z lAZ — g lagb в Н. Доказательство. Обоснование леммы совпадает с доказательством леммы 5.7 Рассмотрим уравнение над группой Н. Лемма 6.6 В группе Н всякий неединичный элемент коммутанта является решением уравнения (6.2); а единица не является решением этого уравнения. Доказательство. То что г (1) ф 1, вытекает из утверждения 5) леммы 2.17, поскольку v(l) ф 1 в свободной группе, а длина каждого определяющего соотношения R группы Н не меньше, чем 3(n — d— 2)h, и Покажем теперь, что всякий неединичный элемент g, коммутанта группы Н, является решением уравнения (6.2). Пусть и Є F — слово минимальной длины, представляющее элемент, сопряженный к д гадЪ. Если \и\ 2, то и = ab, или и = Ъа (в чем легко убедиться рассматривая и по модулю коммутанта). При этом, в соответствии с утверждением 4) леммы 1, и сопряжено с элементом вида g-1agb, где д Є (а) д (Ь) и \д\ 3. Рассматривая д по модулю коммутанта, мы видим, что д есть либо 1, либо а±1, либо 6і1, либо а 6і1, либо b±1a±1. Первые 4 случая невозможны, поскольку они означают, что д Є (а) (6) П [Н,Н] = 1. В том, что равенство д = b±1a±1 невозможно, можно убедиться рассматривая соотношение g 1agb и ab по модулю нормальной подгруппы ( с\,..., Ch ), порожденной {ci,..., cjj}. Факторгруппа G(oo)/ « {сі,..., Cft} » есть группа с одним соотношением a, b\\ [a, 6]nta 4 . Рассмотрим кольцевую диаграмму А сопряжения д гадЬ ab над этим копредставлением (она существует по лемме ван Кампена). На контурах А написаны слова g xagb и ab. По утверждению 7 леммы 2.17 в А должна существовать Л-клетка Р, непосредственно примыкающая к одному из контуров не менее, чем на 1/3 своей длины. Но это невозможно, в силу того, что контуры диаграммы имеют длину не более чем 6, а периметр клетки Р — велик (больше чем 1010). Поэтому в А нет І2-КЛЄТОК, и, соответствено, сопряжение д гадЬ ab должно иметь место в свободной группе с базисом {a, b}, что невозможно. Мы показали, что w 2. В таком случае, и сопряжено с некоторым периодом А ранга \и\ (по определению множества і). По лемме 6.5, Z XAZ = g lagb для некоторого слова Z, длины не большей, чем с?А. Следовательно, для каждого j = 1,..., h, некоторое минимальное слово Tj, представляющее в G(\u\ — 1) элемент ZCJZ-1 , имеет длину меньшую, чем d\A\, и, стало быть, по построению, слово сопряжено к одному из определяющих соотношений группы С?(м).
Доказательство. Поскольку а не является истинной степенью (по модулю коммутанта), согласно лемме 2.17, [а, д] ф 1 при д (а). Следовательно, по лемме 6.6, все элементы группы Н, не лежащие в (a), являются решениями уравнения (6.3). По тем же причинам, все элементы группы Н, не лежащие в (6), являются решениями уравнения (6.3). Но (а) П (6) = 1, в чем легко убедиться, опять рассмотрев факторгруппу по коммутанту. Осталось доказать, что единица не является решением уравнения (6.3). Предположив противное, мы бы имели [civ(l)c5f1,v(l)] = 1. По утверждению 6) леммы 2.17, это означает, что [ci,v(l)] = 1. Последнее равенство в свою очередь означает, что г (1) Є () (по лемме 2.17 и поскольку с\ не является истинной степенью (по модулю коммутанта)). Рассматривая равенство г (1) = с\ по модулю коммутанта, мы приходим к выводу, что к = 0 и v(l) = 1, что противоречит лемме 6.6. Теперь покажем, что любой автоморфизм построенной группы — внутренний. Пусть -ф — произвольный автоморфизм группы G, покажем что: Лемма 6.8 Пусть ф некоторый автоморфизм группы G(oo). Существует такой элемент X Є G(oo), что для любой пары элементов g, f алфавита %,g f либо ф([д,/]) = Х- д,f]X, либо Доказательство. Пусть {g,f} — произвольная пара элементов алфавита 21, д /, отличная от пары {а, 6} (это наибольшая пара в смысле порядка ). Совершенно очевидно, что порядки образов и прообразов элементов произвольной группы при автоморфном отображении совпадают. Поэтому по построению (в G(oo) все периоды первого типа имеют различные порядки смотри пункт 9 леммы 2.17) и по лемме 2.17 пункт 2 найдутся элементы X, Y, Z,Q,S Є G(oo) и целые числа т, k, I, г, s такие, что Невозможность двух последних равенств доказывается в лемме 6.10. Для остальных можно считать, что элементы X и У не начинаются соответственно с [а, Ъ] и [д, /].
