Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Существование квантования обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко для алгебры Ли п(С) 26
Глава 2. Максимальность обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко в алгебрах Пуассона полупростых алгебр Ли 43
Глава 3. Единственность квантования обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко для алгебры Ли (С) 50
Список литературы 65
- Существование квантования обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко для алгебры Ли п(С)
- Максимальность обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко в алгебрах Пуассона полупростых алгебр Ли
- Единственность квантования обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко для алгебры Ли (С)
Введение к работе
0.1. Обозначения и постановка задач. Настоящая диссертация посвящена, во-первых, доказательству существования и единственности квантования (т.е. поднятия из алгебры Пуассона
Ли в обертывающую алгебру) обобщенных подалгебр Мищенко
Фоменко для алгебры Ли 0Іп(С), и во-вторых, изучению свойств максимальности для обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко для полу простых алгебр Ли.
Универсальная обертывающая алгебра U(g) алгебры Ли 0 имеет возрастающую фильтрацию и(я) = U ^'(в)- (0-1)
Ассоциированная градуированная алгебра gr f/(0) = Р(0) = ф Р,(0), Рк(9) = [/^(0)/^)(0), (0.2) согласно теореме Пуанкаре - Биркгофа - Витта, канонически изоморфна симметрической алгебре S(q) пространства 0. Однако, помимо коммутативно-ассоциативной операции умножения, в ней благодаря коммутативности алгебры Pfa) естественным образом вводится л невская операция { , } - "скобка Пуассона - Ли -Березина" (мы будем называть ее просто скобка Пуассона), для которой W(e),fl(e)}cflw-i(e). (о.з)
А именно, при и Є U^fa),v Є U fa) принимается, что {и + tf <*-Ч(0), „ + U«-Vfa)} = [ti, w] + 1^-2)(0). (0.4) (Это определение корректно ввиду коммутативности алгебры grUfa).) Другие эквивалентные определения см. в [14].
Скобка Пуассона связана с умножением тождеством Лейбница {ж, yz} = {х, y}z + у{х, z} (0.5)
Она однозначно определяется этим свойством и "начальными условиями" {х, у} — [х, у] при х, у Є 0.
Элементы х, у Є Pfa) будем называть коммутирующими, если {ж,?/} = 0. В соответствии с этим будем понимать и такие термины, как "коммутативное подпространство" (в частности, "коммутативная подалгебра") и "централизатор" (какого-либо подмножества) в алгебре Pfa). Из (0.5) следует, что если какие-либо элементы в алгебре Pfa) попарно коммутируют, то порожденная ими подалгебра коммутативна.
Алгебры U(g) и Р(д) можно рассматривать как алгебры Ли относительно операции коммутирования и скобки Пуассона соответственно. Алгебра д канонически вкладывается в эти алгебры Ли. Образ элемента х Є 0 в Р(д) мы будем отождествлять с ж (и обозначать той же буквой), а образ х в U(g) будем обозначать через х. Вложение g —> U(q) с помощью отображения симметризации л : P(q) -> U(&) (см., напр., [1, 6] ) продолжается до изоморфизма 0-модулей, при котором
Х\ . . . Xk I т Х\ . . . Х}~ = -тг у ^ &о\ ' %сгк v*^l' і ^к t 0J-
Пусть G - связная группа Ли, имеющая 0 своей касательной алгеброй. Если понимать элементы P(q) как многочлены на пространстве д*, сопряженном д, то скобка Пуассона в Р(д) будет совпадать с обычной скобкой Пуассона функций на орбитах коприсоединенного представления группы G относительно канонической симплектической структуры на этих орбитах [14]. Отсюда следует, что степень трансцендентности любой коммутативной подалгебры алгебры Р(д) не превосходит d(g) = (dimg + ind0)/2, где indg (индекс алгебры 0) — коразмерность орбиты общего положения коприсоединенного представления группы G. (Для полупростой алгебры Ли 0 индекс равен рангу.)
Коммутативные подалгебры алгебры -Р(д) максимальной степени трансцендентности имеют принципиальное значение для проблемы интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем на однородных пространствах группы G.
В работе [10] для любой полупростой алгебры Ли g методом сдвига инвариантов были построены коммутативные подалгебры алгебры Р(д), степень трансцендентности которых равна d($). Укажем их явное описание. Они получаются методом сдвига инвариантов, задаваемого формулой Манакова [9].
Пусть g — редуктивная комплексная алгебра Ли, S(q) — ее симметрическая алгебра, Р(д) — ее алгебра Пуассона, т.е. алгебра 5(g), снабженная скобкой Пауссона. Элементы алгебры -Р(д) будем рассматривать как функции на д* или на д, отождествляя д* с g с помощью инвариантного скалярного умножения (,).
Пусть {F( Є -P(g) I г = 1... г} есть алгебраически независимая система порождающих центра алгебры Р($). Пусть f) С g — картановская подалгебра, h t) — регулярный элемент. Тогда элементы d%Fi(i = l...r,k = 0,1,...,degi7* — 1) алгебры Р(д) попарно коммутируют и алгебраически независимы [10].
Порожденную ими подалгебру обозначим через F(h). Степень ее трансцендентности равна d($). Подалгебры вида F(h) называются подалгебрами Мищенко - Фоменко.
С помощью предельного перехода согласно работам [1] и [15] из подалгебр Мищенко - Фоменко можно получать другие коммутативные подалгебры максимальной степени трансцендентности. А именно, пусть a = a(t) — такой сходящийся (в окрестности нуля) степенной ряд с коэффициентами из алгебры д, что элемент a(t) регулярен и полупрост при всех достаточно малых t 7^ 0. Рассмотрим соответствующие подалгебры F(a(t)). Все эти подалгебры являются градуированными, причем размерность градуирующего подпространства F(a(t))k С Рк{&) не зависит от t. Далее, коэффициенты производных базисных инвариантов алгебры 0 вдоль вектора a(t) являются сходящимися рядами от t. Отсюда следует, что плюккеровы координаты подпространства F(a(t))f- также являются сходящимися рядами от t; поэтому для каждого к ^ 0 существует предел Fk = Hm^o F(a(t))k в соответствующем грассмановом многообразии. Ясно, что F(a) = Fjt — коммутативная подалгебра алгебры Р(б), которую мы будем обозначать Мт^о F(a(t)) и называть обобщенной подалгеброй Мищенко - Фоменко. Заметим, что степень трансцендентности алгебры \imt-+aF(a{i)) равна d($). В самом деле, степень трансцендентности градуированной алгебры определяется ее рядом Пуанкаре (и равна порядку полюса этого ряда в точке 1), а ряд Пуанкаре подалгебры lim^o F(a(t)) такой же, как и у "допредельных" подалгебр, имеющих степень трансцендентности d(#). Таким образом, подалгебра lim^o^X^)) имеет максимальную степень трансцендентности.
В [15] доказано, что если все коэффициенты ряда а принадлежат фиксированной картановской подалгебре F) алгебры 0, то F(a) есть свободная коммутативная алгебра.
Пусть g — произвольная алгебра Ли. Если А — некоторая коммутативная подалгебра алгебры U(q), то grA — коммутативная подалгебра алгебры Р(б). В [1] показано, что если grA конечно порождена, то степени трансцендентности алгебр А и grA совпадают. Будем говорить, что А — подалгебра конечного типа, если алгебра grA конечно порождена. Таким образом, степень трансцендентности любой коммутативной подалгебры конечного типа алгебры U(q) не превосходит d(#).
Существуют ли в U (q) коммутативные подалгебры конечного типа, степень трансцендентности которых равна Примеры таких подалгебр имеются. Так, конструкция базиса Гельфанда - Цетлина в пространстве неприводимых представлений алгебры Ли 0Іп(С) связана именно с такой подалгеброй алгебры U(gln(C)) [5], [8]. Дадим ее описание. Обозначим через е,-7-(1 ^ i,j ^ п) матричные единицы, составляющие базис алгебры gl„(C), и определим подалгебры 0Іп,р(С) = (е# | 1 ^ i,j ^ р). Подалгебру алгебры U(gln(C)), порожденную центрами подалгебр C/(glnp(C))(p = 1,..., п), будем называть подалгеброй Гельфанда -Цетлина. Ее весовые векторы задают базис Гельфанда - Цетлина в пространстве нериводимого представления алгебры Ли 0Іп(С). В работе (1] для произвольной полупростой алгебры Ли 0 было показано, что элементы степени ^ 2 подалгебры Мищенко -Фоменко могут быть подняты в U(q) так, что их образы будут попарно коммутировать. (Для однородного элемента х Є P(q) степени р назовем поднятием такой элемент у Є 17(0)^, что grpy = х.) В качестве поднятия использовалось отображение симметризации ~ : P{q) —> U(q). Будем говорить, что коммутативная подалгебра А С Р(о) допускает поднятие (квантование), если существует такая коммутативня подалгебра В С U(g), что gr В = А. В этом случае подалгебру В будем называть поднятием подалгебры А. Э.Б.Винбергом |1] была высказана гипотеза, что подалгебры Мищенко - Фоменко могут быть полностью подняты до коммутативных подалгебр в U(q), причем в качестве поднятия образующих может быть использовано отображение симметризации. В работе [18] с помощью янгианов было показано, что для классических полупростых алгебр Ли подалгебры Мищенко - Фоменко допускают квантование, однако из предъявленной конструкции неясно, что полученное поднятие содержит образы порождающих подалгебры Мищенко - Фоменко при отображении симметризации (хотя для случая алгебры Ли 0 = 0І„(С) это следует косвенным образом из теоремы единственности, доказанной в главе 3 настоящей диссертации). Кроме того, в этой же работе для классических полупростых алгебр Ли была доказана максимальность подалгебр Мищенко - Фоменко. В случае 0 = 0Іп(С) наличие квантования подалгебр Мищенко - Фоменко косвенным образом следует также из результатов, анонсированных в работах [16] и [17]. 0.2. Основные результаты. Перейдем теперь к краткому изложению основных результатов диссертации по главам. В главе 1 для случая 0 = 0Іп(С) доказывается, что обобщенные подалгебры Мищенко - Фоменко могут быть подняты в обертывающую алгебру. Более того, это поднятие может быть осуществлено с помощью отображения симметризации "\ Пусть 0 = 0ln = 0l„(C). Определим "главные миноры порядка р" как элементы Mh...iP = 2-/ (sgn ")eiiMD '' * є'Л(р) (*і < < *р), где умножение понимается как операция в алгебре Р(б). Суммы Fp - ^2 Mh-.ip (р = 1,..., n) І\< — Пусть dij Є Der P(q) обозначает дифференцирование по е^. Для любой матрицы а = (а1;) положим даи — ^ O'ijdijU (и Є P(g)). Ц Пусть h = diag(/ii,... ,hn), причем h\,...,hn различны. Тогда согласно общему результату А.Т.Фоменко и А.С.Мищенко [10] элементы FPik{hh...,hn) = diiFp {р = 1,...,щ к = 0,...,р- 1) алгебры Пуассона P(q) алгебраически независимы и попарно коммутируют относительно скобки Пуассона. Теорема 1.1. Для любых hi,...,hn Є С элементы Fp^ = Fp,k{hi,...,/) (р = 1, ...,n;fc = 0,1,..., р — 1) попарно коммутируют. Следствие 1.1. При 0 = gln(C) подалгебры Мищенко - Фоменко допускают квантование, при котором образующие поднимаются с помощью отображения симметризации. Следствие 1.2. При Q = б1„(С) обобщенные подалгебры Мищенко - Фоменко допускают квантование. В главе 2 доказывается максимальность обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко в алгебрах Пуассона полупростых алгебр Ли. Пусть 0 - полупростая комплексная алгебра Ли, S(q) - её симметрическая алгебра, P[q) - её алгебра Пуассона, т.е. алгебра S(q), снабженная скобкой Пуассона - Ли. Пусть Ї) С Q - картановская подалгебра, h Є Ь - регулярный элемент. Основным утверждением данной главы является следующая Теорема 2.1. F(h) есть максимальная коммутативная подалгебра алгебры Р($). Пусть a = a(t) - такой сходящийся (в окрестности нуля) степенной ряд с коэффициентами из алгебры f), что элемент a(t) регулярен и полупрост при всех достаточно малых t ф 0. Пусть F(a) = lim^o F(a{t)) (см. [1, 15] ). В [15] доказано, что F(a) есть свободная коммутативная подалгебра максимальной степени трансцендентности. Теорема 2.2. F(a) есть максимальная коммутативная подалгебра алгебры P(q). В главе 3 для случая 0 = 6ІП(С) (п Є N) доказывается единственность квантования обобщенных подалгебр Мищенко -Фоменко для алгебры Ли gln(C). Ключевой идеей доказательства является усиленное свойство максимальности обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко для алгебры Ли бї„(С). Пусть 0 — редуктивная комплексная алгебра Ли, Ї) С 0 — картановская подалгебра. Пусть о = a{i) — такой сходящийся (в окрестности нуля) степенной ряд с коэффициентами из алгебры Ї), что элемент a(t) регулярен при всех достаточно малых t ф 0. В [15] доказано, что F(0, а) = F{a) = lim^o F(a{t)) есть свободная коммутативная подалгебра максимальной степени трансцендентности. Универсальная обертывающая алгебра U{$) алгебры 0 имеет каноническую возрастающую фильтрацию U(q) = Um=o^(8)^-Алгебра Р{&) естественным образом отождествляется с ассоциированной градуированной алгеброй grU(g), т.е. Р(В) = Рт{&), Рт(в) = tf(0)(m)M0)(m_1). Положим P(0)M=gr tf(g)<m> = еад. Пусть теперь 0 = 0Іп(С) (п Є N). В качестве f) рассмотрим подалгебру диагональных матриц в 0. Обозначим через etj (1 ^ i,j ^ п) матричные единицы, составляющие базис алгебры 0, и определим элементы Mh„Ap = J2 (sgnor)elttrtl) -Єірід(р) Є P(q) (h < ... < ip). Суммы Fp— Y, Milm..ip (p = 1,...,n) алгебраически независимы и порождают центр алгебры Ли Р{$). Пусть h = diag(/ii,... ,hn), причем h\,...,hn различны. В главе 1 доказано, что F(/i) = C[9^Fp|p = 1,..., n; к = 0.. .p — 1] — коммутативная подалгебра в [7(g). Основным результатом главы 3 является Теорема 3.1. Если А С U(q) — такая коммутативная подалгебра, что gr(A) = F{h), то А = F{h). Аналогично работе |15] с помощью предельного перехода из подалгебр вида F(h) можно получать другие коммутативные подалгебры в U(q). Уточним, что здесь понимается под предельным переходом. Рассмотрим подалгебры F(a(t)). Размерность подпространства F{a{t))^ = F{a{t)) П 11{о)^ не зависит от і. Коэффициенты элементов вида d^Fp (р = 1,...,п; k = О,... ,р — 1) являются сходящимися рядами от . Отсюда следует, что плюккеровы координаты подпространства F{a[t))^ также являются сходящимися рядами от t, поэтому для каждого т ^ О существует предел F(a)(m) = lim^o F{a{t))^ в соответствующем грассмановом многообразии. Ясно, что F{a) = UmF(a)^m' -коммутативная подалгебра алгебры U{q), причем gr F(a) = F(a), поскольку предельный переход перестановочен с отображением симметризации. Если А — некоторая коммутативная подалгебра алгебры U(q), то grA — коммутативная подалгебра алгебры Р(&). Будем говорить, что А — подалгебра конечного типа, если алгебра grA конечно порождена. В [1] доказано, что если А — подалгебра конечного типа, то степени трансцендентности алгебр А и grA совпадают. Отсюда следует, что F(a) имеет такую же степень трансцендентности, как и F(a), и, значит, максимальную степень трансцендентности среди всех коммутативных подалгебр конечного типа алгебры U(q). Пусть F(a)(m> = F{a) П P(g)(m), F(a)(m) = F(a) П tf (g)K Теорема 3.1. допускает следующее обобщение. Теорема 3.2. Если А С U(q) — такая коммутативная подалгебра, что gr(A) = F(a), то A — F(a). На самом деле будет доказана ещё более общая Теорема 3.3. Если В С U(g)^ — такое коммутативное подпространство, что gr(B) = F(a)(m\ то В = F(a)(m\ Ясно, что теорема 3.1. следует из теоремы 3.2.. При доказательстве теоремы 3.3. ключевую роль будет играть Теорема 3.4. Пусть w Є P(g) и {w,F(aYdc^} = 0. Тогда w Є F(a). Следствие 3.1. Пусть w Є U(g) и [w, F(a)(deg«0] = 0. Тогда w Є F(a). 0.3. Основные методы доказательств. Прокомментируем основные методы доказательств указанных выше результатов по главам. В главе 1 Теорема 1.1. сводится к доказательству некоторых тождеств для алгебры t/(gln(C)), не зависящих от h Є f), где t) — подалгебра диагональных матриц. Положим Niu„ik :— Mi„,jtt„j2,..»fc.,.n («і < ... < 4), где j обозначает пропуск индекса j, и Ni Найдем необходимое и достаточное условие того, что Fp^ (р = 1, ...,п; к = 0, ...,р — 1) попарно коммутируют для любых hi, > hn Є С. Для любого подмножества / С {1, ...,п} через |7| будем обозначать его мощность. Запись I X U будет означать, что I П U — 0, a IU := I U U при I ±U. Для I = {i\... 2} положим hi :— hit --hik. Ясно, что и, следовательно, ^FB = 5>&f к\ где суммирование происходит по всем подмножествам /с{1,...,п} мощности к. Аналогично, йЗй.=!>&* где |/| = к, \U\ = п-р. Следовательно, l[dkhFp,d'hFq] = к\ Е^Е^Е^Е^ J V±J Nw, Y, Njv I J iu±i V±J где \I\ = k, \U\ = n— p, \J\ = I, \V\ = n—q. Приводя подобные члены, получаем, что элементы FPik(hi,..., hn) попарно коммутируют для любых /її,..., hn тогда и только тогда, когда YSjT(k,l,p,q):= ]Г Е Nw, Е XJV IUJ=S IU±I ir\J=T (0.6) для любых S,T С {1,..., п}, Т С S. Будем доказывать равенства У^(к,1}р,q) = 0 индукцией по п. При п = 1 они, очевидно, верны. Предполагая, что равенства справедливы для матриц порядка < п, докажем их для матриц порядка п. Лемма 1.0. Если Т ф 0, mo Ys,T(k,l,p,q) = 0. Теперь осталось разобраться со случаем, когда Т = 0. Положим NW, ]T Njv Ys := Ys(k,l,p,q) := Ys,0(k, I,p,q) = ^ IUJ=S LU±I V±J (0.7) где, как и выше, \I\ = к, \U\ = п — р, \J\ = I, \V\ = n — q. Будем называть индексы из S главными, а остальные индексы - простыми. Пусть М - произвольный набор индексов, М С {1, ...,п}. Обозначим через &1(М) подалгебру, порожденную элементами etj, i,j Є М, а через GL(M) - соответствующую подгруппу группы GLn(C). Лемма 1.1.а. Для любых простых индексов у,6 имеем [el5lYs] = 0. Лемма 1.1.6. Для любых главных индексов у,8 имеем [el5, YS] = 0. Раскрывая скобки в (0.7), получаем линейную комбинацию произведений вида ePl4l.. .ePjl<7#, в которых каждый индекс встречается одинаковое число раз слева и справа, причем это число < 1 для главных индексов и < 2 для простых индексов. После возможного понижения степени за счет применения соотношений вида &pq&qr &qr&pq == Єрг Vpr^qq указанные свойства сохраняются. Пусть т — наименьшее целое число, для которого 1 Є U(m)(o), и Ws - проекция Ys на Рт{$). Ясно, что [е7я, Ws] = 0 для любых простых(главных) индексов 7? S. Пусть U(g) — подпространство U($), элементы которого коммутируют с Ї) (алгеброй диагональных матриц). Введем подпространство С/'(д) С U(gy элементов, которые могут быть представлены в виде линейной комбинации произведений вида ePlQl.. .ePtqt, в которых каждый главный индекс встречается слева(и соответственно справа) не более одного раза, и аналогично определим подпространство Р'(д) С Рій)1*- Тогда gr J7'(g) = Р'(б)-Ясно, что Ws Є Pm'(0) = Р'(б) П Pm(g). Пусть т - антиавтоморфизм алгебры Ли U(q), переводящий eij в ej{. Ясно, что г сохраняет поднятые миноры, т. е. r(iVj) = iVj. Но тогда т умножает коммутаторы миноров [ІУдг, Njv] (и,стало быть, элементы Ys) на -1. Итак, r{Ys) — —Ys. Заметим, что г сохраняет фильтрацию и, тем самым, индуцирует автоморфизм алгебры Ли P(g), причем t(Ws) = —Ws- Далее будет доказано, что r(Ws) = Ws. Отсюда будет следовать, что Y$ = 0. Пусть S - набор главных индексов, Т - набор простых индексов. Лемма 1.2. (основная лемма) Пусть W - элемент пространства Рт'(д), инвариантный относительно действия групп GL(5) и GL(T). Тогда t(W) = W. При доказательстве леммы 1.2. (основной леммы) используется классическая теория инвариантов. В главе 2 Теорема 2.2. сводится к доказательству того, что F(a) алгебраически замнуто в -Р^)1*. Последнее доказывается с помощью Лемма 2.1. Пусть А - целостное кольцо, допускающее разложение вида А — В ф /, где В - подкольцо, I - идеал кольца А. Тогда В алгебраически замкнуто в А. В свою очередь построение соответствующего идеала осуществляется с помощью леммы 2.4.. Введем необходимые обозначения. Множество А всех корней алгебры Ли g разлагается в объединение A = \Ji:fQAi, где Аг- = — (Д_г) при г > 0 состоит из тех положительных корней, которые разлагаются в сумму ровно і простых корней. Пусть Qi = (еа | а Є Aj),0o = fy- Положим 0+ = Т,т Ш> Ь = 0+ Ї) и q0 = b $ Се_, где є_ = «єД_г еа. Без ограничения общности будем считать, что (є, е_) = 1. Определим проекцию Qo : 0 —* Чо следующим образом: <2о|ь = Id, Qo|0j = 0, г < -2, Q0(ea) = -j— е_, а Є A_i- Продолжим её до гомоморфизма Qq : S(g) —) (чо) симметрических алгебр. Ясно, что алгебра S(qo) линейно порождена мономами вида Пе&ПЧ*е-> (0-8) г=1 i=l где / Є U*>i A*, «j Є Аі, ер. - корневой вектор, отвечающий корню /. Пусть ho Е I) - такой элемент, что a(ho) = 1 для любого корня а Є Ді. Пусть S(qo)h = {х S(qo) | {^о, s} = 0}. Отметим, что QQ перестановочно с действием ad(/io)- Лемма 2.4. Ограничение Qo|f(o) ^(л) —> <5(Чо)л есть изоморфизм алгебр. Наконец, в качестве идеала берется I = {х Є Р{д)** | Qo(^) = 0}. В главе 3 Теорема 3.4. доказывается применением индукции по п для регулярных подалгебр алгебры g = gln(C). Для этого вначале для общего случая редуктивной алгеры Ли приводится построение специального идеала и дается ряд вспомагательных лемм. Пусть g — редуктивная алгера Ли. В главе 2 показано, что Qo(Pfe)*) = S(qo)*0 = {^ Є S(q0)\{h0,x} = 0}, и что ограничение Qo|f(o) : F(a) —* ^(Чо)''0 есть изоморфизм алгебр. Пусть q = Ъ ф 0_1- Определим проекцию Q : g -» q следующим образом: Продолжим ее до гомоморфизма Q : 5(g) —> 5(q) симметрических алгебр. Ясно, что Q(P(g)l>) = S(q)f>, и что Q0|s(q)» ^(ч) -» S(q0)/<0 есть изоморфизм алгебр. Поскольку Qo = Qo Q, ограничение Q\f{o) ' F{a) ~* 8(ц)Ь есть изоморфизм алгебр. Пусть д' — редуктивная регулярная относительно \) подалгебра в редуктивной алгебре Ли д, Ї)' С Ї) — картановская подалгебра иД'-система корней алгебры д'. Пусть \)" — ортогональное дополнение к *>' в Ї). Пусть i(g') = (P(g) ({еа\а Є Д \ A'}, f}">)ПР(д)". Очевидно, что J(g') - идеал в Pfo)*. Лемма 3.2. (об идеале) J(g') — пуассонов идеал. Имеем разложение Р(о)*> — Р{$У Ф Дб')- Пусть 7г = 7Г010' : -Р(б)1^ ~*" -РСб')^ — соответствующий проектор. Из леммы 3.2. (об идеале) следует, что тг — гомоморфизм пуассоновых алгебр. Заметим, что 7Г сохраняет степень. Положим F(g', a) = F(g!,ir(a)). Лемма 3.3. (об инвариантах) тг(Р(д)0) С Р(б')0 Лемма 3.4. (о вложении) 7r(F(g, а)) С F(g', а). Лемма 3.5. (о накрытии) Если Д' = Д П l)' , mo 7r(F(g,а)) = Все упомянутые результаты являются новыми. Они опубликованы в работах [11], [12), [13]. Автор глубоко признателен своему научному руководителю Э.Б.Винбергу за постановку задач, а также за постоянное внимание к работе и поддержку. Автор также признателен В.В.Шувалову за полезные обсуждения. Пусть g - алгебра Ли, U(g) - её универсальная обертывающая алгебра. Алгебра U(Q) имеет возрастающую фильтрацию U(g) = Uo fcH0) в которой U (g) есть подпространство элементов, представимых в виде многочленов степени к от элементов алгебры Q. Через Р(д) обозначим ассоциированную градуированную алгебру (алгебру Пуассона), т.е. Согласно теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта алгебра Р(д) канонически изоморфна симметрической алгебре 5(g) пространства 0. В -Р(д) естественным образом вводится лиевская операция (скобка Пуассона) {,}, для которой {Р (д),Л(д)} С Р +_г(д). А именно, при принимается, что Тождество Лейбница связывает скобку Пуассона с умножением: Алгебры U(Q) и P(g) можно рассматривать как алгебры Ли относительно операции коммутирования и скобки Пуассона соответственно. Алгебра g канонически вкладывается в эти алгебры Ли. Образ элемента х Є g в P(g) будем отождествлять с х (и обозначать той же буквой), а образ х в /(д) будем обозначать через х. Вложение g —у U(g) продолжим до изоморфизма д-модулей Р(д) —) /(д), при котором Пусть д = gln = дЦС). Обозначим через etJ- (1 i,j п) матричные единицы, составляющие базис алгебры д, и определим "главные миноры порядка р" как элементы где умножение понимается как операция в алгебре Р(д). Суммы алгебраически независимы и порождают центр Z алгебры Ли Р(д). (Как известно, Z состоит из инвариантов естественного действия алгебры 0 в -Р(о).) Заметим, что элементы Fr (г = 1,...,п) порождают центр алгебры U(g) [4]. Положим N „4,, := Мі,„і1„,і2..лк...п (h ... г ), где j обозначает пропуск индекса j, и iVI(T{1)...I/r{;fe) := Nilmm.it для всякого а Є 5 . Пусть dij Є Der P(Q) обозначает дифференцирование по еу. Для любой матрицы а = (ау) положим Пусть h = diag(/ii,.. .,ftn), причем h\,...,hn различны. Тогда согласно общему результату А.Т.Фоменко и А.С.Мищенко [10] элементы алгебры Пуассона Р(д) алгебраически независимы и попарно коммутируют относительно скобки Пуассона. Пусть F(h) - коммутативная подалгебра алгебры Ли Р(д), порожденная элементами FPTjt(/ii,..., n). Известно (см. [10]), что F(h) имеет максимальную возможную степень трансцендентности среди коммутативных подалгебр алгебры Ли Р(д). Известно также (см. [lj), что если бы удалось поднять образующие алгебры F(h) до коммутирующих элементов алгебры /(д), то подалгебра, порожденная этими элементами, имела бы максимальную степень трансцендентности среди коммутативных подалгебр алгебры /7(g). В работе [18J с помощью янгианов было показано, что для классических полупростых алгебр Ли подалгебры Мищенко - Фоменко допускают поднятие, однако из предъявленной конструкции неясно, что полученное поднятие содержит образы порождающих подалгебры Мищенко - Фоменко при отображении симметризации (хотя для случая алгебры Ли g = gtn(C) это следует косвенным образом из теоремы единственности, доказанной в главе 3 настоящей диссертации). Задача данной главы - показать, что поднятие образующих алгебры F(h) до коммутирующих элементов алгебры /(д) может быть осуществлено с помощью отображения """"". А именно, будет доказана Теорема 1.1. Для любых /іі,...,Лп Є С элементы Fp = Fpjc(hiy..., hn) (р = 1,..., щ к — 0,1,..., р — 1) попарно коммутируют. Следствие 1.1. При д — 0І„(С) подалгебры Мищенко - Фоменко допускают квантование, при котором образующие поднимаются с помощью отобраоюения симметризации. Положим F(h) = C[dfcFp\p = 1,..., щ k = 0.. .p - 1]. Пусть a — a(t) — такой сходящийся (в окрестности нуля) степенной ряд с коэффициентами из алгебры {}, что элемент a{t) регулярен при всех достаточно малых t ф 0. В [15] доказано, что обобщенная подалгебра Мищенко - Фоменко .F(g, a) = F(a) — Ііт р F(a(t)) есть свободная коммутативная подалгебра максимальной степени трансцендентности. Аналогично работе [15} с помощью предельного перехода из подалгебр вида F(h) можно получать другие коммутативные подалгебры в U($). Уточним, что здесь понимается под предельным переходом. Рассмотрим подалгебры F(a(t)). Размерность подпространства F(a(t)) = F(a(t)) Л U(g) не зависит от t. Коэффициенты элементов вида d Fp (р — 1,...,га; к — 0,... ,р — 1) являются сходящимися рядами от t. Отсюда следует, что плюккеровы координаты подпространства F(a(t)) также являются сходящимися рядами от , поэтому для каждого т 0 существует предел F{a)() =]imt- oF(a(t)) в соответствующем Пусть 0 - полупростая комплексная алгебра Ли, 5(g) - её симметрическая алгебра, Р(д) - её алгебра Пуассона, т.е. алгебра 5(0), снабженная скобкой Пуассона - Ли. Элементы алгебры Р(д) будем рассматривать как функции на 0 или на 0, отождествляя 0 и 0 при помощи инвариантного скалярного умножения (, ). Пусть {/ Є Р{$) « = 1,...,г} есть алгебраически независимая система порождающих центра алгебры P{Q). Пусть Ї) С 0 - картановская подалгебра, h f) - регулярный элемент. Тогда элементы #/» (г = 1,..., г; к = 0,1,..., deg fc — 1) алгебры -Р(0) попарно коммутируют и алгебраически независимы (10]. Порожденную ими коммутативную подалгебру обозначим через F{h). Она имеет максимальную возможную степень трансцендентности среди коммутативных подалгебр алгебры Р(0). Подалгебры вида F(h) называются подалгебрами Мищенко - Фоменко. Основным утверждением данной главы является следующая Теорема 2.1. F(h) есть максимальная коммутативная подалгебра алгебры P(Q). Отметим, что в работе {18] для классических полупростых алгебр Ли для любой подалгебры Мищенко - Фоменко была доказана максимальность в алгебре Пуассона. Пусть a = a(t) - такой сходящийся (в окрестности нуля) степенной ряд с коэффициентами из алгебры Ї), что элемент a(t) регулярен и полупрост при всех достаточно малых t -ф 0. Пусть F(a) = lini{_ o F(a(t)) (см. [1, 15]). В [15] доказано,что F(а) есть свободная коммутативная подалгебра максимальной степени трансцендентности. Теорема 2.2. F(a) есть максимальная коммутативная подалгебра алгебры -Р(д). Ясно, что Теорема 2.1. следует из теоремы 2.2.. При доказательстве теоремы 2.2. будет использоваться основное свойство, которое для подалгебр вида F(h) было доказано в [10], а для предельных подалгебр — в (15]. Основное свойство. Пусть е = сумма всех корневых векторов, отвечающих простым корням относительно і). Тогда существует набор {/717 Г} однородных свободных порождающих подалгебры F(a) такой, что векторы { 4/7 (7 Г} линейно независимы. 1. Лемма 2.1. Пусть А - целостное кольцо, допускающее разложение вида А — В фі, где В - подкольцо, I - идеал кольца A. Тогда В алгебраически замкнуто в А. Доказательство. Пусть это не так, а именно существует элемент с Л, алгебраический над В. Пусть в силу разложения А = В Ф I элемент с представим в виде c=b + u, Ь Є 2?, и I, причем и -ф- 0. Тогда элемент и = с — Ъ также алгебраичен над B. Рассмотрим для него минимальный аннулирующий многочлен OQ + b\u Ч Н Ьтит = 0, 6о,..., Ьт В, Тогда Ь$ Ф 0 в силу минимальности многочлена, с другой стороны, 6i« Ч \- Ътит — и(Ь\ Ч 1- 6m«m_1) /, откуда OQ = 0. Получаем противоречие. 2. Множество Д всех корней алгебры Ли g разлагается в объединение Д = Ц 0Д, , где Д,- = —(Д_,-) при і 0 состоит из тех положительных корней, которые разлагаются в сумму ровно і простых корней. Пусть & = (е J а Є ДІЬЯО = fy Положим S+ = Ei iS» Ь = 0+ Є ij и q0 = b Є Ce_, где e_ = ]CftA_t e - Без ограничения общности будем считать, что (е, е_) = 1. Определим проекцию Qo : g tfo следующим образом: Продолжим её до гомоморфизма Qo : 5(б) — 3(Чо) симметрических алгебр. Ясно, что алгебра 5(qo) линейно порождена мономами вида корневой вектор, отвечающий корню /. Пусть &о I) - такой элемент, что а(Ло) = 1 Для любого корня а Є Ai. Пусть 5(чо)Л = { 5(qo) {Ло, #} = 0}- Отметим, что Q0 перестановочно с действием ad(ho). 3. Лемма 2.2. Qo(Pfa)b) = S(q0) . Доказательство. Пусть в мономе вида (2.1) / Є АГі,р,- 0 при і = 1,..., s\. Ясно, что этот моном лежит в QoiPio) ) тогда и только тогда, когда S3 = {=iPt Отсюда следует, что QoiPfa)1 ) свободно порождается элементами e ei, /3 Ав, 5 0, и Ла, а Ai. Очевидно, что эти же элементы свободно порождают S(qo)h. Лемма доказана. 4. Пусть 7Г: 5(яо)л —»5(b) - изоморфизм, который определён на порождающих алгебры Sfao) 10 следующим образом: п(ере8_) = ер, (З Є Дв, s 0; 7г(Л«) = Ла, а Ах. Лемма 2.3 Пусть у Є 5р(Чо)Ло, Р Є N- Тогда 7г(у) = 4у mod SEJlJф), причёл 42/ Є Qp-i. Доказательство. При р = 1 утверждение леммы очевидно. При р 2 пусть топ - произвольный моном из разложения у по базисным мономам вида (2.1). Пусть корневой вектор е#, /3 Де, входит в разложение (2.1) монома топ. Тогда в силу соотношения «з = ХІІ=ІР« и единственности разложения /3 по элементам из Ді, ясно, что degmon 4-1, поскольку топ содержит как минимум ещё t компонент вида е_. Отсюда получаем, что в силу условия degy = p, во-первых, в разложении (2.1) для топ нет ни одного корневого вектора из ]С р&- Во-вторых, если в разложении (2.1) для шоп есть корневой вектор из 0р-і, то кроме него в разложении нет больше ни одного корневого вектора из д+, поскольку все Пусть 0 — редуктивная комплексная алгебра Ли, S(g) — ее симметрическая алгебра, Р(д) — ее алгебра Пуассона, т. е. алгебра 5(g), снабженная скобкой Пуассона - Ли. Элементы алгебры Р(д) будем рассматривать как функции на д или на д, отождествляя g и д с помощью инвариантного скалярного умножения (-,). Пусть {Fj Є Р(д)г = 1,...,г} — алгебраически независимая система порождающих центра алгебры Р(д). Пусть Ї) С д — картановская подалгебра, h Є \) — регулярный элемент. Тогда элементы dfcFp (р = 1,..., г; к = 0,..., degFp — 1) алгебры Р(д) алгебраически независимы и попарно коммутируют [10]. Порожденную ими подалгебру обозначим F(h). Она имеет максимальную степень трансцендентности среди коммутативных подалгебр алгебры Р(д) (см., напр., [1]). Пусть a = a(t) — такой сходящийся (в окрестности нуля) степенной ряд с коэффициентами из алгебры {), что элемент a(t) егулярен при всех достаточно малых t ф 0. В [15] доказано, что F(Q, a) = F(a) = ]imt- o F(a(t)) есть свободная коммутативная подалгебра максимальной степени трансцендентности. Универсальная обертывающая алгебра U(Q) алгебры g имеет каноническую возрастающую фильтрацию U(Q) = Um=o (s) -Алгебра Р(&) естественным образом отождествляется с ассоциированной градуированной алгеброй grJ7(g), т.е. Алгебры U(Q) И Р(&) можно рассматривать как алгебры Ли относительно операции коммутирования и скобки Пуассона соответственно. Алгебра д канонически вкладывается в эти алгебры Ли. Образ элемента х Є 0 в Р(0) мы будем отождествлять с ж (и обозначать той же буквой), а образ х в U(g) будем обозначать через х. Вложение Q - U(Q) с помощью отображения симметризации : Р(д) — U(Q) (см. [1, 6]) продолжается до изоморфизма 0-модулей, при котором Пусть теперь 0 = 0 n( ) (w Є N). В качестве [) рассмотрим подалгебру диагональных матриц в д. Обозначим через ец (1 hj 5 n) матричные единицы, составляющие базис алгебры 0, и Определим ЭЛемеНТЫ Miy...iv = YJ (sgn H iMO "Єіріа(Р) є p(&) ( I creSp ... ip). Суммы Fp = ]T) M i...: p (p = 1,. ., n) алгебраически г і — t p независимы и порождают центр алгебры Ли Р(д). Пусть h = diag(/ii,. ..,hn), причем Лі,...,Лп различны. В главе 1 доказано, что F(h) = C[ Fpp = 1,..., п; к = О...р—l] — коммутативная подалгебра в U(Q). Основным результатом главы является Теорема 3.1. Если А С U(Q) — такая коммутативная подалгебра, что gr(A) = F{h), то А = F(h). В частности, для случая алгебры Ли Q = gln(C) поднятие F(h) подалгебры Мищенко - Фоменко F(h), при котором образующие поднимаются с помощью отображения симметризации, совпадает с поднятием, построенным в работе [18]. Аналогично работе [15] с помощью предельного перехода из подалгебр вида F(h) можно получать другие коммутативные подалгебры в U(Q). Уточним, что здесь понимается под предельным переходом. Рассмотрим подалгебры F(a(t)). Размерность подпространства F(a(t)) = F(a(t)) П U(g) не зависит от t. Коэффициенты элементов вида dKt Fp (р = l,...,n; k = О,... ,р — 1) являются сходящимися рядами от t. Отсюда следует, что ллюккеровы координаты подпространства F(a(t)) также являются сходящимися рядами от t, поэтому для каждого т О существует предел Р(а)(тї = limt_»o F(a(t))(m) в соответствующем грассмановом многообразии. Ясно, что F(a) = UmF(a) -коммутативная подалгебра алгебры U(g), причем grF(a) = F(a), поскольку предельный переход перестановочен с отображением симметризации. Если А — некоторая коммутативная подалгебра алгебры U(д), то grA — коммутативная подалгебра алгебры Р($). Будем говорить, что А — подалгебра конечного типа, если алгебра grA конечно порождена. В [1] доказано, что если А — подалгебра конечного типа, то степени трансцендентности алгебр Л и grA совпадают. Отсюда следует, что F(a) имеет такую же степень трансцендентности, как и F(a), и, значит, максимальную степень трансцендентности среди всех коммутативных подалгебр конечного типа алгебры U(Q). Пусть F(a)M = F(a) П Р(д)(т), F(a)(m) = » П /(д)(т). Теорема 3.1. допускает следующее обобщение. Теорема 3.2. Если А С U(Q) — такая коммутативная подалгебра, что gr(A) = F(a), то A — F(a). На самом деле будет доказана ещё более общая Теорема 3.3. Если В С U(Q) — такое коммутативное подпространство, что gr(J5) = F(a)(m\ то В = F(a)(m\ Ясно, что теорема 3.1. следует из теоремы 3.2.. При доказательстве теоремы 3.3. ключевую роль будет играть Теорема 3.4. Пусть w Є P{g) и {w,F(a) egw } = 0. Тогда w Є F(a). Следствие 3.1. Пусть w Є U(Q) и [w,F(aYde ] = 0. Тогда w Є F(a). В [2] было дано определение абстрактной алгебры Пуассона. А именно, векторное пространство Р с двумя билинейными операциями — умножением (а, 6) - аЬ и скобкой Пуассона (а, 6) ь- {а, 6} называется алгеброй Пуассона, если выполнены следующие условия: умножение коммутативно и ассоциативно, скобка Пуассона антикоммутативна и удовлетворяет тождеству Якоби, умножение и скобка Пуассона связаны тождеством Лейбница пределим тензорное произведение алгебр Пуассона Р\ и Рч как тензорное произведение ассоциативных алгебр Pi g Р2, на котором определена скобка Пуассона по формуле:Существование квантования обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко для алгебры Ли п(С)
Максимальность обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко в алгебрах Пуассона полупростых алгебр Ли
Единственность квантования обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко для алгебры Ли (С)
Похожие диссертации на О коммутативных подалгебрах в обертывающих алгебрах полупростых алгебр Ли
