Введение к работе
Актуальность темы диссертации.
В настоящей диссертации получен ряд новых оценок снизу приближений некоторых логарифмов рациональными числами и квадратичными иррациональностями.
Напомним, что мерой иррациональности или показателем иррациональности ^(7) вещественного числа 7 называется нижняя граница чисел (J, таких, что для любого є > О существует qo(e) > О, такое, что неравенство
>Ч
р-с
выполняется для всех целых чисел р, q при q > qo(e).
Аналогично можно определить меру квадратичной иррациональности числа7^2(7)1 которая фактически описывает приближение данного числа корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами.
В настоящее время найдено достаточно много оценок снизу мер иррациональности значений аналитических функций. Примерно с 80-х г. прошлого века основным способом получения таких оценок стало построение на основе интегральных конструкций малых линейных форм, имеющих "хорошие" оценки знаменателей коэффициентов. Поведение коэффициентов линейных форм и интегралов исследовалось при помощи асимптотических методов, знаменатели линейных форм оценивались с использованием различных схем сокращения простых чисел. Интегральные конструкции и методики оценок были предложены такими авторами как М.Хуттнер1, Дж. Рин2, Е.С.Рухадзе3, М.Хата4'5'6, Л.В.Данилов7и др.
Данная диссертация относится к тому же направлению. Важную роль при получении новых результатов сыграла симметричность подынтегральной функции. Симметризованные интегралы и ранее использовались разными авторами, например, в работе Дж.Рина2, но особенно повлияла идея
lM. Huttner. Irrationality de certainea integrates hypergeometriques.// 3-Number Theory. - 1987. - v. 26. - P. 166-176. aRhin G. Approximants de Pade et meaures effectives d'irrationalite. // Progr. in math. - 1987. - Vol. 71. - P. 155-164. Рухадзе E.A. Оценка снизу приближения In 2 рациональными числами.//Вестник Московского университета.- Сер. 1, Математика, механика. - 1987. - № 6. - С.25-29.
4Hata М. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions. // Acta Arithm. - 1992.- Vol. LX. - P. 335-347. 5Hata M. Rational approximations to jr and some other numbers.// Acta Arithm. - 1993.- Vol. 63, N4 - P. 335-349. eHata M. C2-saddle method and Beukers' integral. //Trans. Amer. Math. Soc. - 2000.- Vol.352, №1-2. - P.183-202. Данилов Л.В. Рациональные приближения некоторых функций в рациональных точках.// Математические заметки. - 1978. - Том 24, №i. - С.449-458.
симметричности на результаты работ В.Х.Салихова8'9 и работавших под его руководством Е.С.Сальниковой10'11 и Е.Б.Томашевской12'13. Ими ис-
Р пользовались интегральные конструкции вида f R(x)dx, где выполнено
R(2a - х) = R{x). Арифметические свойства таких интегралов позволили улучшить множество предыдущих результатов, так в статье В.Х.Салихова9 была получена оценка показателя иррациональности числа ж, наилучшая до настоящего времени: р(тг) < 7.6063... В данной работе используется другая идея - инвариантности интеграла относительно замены параметра х на і
х'
Цель работы.
Целью настоящей работы является получение оценок снизу для рациональных приближений некоторых значений логарифмической функции а также приближений их квадратичными иррациональностями.
Научная новизна и значимость результатов работы.
В диссертации получены следующие основные результаты:
Построены рациональные приближения чисел вида keN,k>l.
Построены рациональные приближения чисел вида у/к arctan-7?. JfcN,fc>l.
Улучшены ранее известные результаты для меры иррациональности чисел уД 1п(2 + л/3), л/2 In |^tl,arotan .
Кроме этого усилена оценка меры иррациональности числа л/5 In ^^ и впервые получена оценка меры его квадратичной иррациональности.
8Салихов В.Х. О мере иррациональности 1пЗ.// Доклады ажадемин наук РФ. - 2007.- Том 417, № 6. - С. 753-755. "Салихов В.Х. О мере иррациональности числа Jr.// Успехи математических наук. - 2008. - Том 63.J03. - С. 163-164. Сальникова Е.С. Диофантовы приближения log2 и других логарифмов. // Математические заметки. - 2008. - Том 83,10 3. - С.428-438.
иСальиикова Е.С. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса.// Чебышевский сборник. - 2007.-Tou 8,)0 2. - С. 88-96.
Томашевская Е.Б. О диофантовых приближениях числа тг числами из поля Q(v^)-// Математические заметки. -2008.- Том 83JO 6. - С.912-922.
"Томашевская Е.Б. О мере иррациональности числа ln5+ и некоторых других чясел.//Чебышевсквй сборник. -Т.8.Х» 2,- С.97-108.
Основные методы исследования.
В работе используются такие асимптотические методы, как метод перевала, метод Лапласа, основные идеи метода Чудновского-Рухадзе-Хата сокращения простых чисел а также другие методы теории функций комплексной переменной и трансцендентных чисел.
Теоретическая и практическая значимость работы.
Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут быть интересны специалистам, изучающим иррациональность чисел, а также использованы при изучении теории диофантовых приближений и разработке спецкурсов по теории чисел, преподаваемых в госуниверситетах для студентов математических специальностей.
Апробация работы.
Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на VII международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященной памяти профессора А.А.Карацубы (Россия, г. Тула, ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 11-15 мая 2010 г.), на научно-исследовательском семинаре по теории чисел механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова (26 ноября 2010 г.), на заседаниях кафедры "Высшая математика" Брянского государственного технического университета.
Публикации.
Результаты, полученные в диссертации, отражены в 4-х печатных работах, список которых приведён в конце автореферата.
Структура и объём диссертации.
Диссертационная работа состоит из четырёх глав, первая из которых является введением, библиографии (46 наименований) и приложения. Главы разбиты на разделы. Общий объём работы составляет 91 страницу.
