Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Новое доказательство теоремы Ингама 12
1 Вспомогательные утверждения 13
2 Нижняя оценка среднего значения короткого отрезка ряда Дирихле 17
3 Основная верхняя оценка среднего значения модуля дзетовои суммы 22
4 Завершение доказательства теоремы Ингама 26
Глава 2 Плотностные оценки количества нулей дзета-функции Римана в критической полосе правее прямой о - 0,75 31
1 Сведение доказательства утверждения теоремы к оценке среднего значения полинома Дирихле 33
2 Вспомогательные утверждения 37
3 Оценка среднего значения полинома Дирихле для «больших» значений длины промежутка суммирования , 41
4 Выделение основного промежутка изменения длины полинома Дирихле 46
5 Применение неравенства Халаша-Монтгомери 51
6 Применение формулы обращение для дзетовои суммы 59
7 Сглаживание полинома Дирихле 63
8 Завершение доказательства основной теоремы 74
Список литературы
- Нижняя оценка среднего значения короткого отрезка ряда Дирихле
- Завершение доказательства теоремы Ингама
- Вспомогательные утверждения
- Применение неравенства Халаша-Монтгомери
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена оценкам количества нулей дзета-функции Римана (s) в критической полосе комплексной плоскости, лежащих
С тех пор, как в 1859 году Б. Риман в своем знаменитом мемуаре1 «О числе простых чисел, не превышающих данной величины » связал задачу исследования распределения простых чисел в натуральном ряде с проблемой расположения нулей дзета-функции Римана в критической полосе, изучение свойств дзета-функции Римана превратилось в центральное направление аналитической теории чисел.
Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел.
Важную роль среди этих направлений играют теоремы о плотности распределения нулей дзета-функции Римана в критической полосе. В течение последних десятилетий этой теме посвящено большое количество научных статей. Она неоднократно затрагивалась в научных монографиях и специальных учебниках, посвященных различным вопросам аналитической теории чисел.
В 1937 году А.Э. Ингам получил оценку (1) с значением А(а)= А1 (с) = . Несколько позднее эту оценку он уточнил, заменив в ней
величину Т на множитель L , где L = \nT и о 0 некоторая постоянная. Но новых степенных понижений в оценке (1), справедливой при всех сг 0,5, не было получено до настоящего времени. Наилучшее значение параметра с = 5 указано в монографии А. Ивича. Утверждение о том, что оценка (1) справедлива при всех сг 0,5 с значением А(а) = 2 называют плотностной гипотезой. Из неё следует, что для
Следует сказать, что за время, прошедшее после первого опубликования результата А.Э. Ингама, предложено много других схем доказательства, которые очень различаются.
В диссертации предложена новая модификация доказательства теоремы А.Э. Ингама. Её существенным моментом является вывод нижней оценки суммы модуля очень короткого начального отрезка ряда Дирихле, распространенной на все нули p = J3+iy дзета-функции Римана {s), лежащих в частичную сумму формального ряда Дирихле для функции ((s)
Первая глава диссертации посвящена изложению нового доказательства теоремы Ингама. Эта теорема доказывается в следующей формулировке. Теорема 1.1. Пусть N{cr,t) обозначает число нулей дзета-функции.
С помощью данной леммы отрезок формального ряда Дирихле функции ((s) в критической полосе выражается с некоторой погрешностью через
другой отрезок того же ряда, но с заменой значения аргумента s на значение 1-5 с коэффициентом x{s) Обычно эта лемма используется при выводе приближенного функционального уравнения для функции (s) в критической полосе, то есть в
полосе вида 0 Re 5 1.
Д5- 7 Наше доказательство, наоборот, опирается на приближенное функциональное уравнение. Это позволяет получить остаточный член, который уже не допускает понижения своего порядка.
Диссертация состоит из введения, двух глав, библиографии (25 наименований). Общий объем диссертации составляет 82 с.
Основные результаты исследования по теме диссертации опубликованы в работах автора [21-25].
В заключение автор приносит глубокую и искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Архипову Геннадию Ивановичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Нижняя оценка среднего значения короткого отрезка ряда Дирихле
Доказываемая ниже лемма 1.4. дает нижнюю оценку среднего значения модуля начального отрезка формального ряда Дирихле дзета-функции Римана в критической полосе. Другими словами, снизу оценивается сумма, распространенная на все нули функции (s) из множества ft,, то есть лежащих в прямоугольнике Re.s 7, Imse
Насколько нам известно, такие оценки ранее никем не рассматривались. В то же время наша оценка оказывается достаточной для её дальнейшего использования при доказательстве теоремы Ингама по новой схеме, существенным элементом которой она является.
Кроме того, при любом натуральном т в силу неравенства Гёльдера будем иметь 02ffl Af- X peat I" 2т = JV, т Qx} где величина Ц\ определяется однозначно последним равенством. Важно отметить, что явное значение параметра т может быть выбрано без всяких дополнительных ограничений. Рассуждая так же, как и при оценке сверху величины G2 } получим оценку вида Эта глава посвящена выводу новой оценки функции N(cr,T) для значений Нашей основной целью (11 13" параметра а, лежащего на промежутке Д = 10117 является вывод неравенства вида N(aJ)«eTA{a)il-a}+, где Л(сг) = —- = 2,2173913..., тєА и 0 сколь угодно мало.
Заметим, что наилучшей из известных к настоящему времени оценок подобного рода для данного промежутка является оценка А. Ивича, приводимая в частности, в его монографии The Riemann zeta-function [4, с. 290]. Она имеет тот же вид, что и приводимая выше оценка, но с значением А(ст) А,((т) = -1— при ае(Ъ 13 4 17 70--4 Сравнивая приведенную выше оценку А. Ивича с нашей оценкой, получаем, что разность
Это означает, что наш результат является улучшением оценки А. Ивича при всех значениях сг из интервала А Метод, который реализуется в данной главе, позволяет еще несколько уточнить полученные, а так же получить новые оценки величины А{а) для более широкого промежутка изменения аргумента а, вплоть до интервала (ъ \ъЛ \= ,4 17, Однако полный вывод соответствующей теоремы требует новых весьма громоздких выкладок, и поэтому в данной работе мы его не рассматриваем. Приведем точную формулировку основной теоремы данной главы. Теорема 2.1. Обозначим через N{cr,T) количество нулей дзета-функции Римана (s) в прямоугольнике Р вида Res 7, 0 \ms Т, 77 Тогда при о ог- — = 0,76237623762... выполняется оценка вида N{a,T) ETA{a) a)+, где Л(сг) = —= 2,2173913... и 0 сколь угодно мало.
Данная теорема является усилением результата А. Ивича [4, с. 290], который получил указанную выше оценку величины N[ 7,Tj только для 13 значений о- с7, = —= 0,7647058... ог.
Обозначим через Ц совокупность нулей р = p + iy дзета-функции Римана, лежащих в прямоугольнике Р и удовлетворяющих дополнительным условиям, состоящим в том, что мнимые части у точек р превосходят значение и отличаются между собой не менее чем на единицу. С помощью стандартных рассуждений легко показать, что справедлива оценка N{a,T) g.LNx, где Ь = ЫТ, a Nx представляет собой максимально возможную мощность множества Ц. Кроме того, учитывая, что при всех s -13 0" d. (J, - — оценка теоремы вытекает из приведенного выше результата А. Ивича, то при доказательстве достаточно рассматривать случай 7е[ 72, 7,).
Условимся также при произвольно малом 0 числа є,2є,3є стоящие в показателе возрастающих величин иногда заменять на Є с целью большей обозримости выкладок. В каждой точке psQl для значения С \Р) = запишем приближенное функциональное уравнение простейшего вида 1 xl s W = X-+—Г+0(х_ Т1п )-[6,с.72Д.6.]. п ,хп S I Здесь предполагается, что SE Q.v х = Т, причем постоянная в знаке "О" является абсолютной. Приведенное соотношение для b\s) можно несколько преобразовать. Во- первых, 5-1»7,»х»7т5 поэтому для члена вида — выполняется s-l оценка
Завершение доказательства теоремы Ингама
Разобьем множество Q , на не более чем К = Т подмножеств, в каждое из которых входят те точки р из Q ,, разность ординат которых не превышает величины порядка Т0=Ґ =ТК . Выделим из этих множеств одно, в котором содержится максимальное количество этих точек. Само это множество будем обозначать через 0.0, а количество точек в нем обозначим через iV0. Ясно, что #i « N0T = N0K. .2 промежутку Далее можем предполагать, что z &Т0, а параметр J принадлежит ґ3 13 N и при этих условиях займемся оценкой величины N0 v4 17/ Точный вид величины в 0 мы выберем позднее в зависимости от значения параметра С.
Если обозначить через є произвольное сколь угодно малое, но фиксированное число, то в силу того, что In г L, а параметр h может быть выбран сколь угодно малым, a \nr«.L s:\nr последнее неравенство можно будет переписать в виде
Здесь константа в знаке И.М. Виноградова С зависит от параметра О, который может выбираться сколь угодно малым, а параметры г и о удовлетворяют условиям ІП Г г, ,1 r r0 4r и— [ФМ = А(а) \-А(а)(\-а2) 2а2-1 3502 23 3887
Схема дальнейших рассуждений сводится к оценке тройной суммы в правой части неравенства (2.7). Обозначим через D( ) величину вида В(Г,)=1\ЧГ% 7 У\ где В{у)= X -Мг-п) к=г+\ Будем оценивать внутреннюю сумму В [У) по переменной к в выражении для D\YX) двумя разными способами в зависимости от значений, которые принимает разность У У{. В случае, когда выполняется неравенство мы будем пользоваться оценкой тригонометрической суммы по первой производной, заключенной в следующей лемме. у— у 1 Лемма 2.4. При выполнении неравенства - - имеет место оценка ktil Г- їх
Доказательство леммы 2.4. проводится в два этапа. Сначала тригонометрическая сумма заменяется на тригонометрический интеграл, а далее этот интеграл оценивается по первой производной от функции, стоящей под знаком экспоненты. Эти два приема содержатся в приводимых далее леммах 2.5. и 2.6.
Лемма 2.5. Пусть F{x)- действительная дифференцируемая функция, ее производная F\x) -монотонна и F (x) m 0 (или F (x) -m 0) на всем интервале (a,b), G(x) 0 - действительная убывающая функция, С(х) непрерывна и \G (x)\ монотонно убывает. Тогда JC(») = X \G{x)e1"{n"yv dx+ a n b a-ri v p+ri a +0{G(a)\n(f]-a+2)}+0{\G (a)\}. Доказательство [3, с. 79, лемма 4] G(x) F\x) Лемма 2.6. Пусть F{x) и G{x) - действительные функции, F (x) монотонна и — \ - т (или - т 0)- Тогда G[x) и \G(x)ex dx l. m Доказательство [3, с. 73, лемма 2].
Возвращаясь к доказательству леммы 2.4., мы заменим тригонометрическую сумму на интеграл, пользуясь леммой 2.5., получим x 2е1{У-П х J +i(r-n) і і 2 =J r+\ k=r+l dx + O f і Л I = ./+0 Ґ J_\ V J Так как остаточный член в лемме 2.5. имеет порядок H\og(j3-a+2), где Я«сг 2 и log( -«r+2) l. Далее к интегралу J в правой части последнего равенства применим лемму 2.6. При этом заметим, что "( ) = lnx — 2/г гг-7м_Л 7-ГіИ 2л" поскольку хє[г,г,]. Тем самым оценка леммы 2.6. приводит к неравенству Г-їх откуда и следует утверждение леммы 2.4. Лемма 2.4. полностью доказана. Вернемся теперь к рассмотрению суммы D{j\). Разобьем её по нулям /?є20 на две части Dl и D2. Для этого все нули рє&о разобьем на 2 множества (0\ и (02 относя к 0)1 те из них, для которых выполняется неравенство (2.8), а все остальные значения рє&о отнесем к 0)2. Применяя тогда к внутренней сумме в D, оценку леммы 2.4., получим неравенство 1 Аг r2 « r2L. v J Так как расстояние между соседними точками y=Rep, в силу условия д,«Х рєщ ( + r \ + і n ± ii r ре Щ CZQQ CzQ. снизу оценивается единицей. Таким образом, оценка вклада суммы ІА во ГЄ"о бщую оценку величины л лишь на логарифмический множитель отличается от оценки «диагонального» члена, отвечающего значению 7 7\ и имеющего порядок Теперь перейдем к оценке величины D2. В этом случае уе й)2, что означает выполнение неравенства
Вспомогательные утверждения
Здесь мы воспользовались также известной оценкой вида п уКJ С п /С . Кроме того, в качестве фиксированного значения У є Мт используем такое, при котором правая часть неравенства (2.12) принимает максимальное значение. В правой части неравенства (2.12) выделим члены, отвечающие значениям У, удовлетворяющих неравенству
Для вклада Vx этих членов в сумму (2.12) по индексу к применим оценку тригонометрической суммы по первой производной, содержащейся в лемме 2.3., тогда получим
Суммируя последнее неравенство по всем УЄ Mm и удовлетворяющих условию у- У\ 20 , получим оценку Vx V.«y"r"(3-4a)+e.
Далее займемся оценкой вклада V2 членов, отвечающих условию В этом случае сумму 5,( ) мы заменим на более короткую с помощью леммы 2.1. Получим Заметим, что коэффициент V , стоящий перед знаком суммирования в неравенстве (2.12), стремится к нулю при Г- . Поэтому из неравенства (2.12) вытекает оценка вида -0,5-/(7-/,) Обозначим через W внутреннюю сумму правой части неравенства (2.13).
Остановимся сначала на наиболее важном случае, когда величина 7 7\ имеет порядок Т0, величина у имеет порядок Т0г , а порядок величины г превосходит Г3. Будем также предполагать, что А(а) = — и что а —, так как 13 при ег — оценка теоремы вытекает из результата А. Ивича [4, с 290. 11.84]. Напомним, что значение параметра Т0 определялось равенством Напомним, что случай, когда отношение —-— или г % уже разобраны ранее, поэтому можно считать, что —т є Ег, ЕЪ = А{а) Л С точки зрения метода, наиболее принципиальное значение имеет случай, lnr _А(&) когда 7 —Z— и поэтому именно он будет рассмотрен нами первым.
Последняя оценка показывает, что этим случаем можно пренебречь при тех значениях а, для которых показатель степени параметра г в последнем неравенстве отрицателен.
Это условие равносильно выполнению неравенства -6(7+7(3-4(7) 0. Решая его относительно о, будем иметь —-6сг+21-28 7 0, 17 34с7 26-—, 17 (7 — —- = — = 0,7612457... — = 0,7616099... 17 289 289 323 Таким образом, на всем промежутке сгє 246 13 323 величина V2 имеет меньший порядок, чем N0, и поэтому ею можно пренебречь. Это означает, что в рассматриваемом случае теорема доказана. значение которой мы укажем позднее. Напомним также, что предполагается выполнение условия то есть причем х0 имеет тот же порядок, что и Т0.
Последнее равенство показывает, что при фиксированном т с возрастанием г величина Т0 возрастает. параметр f возрастает от значения г — Т и до то параметр 0 - г возрастает от значения фх до 1. Но тогда значение левой части последнего неравенства остается постоянным, в то время, как его правая часть возрастает. Другими словами, это неравенство не вносит никаких дополнительных ограничений на изменение параметра ф при ф ф0 и тє А. Рассмотрим теперь второе неравенство из системы (2.15) при и = 7. Подставляя в него указанные выше выражения параметра Т0 через Т и г, получим
Последнее неравенство должно выполняться при всех (7 сг0. Но так как в нашем случае А(сг) =—, то для этого достаточно потребовать выполнения следующего неравенства
Таким образом, в качестве множества Е4 можно выбрать промежуток вида Е4=[фх,ф2), Где, как и ранее, ,=- = = 0,73913043478..., а 1099 ф.= 1 = 0,74660326087... Y2 1472
Разрешая первое неравенство относительно параметра ф-—, получим (8(3-4сг)-8) +8(1- (сг)(1-ст))+16(1-сг) 2(1-сг) 4(і-Л( г)(1- г)) 23СГ-15 Следует сказать, что значение правой части последнего неравенства при 77 л 1099 а = 72=— в точности равно фг = TTZZ так как само значение аг на самом деле определялось как решение уравнения вида 3 1
Убедимся в том, что указанные выше значения 72 действительно являются его решением. Сокращая на числитель дробь в правой части этого уравнения, получим
Применение неравенства Халаша-Монтгомери
Настоящая диссертация посвящена оценкам количества нулей дзета-функции Римана (s) в критической полосе комплексной плоскости, лежащих правее критической прямой С тех пор, как в 1859 году Б. Риман в своем знаменитом мемуаре1 «О числе простых чисел, не превышающих данной величины » связал задачу исследования распределения простых чисел в натуральном ряде с проблемой расположения нулей дзета-функции Римана в критической полосе, изучение свойств дзета-функции Римана превратилось в центральное направление аналитической теории чисел.
Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел.
Важную роль среди этих направлений играют теоремы о плотности распределения нулей дзета-функции Римана в критической полосе. В течение последних десятилетий этой теме посвящено большое количество научных статей. Она неоднократно затрагивалась в научных монографиях и специальных учебниках, посвященных различным вопросам аналитической теории чисел.
Плотностные теоремы - общее название теорем, которые дают оценку сверху для числа N{a,T,x) нулей р = р+іу 1-функций Дирихле, где s = a+it, х{п,к)- характер Дирихле по модулю к, в прямоугольнике - ст /? 1, \}\ Т. В случае к=1 получается плотностная теорема для числа нулей N(cr,T) дзета-функции Римана ((s) = n s.
Первые существенные результаты в доказательстве плотностных теорем об оценке нулей дзета-функции Римана получены в начале XX века в работах Г. Бора и Э.Ландау [10], Ф.Карлсона [11]. В дальнейшем оценкой величины N(cr,T) занимались Дж. Литтлвуд [12] , А.Э. Ингам [1], [2], Е.К. Титчмарш [3], А. Сельберг [13], Ю.В. Линник, Э. Бомбьери [14] и другие математики.
В 1930 году Г. Гогейзель [9] установил связь плотностных теорем с проблемой оценки расстояния между соседними простыми числами, что еще больше повысило их значимость. В последние десятилетия вопросам, связанным с оценкой N(a,T), были посвящены работы М.Н. Хаксли [17], Г. Монтгомери [8], А. Ивича [4], М. Ютилы [19], Д.Р. Хиз-Брауна [20], А.А. Карацубы [6], К. Рамачандры [17] и других известных специалистов.
Изложение доказательств теорем об оценках величины N(a,T) содержится во многих известных монографиях и учебниках по аналитической теории чисел, включая книги Е.К. Титчмарша [3], К. Прахара [15], Э. Дэвенпорта [7], Г. Монтгомери [8], А.А. Карацубы [6], А.А. Карацубы и СМ. Воронина [5], А. Ивича [4] и др.
Современная постановка проблемы оценки плотности нулей дзета-функции Римана правее критической прямой, то есть оценка величины N(a,T), обычно формулируется как задача нахождения новых значений показателя А [а), для которого выполняется оценка
В 1937 году А.Э. Ингам получил оценку (1) с значением А(а)= А1 (с) = . Несколько позднее эту оценку он уточнил, заменив в ней величину Т на множитель L , где L = \nT и о 0 некоторая постоянная. Но новых степенных понижений в оценке (1), справедливой при всех сг 0,5, не было получено до настоящего времени. Наилучшее значение параметра с = 5 указано в монографии А. Ивича. Утверждение о том, что оценка (1) справедлива при всех сг 0,5 с значением А(а) = 2 называют плотностной гипотезой. Из неё следует, что для количества я(х+1г)-я(х) простых чисел на промежутке (x,x+h) при h » х +є h справедлива асимптотическая формула я(х+И)-я(х) , - . Если же lnx использовать значение А{р)-а 2, то указанная асимптотика будет 1-І/ +е выполняться лишь при h »е X /а . В 1972 году М.Н.Хаксли получил плотностное неравенство (1) с значением А{а) = А2{а) = , о0,5. Вместе с результатом Ингама для величины А{а) это дало значение А{а)=2,А = А1(0,15)= Л2(0,75). Тем самым асимптотическая формула для разности я{х-к) я{х) была доказана для значений h »г хп .
Заметим, что нахождение новых значений ОС - sup прежде всего crSO.S связано с получением новых оценок сверху для величины А(а) в окрестности т = 0,75. Но до настоящего времени это удалось сделать только в правой полуокрестности этой точки, то есть для значений а 0,75.
