Содержание к диссертации
введение з
ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СОБСТВЕННЫХ КЛАССОВ И ИХ СВОЙСТВА Ї.І. Копроективно и коинъективно порожденные
собственные классы ,17
1.2. Классы типа Иванова и Харта ....... 27
ГЛАВА II. ОПИСАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ОБЪЕКТОВ ДПЇЇ
НЕКОТОРЫХ ТИПОВ СОБСТВЕННЫХ КЛАССОВ 2.1. О наследовании свойств копроективности и коинъективно сти для некоторых собственных классов .... 40 2.2. Индуктивно замкнутые собственные классы
в категории абелевых групп 47
2.3. Л і %г -проективные ;: модули 56
ГЛАВА III, ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ КЛАССОВ . 62 3.1. Размерности индуктивно замкнутых собственных
классов в категории абелевых групп .... 62
3.2. Глобальная размерность классов Кепка ........ 71
3.3. Глобальная размерность классов Харта и Иванова ... 74
ЛИТЕРАТУРА 79
Введение к работе
Пусть ft - ассоциативное кольцо с единицей и Зі - класс коротких точных последовательностей /точных троек/
Е.: О >А С *Ь *С-—О левых R -модулей. Если В JFL
говорят, чтоб является^ -собственным мономорфизмом ИЛИ oL
является 31 -собственным эпиморфизмом.Длинная точная последова
тельность S- .. . *-Ал ——>hri+t *. . . называется
3L -собственной, если все тройки вида
О-—> К&% оСл » Д „; > 1т. <*л э- 0 принадлежат;. 31 .
Говорят, что подмодуль А модуля 6 является Зі -собственным /или просто собственным, когда ясно, о каком классе идет речь/,
если тройка 0- ?-Д ->В > Ь/А >0 принадлежит
классу Зі .
Класс 3L называется собственным, если выполнены следующие условия:
р— 1 /вместе с каждой тройкой в 3L содержатся все изоморфные ей точные тройки;
Р~2 / всякая расщепляющаяся точная тройка содержится в 31 ;
Р~Ъ / композиция j « і двух 3L -собственных мономорфизмов і-и ^ является 31 -собственным мономорфизмом;
Р-3'/ композиция j3e* двух $ -собственных эпиморфизмов <*. и & является М -собственным эпиморфизмом;
р-Ц /если і , у -мономорфизмы и j' I является Зі -собственным, то і является Зі -собственным мономорфизмом;
Р-У'/если ее f J?, - эпиморфизмы и ]Зв<* является 31 -собственным, то J3 также л -собственный эпиморфизм.
Расширения длины К модуля А с помощью модуля С , явля-щиеся іЯ -собственными точными последовательностями, приводят к определению аддитивных функторов
_ 4 -
Ex: (R-Mool)x(R-MocL)^M/cM.[2j, гл.ПІ, 4/, причем ЕхІ является подфунктором функтора Esct^ .
Из функториальности E^t ^ следует, что в условиях. Р-Ч и P'V требования мономорфности j и эпиморфности об лишние /см. [30] и [б] /.
Собственные классы нередко называются чистотой /см.[25], [з]и др./. Б такой терминологии вместо прилагательного" $L -собственный" используется "Л-чистый".
Модуль И называется JR. -проективным или проективным относительно класса , если тройка hi опт. (М, ) точна для любой тройки Е из Л . Модуль N называется 9i -икъективным или инъективным относительно класса & , если тройка Kcyvw (Е , N) точна для любой тройки Е из Si *
Существует два самых распространенных способа задания собственного класса.Первый способ заключается в следующем /см.[5]/. Пусть Т(М?>) - аддитивный ковариантный или контравариантный функтор, точный справа или слева, и зависящий от объекта М из некоторой категории. Если Ж - некоторый класс объектов этой категории, обозначим через І (Ж) гласе всех таких точных троек с. , что тройки точны для любого М из Ж . Оказывается, t'L (іМ) -всегда собственный класс.
Пусть Ж - некоторый класс левых Я -модулей. Если взять в качестве Т (М,' ) функтор Нот. (М,') , получим проективно порожденный собственный класс ЗС~1(Ж) . Взяв в качестве Т(М/) контравариантный функтор Ногп(*,М) ,получим кнъ-ективно. порожденный собственный класс ~4 ( JbtJ Другими словами, JT~* (Ж)/ U*(Ж) / является наибольшим собственным классом, для которого все модули из-^ являются относительно проективными /инъективными/. Пусть теперь - некоторый класс
правых R -модулей. Тогда, взяв в качестве Т(М,;) функтор
М 0 , получим плоско порожденный собственный класс т'
Второй способ задания собственного класса # заключается в задании такого подфунктора Exj функтора Eoct ^ , что Е.ос * (С, А) состоит из всех 31 -собственных расширений модуля А с помощью модуля С /для любых А ж С /. При этом оказывается, что собственные классы определяют не любые подфункторы /значения которых - подгруппы Ext R (С, А) /. Для того, чтобы под^унктор Ессл^ функтора Ехл, R t для которого
ЕэсХ-t (С, А) является подгруппой в Ex/R (С, А) для любых модулей С и А /всякий такой подфунктор называется кратко
Е -функтором/, задавал собственный класс, достаточно выполнение одного из условий Р~3 или Р~3/ /см, теорем ІЛ в [2б]/. Заметим, что проективно порожденный собственный класс
3t"L[J\L) также допускает задание с помощью подфунктора функтора ЕхЛ. д . Именно, как показывает теорема 1*2 в[5],
**-*-чл> к.А)=:(\ *** U ' Extvc,/\;—>ъ±\ (М л),
где пересечение берется по всевозможным гомоморфизмам
f іМ *С с областью определения М изі{ » Двойственным
образом,
где пересечение берется по всевозможным гомоморфизмам
^ * А >/^ с областью значений М из Ж .
Модуль Р называется копроективным для собственного класса
коинъективные
Зі /или, 31 -копроективным/, если Ех (PfA)'= ~ ExR (Р7 AJ . Модуль I называется коинъективным для класса $ /или, 31 -коинъективным/, если Eoct ^ (С,1) = = Ех^д (d? Г]. 3L -копроективнне и ^. -
модули в монографии [3] называются соответственно Зі -плоскими
и Зі -делимыми-'модулями.
Пусть 3> и 3 - шкот орне классы левых Я -модулей. Наименьший собственный класс к {3d) , для которого все модули из &* являются копроективными, называется копроективно порожденным собственным классом. Наименьший собственный класс к для которого все модули из 3 являются коинъективкыш, называ-ется коин&ективно порожденным собственным классом. Классы к (Зу ж к U) в специальных случаях были введены и изучались в[24], поэтому мы их будем называть также классами Кепка /определения Кепка могут быть сведены- к определениям, данным выше/. Наименьший собственный класс І (3>, У/ , для которого все модули из 3* являются копроективными, а все модули из J являются коинъектив-ными, будем называть классом типа Иванова /в специальных случаях такого типа классы исследовались b[8J/. Как замечено в[з], пере~ сечение любого семейства собственных классов является собственным классом, поэтому вышеуказанные определения корректны.
Собственный класс Зі называется индуктивно замкнутым, если прямой предел спектра, состоящего из 31 -собственных троек, является 3L -собственной тройкой. Интерес к индуктивно замкнутым классам объясняется тем, что они содержат класс Кона О , состоящий из всех точных троек Е таких, что тройка М Ф Е точна для любого правого модуля М .
Целью диссертации является изучение копроективно и коинъек-тивно порожденных, индуктивно замкнутых собственных классов* собственных классов типа Иванова и некоторых других, их связей между собой и их места среди типичных собственных классов, известных в литературе, исследование глобальных размерностей этих классов, а также изучение свойств производных объектов для таких собственных классов /копроективных, коинъективных и др. модулей/.
Перейдем к изложению результатов диссертации. Б 1,1 изучаются копроективно порожденные и коинъективно порожденные собственные классы. В работе [24] классы К (&) и к (У/ специфическим методом описаны в случае, когда классы {Р и У замкнуты относительно расширений, SP замкнут относительно подмодулей, a J замкнут относительно факторлодулек. Так как классы копроективных и коинъективных модулей для любого собственного класса замкнуты относительно расширений /см. предложения /1.9/ и /I.I4/ в [з]/, то первое условие вполне естественно. Однако даже^ собственные подмодули копроективных модулей не обязательно копроективны /см. предложение 9.6 в f5J,[38]/, так же как фактормодули кошъектив-ных модулей по собственным подмодулям не обязательно коинъективны /см. предложение S.7 в [5]/. Поэтому в диссертации требование замкнутости классов 3і и С/ по отношению к подмодулям и, соответственно, к факторлодулям обычно опускается /в соответствии с [з] это требование естественно накладывать на SP и U лишь в случае наследственного кольца ft /.
В диссертации дано следущее описание собственных классов fcCfPJ и к (У) с помощью подфунктора Eoct л :
Теорема I.I.5.. Пусть !Р -класс модулей, замкнутый относи
тельно расширений, и пусть класс троек Ж определен следующим
подфунктором ЕосЛ,^ функтора Eoct ^ :
где объединение берется по всем Р из 3* и всевозможным гомо
морфизмам -^ ; С *"Р . Тогда класс Ж является собственным
и совпадает с к ($*) .
Теорема I.I.6. Пусть -7 - класс модулей, замкнутый относительно расширений, и пусть класс троек % определен следующим подйунктором Eoot І функтора
Eoc^(C,A)=U Imig,: ЕэсХ* (СД> >Exi\(C7A)} ,-,
где объединение берется по всем I из J и всевозможным гомо**
морфизмам <к : I >п Тогда класс $ является собственным и
совпадает с к.
Эти теоремы указывают на определенную двойственность междзг проективно порожденными и копроективно порожденными, а также инъективно порожденными и коинъектжвно порожденными собственными классами.
В случае, когда классы &* и У замкнуты относительно расширений, fP замкнут относительно подмодулей и !7 замкнут отно^-сительно фактормодулей, эти теоремы были выведены из теоремы І.І b[24J СН.Фединым /см.[15]/.
Б 1.2 изучаются классы типа Иванова в случае наследственных колец и замыкания по Харту Зі произвольных собственных классов *Л в категории абелевых групп /изучавшиеся в литературе лишь для специальных классов і , см. [34], [22] /%
Б случае, когда кольцо Л наследственно, всякий I {S>> 0) -мономорфизм является композицией к О) -мономорфизма и R (3у) -мономорфизма /см. JI5J/. Используя этот факт мы доказываем следующее утверждение.
Предложение I.2.I. Пусть кольцо R наследственно, ЇР и J - классы модулей, замкнутые относительно расширений, Р замкнут относительно подмодулей, 0 замкнут относительно фактор-модулей и выполнены следующие условия; I/ если I с Р , І є У , Ре Р , то РІІЄ9. 2/ если X С I , Іє У , І/Х Є ЇР , то ХЄ 7 .
Тогда для любых модулей С и А имеем:
Это предложение будет существенно использовано в 3.3.
Пусть М - произвольный собственный класс точных троек абе-левых групп. Под классом Харта ПК понимается класс всех таких троек Е , что аЕ$ для некоторого целого гьФ О .В частности взяв в качестве Л класс д0 всех расщепляющихся троек, получим класс Зо = Теэсл. квазирасщепляющихся троек /см.[34]/. Напомним, что Те^сі (С, А) - периодическая часть группы Ext(С,А) .Взяв в качестве классы 2> ж 5 соответственно периодически расщепляющихся и сервантно точных троек, получим классы Ю и О квази-периодически расщепляющихся и квази-сер-вантно точных троек /см.[22]/ /точная тройка называется периодически расщепляющейся, если всякая периодическая группа относительно нее проективна/.
Теорема 1.2.2. Для любого собственного класса в катего-рии абелевых групп Ж - собственный класс.
Отсюда получаются теоремы 2/л/ и /І/ из [22], где это утверждение доказывается лишь для классов 2- и j .
Теоремы 3 и 4 из [22] показывают, что у классов Ъ и 5 нетривиальных относительно проективных и относительно икъективных групп нет. Оказывается, это не случайно. Имеет место следующий общий факт.
Следствие 1.2.6. Для любого собственного класса Зі класс аь -инъектившх групп совпадает с классом делимых групп и если W не является проективной для Эь , то -Я. -проективные груп-пы совпадают со свободными, В противном случае, Зі -проективные группы - это в точности группы вида F Ф А , где F - свободная группа и А - делимая группа без кручения»
Доказано, что если Jft является классом типа Иванова, то Л тоже является классом типа Иванова. Именно, справедлива
- 10 -Теорема 1.2.3. Для произвольных классов Р и СІ абелевых
груші
