Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор методов прогноза биржевых котировок и оценки риска инвестора 10
1.1. Методы фундаментального и технического анализа 10
1.2. Методы авторегрессионного анализа 17
1.3. Метод оценки риска Value-at-Risk, теория оптимального портфеля и сценарные подходы к управлению риском 30
2. Задачи классификации и восстановления регрессии в условиях выборки ограниченного объема . 37
2.1. Постановка задач 37
2.2. Минимизация среднего риска 42
2.3. Минимизация эмпирического риска 46
2.4. Метод структурной минимизации риска 51
2.5. Алгоритмы задания структуры на параметрическом множестве функций 55
2.6. Общие замечания к задачам восстановления зависимостей 60
3. Методы и алгоритмы построения торговых стратегий на рынке forex 64
3.1. Искусственные нейронные сети 64
3.2. Методы повышения качества нейросетевого прогноза рынка валют 78
3.3. Риск и доходность стратегии торговли 91
3.4. Критерий оптимального роста капитала в условиях рынка Forex 93
3.5. Многомерный регрессионный метод прогноза котировок валют 96
3.6. Программные средства прогнозирования тенденций на рынке валют. 101
3.7. Построение торговой системы с известным риском и доходностью
на примере валютной пары EUR/USD 107
Заключение 119
Список литературы
- Методы авторегрессионного анализа
- Метод оценки риска Value-at-Risk, теория оптимального портфеля и сценарные подходы к управлению риском
- Минимизация эмпирического риска
- Критерий оптимального роста капитала в условиях рынка Forex
Введение к работе
Актуальность темы
В течение последних десятилетий теория и практика финансов во все большей степени опирается на математические методы. Это привело к более интенсивному использованию математического аппарата при изучении поведения финансовых рынков.
Едва ли не главнейшей задачей исследования различных процессов в финансовой сфере является прогнозирование. Разнообразные коммерческие данные поступают зачастую в форме временных рядов, значения которых подчиняются некоторым закономерностям. Целью выявления этих закономерностей служит построение моделей временных рядов, позволяющих предсказывать их будущие значения. Глубокое понимание явлений, протекающих в реальной экономике на финансовых рынках, а, значит, и умение предугадать пути развития имеющейся ситуации, невозможно без наличия простых и понятных инструментов описания и анализа финансовой информации.
Проблема анализа временных рядов, моделируемых случайными процессами, начала исследоваться давно. Фундаментальные основы строгой теории случайных процессов были заложены еще А. Н. Колмогоровым. Во многом благодаря работам известных русских ученых были детально изучены свойства стационарных процессов с дискретным и непрерывным временем и их прогноз. Систематическое изложение результатов, методов и приложений общей теории случайных процессов содержится в монографии И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [1]. В дальнейшем углубленной проработке подвергались нестационарные процессы, как лучшим образом описывающие действительные явления. Была предложена модель временных рядов со стационарными разностями (модель ARIMA), подробно описанная Дж. Боксом и Г. Дженкинсом [2]. Нестабильность рынков в 70-е и 80-е годы потребовала моделей, адекватно отражающих резкие колебания экономических показателей.
Появился новый класс моделей временных рядов, учитывающих изменения дисперсии и, тем самым, предугадывающих возможные сильные изменения значений временного ряда. Введенный тип моделей впервые был описан Энглом [3] и получил название моделей авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH). В последующих работах этого же и других авторов (см., например, [4], [5], [6]) семейство ARCH было тщательно изучено, при различных допущениях строились и рассматривались самые разнообразные модели.
В последнее время появилось несколько новых подходов идентификации моделей сложных систем: подход В.Н. Вапника основанный на методе структурной минимизации риска (В.Н. Вапник, 1979, 1984); методика идентификации на основе непараметрических коллективов решающих правил, предлагаемая в работах А.Г. Ивахненко (1971) и В.А. Лапко (2002); подход к оцениванию на основе рандомизированных алгоритмов (Б.Т. Поляк и О.Н. Граничин, 2003). Похожая методика на основе адаптивных алгоритмов случайного поиска использовалась в начале восьмидесятых в работах Л.А. Растригина (1981). Кроме того, весьма популярны методы, основанные на искусственных нейронных сетях. По этой теме имеется многочисленные работы, охватывающие различные области применения.
Тем не менее, задача построения алгоритмов идентификации моделей финансовых рынков в условиях значительной априорной неопределенности остается актуальной. В данном случае проблема заключается в том, что приходится выполнять оценивание параметров по малому числу наблюдений. При малом числе наблюдений основное условие предельных теорем теории вероятностей (существование большого числа случайных явлений) не выполняется. Поэтому основанная на них теория статистического оценивания и рассматриваемые в рамках этой теории методы построения оценок оказываются недостаточно обоснованными. При малом числе наблюдений, даже если вероятностные характеристики ошибок известны, построенные на их основе статистические выводы будут ненадежны.
Развиваемые в данной работе методы и алгоритмы опираются на идеи В.Н. Вапника поиска правила, близкого к наилучшему в классе для заданного объема выборки с оценкой качества правила на генеральной совокупности с заданной надежностью.
В настоящей работе рассматривается межбанковский валютный рынок Forex. Такой выбор обусловлен несколькими причинами. С развитием информационных технологий упрощается и ускоряется доступ к различным электронным торговым площадкам. Развивается рынок услуг для частных инвесторов. Так, на сегодняшний день только на территории России существуют десятки брокерских контор, предоставляющих доступ на валютный рынок Forex. Условия работы, предлагаемые этими брокерами приемлемы для широкого круга инвесторов. Они сочетают достаточно небольшой начальный капитал, низкие комиссионные издержки (узкий спрэд), возможность торговли неполными лотами и потенциально высокий уровень ожидаемого дохода. На серверах Internet-брокеров для начинающих трейдеров предлагается круг статей, посвященных техническому и фундаментальному анализу, а также стратегиям торговли. Однако применимость таких стратегий и анализа остается под вопросом.
Сегодня невозможно представить профессионального участника финансового рынка, который не использовал бы прогнозирование в том или ином виде. Однако качество прогноза существующих методов в прикладных задачах требует дальнейшего повышения. Недостаточное качество прогнозов связано в первую очередь с глобализацией финансовых рынков, увеличением волатильности валют, процентных ставок, курсов ценных бумаг и цен на сырье. В целом финансовые рынки стали более нестабильными, сложными в анализе и дерегулированными. Это особенно влияет на транснациональные корпорации, имеющие филиалы в разных странах, и, соответственно, активы и обязательства в различных валютах, что может привести к общим убыткам, несмотря на эффективность своей деятельности в конкретной валюте. Даже несмотря на наличие большого количества готовых нейросетевых пакетов для предсказания
курса, их жесткие структурные ограничения не позволяют получить достоверные прогнозы в быстро меняющейся обстановке сегодняшнего рынка. С другой стороны, применяемые инвестиционные стратегии, а также популярные подходы риск - менеджмента не позволяет с точки зрения теории вероятностей дать приемлемую оценку риску и ожидаемой прибыли при т.н. "активной" стратегии торговли.
Таким образом, является актуальной разработка эффективных стратегий торговли, которые могут применяться, в частности, на межбанковском валютном рынке Forex, который считается одним из самых плохо прогнозируемым финансовым рынком.
Цель работы и задачи исследования
Целью настоящей диссертационной работы является разработка новых методов построения стратегий торговли на валютном рынке Forex и оценки ожидаемой прибыли и риска для найденных стратегий с заданным уровнем надежности, опирающихся на предсказание будущего состояния нестационарного временного ряда с помощью нелинейного регрессионного аппарата.
В рамках диссертационной работы решаются следующие задачи.
1. Разработка и исследование линейных и нелинейных моделей
прогнозирования эконометрических рядов.
Разработка и исследование алгоритмов прогнозирования котировок валют на основе нелинейных регрессионных методов.
Разработка и исследование подходов к определению и оценки риска и доходности стратегий торговли.
Исследование методов и алгоритмов поиска решающего правила с оценкой качества найденного решения.
Разработка и исследование алгоритмов оптимизации реинвестируемой части рискового капитала, нахождения параметров защитных ордеров для максимизации прибыли на заданном периоде торговли.
6. Применение разработанных методов в торговле на рынке Forex.
Объект исследования
Объектом исследования является межбанковский рынок Forex.
Предмет исследования
Предметом исследования являются методы разработки и оценки стратегий торговли на валютном рынке Forex..
Методы исследования
Результаты проведенных и представленных в диссертации исследований получены с использованием теории вероятностей и математической статистики, теории нейронных сетей, методов восстановления функциональных зависимостей и методов мат. моделирования.
Научная новизна
Научную новизну работы составляют:
Предложенный алгоритм прогноза биржевых котировок на основе многомерного нелинейного регрессионного метода, для которого слоистые нейронные сети являются частным случаем.
Полученные эффективные методы прогнозирования рынка валют с помощью многослойных нейронных сетей, обеспечивающие решение задачи повышения доходности валютных операций.
Созданный подход к определению риска и доходности стратегий торговли, позволяющий наиболее верно отразить практические потребности инвестора при оценке своей деятельности.
Комплексный метод разработки стратегий торговли на межбанковском валютном, рынке Forex с оценкой доходности и риска, основанный на указанных выше подходах.
Практическая ценность работы
Практическая значимость работы состоит в разработке формальной методики, обеспечивающей возможность ее использования широким кругом организаций. Подход, предложенный в работе, может быть применен не только на рынке Forex, но, после некоторой адаптации, и к любому финансовому рынку, что делает материал ценным с точки зрения практического применения в качестве составной части комплекса поддержки принятия решений любого инвестиционного учреждения.
Созданные в рамках диссертационной работы программные средства могут быть использованы для автоматизации деятельности организаций, сталкивающихся с необходимостью учета неформализуемых зависимостей при прогнозировании нестационарных временных рядов.
Структура диссертации
Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Дальнейшее изложение организовано следующим образом.
Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, определены цели, задачи, объект и предмет исследования, показана научная новизна и практическая значимость работы.
В Главе 1 произведен обзор методов прогноза биржевых котировок и оценки риска. Рассмотрены основы технического и фундаментального анализа, классические методы авторегрессионного анализа - ARIMA и GARCH, методы оценки риска Value-at-Risk, теория оптимального портфеля и сценарные подходы к управлению риска. Произведен критический пересмотр указанных методов и выявлены недостатки, предполагающие дальнейшее совершенствование подходов.
Методы авторегрессионного анализа
Ковариационной функцией последовательности случайных величин ,. (/ = 0,±1,±2,...) называется величина Под корреляционной функцией будем понимать величину Прогноз стационарных случайных процессов
Одна из важных задач теории случайных процессов, имеющая многочисленные практические применения, заключается в следующем: требуется наилучшим образом оценить значение случайной величины у, наблюдая некоторое множество случайных величин { а а є А}. Таким образом, нужно найти функцию f(,a\aeA) от множества переменных а, с наименьшей ошибкой, удовлетворяющей приближенному равенству
у у = Д$а\аєА). (1.1)
Примером такой задачи является прогноз (экстраполяция) случайного процесса. В этом случае требуется оценить значение случайного процесса в момент времени t по его значениям на некотором множестве моментов времени, предшествовавших t. Величина b = JM(y-f(UaeA))2 (1.2) называется средней квадратической погрешностью приближенной формулы (1.1). Задача состоит в определении функции / такой, что (1.2) принимает минимальное значение. В случае, когда А — конечное множество, под /(а а е А) понимается измеримая борелевская функция аргументов %а. Если же А бесконечно, то этот символ обозначает случайную величину, измеримую относительно а-алгебры 3 = о( а,аєЛ), порожденной множеством случайных величин { а а є А}.
Для нахождения функции / такой, что (1.2) минимально, потребуется использовать понятие условного математического ожидания ([1], [2], [13]). Предположим, что величины у и /( а)обладают моментами второго порядка. Пусть (0,Г,Р) —вероятностное пространство.
Определение 1.2. [1] Условным математическим ожиданием случайной величины у относительно а-алгебры В называется случайная величина М(у\В), измеримая относительно В и удовлетворяющая при произвольном СєВ равенству \ydP = \M(y\B)dP, с с где интеграл понимается как интеграл Лебега по мере Р.
Исходя из определения условного математического ожидания, можно дать определение условной вероятности: условной вероятностью события А относительно о-алгебры В называется величина Р(А\В) = М(%А((о)\В), где %А(( )— индикатор события А, то есть случайная величина, равная 1, если со є А, и 0 в противном случае. Если В - а-алгебра 3 , порожденная некоей случайной величиной , то условным математическим ожиданием М(у) случайной величины у, относительно случайной величины Z, называется случайная величина М(у 3 ). Имеет место следующее, весьма общее утверждение о прогнозе:
Теорема 1.1. [1] Прогнозом с минимальной средней квадратической ошибкой случайного процесса yt, имеющего конечный второй момент, в момент времени t t является M(yt \3t) - условное математическое ожидание величины уґ относительно а-алгебры 3,, порожденной множеством предшествующих значений процесса.
К сожалению, практическое применение этой теоремы для получения эффективных формул прогноза зачастую оказывается весьма трудным. Однако, нередко можно ограничиться более простой задачей отыскания оптимального прогноза не в классе всех измеримых функций от прошлых значений процесса, а в классе только линейных функций. Через Ну обозначим замкнутую линейную оболочку в A2(Q,r,P) (гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом), порожденную всеми величинами уп, (n t). Наилучшим линейным прогнозом у процесса yt в момент времени / t является тот элемент из НУі, для которого b = M\yt.-y\2 M\yt,-y \\ Уу еНуГ Оказывается, для гауссовских yt наилучшая среднеквадратическая линейная оценка совпадает наилучшей среднеквадратической оценкой в классе всех измеримых функций от прошлых значений процесса (см. например [1]). Этот замечательный факт будет важен в дальнейшем.
Ниже будут рассмотрены общие теоремы о прогнозе стационарных последовательностей с использованием их спектральных свойств в соответствии с материалом, изложенным в [1]. По-прежнему под стационарным процессом будет пониматься процесс, стационарный в широком смысле с математическим ожиданием, равным 0.
Метод оценки риска Value-at-Risk, теория оптимального портфеля и сценарные подходы к управлению риском
Анализ развития методов измерения и управления финансовыми рисками, применяемых ведущими мировыми корпорациями, показывает, что с начала 90-х гг. произошло повсеместное внедрение в практику статистических моделей оценки потерь от рыночного риска VaR (Value-At-Risk - стоимость риска) [22] и моделей стресс-тестирования для оценки чувствительности к экстремальным событиям на финансовых рынках. Рыночными называют риски, в результате реализации которых цены финансовых инструментов изменяются в неблагоприятную для участника торгов сторону. Так, например, для длинной позиции по базовому финансовому инструменту (такому, как акции, облигации, валюта или товар) рисками являются события, приводящие к падению рыночных цен этого инструмента, для короткой позиции - рост цен.
Методология VaR позволила унифицировать понятия, установить стандартизованный механизм подготовки и принятия решений по управлению риском на ежедневной основе. Финальной точкой в развитии математического моделирования как основного инструмента риск-менеджмента стало его признание международными регулирующими органами в качестве стандарта де-факто при расчете требований на размер резервов под рисковые потери. В 1996 соответствующие рекомендации были впервые выпущены Базельским Комитетом BIS (Bank for International Settlements) [23]. В 2003 г. BIS предложил новые, существенно расширенные именно в направлении математического моделирования рекомендации по внедрению в практику количественных методов оценки рыночных, кредитных, операционных рисков [24]. На сегодняшний день обязательными к публикации являются десятки отчетных форм VaR для финансовых корпораций. Многие крупнейшие корпорации самостоятельно раскрывают для инвесторов дополнительную информацию, характеризующую риски, принимаемые корпорацией, и качество постановки риск-менеджмента.
Одним из перспективных подходов к управлению рисками является стресс-тестирование. Стресс-тестирование - дополнительное к статистическим подходам направление в риск-менеджменте, предполагающее оценку событий, резко влияющих на котировки актива. Стресс-тестирование использует сценарии возникновения рыночных кризисов для оценки чувствительности портфеля финансовых инструментов, и размера потенциальных потерь от реализации риска. Здесь основополагающую роль играют экспертные оценки. Рыночные аналитики в своих исследованиях неявно формулируют логические сценарные модели, описывающие движение рынка под действием цепочек событий. В силу того, что оценки, данные некоторым экспертом, носят субъективный характер, следует с осторожностью относиться к такому подходу, но, тем не менее, можно рекомендовать наличие сценария развития кризисных ситуаций и алгоритма действий в случае их наступления.
Итак, с появлением концепции Value-At-Risk [22, 25], риск начали определять через вероятность потерь. Соответственно, измерение риска было сведено к измерению размера потенциальных потерь
Следуя концепции Value-At-Risk можно ввести распределение стоимости риска по множеству исходов и соответствующую, удобную для конкретной практической задачи, меру рисковой стоимости. В современных подходах к управлению рыночным риском, начиная с разработки инвестиционным банком J.P.Morgan в начале 1990-х гг. методологии Value-At-Risk [26], понятие риска отождествляется с понятием размера потенциальных потерь рыночной стоимости открытой позиции по финансовому инструменту в случае движения его котировки в направлении, противоположном направлению открытой позиции.
Например (см. Рис. 1), если случайной величине доходности х актива (в денежных единицах) соответствует плотность вероятности р(х), то можно определить стоимость риска с достоверностью 1-а (Value-At-Risk уровня а) У как квантиль уровня а: Vara = {у jp(x)dx = а}. -00
Подходы типа Value-At-Risk дают на выходе оценку на день вперед потенциального снижения стоимости рыночной позиции, которое не будет превышено, например в 95% случаев. Расчет VaR портфеля акций может показать, что на горизонте "на завтра" рыночная стоимость портфеля не упадет ниже 80% от текущей с достоверностью 95%, т.е. нереализованные убытки по портфелю в 95% случаев завтра не превысят 20%) от стоимости на момент покупки.
Минимизация эмпирического риска
Итак, следуя методу минимизации эмпирического риска, будем минимизировать средний риск 1(a) = \{у - F(x, а))2 Р(х, y)dxdy (2.12) по эмпирическим данным xl,yl;...;xl,yl (2.13) путем минимизации функционала Ш іІіУі-РМ)2, (2.14) / ы построенного по случайной независимой выборке (2.13). При этом точку минимума а, (2.14) примем за точку минимума а0 исходного функционала (2.12). Главная проблема заключается в установлении условий на доставлении а, значения, близкого к минимуму (2.12).
Для получения дальнейших оценок необходимо знать априорную информацию об абсолютной оценке величины возможных потерь xa6c supO -F(x,a))2, a или об оценке относительной величины дисперсии потерь xL -SupM - f2-l. a(M(y-F(x,a)2)2
Пусть заданы множество индикаторных функций S = {F(x,d}} и выборка х] ,...х1. Всего существует 21 способов разбиения этой выборки на два класса. Будем рассматривать только способы, реализуемые с помощью правил из S и обозначим их количество через D(S,xl,..«xl).
Определение 2.1. [27] Функцией роста множества индикаторных функций S = {F(x,d}} называется следующая функция m(S,l) = maxD(S,xl,...xl). xh...xt Функция роста есть максимальное число способов разделения / точек на два класса с помощью индикаторных функций {F(x,a)}. Для нее выполняется следующая теорема (см. [27], [28]): Теорема 2.3. Пусть h - максимальное значение / при котором справедливо равенство m(S, І) = 2і. Тогда функция роста ограничена сверху: m(S,l) \,51- (l h).. h\ Определение 2.2. [27] Множество индикаторных функций S = {F(x,a)} имеет емкость h, если справедливо неравенство lh m(S,l) \,5- (l h). h\ Если же при любом / выполняется m(S,l) = 2l, то будем говорить, что емкость множества S бесконечна. Нетрудно оценить емкость важного класса линейных по параметру индикаторных функций (п Л {l,z 0; F(x,a) = 0 Xai Pi(x) » гДе 0(z) = Іл n V/=i J U,z U. Легко устанавливается, что это число равно п.
Для обобщения понятия емкость на множество функций произвольной природы {F(x,a)} поставим ему в соответствие параметрическое множество индикаторных функций Ф(х,у;а,$) = ((у - F(x,a))2 + (3) (Р - действительное число). Определение 2.3. [27] Функцией роста множества {F(x,a)} назовем функцию роста множества Ф(х,у;а,$), а емкостью множества функций {F(x,d}} -емкость множества Ф(х,;;;а,р). Заметим, что емкость множества линейных по параметрам функций п F(x,a) = YJai(pi(x) + a0 равна п+1. Основные теоремы
Здесь мы приведем основные теоремы для равномерной оценки величины среднего риска по величине эмпирического риска для класса функций ограниченной емкости.
Теорема 2.4. [27] Пусть функция роста множества индикаторных функций S = {F(x,a}} равна m(S,l). Тогда с вероятностью 1 -т одновременно для всего множества S выполняются оценки
Критерий оптимального роста капитала в условиях рынка Forex
В данном параграфе предлагается многомерный регрессионный метод прогноза биржевых котировок. В [48] получены практические подтверждения преимущества предлагаемого метода по сравнению с нейросетевым прогнозом. Несмотря на способность нейронных сетей аппроксимировать произвольную непрерывную функцию качество прогноза в прикладных задачах требует дальнейшего повышения. По всей видимости, это связано с изначальной избыточностью сети и выбором активационных функций. Предлагаемый метод показывает лучшие результаты.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу минимизации среднего риска по эмпирическим данным. Требуется минимизировать функционал I(a)=\Q{z,a)P(z)dz в условиях, когда не известна плотность P{z), но задана функция потерь Q{z,a) (а -принадлежащий некоторому множеству А параметр, конкретное значение которого определяет конкретную функцию потерь Q(z,aj) и случайная независимая выборкаz/,...,z/ объема /. Рассмотрим частную постановку задачи, когда вектор z состоит из п координат xi,...,xn, образующих вектор х (регрессионную переменную), и т координатну,..., (отклик), т.е. z=(x]t...,xm У і, —,Ут), а функция потерь задана в следующем виде Г (У\-/\(х,а))2 Л №, ) = v2 уО7 -/ ( , )) j Предлагается решать задачу восстановления регрессии в классе функций /R"- Rm вида к z 1=1 Дх) = 0(А+І4ВД) .СГі) а, а п ґ а і» ,Д = » 0 где Q(z) = а я„ У- J т\ кУт\Хт)у Ч( і)Л 1, 7)(х) = XJ , t((Xj)- полином Чебышева /-й степени от у -й координаты вектора х.
Здесь функции Qy(Xy) могут иметь различный вид, зависящий от прикладной задачи: произвольная нелинейная функция, кусочно-постоянная, просто Qj(%j) = Xj и произвольные суперпозиции этих функций. В случае, когда j(%j) = %j функция f(x) линейна по параметрам Д., и их оценки Д можно найти методом наименьших квадратов. В нелинейных случаях Д. можно искать различными алгоритмами, минимизирующими сумму квадратов невязок на материале обучения:
Представляется интересным случай, когда 7(%;) - какая-либо «сигмовидная» функция, например QJ(%J) = th(%;). Как отмечалось выше, эта нелинейная -образная функция часто используется в качестве математической модели активации биологического нейрона и придает f(x) дополнительную нелинейность и некоторую "нейроподобность", что позволяет надеяться на получение высокого качества прогноза.
Покажем, как с помощью данного метода реализуется нейронная сеть с 2 скрытыми слоями по 5 нейронов в каждом, с числом входов и выходов 5 и 3 соответственно (Рис. 12). Введем функцию к F(k, n,m,x)=A0+Y, АТІ ( )» (=1 где А = а, д- = а п ( J а \п , Т,(х) = ґФі)Л , п - размерность уту \ т\ а„ \h(xn)j входного вектора, am- выходного. Для нашего случая нейронная сеть запишется в следующем виде 0,(z) = где у = 03(F3(1,5,3,F2(1,5,5,02(F2(1,5,5,01(FI(1,6,5,JC))))))), , р - размерность вектора z, х и у - вход и выход нейронной сети.
Таким образом, спектр решаемых посредством предложенного метода задач такой же широкий, как и для нейронных сетей. В тоже время за счет выбора полиномов Чебышева в качестве нелинейных функций в прикладных задачах значительно сокращается емкость класса функций по сравнению с нейросетевым подходом. Поэтому, как показано во второй главе настоящей работы, с теоретической точки зрения предложенный метод может превосходить нейронные сети по прогностическим свойствам.
Похожие диссертации на Математические методы разработки и оценки стратегий торговли на межбанковском валютном рынке Forex
