Содержание к диссертации
Введение 5
1 Численные методы 35
1.1 Численные методы решения
автомодельных задач 35
Постановка радначыго-симметричпой задачи 36
Непрерывный аналог метода Ньютона 38
Дискретизация по МКЭ.
Симметричный метод Галеркина 40
1.L4 Реализация итерационного процесса 43
Выбор начальных приближений 44
Численное исследование сходимости и точности метода . . . 46
МКЭ. Несимметричный метод Галеркина 52
1.2 Численные методы решения параболических задач 57
Постановка радиально-симметричной задачи 59
МКЭ. Симметричный метод Галеркина 60
МКЭ-Несимметричный метод Галеркина 62
Решение системы ОДУ 63
Адаптация сетки 64
Численное исследование сходимости и точности метода ... 68
2 Исследование автомодельных решений и их структурной устойчи
вости в радиально-симметричном случае 75
2.1 Исследование "линейных приближений"
при /3-w+l+O 76
2.2 Исследование собственных функций
при /3 -+ а + 1 + 0 78
Предельный случай iV=l, /З-хт+1+0 79
Предельные случаи N=2,3, -»<7+1+0 81
Предельный случай а—>0> /?=<7+1 87
2.3 Исследовштие с.ф. L5-режима за критическими экспонентами . . . 90
2.3.1 Структурная устойчивость неограниченных
автомодельных решений при /3 > Pf 91
2.3.2 Существование с.ф. при /3 > fjs 93
2Л Исследование структурной устойчивости а.р.
двухкомпонентной среды 97
Метод решения автомодельной задачи 98
Метод решения параболической задачи 102
2.4-3 Исследование структурной устойчивости автомодельных ре
шений 103
Численное исследование неограниченных решений полулинейных
уравнений 111
3.1 Уравнение с источником Q(ti) = (l + ii)ln*(l + u) 112
3.1.1 Качественные методы построения ПАР 113
3-1.2 Метод численного решения 116
3.1.3 Численное исследование асимптотического поведения
неограниченных решений 119
Уравнение с источником Q(u) — и^ 124
Уравнение с источником Q(u) = ехр{и)
(модель воспламенения твердого горючего) 130
Численное исследование направленного распространения тепла и
спиральных волн в среде 133
4.1 Анизотропная среда. Направленное
распространение тепла и горения 133
Численное решение автомодельной задачи 134
Численное решение параболической задачи 141
Численное исследование эволюции возмущений
в анизотропной среде 143
4.2 Изотропная среда 148
Радиально-несимметричные с.ф. в LS— режиме 148
Радиалыю-несимметричные с.ф. в HS- режиме 160
4.2.3 Линеаризация автомодельного уравнения 161
Эволюция "линейных приближений" 170
Численная реализация собственных функций 176
4н2.б Численный метод решения параболической задачи ..,.'.- 179
4.2.7 Численное исследование асимптотического поведения
радиально несимметричных волн в HS— режиме 183
Основные результаты 191
Публикации по теме диссертации 195
Список цитируемой литературы 198
Введение к работе
L 1. Новые тенденции в современной науке наиболее ярко проявляются в синергетике - междисциплинарном направлении исследований, возникшем в начале 70-х годов и интенсивно развивающемся до сих пор [113], [61], [42], [38], [77], (43]^ [76]. Одна из главных задач синергетики - это выявление общих принципов, лежащих з основе процессов самоорганизации в системах самой разной природы: физических, технических, биологических, социальных. При всем различии таких систем, все они характеризуются несколькими общими признаками- среди которых определяющими являются открытость, диссипативность и нелинейность [42].
Открытость системы означает наличие в ней обмена веществом и энергией с окружающей средой. При этом процессы обмена происходят не только через границы системы, а в каждой ее точке, т,е.т через объемные источники и стоки.
Диссипативность системы означает наличие в ней рассеивающего, размывающего неоднородности фактора (теплопроводность, диффузия, дисперсия, гидродинамика и т.д.).
Нелинейность системы выражается нелинейной зависимостью диссипиру-ющего фактора от состояния среды (коэффициенты теплопроводности, проводимости, вязкости зависят нелинейным образом от температуры, магнитного поля, плотности). В такой среде действие нелинейных объемных источников и стоков создает и может усиливать ее неоднородность. Взаимодействие этих двух нелинейных факторов (с одной стороны сглаживание неоднородностей благодаря диссипации , а с другой - их усиление объемными истопниками и стоками) может при определенных условиях приводить к локализации процессов на определенных
участках среды - т.е,т к возникновению структур, к возникновению самоорганизации. Чтобы отразить влияние диссипации на формирование структур, Пригожий ввёл понятие диссипативной структуры [20], При этом действие стоков приводит к возникновению стационарных диссипативных структур (стоячие волны, ячейки Бенара)т а действие источников - к нестационарным, эволюирутпщим диссипативным структурам (тепловые структуры, в частности Т-слой [75], [68], бегущие и спиральные волны, вихри).
Благодаря нелинейности в одной и той же среде без изменения её параметров могут возникать разные структуры. Но не структуры произвольные, а свойственные только этой среде. Одна из важнейших задач синергетики - определение спектра структур, которые могут возникать и самоподцерживаться в открытых нелинейных системах.
Начало исследований процессов самоорганизации в открытых нелинейных системах связывают с работой А. Тьюринга [134], посвященной одной модели морфогенеза. Это система типа реакция-диффузия, с линейной диффузией и с нелинейными источниками, зависящими от параметра Л. Численным экспериментом исследовалось поведение системы при начальных данных, близких к пространственно однородному решению системы (так называемой 1Гтермодинамической ветви"). Оказалось, есть такое критическое значение параметра А — Aq т что когда А < А0, решение стремится к пространственно однородному. При А = Ао у системы появляются два новых стационарных решения. При А > Ао возмущения нарастают, в среде возникает стационарная структура - неоднородное по пространству стационарное распределение. При этом возможен выход на одну из двух стационарных структур в зависимости от флуктуации в начальных данных. Численные эксперименты показали, что с целого класса начальных данных происходит выход на одну и ту же стационарную структуру - т.е. происходит забывание деталей начальных данных, типичное для открытых диссипативных систем- Это явление получило название "неустойчивости Тьюринга".
Оказалось, что неустойчивость Тьюринга характерна для большого класса нелинейных моделей физики, химии, биологии. Принципиальная роль флуктуации
в нелинейных системах* которые усиливаются и могут приводить к возникновению структур, к возникновению макроскопического порядка, отмечалось в книге Нико-лиса и Пригожина [61]. Путь развития таких систем может быть неединственным и, зная тонку Ао (точку бифуркации), можно воздействовать на их эволюцию, можно управлять ими.
Работа Тьюринга - это пример того, как численный эксперимент, поставленный на содержательной модели, привел к открытию, которое инициировало исследования по усложнению организации r открытых нелинейных диссипативных средах, приводя к созданию теории самоорганизации. Число работ и книг в этой области непрерывно увеличивается. Отметим Шпрингеровскую серию по синергетике, где, начиная с 1979 г., вышло около 100 книг под редакцией Г. Хакена,
2. Важный класс диссипативных структур образуют сильно нестационарные структуры [36|, Они возникают в результате сверхбыстрых процессов в нелинейных открытых системах с объемными источниками (так называемые системы с положительной нелинейной обратной связью). Характерные величины в таких процессах ( такие как температура, концентрация, энергия ) возрастают на несколько порядков за конечное время. Это время принято называть временем обострения, а сам процесс - режимом с обострением (blow-up).
Проблема режимов с обострением поставлена в 1940-х и 50-х годах в связи с теорией цепных реакций Семенова и с теорией горения (Зельдович, Баренблатт, Либрович). Их интенсивное изучение в 70-х годах началось благодаря предложенному на основе численных экспериментов [129) процессу сверхсжатия центральных частей капли из дейтерия и трития путем ее облучения профилированным во времени лазерным импульсом. Режимы с обострением рассматриваются в области физики плазмы [45], [35], [124], [136], [137], лазерного термоядерного синтеза [8], магнитной гидродинамики [75], астрофизики [90], теории гравитации [83]. [97], Методология решения ''задач на обострение" позволяет с нетрадиционной точки зрения рассмотреть ряд классических задач [133]. Именно, она открывает новые подходы к задачам коллапса (быстрое сжатие вещества), химической кинетики, метеорологии (катастрофические явления в атмосфере Земли), экологии (рост и
вымирание биологических популяций), эпидемиологии (вспышка инфекционных заболеваний), экономики (феномен бурного экономического развития) и т.Д--
3. Механизмы самоорганизации можно проследить, изучая сравнительно простые на внешний вид математические модели. Вся синергетика работает с несколькими такими моделями (одна, из них была описана выше) - это нелинейные уравнения или системы уравнений типа реакция-диффузия с нелинейными источниками и стоками [122], [120], [121], [114], [112].
Одна из самых богатых таких моделей - это нелинейное уравнение теплопроводности с источником. В самом общем виде оно выглядит так:
щ - ^№K,k + Q(ti), t > 0, х Є Л* (0.1)
і=і
и моделирует процессы распространения тепла и горения в среде с коэффициентами теплопроводности kj(u) > 0 и источником Q(u) > 0, которые являются нелинейными функциями температуры u{t)X) > 0.
Модели видя, (0.1) в различном контексте изучались многими исследователями. Большее количество работ посвящено полулинейным уравнениям: кг(и) = 1> Q(u) = Xeu (уравнение Франка-Каменецкого), Q{u) = гі&} /3 > 1. После пионерской работы Н. Fujita (1966 п), они и их обобщения изучались интенсивно многими авторами. Среда них: J. Bebernes, A. Bressan, Н. Brezis, D. Eberly, A. Friedman, В.А. Галактионов, И.М- Гсльфанд, М.А. Hcrrcro, R. Kohn, Л.А, Лепин, С.А. Посашков, А.А. Самарский, J.L. Vazquez, L.J.L. Velazquez. Монография [80] содержит обширную библиографию и отражает часть этих исследований.
Квазилинейное уравнение изучалось в работах D.G. Aronson, A. Friedman, Н-А- Levine, S. Kaplan, L.A. Pelitier и др.- Большой вклад ученых русской школы. Необычный эффект локализации граничных режимов с обострением обнаружен численным экспериментом в работе А. А. Самарского и М. И, Соболя 1963 года [71]. Проблема локализации в квазилинейных уравнениях с источником поставлена СП. Курдюмовым [45] в 1974 г.. Работы И,М. Гельфанда, А.С. Калашникова, ученых школы А.А. Самарского и С. П. Курдюмова (их работы цитированы дальше) посвящены исследованию интереснейших проблем физического и математического
характера, связанных с этой моделью или ее обобщениями. Среди них: локализация (строгая и эффективная) процесса горения в пространстве, развитие разных типов режимов с обострением, возникновение структур - бегущие и стоячие волны, сложные структуры с различной степенью симметрии. Для успеха этих исследований решающую роль сыграло сочетание вычислительного эксперимента [67] с применением и развитием качественных и аналитических методов теории обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений, теорий групп Ли и Ли-Бэклунда. Монография \G9] отражает многие из результатов, полученных до 1986-ого года, обзор [109] содержит ссылки на более поздние работы.
Особое место в этих исследованиях занимает нахождение и изучение разных типов автомодельных и инвариантно-групповых решений уравнения (0.1) со степенными нелинейностями:
ВД = и^, Q(u) = u& (0.2)
Покажем, что этот выбор не случаен.
Во первых, такие зависимости от температуры встречаются в многих реальных процессах [34], [5], [138]. Например, в случае Оі = а = 2.5, (3 < 5.2, уравнение (0.1) моделирует термоядерное горение с электронной теплопроводностью в плазме; и — 0, 2 < /? < 3 соответствует моделям автокаталлитических процессов с диффузией в химических реакторах; оыЬЪ соответствует радиационной теплопроводности высокотемпературной плазмы в звездах и т.д..
Во вторых, показано [24],[25], что на классе степенных функций симметрия уравнения (ОД) в определенном смысле максимальна, оно допускает богатый на-бор инвариантно-групповых решений. По существу все известные до сих пор дис-сипативные структуры с математической точки зрения являются инвариантными или частично инвариантными решениями нелинейных уравнений, т.е., наиболее симметричными решениями» Например, стационарные диссипативные структуры являются частным случаем инвариантных решений - стационарными решениями; автоволновые структуры с хорошей точностью представимы бегущими волнами. Нестационарные диссипативные структуры режимов с обострением, рассматриваемые далее, связаны со степенными автомодельными решениями или с более об-
щими инвариантными решениями, когда по радиусу автомодельность степенная, а по углу - бегущая йолна. Исследования в области диссипативных структур дают основания считать, что именно инвариантные решения описывают "аттракторы" эволюции диссипативных структур и тем самым характеризуют важные внутренние свойства нелинейной диссилативной среды.
В третьих, этот богатый запас инвариантных решений уравнения (0-1) со степенными нслипсйпостями необходим для успешного применения методов исследования того же уравнения в случае более общих зависимостей к(и), Q(u). С помощью методов операторного сравнения [12] и стационарных состояний [16] удается исследовать свойства решений (таких как локализация, неограниченность, асимптотическое поведение) целых классов более общих нелинейных уравнений [17]- С помощью метода приближенных автомодельных решений (ПАР), [18], [108], [106], [17], развитым в работах А. А, Самарского и В. А. Галактио-нова, удается поставить в соответствии исходным уравнениям некоторые другие, базисные уравнения. Последние могут иметь инвариантные решения даже когда исходные уравнения не имеют. При этом базисные уравнения могут существенно отличаться от исходных, и тем не менее на асимптотической стадии решение исходной задачи стремится к инвариантным решениям базисных уравнений,
И наконец, только в случае степенных коэффициентов есть нужные соотношения между диссипацией и источником, при которых происходит их согласование. В результате этого возникают сложные структуры, более того, возникает спектр структур, которые горят согласованно, с одним моментом обострения, или как говорят, в одном темпомире [123].
В отличии от моделей, где разнообразие возникает за счет изменения параметров системы (параметр А в модели Тьюринга [134], параметры сі и с^ в уравнении Курамото-Судзуки) [122], в рассматриваемой здесь модели разнообразие, множество различных путей эволюции существует при одних и тех же параметрах. Чтобы установить в системе эту сложную организацию, чтобы вывести ее на один из возможных путей эвштюции, надо знать что заложено в ней и спровоцировать этот путь, т,е. возбудить резонансно систему заданием начальных данных из области
притяжения аттракторов-структур.
4. Основная цель предлагаемой работы - это исследование условий возникновения и эволюции сильно нестационарных тепловых структур в среде, описываемой уравнением нелинейной теплопроводности со степенными нелинейностями и некоторыми его модификациями, В частности - выявление и исследование возможных способов сложной организации нелинейной диссипативной среды. И так как исследования проводятся в основном с помощью вычислительного эксперимента, то вторая цель - это создание и апробирование эффективных вычислительных алгоритмов для рассматриваемого класса задач*
Эта работа является продолжением и развитием многих исследований в этом направлении (см. [69], [15], [46J и цитированную там литературу) и тесно связана с ними. Чтобы изложить полученные результаты, днедем основные используемые понятия на примере задачи Коши для уравнения (0.1), т.е., задачи с начальными данными:
и(0,х) = щ(х) > Q, х Є MN} sup^o(^) < о.
Для уравнений с источником глобальное решение задачи Коши определено и ограничено в RjV при всех t. Неограниченное (обостряющееся) решение определено в R'Y на конечном интервале [0,7), причем
Нт^т- sup u(t,x) — +00-0 теш"
Время Tq существования решения называется временем обострения.
Неограниченное решение задачи Коши с финитными начальными данными щ(х) называется локализованным (в строгом смысле), если множество
ttL = {xGRN : \u{T^tx) :=№mt^T- u{t,x) > 0}
ограничено в KN . Множество їїь называется областью локализации. Если ftj, неограничено, то локализация отсутствует. Локализованное в строгом смысле решение неограничено возрастает при —* Т0~ в области
uL = {х Є UN : \u{Tq>x) = оо} (0-3)
конечных размеров, в общем случае отличной от fiL .
Неограниченное решение называется эффективно локализованным, если множество (0.3) ограничено. Если же и)^ неограничено, то эффективная локализация отсутствует.1.
Если при отсутствии теплопроводности в среде (ki(u) = 0) выполнено условие
і;
г du
< +оо (0.4)
/і Q(u)
то решение задачи Копій неограничено |69]. Нагрев среды происходит в режиме с обострением, при этом в каждой точке среды с различным моментом обострения в зависимости от ее начальной температуры.
Если при отсутствии источника тепла {Q{u) = 0) выполнено условие
/ ^Мгіи<+со, = 1,2,...,^, (0.5)
то в случае финитного начального возмущения имеет место конечная скорость распространения тепла в абсолютно холодной среде [69].
Для выполнения условий (0.4) и (0.5) в случае степенных зависимостей (0,2) достаточно потребовать &і > 0,/3 > 1 * Тогда А;(0) -0 и уравнение (0.1) вырождающееся, В общем случае оно имеет обобщенное решение, которое на поверхности вырождения {и = 0} может иметь разрыв производных по пространственным переменным. Случай <7* — 0 будет рассмотрен отдельно.
5. Базисные режимы с обострением и связанные с ним понятия поясним на самой простой модели вида (0.1)? когда предполагается радиальная симметрия, В этом случае задача Копій с финитными начальными данными формулируется так.:
щ = -^(i^Vu,), + іА х є R+, t > 0, a > 0, p > 1, (0.6)
^(,0) = 0, u(0,a;) = u0{x) > 0, 0 < x < I, uQ{x) = 0, x > I (0.7)
Если начальная температура uq(x) удовлетворяет дополнительным условиям
и0(х) є C(Ri), №'0)(0) = 0,
то существует единственное локальное (по времени) обобщенное решение и = u(t.r) задачи (0.6)-(0.7), которое является неотрицательной непрерывной функцией в R+ х (0,Т), где Т Є (0, оо] - конечное или бесконечное время существования решения (см. список литературы в обзоре (37]). При этом u{L>x) является классическим решением б окрестности любой точки (, х)} где u{t, х) нылнется строго положительным. В точках вырождения оно может не иметь необходимой гладкости, но тепловой поток —xN"1u
Уравнение (0.6] допускает автомодельное решение (а,р.) [69]:
иа(і,х) = ф&)ва(0=(і-±Л'>~16а(1-)) (0.8)
t--xMt)=x/(l-±J, m=^~l~l. (0.9)
Оно соответствует начальный данным ua(i},x) — 6(%) - Функция ф{і] задает амплитуду решения, функция ip(t) - полуширину* Функцию 6() ^ 0, определяв ющую пространственно-временную структуру автомодельного решения, согласно принятой терминологии [46] называют собственной функцией (с.ф.) горения нелинейной среды, описываемой уравнением (0-6)- Далее для краткости используется название собственная функция. Она удовлетворяет в К*, вырождающемуся обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ):
- ^«"-'W +&щ&. + цг+щ*. - * - о (о-ю)
и краевым условиям:
ед-0, 0,,(00) = 0, ад = 0, если ва = 0. (0.11)
Уравнение (0Л0) имеет два решения, являющимися константами: Ва() = О (тривиальное решение) и
В соответствии с автомодельным законом (0.8), второму решению отвечает процесс однородного по пространству (гомотермического) горения среды в режиме с
обострением. Эти два решения играют существенную роль при анализе различных решений уравнения (0.10).
Так как нас интересуют режимы с. обострением, будем предполагать То > 0. Если задача (0.10), (0.11) имеет решение доя некоторого Т0 — Т0іі, то она имеет
решение И При ЛЮбоМ ДРУГОМ ЗНачеНИИ То = Tq,2 [26]:
Это дает возможность без ограничения общности положить
Т0 = ^—р и тем самым, вн = 1. (П-12)
Тогда уравнение (0.10) будет:
ад ^ --^{е^лу + e~a2~he:+e«-flf-o. (0.13)
Анализ решений задачи (0.13), (0.11), проведенный в работах [26], [70], [44], [60], [27], [3], [2], [1], [48], [49] (см. также [69], Глава IV), дает следующие результаты:
При любых 1 < 0 < а Ч-1 существует финитное решение ва{0 ^ 0,
При /? < ст + 1, N > 1 и 0 — а + 1} N > 1 задача не имеет немонотонных решений. Единственность решения доказана для случая 0 < и + 1, N = 1.
При /Э>(7 + 1, N >1 задача не имеет финитных решений.
Если a-\-l<0<0s = (a-\- 1):^ , (р3 - критическая экспонента Соболева), то задача имеет по крайней мере одно решение 0а() > 0 в R+, которое строго монотонно убывает по и имеет асимптотику
Ш = car2/{fi~c-^ + "()]. "(*) - > е - оо. (0.14)
Са = Ca(a^0tN) - постоянная. Позже [107] интервал по 0 был расширен. При Лг = 1, 0 > и + 1 задача имеет не менее
К = -[-а]-1, а= р0_~1_г>1 (0.15)
решений, различающихся по числу экстремумов при 6 [0тос) (см. |3], [2]). Обозначим их через 0аД), і = 1,2,.., Я\ На основе линейного анализа [51) и некоторых численных результатов в работах [48]т[49] было высказано предположение, что
число различных решений 0в,и() при 0 > а + 1 и N > \ равно К + 1. В случае N = 1 этот результат был уточнен недавно [57] бифуркационным анализом: число решений дается формулой К = [а], если а - нецелое, и К = а -1, если а - целое. Для Лг = 2, 3 бифуркационный анализ дает ту же оценку числа решений, но при /Э^сг + 1, /Ї > а +1 она нарушается (см. Раздел 2-2.2. и [57]),
На основе этих результатов устанавливаются базисные режимы горения среды, описываемыми а-р- (0.8)-(0.9). Чтобы характеризовать их, введем еще следующие понятия: полуширина xs = xs(i), которая для монотонных по х решений с единственным максимумом в точке х — 0 определяется уравнением u(tix9) = u(t1Q)/2, и точка фронта xf : u(, /) = 0, и^(і,/) — 0.
5.1. -Я*У-режим с обострением. Он реализуегся при 1 < /? < <т + 1, когда с
ростом температуры диффузия тепла происходит более интенсивно, чем нагрев
среды. Полуширина и фронт стремятся к бесконечности; формируется тестовая
волна, которая за время Го охватывает вес пространство. Процесс с обострением
не локализован:
mes ilL = mes u;L = cot xs -* oo, Xf -* oo, t —> T0~.
5.2. -режим с обострением, 0 — a + 1. Диффузия тепла и интенсивность
нагрева согласуются так, что приводят к локализацию процесса в области
Ml = uL = < \х\ < —
диаметром Ls, называемой "фундаментальной длиной" S -режима. Полуширина постоянна, внутри iiL среда нагревается до бесконечной температуры за время То : х9 = const, х^ = Ls/2- В случае N = 1 с.ф. ва() найдена [36] в явном виде:
<Ш = V » + 2 h'l } (0Д6)
Ls = di&mttL = 2*^±ї? Хе= Іяагссоз((2-ї)/тг).
В дальнейшем на решение (0.16) будем ссылаться как на "элементарное решение" S -режима при N = 1. Отметим, что в этом случае решением уравне-
ния (ОЛЗ) является и всякая функция, составленная из к элементарных решений, к = 1,2,.,., т.е. уравнение (0-13) имеет счетное число различных решений.
5,3. LS-режим с обострением, a-f-1 < 0 < f3f — tr + l-b^, /3/ - критическая экспонента Фуджита [125]. Интенсивность источника сильнее, чем диффузия. Фронт автомодельного решения на бесконечности (0.14), полуширина сокращается и среда нагревается до бесконечной температуры за время Т0 только в одной точке:
mcs ujl = 0, х3 —> О, і - > Tq.
В соответствии с различными решениями 0а^), *= 1,2,..., среда горит в виде простых (г — 1) и сложных структур (г > 1) с одним и тем же моментом обострения. В начальный момент времени каждая структура "содержит" определенное количество 4Ьтепловой энергии"
Jo Таким образом с.ф. 0ЛД) определяют конечное число выделенных "энергетических уровней", существующих по автомодельному закону (0.8) в течении одного и того же интервала времени Т$ .
6. Чтобы показать значимость автомодельньгх решений как аттракторов широких классов других решений того же уравнения, введем еще несколько понятий. В случае произвольных финитных начальных данных щ(х) (0<7) вводится в рассмотрении автомодельное представление решения u(t,x) задачи (0.6), (0.7), определяемое в каждый момент времени в соответствии с видом а.р. (0>8), (0,9):
e(t,$ = (l-t/T0)&u(t,t(l-t/T0)&)=$-l(tMt,$
Автомодельное решение ua(f,:r) называется асимптотически устойчивым, если существует достаточно широкий класс решений u[ty х) задачи (0.6), (0.7) с начальными данными щ Ф- ва(х), автомодельные представления >(>) которых стремятся в некоторой норме к Qa() когда t —* Т0~ :
lieftfl-fUOH-O, t^T0~ (0.18)
Отметим, что отсутствие устойчивости неограниченных (сингулярных по Бремени) решений по отношению к малым возмущениям начальной функции вызывает принципиальные трудности при теоретическом исследовании их пространственно-временной структуры. Поэтому и вопросы асимптотической устойчивости автомодельных решений даже при N — 1 долго оставались открытыми.
Асимптотическая устойчивость а.р. (0.8), (0.9) доказана [69], [11] в случае TV = 1, /3=<7 + 1 при следующих ограничениях на финитные начальные данные: зд(—я) — и0(х). х Є Щ., uq(x) не возрастает при х > 0 . Доказано, что сходимость в (0,18) равномерная. Указанные ограничения на начальную функцию сняты для случая /3<(j + l,JV = l в [105], где тоже доказана равномерная сходимость, когда Uq Липшиц непрерывна. Для случая LS-режима {р > cr-hi) вопрос об асимптотической устойчивости а-р. оставался открытым до 1995 года. Было показано однако [10], что предельное распределение, которое формирует автомодельное решение
Париях) =^1^1-^^-^, ^ = const > 0, (0Л9)
характерно для широкого класса неавтомодельных решений. Кроме того, качественная теория нестационарного осреднения [69] предсказывала, что при /? < 0f, когда ua(t, х) Є Lj(M^) для t < Т0 , а.р. с единственным максимумом (монотонное при х R+ > отвечающее #ад()) асимптотически устойчиво. Для 0 > 0f (когда ua{t}r) /ji(IR^) ) та же теория предсказывала возможность неавтомодельного поведения обостряющихся решений с конечной энергией. Численные эксперименты, проделанные в работах [26], [49]? подтверждают результат качественной теории в случае 0 < 0f.
Численные эксперименты для случая 0 > flf автору не были известны.
6.1. Хотя асимптотическая устойчивость а.р. (0.8), (0.9) при (5 < а + 1 докаг зана при ограничениях на начальное возмущение щ(х), численные эксперименты в работах [36],[26], [48],[49] показывают, что она имеет место при практически произвольных финитных начальных данных.
При сг+1 < р < ft/ формируется локализованная структура на фундаментальной длине L^s которая зависит не только от параметров среды (как в S -режиме,
см, (0.16)). а и от энергии начального возмущения. Для N — 1. ft < а + 3 она найдена в [36]:
Здесь Wo — о^тах, где о, = suppn0(;r)} ^о.тах = таххщ(х). Следовательно, в LS -режиме начальные данные "не забываются", как в S и HS -режиме. Строгая локализация процесса горения в LS -режиме при финитных начальных возмущениях простой структуры доказана на основе метода операторного сравнения (12]> на основе теоремы сравнения по пересечениям [19] и методом стационарных состояний [16].
6.2. В определении автомодельного представления (0.17) участвует время обострения То- И если для теоретических исследований представление (0-17) вполне естественно, то для численного исследования асимптотической устойчивости оно непригодно. Проблема в том, что при неавтомодельных начальных данных и(0,х) т1^ би{%) время обострения Т0 вообще не известно. Даже в случае точных автомодельных данных {/? = о*+ 1,ЛГ = 1) из-за вычислительных погрешностей при решении параболической задачи (0.6). (0.7) приближённое время обострения То будет отличаться от точного То Тогда решение u{t,x) и функции if){t),^{t) в автомодельном представлении (0.17) определены на различных интервалах времени и это представление не имеет смысла. По этой причине в [20] был предложен и численно реализован (при N = 1) другой подход, позволяющий исследовать структурную устойчивость неограниченных а.р. в специальной "автомодельной" норме, согласованной при каждом / с геометрической формой структуры и не использующей в явном виде времени обострения То. Он сводится к следующему. Вводится новое автомодельное представление в соответствии со структурой а.р. иа{к, х) :
6(t,0 = «(*,(7(*))^)/7(*), 7<*) = ^1^- (0-20)
Автомодельное решение иа(к,х) называется структурно устойчивым> если (0.18) выполняется для автомодельных представлений ((, ), заданных через (0.20)-
Понятие структурной устойчивости, т.е. сохранение во времени характерной для дайной структуры формы, скорости роста, локализованное в пространстве, тесно связано с понятием инвариантности решения при преобразованиях, затрагивающих время [15], Это обуславливает целесообразности его использования при исследовании асимптотического поведения неограниченных решений, растущих в режиме с обострением.
Для автомодельных решений со сложной пространственно-временной структурой полезной является еще одно понятие устойчивости.
Автомодельное решение ita{ttx) называется метаустойчивым, если для каждого є > 0 существует класс начальных данных и(0,х) ~ 0а(х) и время Ту Тц—Т<кТо таких, что для автомодельных представлений (0,20) соответствующих решений выполнялось
||в(,О-0а(О ||<ег, для 0 Это означает, что метаустойчивое автомодельное решение сохраняет при эволюции свого сложную пространственно-временную структуру до времени Т7 очень близкое к времени обострения То - После этого оно может выродиться в одну или несколько простых структур. 6.3. Вернемся к автомодельному решению LS -режима. Оно имеет фронт на бесконечности, а при финитных начальных возмущениях процесс строго локализован. Почему его рассматривают, если оно качественно искажено - благодаря лока-лизации от него отрезается конечная или даже бесконечная (при в > ft/) энергия? Во первых, автомодельная обработка по формуле (0.20) решения задачи (0.6), (0.7) показывает, что а.р. правильно передает его поведение при t —* Г0~ в центральной области. Кроме того при автомодельной обработке обнаруживается "протягивание автомодельного хвоста11 за пределом области локализации и при t —* Тс~ описывается всё большая и большая часть а.р. Во вторых, на его основе удается построить сложные структуры LS -режима и раскрыть механизм объединения простых структур в сложные, т.е, открыть своеобразный "принцип суперпозиции" н нелинейных задачах [56}. После введения основных понятий сформулируем рассматриваемые в работе проблемы. IL 1. Предлагаемая работа посвящена решению следующих проблем. 1.1. Исследование предельного случая /? —> а + 1 + 0, те. стремление LS- Исследование асимптотического поведения неограниченных а.р. LS -режима при (3 > 0f , когда иа Li(H.N). Конструирование решений а.з. при соотношениях параметров за критическими экспонентами: 0>ft, Л'>3; & > Д, - {а + 1)(1 + 4/(iV - 4 - 2V/7V^I)), JV > 11; 3(а +1) + ( JV - 10 J9>fl, = i + и исследование их структурной устойчивости. 1.4. Исследование структурной устойчивости неограниченных а.р. степенного типа системы нелинейных параболических уравнений с источниками, которая описывает процессы теплопроводности и горения двухкомпонентной среды; ^—(x^n^u^ + u^uf, xeR{, N = lt2t3, ** = ^(^~Ч2^* +<^, a, > 0,/ > 1, (-22) A/ 7i> Ща = 5і()<Ш -(1- =r)mi6i(0, С = */(l - )*\ (0.23) «2« = ШЬЮ = (1 - ~Г^(0, Ші < 0.» = 1,2, 'о т, = ^, ^ = 7 + 1-Д, » = 1,2, р =(^-1)0-1)-->і72, ті (Ті +1 т2<г2 + 1 . , а , , , . _, 71 = 2 = ~~~2' ^Ъ + ~ ' 2' = а^71 + ~ ^ (0.24) и(Єив2) = -рЫ?""1 W + п^&'г - тА - 9^0? = 0, (0.25) Ы01&) = -рЫ^-^Ч)' + 4 - ^ - 0?6р = 0 lini^'^^'ej-O, lim0< = O, 1 = 1,2. І—0 f—оо В случае N = 1 автомодельное решение (0.23) и задача (0.24), (0.25) рассматривались в работая [58], [50], [54], [55]. 1.5. Численное исследование неограниченных решений полулинейных уравнений теплопроводности (а — 0) X' ut = :;^I{xN-lu:c)x + Q(u)) яєЖ+, t >0, N = 1,2,3 Q(u) = (l+ u)\nff(l +и), /3> 1, Q(ti) = us Q{u) = e" (0.26) (0.27) (0.28) (0.29) 1.6. Численная реализация степенных a.p. [25], описывающих направленное распространение тепла и горения в двумерной анизотропной среде с различными коэффициентами теплопроводности в разных направлениях: щ = KX,k + ("а2Ох2 +ир, х= (хихй) (0.30) Oi > 0, а2 > 0, 0 > 1 «„(МЫз) - (1 - ^гУ^вЛО, Є - (i,fc) Є R2, Jo ,=^(1-=-)^, ГЩ= Jo ^ (0.31) = 0, t=l,2; 6.,(0-^0, КІ-ЮО. (0.33) eft, ,=0 1.7. Численная реализация a.p., описывающих спиральное распространение неоднородностей в двумерной изотропной среде [15]: Щ = -(пі"ЧЇг + \(uuv)v + иа, а > 0, р > 1; (0.34) Ue(t,rlV.) -(1- і-Г^Єа«,0), (0.35) = т(1-±)Я, ф = (р+^-Н1.^ m = ^f^ (0.36) _^ + в._*_о, r0 * 90 a а ' u /3 Здесь со Ф 0 - параметр семейства решений. Из (G.3G) непосредственно следует е*Ф = ге** = const, s ^ Это означает, что траектории неоднородностей в среде (например, локальных максимумов) будут логарифмическими спиралями при (3 Ф а + 1 или окружностями при /3 = сг+1. Направление движения для фиксированного Со, например с0 > О, зависит от соотношения а и /3 : при /3 > а1 + 1 - к центру (скручивающиеся спирали), при 0 < а + 1 - от центра (раскручивающиеся спирали). В процессе решения этой задачи возникла идея поиска радиально несимметричных волн в HS -режиме при Cq = 0. 2. Решение поставленных проблем связано с численным решением как задач Коши и краевых задач для квазилинейных параболических уравнений (0.6), (0.34), (0.30), системы таких уравнений (0.22) и полулинейных уравнений (0.26)-(0.29), так и краевых задач для квазилинейных ОДУ (0.10), системы таких уравнений (0.24) и квазилинейных эллиптических уравнений (0-32), (0.37). Сформулируем трудности численного решения этих задач, 2Л. Общие трудности как в случае параболических, так и автомодельных задач, это: нелинейность; зависимость от нескольких параметров (как правило -трех); недостаточная гладкость решений на поверхности вырождения эллиптического оператора, где решения равняются нулю- В случае радиальной симметрии при N > 1 и в полярных координатах в двумерном случае к ним добавляется особенность при х = 0 ( = 0). 2.2. Что касается автомодельных задач, то самая существенная трудность - это неединственность решения, и это отличает их существенно от классических задач с единственным решением. Возникают следующие проблемы: найти ''хорошее'1 приближение к каждому решению; сконструировать итерационный метод, который: сходится всегда к искомому решению (соответствующему начальному приближению); сходится быстро; обеспечивает достаточную точность; автоматизировать процесс вычислений так, чтобы единообразно и быстро находить все различные решения при данных параметрах задачи (aiv8, JV); определить априори куда перенести условия из бесконечности (например (0.11)), чтобы асимптотика (0.14) выполнялась (отметим, что чем больше номер с.ф., тем больше константа Са в этой асимптотике), 2.3- Основная трудность в параболических задачах - это неограниченность решений, при этом неограниченность в изолированной точке, в конечной области или во всем пространстве. И еще связанные с ней: 1) это подвижная граница (области), на которой решение не во всех случаях достаточно гладкое; 2) неустойчивость неограниченных решений. 2.4. Для преодоления проблемы начальных приближений был использован развитый и использованный в работах [26], [70j, [27], [48), [53], [64], подход "линеаризации" автомодельного уравнения относительно гомотермического решения вц. Отметим, что этот подход "родился" в численном эксперименте [26]. "Простреливая" значение с.ф. і5-режима при — О, исходя из асимптотики (0.І4), было обнаружено, что есть конечный набор констант Са в асимптотике, которые дают решения с нулевым потоком при = 0. Оказалось, что все они в области своей немонотонности колеблются около гомотермического решения, при этом для рассматриваемых параметров <т,/?, TV = 1 эти колебания были достаточно малыми. Это породило їщєю линеаризации автомодельного уравнения относительно ## дтія анализа поведения с.ф- в области её немонотонности, а потом и идею сшивания [2G] решений линеаризованного уравнения с асимптотикой (0-14) вблизи второго пространственно-однородного решения. Этот подход был использован потом при Л; > I [48],[49], в существенно двумерном случае [64] при исследовании с.ф. со сложной симметрией, в случае двухкомпонентной среды [58], [50], [54], [55]. Этот подход использован и здесь при решении всех автомодельных задач. Было обнаружено [Д4], что при /3 —> а-\ 1+0 гипотеза о малых колебаниях, на которой он основан, не выполняется. Было проведено аналитическое и численное исследование (Д5], [ДІЇ) "линейных приближений" в радиалыю симметричном случае при N — 1,2,3, на основании которого установлено, что даже в случае, когда они становятся отрицательными, все равно правильно передают число пересечений с 6fi и, тем самым, характер немонотонности с.ф. Были даны рекомендации об их использовании в таких случаях [Д9], [ДІЇ]. 3. Для решения автомодельной задачи (0.13), (0.11) при N = 1 в работе [26] был использован метод стрельбы. Он использован и в работе [57] при N > 1. В большинстве работ, где есть численные результаты решения автомодельных задач (0.13), (0.11) и (0.37) для случая с0 = 0, нет описания численных методов. Сказано толькот что использованы неявные разностные схемы и итерационный процесс типа метода Ньютона- В работе [64], где решалась двумерная а.з. (0.37) при Со ~ 0 было обнаружено, что итерационный метод типа Ньютона не сходится во всех случаях и была поставлена задача разработать более подходящие итерационные методы. В наших работах (^НДд^ДІїиДІЗІ^ДНІДДІ^^ДІЗ)) использован непрерывный аналог метода Ньютона (НАМН). Предложен Гавуриным [9], он был развит в райотах [30], [31], [66] и применялся при решении многих нелинейных задач физики. Линейные уравнения НАМН (или системы уравнений в случае двух- компонентной среды) решаются методом конечных элементов (МКЭ) на основе дифференциальных задач в слабой форме. Эта комбинация НАМН с МКЭ также эффективно использована для решения задач нелинейной теории поля [39],[40] и в пакетах программ [78] для решения нелинейных краевых задач и задач на собственные значения. Линейная система уравнений МКЭ с несимметричной матрицей (оператор в уравнении НАМН несамосопряжён) решается LU разложением матрицы системы. Численное исследование точности реализованного метода указывает на сверхсходимость метода (порядок точности 0{h4)) при использовании квадратичных элементов в радиально-симметричном случае и оптимальный порядок точности (0{h2)) при использовании линейных элементов в том же случае и билинейных элементов в двумерном случае. Для достижения этой точности в окрестности начала координат в радиально-симметричном случае при размерности пространства N > 3 реализован несимметричный метод Галеркина [103]. Вычисление решений линеаризованного автомодельного уравнения и их сшивание с известной асимптотикой реализовано программно, так что процесс полностью автоматизирован. Созданное программное обеспечение дает возможность вычислять с.ф, для всех видов режимов с обострением, при этом в случае LS-режима задается только номер желаемой с.ф. Отметим, что "линейные приближения" к спиральным с.ф. (решений уравнения (0.37) при с0 ^ 0) выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию и функции Бесселя комплексного аргумента, для вычисления которых использованы рекуррентные техники и рациональные аппроксимации, как и известные асимптотические разложения [Діб]. 4. Для решения параболических задач использован МКЭ с концентрацией матрицы массы и интерполированием нелинейных коэффициентов по базису пространства КЭ [Д1]-[ДЗ], [Д10], [Д12Ь [Д15ЫД22]. Полученная система ОДУ решается явным методом типа Рунге-Кутта [62] второго порядка точности и расширенной областью устойчивости. Автоматический выбор шага обеспечивает выполнение слабого принципа максимума и, в случае глобальных решений, достижения заданной точности е в конце интервала интегрирования. Особое достоинство разработанных методов - это использование динамических адаптивных сеток в LS-режиме (сгущающихся сеток) и в IIS -режиме (разреживающихся сеток с сохранением числа узлов), согласованных с автомодельными и приближенными автомодельными законами. Это обеспечивает достоверность результатов исследования структурной устойчивости и метаустойчивоети автомодельных решений. Согласованность выражается в том, что пространственные шаги сетки меняются так, чтобы соответствующие шаги по автомодельным переменным были ограниченными некой подходящей величиной: снизу - для ЯЙ-режима и сверху - для 5-режима. Достоинство этого подхода в том, что для сетки не решается дополнительная дифференциальная задача. Отметим, что эта идея - использовать инвариантные свойства решений дифференциальных уравнений при разработке дискретных методов - лежит в основе нового важного направления в вычислительной математике - геометрическое интегрирование> которому посвяптены много работ и монографий (см. [98], [23], [115], [118], [83]-[87] и ссылки в них). Вложение структурных свойств (геометрии, разных видов симметрии, законов сохранения) непрерывных задач отмечалось как одна из основных тем на Конференции "Основы вычислительной математики" в Миннеаполисе, 2002 г. В работе [36] отмечалось, что сохранение автомодельности сложных с.ф. в радиально-симметричном случае (например, вторых) имеет место до 90%Т0 . В работе [64], где исследуются двумерные сф. со сложной симметрией, отмечено, что время существования сложной структуры составляет 99%Т0, и за это время максимум с.ф. успевает вырасти в 10-100 раз. Наши численные эксперименты [Д19] дают сохранение автомодельности второй сф- LS -режима при N — 2 до 99.99999% ї'о и восстановление времени обострения, заложенном в автомодельной задаче, с точностью 3.10"(7о = 0.(4), TJj = 0.44441), при этом максимум с.ф. достигает 2.104 . Сохранение автомодельности и восстановление времени обострения зависит как от точности вычисления с.ф., так и от способа решения параболической задачи [Д1Э|. Все численные эксперименты (с точными автомодельными начальными данными при N=l,0=a-\-l;c автомодельными начальными данными» полученными в процессе решения автомодельных задач), показывают хорошее восстановление времени обострения и сохранение автомодельности, и тем самым, качества мето- дов решения как автомодельных, так и параболических задач. Численный метод решения автомодельных задач изложен детально в Главе 1, раздел 1.1, на примере радиально-симметричной задачи. Модификация метода на случай системы ОДУ приведена в Главе 2, раздел 2.4.1; модификации на двумерный случай в декартовых и полярных координатах приведены соответственно б разделах 4*1.1 и 4.2*5 Главы 4. Численный метод решения параболических задач изложен детально в Главе 1, раздел 1.2, на призере радиально-симметричной квазилинейной задачи. Модификации метода на полулинейные задачи описаны в Главе 3, раздел 3-1.2, а на двумерный случай в декартовых и полярных координатах приведены соответственно в разделах 4,1.2 и 4.2,6 Главы 4. ЦТ. С использованием разработанных и тщательно апробированных методовt были получены следующие результаты. 1. Исследована и уточнена структура с.ф< Ь5-режима при переходе к S-режиму в радиально-симметричном случае (Глава 2, раздел 2,2). Показано, что структура Снф. при N>lvL0f^a+l + Р > а + 1 существенно отличается от структуры с.ф. при N = 1. При Лг > 1 вычислительным экспериментом были обнаружены с.ф., названные потом (74] с.ф. с перетяжкой. Различен и переход і-режима к -режиму. При N = 1 переход 0 —> а + 1 + 0 "непрерывен'1 - с.ф. #а() LS-режима стремится к с.ф. S-режима, составленной из к элементарных решений. При N > 1 такого "непрерывного" перехода нет. 1.1. Для фиксированного а и некоторого 0? = /?J(ff, ЛГ) центральный (первый) минимум с.ф. с четными номерами eL , j = 1, 2)... т становится равным нулю и для Р < fij({T,N) все с.ф. #2) аннулируются в некоторой области около начала координат: С^О = 0. 0 < < = $(а,0, N), j = 1,2,... WipYieffiyiCj) ^ 0. при этом Q растут при (3 -* а + 1 + 0. Бее максимумы 8\ () стремятся к максимум;' с.ф. 5-режима при тем же а и N = 1. Таким образом с.ф. 82j (Oi "уходя на бесконечность1' при 0 —* о + 1 + 0, стремится к с.ф. -режима при №^1 и того же и, состоящей из j элементарных решений. 1.2. Для фиксированного о существует такое значение /?** = /7*"(о~, TV), что при а + 1 < 0 < $** с.ф. ^j-/i(Oii = 1,2,... распадается на две чаоти: центральная, которая стремится к с.ф. 5-режима для соответствующего значения N ( ^Л1(0 )> и вторая, которая совпадает с с.ф. 0щ (О» "Уводящей на бесконечность" при /? —* а + І + 0. Для фиксированных а, N всегда /3J* < Д*, Согласно описанному "сценарию11 перехода LS к 5-режиму, при 0 —* а+ 1 + 0 остается только первая с.ф. Z5-режима, которая стремится к единственной с.ф. 5-режима. Этот "сценарий" является результатом детального вычислительного эксперимента [Д5ЦД11]. Так в процессе этого исследования найдены с.ф. новой структуры - так называемые с.ф. с перетяжкой и с.ф. с левым фронтом. Существование с,ф> с левым фронтом было подтверждено асимптотическим анализом - найдена аналитически асимптотика с.ф, ь окрестности левого фронта (Глава 2, раздел 2,2,2). Собственные функции с левым фронтом представляют собой тела вращения с "пустотой" в центре. Численные эксперименты показывают, что при 0 —* а + 1 + О радиусы этих "пустот" увеличиваются и с.ф, "выстраиваются" так, что разности, между этими радиусами стремятся к одной и той же величине. Гипотеза автора о ней: р = р{а) = 2^/аТї/а = Ls/n [ДІЇ]. Полученные впервые новые типы решений - решения с перетяжкой и решения с левым фронтом в случаях N=2,3, инициировали исследования других авторов [74], [21], [47], [57] другими методами (методом динамической аналогии, бифуркационным анализом). Их исследования подтвердили существование этих новых решений, и в частности [57] описанного выше сценария. 2. Исследовано асимптотическое поведение неограниченных решений задачи (0.6), (0.7) при р > а + 1 + jy, когда автомодельное решение (0,8), (0.9) u&{Lr) 4 Lxi^LN) (Глава 2, раздел 2.3.1). В этом случае качественная теории нестационарного осреднения "амплитуда - полуширина" предсказывает автомо- дельное поведение амплитуды решения задачи (0.6), (0-7) и возможное неавтомодельное поведение полуширины [69]. Там был поставлен вопрос: какое инвариант-ное или приближенное автомодельное решение (ПАР) описывает асимптотическую (t -+ Tq~) стадию процесса? В работе [Д19] численным экспериментом установлено, что а.р. (0.8), (0.9), соответствующее #i(0 , структурно устойчиво: во всех экспериментах с финитными начальными данными (0.7), обеспечивающими неограниченность решения, оно выходит на автомодельное на асимптотической стадии. Впервые конструированы численно [Д22] решения а.з. при соотношениях параметров за критическими экспонентами: /3 > 0S, N > 3; 0 > 0и N > 11; (3 > j3Vi N > 11 (Глава 2, раздел 2.3.2). Показано, что соответствующие им автомодельные решения структурно устойчивые, что подтверждает таким образом гипотезу из [107]. Для этой цели реализован несимметричный метод Галеркина с адаптацией конечно-элементной сетки. Разработанные для радиально-симметричных задач (0.6), (0.7) и (0.10), (0.11) методы обобщены на случай двухкомионентной нелинейной среды (Глава 2, раздел 2А), Показана сверхсходимость метода (порядок 0(/i4)) решения автомодельной системы (0.24)-(0.25) при использовании квадратичных элементов и сходимость оптимального порядка (0{h2)) при использовании линейных элементов. Исследована структурная устойчивость автомодельных решений при параметрах среды &it /З?, 7н и =1,2, соответствующие LS— режиму. Показано, что структурно устойчивыми являются только автомодельные решения, соответствующие с.ф, типа (1,1) (с двумя компонентами простой структуры) систем с сильной обратной связью. Все другие а.р. метаустойчивы - автомодельность сохраняется до времени не меньше, чем 99.3%То. Таким образом показана принципиальная возможность применения разработанных методов для исследования процессов самоорганизации в широких классах нелинейных дисеипативных сред, описываемых системами типа реакция-диффузия При этом до сих пор рассматривались обычно системы с линейной диффузией и нелинейными источниками и стоками, а разработанные нами методы применимы и в случае нелинейной диффузии. 5. Исследовано асимптотическое поведение решений полулинейных уравнений (0.26)-(0.29) при ( —* Tq (Глава 3). Условия возникновения и эволюции неограниченных решений таких уравнений изучаются с 1966 г. [104| и этой проблеме посвящено большое количество работ [79] [81] [82] [96] |101] [111] [ПО] (см. тоже обзор в книге [80] и обзорную статью [125]). Независимо от того точные результаты о вырождении на асимптотической стадий уравнения (0.26) в уравнениях типа Гамильтона - Якоби получены в основном при N = 1. Случай полулинейных уравнений, где из-за недостаточности диффузии не возникает сложных структур, оказался более трудным для исследования, чем квазилинейный случай. Причина этому - несуществование точных инвариантных решений (кроме тривиальных гомсугермических) вообще или для некоторых размерностей N пространства. В этих случаях асимптотическое поведение неограниченных решений описывается приближенными автомодельными решениями (ПАР), которые являются точными а.р. других уравнений - уравнений первого порядка типа Гамильтона-Якоби. В Главе 3, раздел 3.1 исследован случай Q(u) — (1 + и) 1п"{1 +u)t 0 > 1. Показана численно [Д10] структурная устойчивость ПАР при практически произвольных начальных данных во всех трех режимах: HS(l < 0 < 2), S(0 = 2), LS[/3 > 2). Показано также, что при /3 = 2, N > 1 неограниченное решение эффективно локализовано в сфере радиуса 7г : ил, = {|х| < 7г}, Кроме того, если начальное возмущение нецентральное, достаточно далеко от центра симметрии и с достаточно большой энергией, то тепловая энергия не расплывается и горение локализовано эффективно в кольцевой области толщиной 2тг, что является новым результатом. В Главе 3, раздел 3.2 исследован случай Q{u) = vP . При 1 < 0 < 1+^, Щ ^ 0 задача Коши имеет только неограниченные решения, но их асимптотика существенно отличается от той, которую следует ожидать но аналогии с квазилинейным случаем. Автомодельная задача, которая получается по этой аналогии, не имеет ре- шения при 1 < /3 < Случай Q(u) = tu исследован в Главе 3, раздел 3-3. Задача Коши имеет только неограниченные решения, но при N = 1, 2 уравнение (0.26), (0.29) не имеет точных инвариантных неограниченных решений кроме гомотермического. Строгое доказательство вырождения для N = 1 дано в [117]. Численным экспериментом нами показана [Д12] структурная устойчивость ПАР для N = 1, 2 при практически произвольных начальных данных. 6, Реализованы численно инвариантные решения, которые описывают направленное распространение тепла и горения в двумерной нелинейной анизотропной среде со степенными коэффициентами теплопроводности, найденные в работах [24], [25] методами группового анализа (Глава 4, раздел 4.1). В работах [Д1], [Д2]. [ДЗ] решалась задача Коши для уравнения (0-30) при разных параметрах &iiO"2 w ft- Исследованы случаи S — HS, HS — LS и S — LS режимов горения с обострением, когда в разных направлениях процесс протекает по разному, В [Д1] с.ф. горения анизотропной среды были найдены автомодельной обработкой решений задачи Коши для уравнения (0.30). Позже [Дб] они были найдены как решения автомодельной задачи (0.32), (0.33). Как частный случай получены и с.ф. сложной симметрии для изотропного случая в декартовых координатах - это аф., обозначаемые [64] Ei/j- Для получения "линейных приближений" к с.ф. Ei/j была использована конструкция, предложенная в [64]. Впоследствии [Д13,Д14] численные методы были модифицированы на случай полярных координат для исследования другого класса с.ф, сложной симметрии типа EjMrn [64] в LS— режиме я их структурной устойчивости (Глава 4, раздел 4.2.1). Графическое представление эволюции инвариантных решений, описывающих направленное распространение тепла и горения в двумерной нелинейной анизотропной среде, сделанное автором диссертации, включено в Справочнике [95]. Туда включены также графические представления с,ф. EjMm для различных значений j,m ,о-,/3. 7. Один из самых интересных результатов этой работы — это численная реализация "спиральных" инвариантных решений (Глава 4, разделы 4.2.2-4.2.7), Она была поставлена в 1984 г., когда методом группового анализа СР. Свирщевским была установлена возможность их существования (см, тоже [15]), Как отмечалось в |4], на пути к её решению были существенные трудности. Во первых считалось, что линеаризация автомодельного уравнения здесь не дает желаемого результата, потому что в полученном линейном уравнении нельзя сделать разделения переменных. Во вторых, не была ясна асимптотика решений автомодельной задачи на бесконечности. Первый успешный шаг состоял в применении подходящего (комплексного) разделения переменных б линеаризованном около гомотермичсского решения автомодельном уравнении (Глава 4, раздел 4,2.3). Решения линеаризованного уравнения выражались через вырожденную гипергеометрическую функцию iFi(a, Ь\ г) с комплексным параметром а при 0 Ф и + 1 и через функции Весселя комплексного аргумента при Q = а + 1. Тщательное аналитическое и численное исследование этих решений показало [Д15], [Діб], что их асимптотики на бесконечности - автомодельные: линии уровня (хребты) решения линеаризованного уравнения не являются логарифмическими спиралями, но при больших они приближаются к таким. При этом их амплитуда ь случае Л5-режима стремится к нулю при —* со, а для LS -режима- к бесконечности. Это дало идею рассмотреть решения а.з., которые на бесконечности стремятся не к тривиальному решению = 0, а к гомотермическому в = вц - т.е. расширить понятие с.ф., и следовательно, структуры, которые возникают в абсолютно холодной среде. Это изменение идеологии вполне разумно и более адекватно реальным системам. Итак условия, при которых рассматривалось уравнение (0.37), следующие: в{) ограничена при f —* оо (0.39) 9(0) ограничено, (0аШ) = 0. (0.40) Исследование асимптотик линейных приближений дало возможность уточнить условие (0.39) в случае HS -режима и замкнуть а.з, краевым условием третьего рода: два 0а-вн -ук . / 1 Л , т ar""^r" Численное решение задачи (0.37), (0.41), (0.40) даёт "спиральные" с.ф. Я5-режима; некоторые из них и их эволюция во времени исследованы в [Д17],)Д18],[Д21]. Установлено, что линейные приближения где Y{}4>) - решения линеаризованного уравнения, при а « 1 очень близки к еф, [Д15], [Діб]. При исследовании их эволюции в параболической задаче (Глава 4, раздел 4.2.4) оказалось, что они сохраняют свою структуру до 99.79%Т0) при этом Т0 (время обострения, полученное в счете) очень близко к времени обострения с.ф., отвечающих тем же параметрам а,р. И это вполне естественно - линеаризация "уничтожает1 ' S и LS -режимы (линеаризованное уравнение имеет линейную диффузию и линейный источник, т.е. для его решений полуширина будет увеличиваться, как это имеет место в і/5-режиме). Отметим, что существование континуума решений а,з, в радиально-симметричном случае и HS -режима, которые выходят на гомотермическое решение 9н при —+ оо, было отмечено в [69], но этому результату не было уделено достойное внимание. Оказывается, именно такие решения а.з. определяют найденные спиральные структуры. Вопрос о существовании спиральных структур в LS -режиме (скручивающиеся спирали) пока остается открытым- Хотя [!хребты" линейных приближений к с.ф, LS -режима при —* оо стремятся тоже к автомодельным [Діб], но их амплитуда стремится к бесконечности. Остается неясным с какой асимптотикой надо сшивать линейные приближения. Автор считает, что в задаче нахождения спиральных структур в LS -режиме надо отказаться от условия (0,40) - те. от ограниченности с.ф. при = 0. На эту идею наводят другие решения линеаризованного уравне- ния (логарифмическое решение вырожденного гипергеометрического уравнения с особенностью в нуле), а также и некоторые физические соображения. 8. При решении задачи о спиральных с. ф. возникла идея поиска в случае со = О сложных немонотонных волн #5-режима, выходящих на гомотермический фон при —+ оо (Глава 4, разделы 4.2.5-4.2,7). Случай со — 0 был рассмотрен в работах [53], [64], и там были найдены с.ф-сложной симметрии в LS-режиме (с.ф- типа EjMm), Оказалось, что не всем линейным приближениям соответствуют еф. В некоторых случаях, как было отмечено выше, причина этому была расходимость итерационного процесса при решении автомодельной задачи. Однако в случае EjMl) когда расположение максимумов линейных приближений несимметрично относительно = 0 и между ними имеется минимум, или когда имеются только максимум и минимум, собственных функций вообще не было получено. Линейные приближения с такой структурой {подобные EjMl) имеются И Б Я"5-режиме и они были реализованы в автомодельной задаче [Д17],[Д18],[Д21], Причина этому - максимум и минимум на гомотермическом фоне могут лишь отталкиваться, но не притягиваться (как это должно быть в случае LS-режима). Поэтому такие линейные приближения, если и были найдены давно [64], не могли быть реализованы- Так изменение идеологии - искать структуры, "живущие'1 и развивающиеся на гомотермическом фоне, привело к открытию целого нового мира структур -сложных расходящихся волн, в том числе раскручивающихся одноруквных и многорукавных спиральных волн. Результаты последних двух пунктов включены в книгу [138|.
режима к 5-режиму в радиального симметричном случае. Это важно по двум
причинам. Во первых, (3 ^ сг + 1,0 > а -\- I означает возможность усложнения
организации среды при небольших нелинейностях, которые чаще встречаются в
реальных средах- Во вторых, это исследование интересно для разрешения пара
докса в случае N > 1: в S -режиме (/3 = (7 + 1) имеется 1 с,ф. с простой струк
турой (с одним максимумом), а в LS -режиме при /? —* и + 1 + 0 - стремящееся к
бесконечности число с.ф. согласно формуле (0.15).^1 '^K ' VJ T 1n v -^^^,, ^ NU*~ , і = 1,2,^ ~ g ~ 1 (0.38)<н^2) Строгое доказательство вырождения параболического уравнения па асимптотической стадии дано в [117] для N = 1\ для N > 1 строгого доказательства нет. Численным экспериментом нами показана [Д12] структурная устойчивость ПАР для N = 1,2,3 при практически произвольных начальных данных.^-^8mfcr+^lnV' е = І>1-т=^ї- (0'41)Похожие диссертации на Численное исследование нестационарных тепловых структур
