Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена численному моделированию процессов плавления и затвердевания металлов, важными частными случаями которых являются непрерывная выплавка металла и электронно-лучевая сварка.
Непрерывное литье стали играет важную роль в металлургии. Математически процесс охлаждения и затвердевания металла описывается двухфазной задачей Стефана с предписанной конвекцией (A. Fasano, М. Primicerio и L. Rubenstein). Существование и единственность обобщенного решения двухфазной задачи о непрерывной выплавке были исследованы F. Yi и J. F. Rodri-gues. Формулировка задачи Стефана (при отсутствии конвекции) с введением функции энтальпии и обоснование существования и единственности обобщенного решения исследовались, например, в работах О. А. Олейник, О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова и Н. Н. Уральцевой1, Е. Magenes и А. М. Мей-ерманова2. Исследованию сходимости конечномерной аппроксимации задачи Стефана и точности сеточных схем посвящены работы Ф. П. Васильева, Б. М. Будака, Е. Н. Соловьевой и А. Б. Успенского3, А. А. Самарского и Б. Д. Моисеенко, R. Н. Nochetto4, С. Verdi, М. Paolini и др.
Качество производимой стали существенно зависит от теплового режима при затвердевании, при этом первостепенное значение имеет поведение поверхностной температуры и фронта затвердевания. Экспериментальный выбор режима охлаждения слитка является дорогостоящим и не всегда реализуемым процессом, поэтому актуальным является численное моделирование процесса охлаждения. Особенно важным аргументом в пользу численного моделирования служит необходимость управления процессом охлаждения в режиме реального времени. В диссертационной работе численно решается задача оптимизации процесса охлаждения в режиме реального времени, которая формулируется как задача идентификации коэффициентов и решается методами оптимального управления (J.-L. Lions, Т. К. Сиразетдинов5, А. Г. Бутковский).
В сварочных технологиях важную роль играют процессы с так называемыми высоко концентрированными источниками, среди которых наибольшее распространение получила электронно-лучевая сварка (ЭЛС). ЭЛС позволяет обрабатывать соединения с глубоким проплавлением и узкой зоной нагрева при высокой скорости сварки и низком тепловложении. Специфика теплового воздействия электронного луча на металл состоит в том, что радиус действия
10. А. Ладыженская, В. А. Солоппиков, Н. Н. Уральцева Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа — М.: Наука, 1967. — 736 с.
2А. М. Мейерманов Задача Стефана — Новосибирск: Наука, 1986.
3Б. М. Будак, Е. Н. Соловьева, А. Б. Успенский Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана // ЖВМ и МФ. - 1965. - Т. 5. № 5. - С. 828-840.
4Л. Н. Nochetto Error estimates for two-phase Stefan problems in several space variables, I: Linear boundary conditions If Calcolo. - 1985. - V. 22. - P. 457-499.
5T. К. Сиразетдинов Оптимизация систем с распределенными параметрами — М.: Наука, 1977—479 с.
теплового источника много меньше характерных размеров области, при этом резкие пространственно-временные изменения температуры сосредоточены в малой окрестности траектории движения луча. В то же время численное моделирование ЭЛС предполагает детальный расчет динамики температурного поля, которое формируется под действием движущегося нагревателя. Актуальным является повышение точности решения тепловой задачи, которое в значительной степени определяет степень достоверности результатов расчета напряженно-деформированного состояния изделия, оценки качества сварного соединения.
Целями работы являются:
Постановка и конструирование эффективных численных алгоритмов решения задачи оптимального управления процессом охлаждения слитка при выплавке стали в режиме реального времени.
Построение сеточной схемы и итерационного алгоритма для решения стационарной и нестационарной задач электронно-лучевой сварки металлических пластин, в том числе, проведение вычислительных экспериментов.
Научная новизна. В диссертационной работе развиты и практически реализованы методы численного решения двух прикладных задач. Первая из них — это задача оптимального управления охлаждением при выплавке стали в режиме реального времени. Математически она равносильна определению коэффициентов в граничных условиях двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией. Разработаны и апробированы алгоритмы численного решения этой задачи. Вторая — задача описания динамики температурного поля при сварке пластин движущимся источником. Предложены новые эффективные методы численного решения задачи в нестационарной и стационарной постановках, основанные на методе конечных элементов с использованием композиционной сетки со сгущением в окрестности движущегося источника.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением математических моделей механики сплошной среды и численных методов, строгими доказательствами сформулированных утверждений. Достоверность числовых расчетов обосновывается совпадением результатов с известными решениями в частных случаях.
Научное и практическое значение работы. Предложенная постановка задачи оптимального управления охлаждением при непрерывной выплавке металла и алгоритмы ее численного решения использованы как часть автоматической системы управления процессом плавки на сталелитейном заводе "Raahe steel company", Финляндия в 2004 г. Предложенный подход к построению сеточной схемы и итерационные алгоритмы решения задачи об электронно-лучевой сварке пластин применены для расчета упруго-пластических характеристик сварного шва при заданном режиме сварки при выпол-
нении работ в рамках международного проекта INTAS-Airbus №04-80-6951, 2006 г.
На защиту выносятся следующие результаты диссертационной работы:
Численная модель процесса охлаждения слитка при непрерывной выплавке металла в трехмерной постановке и алгоритм выбора начального приближения для итерационного процесса, основанный на методе декомпозиции области.
Постановка задачи оптимального управления охлаждением при непрерывной выплавке металла в режиме реального времени; метод редукции многомерной задачи к последовательности одномерных.
Численная модель тепловых процессов при электронно-лучевой сварке металлических пластин в стационарной и нестационарной постановках; аппроксимация нелинейной задачи с использованием метода декомпозиции области и несогласованных по подобластям сеток, алгоритм выбора начального приближения в итерационном методе для стационарной задачи.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (КГУ); на семинарах Отделения математического моделирования Научно-исследовательского института математики и механики (НИ-ИММ) им. Н. Г. Чеботарева КГУ; Втором российско-финском семинаре "Численные методы для задач непрерывной выплавки и смежных проблем", Казань, 11-15 июля 2003 г.; Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач", Казань, 27 июня - 1 июля 2003 г.; Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики", Казань, 27 июня - 2 июля 2004 г.; XI Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону, 25 августа - 3 сентября 2005 г.; Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики", Казань, 26 июня - 1 июля 2006 г.
Публикации. Основные результаты изложены в 7 работах. В совместных работах автор принимал участие на всех этапах исследования. Непосредственно автору принадлежат постановка задачи оптимального управления охлаждением в процессе непрерывной выплавки металла, метод редукции для решения этой задачи, сеточная схема для решения задачи об электроннолучевой сварке пластин, проведенные вычислительные эксперименты и анализ их результатов.
Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы. Библиография включает 61 наименование. Общий объем диссертации составляет 105 страниц, включая 17 таблиц и 23 рисунка.
