Введение к работе
з
Актуальность темы и степень разработанности Математическое моделирование разнообразных процессов и систем тесно взаимосвязано с проблемой принятия решений при управлении этими процессами и системами на основе построенных моделей. Это неоднократно подчеркивали в своих трудах такие авторитетные ученые, как Н.Н. Красовский, Н.Н. Моисеев, В.М. Матросов, А.А.Самарский.
В 70-х годах прошлого века обнаружилось, что традиционные модели оптимального управления (непрерывная и дискретная), для которых были получены такие фундаментальные результаты, как принцип максимума Понтрягина, метод динамического программирования Беллмана, достаточные условия оптимальности Кротова, теория экстремальных задач Дубовицкого и Милютина, не охватывают всех возможных постановок задач оптимизации. На практике существует обширный класс систем, структура которых неоднородна, в частности, может изменяться с течением времени. Примерами служат технологические процессы, движение роботов, космические перелеты и т.п.
Это привело к появлению серии работ, где рассматриваются системы с переменной структурой (СВ. Емельянов), дискретно-непрерывные системы (ДНС) (В.И. Гурман), логико-динамические системы (С.Н. Васильев, А.С. Бортаковский) и другие системы подобного типа, которые также часто называют гибридными системами (А.Б. Куржанский, Е. Santis, M.S. Branichy, R. Herbar).
В связи с активным изучением импульсных процессов (Я.З. Цып-кин, B.C. Попков, А.Б. Куржанский, Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович, В.А. Дыхта, СТ. Завалищин, А.Н. Сесекин, F.L. Pereira, М. Haddad, Chellaboina, S. G. Nersesov), развитием робототехники и усложнением технологий интерес к моделированию, исследованию и оптимизации систем неоднородной структуры резко возрос.
Это подтверждают и прошедшие в 2011-2012 г.г. 18-й Конгресс IFAC, 4-я и 5-я Всероссийские мультиконференции по проблемам управления, 4-ая конференция IFAC «Анализ и решения гибридных систем», семинар IFAC GSSCP-2012 «Обобщенные постановки и решения задач управления».
В настоящее время при изучении подобных систем основные усилия математиков направлены на обобщение понятия решения системы дифференциальных уравнений, описывающей модель управляемого процес-
са. Это влечет усложнение не только применяемого математического аппарата, но и построенных на этой основе алгоритмов оптимизации и их реализации в вычислительных процедурах. Если для однородных систем разработано большое количество таких методов и алгоритмов в работах Н.Н. Моисеева, Д.Е. Охоцимского, Т. М. Энеева, И.А. Крылова и Ф.Л.Черноусько, Л.И. Шатровского, Г. Дж. Келли, Д. Джекобсона, В.А. Срочко, А.С. Булдаева и др., то литература по численным методам в гибридных системах значительно беднее.
В работе развивается альтернативный подход на основе представления систем неоднородной структуры иерархической моделью управления, где нижний уровень составляют системы однородной структуры, а верхний, дискретный, уровень обеспечивает их целенаправленное взаимодействие. Для их исследования применяются принципы расширения и локализации и предлагаются аналоги общих достаточных условий оптимальности Кротова, позволяющие получить новые теоретические результаты и построить эффективные алгоритмы, применимые к решению практических задач, оставаясь в рамках традиционных для задач оптимального управления предположений.
Цель работы и задачи исследования.
Цель исследования - разработка иерархических моделей управления системами неоднородной структуры, достаточных условий оптимальности и методов оптимизации на их основе. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
разработка концепции иерархической модели управления динамической ДНС и ее обобщение на системы сетевой структуры;
вывод общих достаточных условий улучшения и оптимальности управления для построенных моделей и их конкретизация;
построение и оценка множеств достижимости для ДНС;
обобщение на ДНС основных методов теории вырожденных задач оптимального управления;
разработка методов последовательного улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления ДНС на основе общих достаточных условий улучшения и локализации;
применение концепции ДНС для представления и исследования импульсных и магистральных решений однородных систем и в других случаях, когда неоднородности возникают в ходе поиска и реализации различных решений;
- решение прикладных задач для неоднородных систем, моделируе
мых на основе предложенного иерархического подхода.
Научная новизна иерархического подхода к моделированию и оптимизации неоднородных динамических систем, развиваемого автором с середины 1970-х годов, сохраняется до сих пор, как показывает сравнение его с основополагающими подходами в доминирующей ныне теории гибридных систем. Все основные результаты, полученные в диссертации на его основе, также являются новыми и не имеют аналогов в мировой литературе.
Среди них и новая версия модели ДНС с соответствующими условиями оптимальности, которая существенно расширяет сферу их применения по сравнению с предшествующими версиями.
Теоретическая ценность заключается в разработке иерархических моделей управления системами неоднородной структуры, получении для них достаточных условий оптимальности и построении на их основе методов оптимизации и ряде обобщений этих результатов, в том числе и на системы сетевой структуры.
Использование иерархической двухуровневой модели дало возможность эффективно декомпозировать соответствующие задачи управления, прежде всего оптимального управления, на «однородные» подзадачи так, чтобы применить нетрадиционные методы, развитые в работах В.Ф. Кротова и его последователей с сохранением важных методологических особенностей предложенной В.Ф. Кротовым 50 лет назад теории:
-формулировка задачи и условий оптимальности в терминах минимизирующей последовательности, поскольку для современных нелинейных прикладных задач типично отсутствие оптимального элемента в желаемом классе кусочно-непрерывных управлений;
построение теории на основе принципа расширения, в корне отличного от метода вариаций, который преобладал и преобладает в вариационном исчислении и теории оптимального управления;
потенциальная конструктивность, существенная ориентация на прикладные задачи, активные преобразования модели объекта управления.
Одновременно открываются новые перспективы исследований в области систем неоднородной структуры.
Практическая ценность заключается в существенном расширении круга приложений указанных выше принципов и методов и возможностей исследования сложных современных систем в различных областях. Это продемонстрировано, в частности, на подробно проанализированных
примерах из космонавтики, робототехники, биологии, в первой и четвертой главах и при решении прикладных задач в пятой главе. Результаты диссертацонной работы использованы при выполнении проектов РФФИ (09-01-00170-а «Вырожденные задачи оптимального управления», 12-01-00256-а «Исследование импульсных и гибридных управляемых систем на основе дискретно-непрерывных моделей»), РГНФ (11-02-00171 «Системный анализ стратегий устойчивого развития на примере Бурятской части Байкальского региона »), при подготовке учебного пособия Шмидт Ф.К. Основы моделирования и оптимизации физико-химических процессов: учебное пособие/ Ф.К. Шмидт, И.В.Расина— Иркутск, Изд-во Иркут. ун-та, 2012, —359 с. (модель дискретно-непрерывного процесса, достаточные условия его оптимальности и задача моделирования и оптимизации химико-фармацевтического процесса).
Методология и методы исследования. В работе используются общие принципы и методы математического моделирования, достаточные условия оптимальности Кротова, принципы расширения и локализации, специальные методы теории вырожденных задач.
Положения, выносимые на защиту.
-
Иерархические модели и общие достаточные условия оптимальности типа Кротова для представления и оптимизации неоднородных систем.
-
Достаточные условия оптимальности в форме Беллмана как для общей нелинейной ДНС, так и для ее важных частных случаев: линейной и линейно-квадратической ДНС.
-
Внешние оценки множеств достижимости ДНС на основе общего принципа расширения и семейств расширяющих отображений, аналогичные внешним оценкам для систем однородной структуры.
-
Обобщение на ДНС основных понятий и специальных методов теории вырожденных задач оптимального управления для систем однородной структуры. Среди них метод сингулярных расширений и метод кратных максимумов как специальная конкретизация общих достаточных условий Кротова.
-
Серия методов и алгоритмов итерационного улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления и единая итерационная процедура для ДНС на основе общего принципа локализации глобальных достаточных условий улучшения и оптимальности.
-
Теоретические приложения ДНС: методы представления и исследования импульсных процессов и магистральных решений в вырожденных задачах. Схемы применения концепции ДНС для дискретизации непрерывных управляемых систем и использования ранее разработанных программных комплексов моделей с постоянными параметрами, изменяющимися по требованию в процессе функционирования.
-
Обобщение модели ДНС и достаточных условий оптимальности на системы сетевой структуры.
-
Постановки и решения содержательных примеров и прикладных задач на основе предлагаемого подхода.
Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных результатов подтверждена строгими формулировками и доказательствами серии теорем и четкой интерпретацией решений практических задач.
Результаты работы были представлены в докладах на следующих научных конференциях и семинарах: международная конференция «Математика, управление, интеллект», Иркутск, 2000; X международная конференция «Математика, экономика, образование», Ростов-на-Дону, 2002; международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения», Ростов-на-Дону, 2002; международные конференции «Актуальные проблемы права, экономики и управления в Сибирском регионе» 2005, 2007, 2008, 2011 в Иркутске; IV международная конференция «Математика, ее приложения и математическое образование», Улан-Удэ - Байкал, 2011; XV Байкальская международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, 2011; международная конференция «Динамические системы, нелинейный анализ и их приложения», Ереван, 2011; Школа-семинар «Модели, оптимизация и приложения импульсных и гибридных систем», Геленджик, 2011; VI международный научный семинар GSSCP-2012 «Обобщенные постановки и решения задач управления», Геленджик, 2012; Всероссийская конференция «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах», Санкт-Петербург, 2012; Российско-Китайский семинар «Теория оптимального управления и научные вычисления», Шанхай, 2012; международная конференция «Numerical Computations: Theory and Algorithms (NUMTA-2013)», Falerna (CZ), Italy, 2013; 5th IFAC International Workshop on Periodic Control Systems 2013 (PSYCO 2013), Caen, France; научный семинар Института программных систем им. А.К. Айламазяна РАН «Модели и методы теории управления»; российский междисциплинарный семинар «Тео-
рия систем и моделирование», научный семинар Бурятского государственного университета «Математическое моделирование и задачи управления».
