Содержание к диссертации
Введение
1. Основные уравнения моделей движения грунтовых вод 27
1.1. Обобщенное уравнение Буссинеска с дробной производной по времени . 27
1.2. Первый способ линеаризации нагруженного уравнения Буссинеска . 33
1.3. Второй способ линеаризации нагруженного уравнения Буссинеска . 36
1.4. Третий способ линеаризации нагруженного уравнения Буссинеска . 37
2. Линейные одномерные математические модели движения грунтовых вод и почвенной влаги 45
2.1. Анализ математической модели одномерного движения грунтовых вод, основанной на волновом уравнении 45
2.2. Анализ математической модели динамики грунтовых вод, основанной на уравнении Лаврентьева-Бицадзе с нулевым начальным условием 58
2.3.Математическая модель движения грунтовых вод, основанная на уравне нии смешанного параболо- гиперболического типа с нулевым начальным условием 63
2.4.Об одном классе математических моделей динамики грунтовых вод с горизонтальным водоупором 68
2.5.Об одном алгоритме поиска нелокального краевого условия для диффе ренциального уравнения математической модели движения грунтовых вод с непроницаемым водоупором 77
2.6 Алгоритм поиска нелокального краевого условия для нагруженного урав нения Буссинеска в случае горизонтального водоупора 84
2.7.Об одной математической модели движения почвенной влаги и алгоритме ее компьютерной реализации 88
2.8 Алгоритм реализации математической модели движения почвенного рас твора 97
3. Нелокальные начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений математических моделей движения грунтовых вод 101
3.1.Эталонная начально-краевая задача для смешанного типа уравнения од номерного движения грунтовых вод с горизонтальным водоупором 101
3.2. Видоизмененная эталонная начально-краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе 116
3.3.Об алгоритме долгосрочного прогноза динамики грунтовых вод 121
4. Математическая модель эволюции малых возмущений в каналах с по ристыми и проницаемыми стенками 129
4.1.Выбор и анализ базовых уравнений 129
4.2. Смешанная задача для нелокального волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования в младшем члене 134
4.3.Модификация уравнения модели фильтрации, учитывающая явления по следействия 143
5. Математическая модель динамики микрометеорологического режима при орошении 145
5.1.Математическая модель процесса трансформации полей температуры и влажности при стационарных условиях 145
5.2. Пропорциональность турбулентного потока дробной производной от удельной влажности на деятельной поверхности 148
6.3.Представление турбулентного потока, удельной влажности и температуры на деятельной поверхности через функции Миттаг-Леффлера 155
5.4.Математические модели водопотребления и нормы орошения 159
5.5.Качественный и сравнительный анализ математической модели динамики микрометеорологического режима при орошении и формул Лайхтмана 162
Заключение 167
Список литературы 173
- Первый способ линеаризации нагруженного уравнения Буссинеска
- Анализ математической модели динамики грунтовых вод, основанной на уравнении Лаврентьева-Бицадзе с нулевым начальным условием
- Видоизмененная эталонная начально-краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе
- Смешанная задача для нелокального волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования в младшем члене
Введение к работе
Актуальность темы исследования. За последние годы интенсивно разрабатываются и исследуются математические модели различных нелокальных процессов переноса субстанции в системах, обладающих фрактальной структурой. К таким системам относятся сильно пористые среды со сложной топологией порового пространства, и в первую очередь почва и почвогрунт. Интерпретация структуры пор в пористых средах как множества с фрактальной размерностью Хаусдорфа-Безиковича приводит к существенно новым уравнениям тепломассопе-реноса в этих средах, которые относятся к классу малоисследованных нелокальных нагруженных уравнений в частных производных основных и смешанных типов. Фрактальные структуры являются следствием многих процессов и явлений необратимого роста, например, таких, как явления фрактальной диффузии, агрегирование, многофазность, растворения, образование вязких пальцев при вытеснении жидкости в пористых средах. Фрактальность системы в свою очередь приводит к необходимости анализа ее свойств в рамках концепции пространственной нелокальности.
П. Я. Полубаринова-Кочина, С. Ф. Аверьянов, М. Г. Андерсен, Т. П. Берт, Я. Бэр, Л. Дакштейн, Д. 3. Заславски, С. Ирмей, Р.Дж. Ханке и другие в своих исследованиях обращали внимание на важность выяснения физико-математических основ процессов переноса в природных водоносных системах и создания их математической модели для решения задач гидрогеологического прогнозирования, защиты подземных вод от загрязнения и борьбы с засолением орошаемых земель.
Задачи теории движения грунтовых вод, физики пограничного слоя атмосферы, тепломассообмена в капиллярно-пористых телах, а также накопленные в физике фракталов теоретические и экспериментальные материалы о свойствах систем с фрактальной структурой ставят проблему выхода за рамки традиционных математических моделей, в основе которых лежат локальные дифференциальные уравнения в частных производных и соответствующие им локальные начально-краевые задачи. Выход состоит в разработке на базе концепции фрактала и пространственно-временной нелокальности нелокальных математических моделей, учитывающих фрактальную во времени и в пространстве природу нелинейных явлений, самоподобие фрактальных систем, эффект памяти и пространственные корреляции.
Актуальность темы подтверждается еще и тем, что в основе нелокальных моделей систем с распределенными параметрами лежат нелокальные уравнения в частных производных й ШРЗДинаОДКОД^З^Ьль-
БИ&ЛНОТ6КА і
! ггзкяг
ные и нелокальные начальные и краевые задачи, теория которых активно разрабатывается учеными различных государств, но она далека до завершения.
Исследование по теме докторской диссертации проводилось в рамках плана научно-исследовательских работ Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук по следующим двум направлениям фундаментальных исследований:
«Нелокальные дифференциальные операторы основных и смешанных типов и их применение к фундаментальным исследованиям в различных областях знаний» (№ГР 01.20.00 12841);
«Развитие дробного исчисления и анализа на фракталах для разработки математических моделей физико-биологических процессов и сред с фрактальной структурой» (№ГР 01.20.00 12845);
а также проекта № 00-01-00311 - «Исследование класса задаваемых дифференциальными операторами дробного порядка математических моделей тепломассопереноса в средах с фрактальной структурой», поддержанного в 2000, 2001, 2002 годах Российским фондом фундаментальных исследований.
Цель работы. Основная научная цель работы - разработка принципиально новых компьютерно реализуемых и разного уровня прогностической значимости нелокальных математических моделей: движения грунтовых вод и почвенной влаги; эволюции малых возмущений в каналах с пористыми и проницаемыми стенками; динамики микрометеорологического режима при орошении больших площадей.
Методы исследования. Концепции фрактала и пространственно-временной нелокальности в сочетании с формализмом дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегро-дифференцирования являются методологической базой диссертации, где для достижения основной цели использованы: основные принципы математического моделирования локальных систем с распределенными параметрами; методы теории тепломассопереноса, движения грунтовых вод, аналитической теории как локальных, так и нелокальных линейных дифференциальных уравнений основных и смешанных типов; методы априорных оценок, интегральных уравнений и преобразований; элементы дробного исчисления и классического анализа.
Научная новизна. В научно-квалификационной работе впервые получены следующие принципиально новые научные результаты, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в области математического моделирования:
1. Создана нелокальная математическая модель движения грунтовых
вод, в основе которой лежит обобщенное нагруженное дифференциальное уравнение Буссинеска с дробной производной по времени, и предложены методы ее линеаризации, приводящие к интегральным граничным условиям типа условия Самарского.
Структурный и качественный анализ математических моделей движения грунтовых вод и почвенной влаги, учитывающих явления последействия и основанных на волновом уравнении, уравнении смешанного эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типов, уравнении фрактальной диффузии. Предложены конструктивные и высокой точности алгоритмы их компьютерной реализации, учитывающие дискретные эквиваленты необходимых краевых и внутреннекрае-вых условий типа фундаментального принципа среднего для волнового уравнения и уравнения Лапласа, когда приближенное значение гармонической функции в произвольном узле прямоугольной сетки должно совпадать со средним арифметическим значением, принимаемых ее в четырех "соседних" узлах.
Исследования на корректность эталонных нелокальных смешанных задач для дифференциальных уравнений в частных производных математических моделей движения грунтовых вод и почвенного раствора, а также разработан алгоритм долгосрочного прогноза динамики грунтовых вод, проблемно-ориентированный на использование в составе математического обеспечения САПР оросительных систем и систем магистральных водопроводов для сельскохозяйственного водоснабжения.
Исследования качественных свойств математической модели эволюции малых возмущений в каналах с пористыми и проницаемыми стенками, основанной на нелокальном волновом уравнении с дробной производной в смысле Римана-Лиувилля; алгоритм теоретического поиска необходимых нелокальных краевых условий; вывод нелокальных краевых условий, порождаемых методом линеаризации уравнения безнапорного движения грунтовых вод.
Исследования качественных и структурных свойств линейной математической модели пространственно-временной динамики микрометеорологического режима при мелиорации земель. Доказана пропорциональность турбулентного потока дробной производной от удельной влажности и температуры на деятельной поверхности земли и найдены эффективные формулы их вычисления с помощью функции типа Миттаг-Леффлера.
Эффективные и компьютерно реализуемые линейные математические модели движения грунтовых вод, динамики микрометеорологического режима при мелиорации земель.
Эти шесть научно обоснованных результатов выносятся на публичную защиту, последний из них включен в «Отчет о деятельности Российской академии наук» в 2002 году как один из основных результатов в области математического моделирования.
Практическая значимость. Хотя работа носит теоретический характер, основные ее положения, касающиеся компьютерно реализуемых нелокальных математических моделей, могут сыграть важную роль при решении практически важных задач гидрогеологического прогнозирования в реальном времени, теплового и водносолевого режимов в пористых средах с фрактальной структурой, режимов орошения и водо-потребления, долгосрочного прогнозирования и управления динамикой грунтовых вод при искусственном экологически чистом орошении больших площадей, динамики фитопланктона и конвективно-диффузионного переноса в водных объектах.
Основанные на операции дробного ингеро-дифференцирования методы поиска приближенных решений смешанных задач можно использовать для развития метода фиктивных областей применительно к средам с фрактальной геометрией.
Апробация работы. Основные положения и выводы диссертации были предметом систематического обсуждения на еженедельных заседаниях научно-исследовательского семинара по современному анализу и информатике Института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук и прошли апробацию на следующих научных мероприятиях:
Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава СевКавГТУ (Ставрополь, 1992 г.);
Первая Международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 1996 г.);
Третья Международная конференция "Математика, компьютер, образование" (Москва, 1996 г.);
Международная конференция "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" (Стерлитамак, 1998 г.);
Международная конференция "Воздействие интенсивных потоков на вещество" (Терскол, 1999 г.);
Третья региональная научно-техническая конференция "Вузовская наука- Северо-Кавказскому региону" (Ставрополь, 1999 г.);
Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава СевКавГТУ (Ставрополь, 1999 г.);
Международная конференция "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. AMADE" (Минск, 1999 г.);
Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения" "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1999 г.);
Третий Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии", "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в естественных и гуманитарных науках" (Кисловодск, 1999 г.);
Девятый Международный симпозиум "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Орел, 2000 г.);
Четвертый Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии", "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в естественных и гуманитарных науках" (Кисловодск, 2000 г.);
Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование в научных исследованиях" (Ставрополь, 2000 г.);
Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ) (Новосибирск, 2000 г.);
Международная конференция "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. AMADE" (Минск, 2001 г.);
Международная конференция "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (Дрогобыч, 2001 г.);
Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения" "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 2001 г.);
Международная конференция "Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой" (Самара, 2001 г.);
Вторая Международная конференция "Нелокальные краевые за-, дачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 2001 г.);
Десятая Международная конференция "Математика. Экономика. Образование" (Ростов-на-Дону, 2002 г.);
Четвертая Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 2002 г.);
Российско-Узбекский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2003 г.);
Международная конференция "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. AMADE" (Минск, 2003 г.);
Десятая Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования" (Ростов-на-Дону, 2003 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 33 научных работы [1]—[33], в том числе одна монография [25] объемом 144 страницы, которая рекомендована к изданию Ученым советом Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации и Президиумом Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы, включающего 101 наименование. Всего 23 параграфа: 1.1.-1.4; 2.1-2.8; 3.1-3.3; 4.1-4.3; 5.1-5.5. Объем работы - 183 стр, включая иллюстрации.
Первый способ линеаризации нагруженного уравнения Буссинеска
Уравнение (1.1.18) является существенно нелинейным. Его линеаризацию, как и в случае уравнения Буссинеска (1.1.26), можно провести следующим образом. Разность представляет собой мощность водоносной части пласта. Положим, что где \Q\ - площадь области Q. В дифференциальном выражении L{h — h0\ К) сомножитель h — h0 в каждый момент времени t заменяем его средним значением 6(t) а затем полагаем, что с определенной точностью справедливо приближенное равенство Уравнение (1.1.18) эквивалентно уравнению Из (1.2.3) с учетом (1.2.2) получаем приближенное уравнение Уравнение (1.2.4) является линейным нагруженным дифференциальным уравнением, решение которого h = h(x,y,t) принимается за приближенное решение исходного нелинейного уравнения (1.2.3). Соответствующее уравнению (1.1.25) линеаризованное уравнение имеет вид где в силу (1.2.1) Величину по аналогии с [6. С. 197] назовем коэффициентом уровнепроводности в момент времени , a k8(t) - проводимостью пласта. Уравнение (1.2.5) запишем в виде здесь о = —, є = —. В случае установившихся движений уравнение (1.2.7) переходит в неоднородное уравнение Гельмгольца: В классической теории грунтовых вод при постоянных к и MQ полагают S(t) не зависящим от времени. В этом случае условие (1.2.6) означает равенство где ft(fi;)-- среднее значение h по области fi в момент времени t.
Еспи же процесс движения грунтовых вод существенно нестационарен, то задача определения коэффициента уровнепроводности экспериментальным путем становится весьма затруднительной и дорогостоящей. В этом случае можно пойти на дальнейшее упрощение уравнения (1.2.3). А именно, его можно аппроксимировать уравнением или еще более простой моделью Уравнения (1.2.9) и (1.2.10) являются линейными нагруженными уравнениями параболического типа. Пусть: граница 3Q области U представляет собой кусочно-гладкую кривую; ds - элемент дії; & - единичный вектор внешней нормали к дії. Тогда для определения среднего значения уровня грунтовых вод при заданном начальном условии воспользоваться следующим уравнением: где Модель (1.2.11) является весьма эффективной в случае, когда задано граничное условие (1,2.12), в частности, когда Предположим, что функция (1.1.1) дважды непрерывно дифференцируема в замыкании Q области течения О. Тогда уравнение (1.1.12) при постоянных а и к допускает в силу (1.1.7) и (1.1.17) следующую запись: В уравнении (1.3.1) введем новую зависимую переменную где согласно (1.2.1) то его можно аппроксимировать, опираясь на приближенное равенство Соотношения (1.3.3)-(1.3.5) позволяют сопоставить уравнению (1.3.1) уравнение
Тогда из (1.3.6) имеем Если считать функцию S() известной от начального момента времени до расчетного Т, т.е. если задано нелокальное краевое условие (1.2.1) для всех t Є [О, Т\, то уравнение (1.3.7) будет линейным нагруженным дифференциальным уравнением параболического типа относительно функции v = v[x, у, t). Когда v не зависит от времени, уравнение (1.3.7) переходит в уравнение Пуассона Приведенные в предыдущих параграфах способы линеаризации уравнения Буссинеска характеризуются тем, что имитирующие его уравнения представляют собой уравнения в частных производных параболического типа в нестационарном случае и эллиптического типа, когда процесс движения грунтовых вод не зависит (или слабо зависит) от времени.
Однако линейные дифференциальные уравнения второго порядка параболического и эллиптического типов не отражают физический факт ограниченности скорости распространения любого возмущения в пористых средах, каким является грунт. Как отмечает С.Л. Соболев [41], «процесс переноса по своей сути нелокален, так как частица переносит энергию или массу из одной точки пространства в другую, причем этот перенос происходит не мгновенно, а требует конечного промежутка времени г». Известно [1... С. 17], что грунт интерпретируется как единая система, состоящая из минеральных, коллоидных частиц, окружающей их воды с растворенными в ней солями и газообразной фазы (воздух, пары воды). Под грунтовой водой понимается гравитационная вода, которая, по определению [1. С. 25], не подвержена действию сил притяжения к поверхности твердых частиц, медленно передвигается в пористой среде под влиянием силы тяжести, в ней действует только гидродинамическое давление.
Анализ математической модели динамики грунтовых вод, основанной на уравнении Лаврентьева-Бицадзе с нулевым начальным условием
В качестве базового уравнения математической модели одномерного движения почвенного раствора в почвогрунтах, интерпретируемых как среды с фрактальной структурой, рассмотрим уравнение в частных производных следующего вида: где и = u(x,t) - концентрация почвенного раствора в точке х слоя О х г толщины г в момент времени t 0; а - коэффициент фрактальной диффузии, 6 - скорость конвекции, D%t, как и в п. 2.7, - оператор дробного дифференцирования по времени t порядка а Є [0,1]; /? - коэффициент растворения соли; и - предельная концентрация насыщения. Уравнение (2.8.1) при а = 1 совпадает с основным уравнением совместного движения воды и солей при полном насыщении почвогрунтов растворимыми солями [2. С. 25]. Оно учитывает, что изменение во времени (от начального 0 до текущего t) концентрации солей в какой-либо точке х имеет фрактальную природу, и это изменение равно поступлению солей в результате разности концентрации почвенного раствора, переноса солей движущейся влагой и вследствие растворения солей твердой фазы и поступления их в раствор. В качестве математической модели широкого класса физико-технических и мелиоративных задач, связанных с прогнозированием концентрации почвенного раствора в почвогрунтах, выступают задачи Копти для уравнения (2.8.1) в следующей постановке. Задача 2.8.1. Найти регулярное в любой точке х ]0, г[ и для любого момента времени t 0 решение и = и(х, t) уравнения (2.8.1), ограниченное при МО и удовлетворяющее условию Коши: В данном случае т() - минерализация почвенного раствора, а Ф() -"поток" концентрации на поверхности ночвогрунта г = 0в момент времени t от начального і = 0 до расчетного і — Т. В основе предлагаемого алгоритма компьютерной реализации решения задачи 2.8.1 лежит следующая схема.
В уравнении (2.8.1) введем новую переменную по формуле где ju = const. Найдем Подставив найденные значения частных производных в уравнение (2.8.1), получим где и начальным условиям Как показано в параграфе 2.4, при определенной идеализации одномерное движение грунтовых вод моделируется уравнением Лаврентьева-Бицадзе Здесь у — t — U - безразмерное время, и = u(xt у) - кинетическая переменная, связанная с уровнем грунтовой воды h(,t) в точке = ху/с в момент времени і формулой (2.4.30), г = —р. При выводе уравнения (3.1.1) предполагалось, что горизонтальный во-доупор является непроницаемым, и инфильтрация на единицу площади в единицу времени слабо зависит от времени (см. формулу (2.4.32). Это уравнение получается из (2.4.40) при т — 0 и f(x,y) = 0. При т = 0 условие (2.4.36) записывается в виде где \L ju+ при у 0, ц = fi при у 0, д = const; Т, как и ранее, -расчетное время. Граничное условие Л(0,) = ( о( ) из (2.5.7) переходит в условие К условиям (3.1.2) и (3.1.3) присоединим краевые условия Функция hi(x) = Ti{xyfc) однозначно находится из начального условия (2.4.6), а функция h(x), определяемая (например, для управления динамикой грунтовых вод) с помощью наблюдений, означает уровень воды в точке х в момент времени у Т — і,. Пусть в точке х = 0 во все моменты времени от у = — , до критического у = 0 ведется наблюдение (например, в автоматическом режиме) за динамикой грунтовых вод. Тогда с допустимой погрешностью условие (3.1.2) можно заменить смешанными (нелокальным при у 0 и локальным при у 0) условиями где Р — Т — , Фа(у) — динамика грунтовых вод в точке х = 0 . Краевые условия (3.1.3), (3.1.4), (3.1.5) и (3.1.7) являются локальными, а условия (3.1.2) и (3.1.6) представляют собой нелокальные условия типа условия Самарского.
В этом параграфе мы рассмотрим задачу поиска решения и(х, у) уравнения (3.1.1), удовлетворяющего начально-краевым условиям (3.1.3)-(3.1.7) в исключительном случае, когда безразмерные величины г и і, таковы, что U = пг} п = 1,2,3... Подлежащий исследованию вариант в определенном смысле является эталонным. Поэтому задачу назвали эталонной начально-краевой. Итак, рассмотрим уравнение (3.1.1) на евклидовой плоскости точек (х, у) в области Qn = {(х, у): 0 х г, — пг у /?}.
Видоизмененная эталонная начально-краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе
Научно обоснованно, что выход состоит в разработке на базе концепции фрактала, элементов дробного исчисления и пространственно-временной нелокальности математических моделей, учитывающих фрактальную во времени и в пространстве природу нелинейных явлений и процессов, самоподобие фрактальных систем.
Достигнута главная цель исследования, сформулированная во введении. Разработаны принципиально новые компьютерно реализуемые и разного уровня прогностической значимости нелокальные математические модели процессов переноса в водоносных системах с распределенными параметрами и фрактальной структурой: 1. Создана нелокальная математическая модель движения грунтовых вод, в основе которой лежит обобщенное нагруженное дифференциальное уравнение Буссинеска с дробной производной по времени, и предложены методы ее линеаризации, приводящие к интегральным граничным условиям типа условия Самарского. 2. Проведен структурный и качественный анализ математических моделей движения грунтовых вод и почвенной влаги, учитывающих явления последействия и основанных на волновом уравнении, уравнении смешанного эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типов, уравнении фрактальной диффузии. Предложены конструктивные и высокой точности алгоритмы их компьютерной реализации, учитывающие дискретные эквиваленты необходимых краевых и внутреннекраевых условий типа фундаментального принципа среднего для волнового уравнения [42. С. 165] и уравнения Лапласа, когда приближенное значение гармонической функции в произвольном узле прямоугольной сетки долж но совпадать со средним арифметическим значением, принимаемых ее в четырех "соседних" узлах [88. С. 323]. 3. Исследованы на корректность эталонные нелокальные смешанные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных математических моделей движения грунтовых вод и почвенного раствора. Разработан алгоритм долгосрочного прогноза динамики грунтовых вод, проблемно-ориентированный на использование в составе математического обеспечения САПР оросительных систем и систем магистральных водопроводов для сельскохозяйственного водоснабжения. 4. Исследованы качественные свойства математической модели эволюции малых возмущений в каналах с пористыми и проницаемыми стенками, основанной на нелокальном волновом уравнении с дробной производной в смысле Римана-Лиувилля. Разработан алгоритм теоретического поиска необходимых нелокальных краевых условий. Реализован вывод нелокальных краевых условий, порождаемых методом линеаризации уравнения безнапорного движения грунтовых вод. 5. Исследованы качественные и структурные свойства линейной математической модели пространственно-временной динамики микрометео-ропогического режима при мелиорации земель. Доказана пропорциональность турбулентного потока дробной производной от удельной влажности и температуры на деятельной поверхности земли и найдены эффективные формулы их вычисления с помощью функции типа Миттаг-Леффлера. 6. Разработаны эффективные и компьютерно реализуемые линейные математические модели движения грунтовых вод, динамики микрометеорологического режима при мелиорации земель.
В диссертации помимо этих шести выносимых на защиту основных результатов содержится и ряд новых положений, вспомогательных утверждений и понятий, которые могут представлять самостоятельный интерес и в других областях знаний, например, в математической биологии, газовой динамике смешанных течений и геофизике, В частности, к таким относятся:. 1. Экстремальные свойства линейных математических моделей процесса движения грунтовых вод, в основе которых. лежит весьма важное в газовой динамике околозвуковых течений уравнение Лаврентьева-Бицадзе [89]; утверждение о том, что нелинейность этого процесса проявляется через некорректность по Адамару задачи Коши в локальной постановке для уравнения Лапласа. 2. Положение о том, что для широких классов почв, включающих почвы типа Гарднера, коэффициент диффузитивности как функция влажности меняется по логистической кривой и процесс движения влаги происходит в субдиффузионном режиме, имеет фрактальную во времени природу, подобен модели макроскопического движения при стохастическом переносе. 3. Установление непосредственной связи уравнения Лайхтмана с уравнением Жевре и дано представление турбулентного потока через функцию Миттаг-Леффлера. 4. Вывод точных и приближенных формул для расчета суммарного водопотребления и норм орошения и сравнительный анализ математической модели динамики микрометеорологического режима при орошении больших площадей и формул Лайхтмана. 5. Развитие и обоснование положения о том, что в случае горизонтального водонепроницаемого водоупора среднее интегральное значение уровня, грунтовых вод представляет собой решение уравнения Риккати и его подъем и падение происходит по кривой, близкой к логистической.
Хорошо известна роль подсистемы "Уравнения и солевой прогноз" в системах автоматизированного проектирования оросительных систем и систем магистральных водопроводов для сельскохозяйственного водо-обеспечения. Основные результаты диссертации, связанные с математическими моделями динамики грунтовых вод, процессов солевлагопере-носа в почвогрунтах, могут стать фундаментальной основой развития математического и программного обеспечений этой подсистемы. В подсистеме "Режим орошения и водопотребления" САПР водохозяйственных. систем (например, САПР Севкавгипроводхоза) аналогичную роль могут сыграть математические модели микрометеорологического режима при орошении, исследованные в пятой главе диссертации.
Основные положения и выводы диссертации были предметом систематического обсуждения на еженедельных заседаниях научно-исследовательского семинара по современному анализу и информатике Института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук и прошли апробацию на следующих научных и научно-технических мероприятиях: 1. Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава СевКавГТУ (Ставрополь, 1992 г.);
Смешанная задача для нелокального волнового уравнения с оператором дробного дифференцирования в младшем члене
Актуальность темы подтверждается еше и тем, чти и основе нелокальных моделей систем с распределенными параметрами лежат нелокальные уравнения в частных производных и связанные с ними локальные и нелокальные начальные и краевые задачи, теория которых активно разрабатывается учеными различных государств, но она далека до завершения.
Исследование по теме докторской диссертации проводилось в рамках плана научно-исследовательских работ Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН по следующим двум направлениям фундаментальных исследований:
«Нелокальные дифференциальные операторы основных и смешанных типов и их применение к фундаментальным исследованиям в различных областях знаний» (№ГР 01.20.00 12841);
«Развитие дробного исчисления и анализа на фракталах для разработки математических моделей физико-биологических процессов и сред с фрактальной структурой» (№ГР 0Ї.20.00 12845); а также проекта №00-01-00311 - «Исследование класса задаваемых дифференциальными операторами дробного порядка математических моделей тепломассопереноса в средах с фрактальной структурой», поддержанного в 2000, 2001, 2002 годах Российским фондом фундаментальных исследований.
Основная научная цель работы - разработка принципиально новых компьютерно реализуемых и разного уровня прогностической, значимости нелокальных математических моделей: движения грунтовых вод и почвенной влаги; эволюции малых возмущений в каналах с пористыми и проницаемыми стенками; динамики микрометеорологического режима при орошении больших площадей., .
Концепции фрактала и пространственно-временной нелокальности в сочетании с формализмом дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегро-дифференцирования являются методологической базой диссертации, где для достижения основной цели использованы: основные принципы математического моделирования локальных систем с распределенными параметрами; методы теории тепломассопереноса, движения грунтовых вод, аналитической теории как локальных, так и нелокальных линейных дифференциальных уравнений основных и смешанных типов; методы априорных оценок, интегральных уравнений и преобразований; элементы дробного исчисления и классического анализа.
В диссертации впервые получены следующие принципиально новые научные результаты, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в области математического моделирования: 1. Создана нелокальная математическая модель движения грунтовых вод, в основе которой лежит обобщенное нагруженное уравнение Бусси-неска с дробной производной по времени, и предложены методы ее линеаризации, приводящие к нелокальным условиям типа условия Самарского; 2. Качественный анализ математических моделей движения грунтовых вод и почвенной влаги, основанных на волновом уравнении, уравнениях смешанного эллиптико-гиперболического и параболо-гиперболического типов, уравнении фрактальной диффузии, и алгоритмы их компьютерной реализации; 3. Исследования на корректность эталонных нелокальных смешанных задач для дифференциальных уравнений математических моделей движения грунтовых вод и алгоритм долгосрочного прогноза их динамики; 4. Исследования качественных свойств математической модели эволюции малых возмущений в каналах с пористыми и проницаемыми стенками, основанной на нелокальном волновом уравнении с дробной производной, и алгоритм теоретического поиска нелокальных краевых условий; 5. Исследования качественных и структурных свойств линейной математической модели простанственно-временной динамики микрометеорологического режима при мелиорации земель, доказательство пропорциональности турбулентного потока дробной производной от удельной влажности и температуры на деятельной поверхности и эффективные формулы их вычисления с помощью функций типа Миттаг-Леффлера;
6. Эффективные и компьютерно реализуемые модели движения грунтовых вод, динамики микрометеорологического режима при мелиорации земель.
Эти шесть научно обоснованных результатов выносятся на публичную защиту, последний из них включен в «Отчет о деятельности Российской академии наук» в 2002 году как один из основных результатов в области математического моделирования.
Хотя работа носит теоретический характер, основные ее положения, касающиеся компьютерно реализуемых нелокальных математических моделей, могут сыграть важную роль при решении практически важных задач гидрогеологического прогнозирования в реальном времени, теплового и водносолевого режимов в пористых средах с фрактальной структурой, режимов орошения и водопотребдения, долгосрочного прогнозирования и управления динамикой грунтовых вод при искусственном экологически чистом орошении больших площадей, динамики фитсь планктона и конвективно-диффузионного переноса в водных объектах.
Основанные на операции дробного ингеро-дифференцирования методы поиска приближенных решений смешанных задач можно использовать для развития метода фиктивных областей применительно к средам с фрактальной геометрией.
Основные результаты диссертации изложены в работах автора [56-87], в том числе в монографии [74] объемом 144 страницы.
Первая глава посвящена выводу основных уравнений моделей неустановившегося движения грунтовых вод в безнапорном пласте со сла-боизменяющейея поверхностью водоупора z = ho(x,y) и свободной поверхностью z = h(x,y,t) в области Q евклидовой плоскости точек (х,у) с абсциссой х и ординатой у в момент времени t от начального t = 0 до расчетного t = Т, а также разработке и анализу методов их линеаризации.
В этой главе, как и во всей диссертации, существенно используются элементы дробного исчисления и в первую очередь операторы 1 и д . Оператор D$t есть оператор дробного интегро-дифференцирования порядка а в смысле Римана-Лиувилля
