Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Моделирование конвективно-диффузионных процессов 23
1.1 Физическое описание процессов конвекции и диффузии 23
1.1.1 Диффузия 23
1.1.2 Конвекция 27
1.1.3 Математические модели конвективно-диффузионного переноса 30
1.2 Особенности выбора формы записи оператора конвективного переноса 38
1.2.1 Свойства дифференциальных операторов конвекции-диффузии 39
1.3 Разностные схемы 41
1.3.1 Построение сетки 42
1.3.2 Построение дискретных аналогов дифференциального уравнения и входных данных 44
1.3.3 Разностные схемы для стационарной задачи конвекции-диффузии 48
1.4 Модельная задача конвекции-диффузии 53
1.5 Общая теория итерационных методов 55
1.5.1 Операторный подход 57
1.5.2 Спектральный подход 60
1.5.3 Классические итерационные методы 62
ГЛАВА 2 Многосеточный метод решения сильно несимметричных систем 69
2.1 Этапы развития многосеточного метода 69
2.2 Описание метода 75
2.2.1 Сглаживающая процедура 76
2.2.4 Грубо-сеточная коррекция 80
2.2.5 Построение сеток 83
2.2.6 Выбор оператора на грубой сетке 86
2.2.7 Функция интерполяции 87
2.2.8 Функция ограничения 89
2.2.9 Многосеточный алгоритм 91
2.3 Виды многосеточного метода 95
2.4 Возможность параллельной реализации многосеточного метода 97
ГЛАВА 3 Теоретическое исследование многосеточного метода 102
3.1 Сходимость многосеточного метода 102
3.1.1 Сходимость сглаживающего метода 103
3.1.2 Сходимость многосеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями 104
3.2 Введение в Фурье-анализ многосеточного метода 109
3.2.1 Фурье-анализ для сеточных функций и операторов 112
3.3 Анализ на конечной области или анализ модельной задачи (МРА) 113
3.4 Локальный Фурье-анализ 117
3.4.1 Односеточный анализ Фурье или анализ сглаживания 117
3.4.2 Основные понятия Фурье-анализа 117
3.4.3 Высокие и низкие частоты Фурье-разложения 122
3.4.4 Коэффициенты сглаживания итерационных методов 125
3.4.5 Двухсеточный локальный Фурье-анализ 134
3.4.6 Анализ сглаживания II 144
3.4.7 Упрощенный двухсеточный анализ 146
3.5 Стратегии огрубления сетки 147
ГЛАВА 4 Численные исследования многосеточного метода для задач конвекции-диффузии 149
4.1 Пакет прикладных программ 149
4.1.1. Структура и описание пакета 150
4.1.2. Описание интерфейсас пользователем 151
4.2 Стационарная задача конвекции-диффузии 157
4.3 Нестационарная задача конвекции-диффузии 166
Заключение 169
Литература
- Математические модели конвективно-диффузионного переноса
- Выбор оператора на грубой сетке
- Сходимость многосеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями
- Описание интерфейсас пользователем
Введение к работе
В настоящее время складываются основы новой методологии научных исследований - математического моделирования и вычислительного эксперимента. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его математической моделью и исследовании современными вычислительными средствами математических моделей. Такой подход сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и практики.
Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не подаются исследованию в нужной полноте и точности обычными теоретическими методами. Вычислительные эксперименты с математическими моделями объектов позволяют подробно и глубоко изучить объекты в достаточной полноте, опираясь на современные вычислительные алгоритмы. Прямой натуральный эксперимент дорог, долог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как многие из исследуемых систем существуют в «единственном экземпляре». Поэтому работа не с самим объектом, а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых возможных ситуациях.
Математическое моделирование включает в себя три этапа: модель-алгоритм-программа. Математические модели реальных исследуемых процессов сложны и включают, как правило, системы нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. Ядро математической модели составляют уравнения с частными производными.
На первом этапе вычислительного эксперимента строится модель исследуемого объекта, отражающая в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т.д.
Вычислительный эксперимент предусматривает исследование группы близких моделей. Вначале строится простая, но достаточно содержательная и полная с точки зрения описания исследуемых процессов, с точки зрения близости к экспериментальным данным, модель. В процессе проведения вычислительного эксперимента, на его последующих циклах модель уточняется, учитываются все новые факторы. Поэтому всегда можно говорить об упорядоченном наборе (иерархии) математических моделей, каждая из которых с той или иной точностью описывает действительность. В рамках наиболее простой модели необходимо добиваться согласования с экспериментом.
После построения математической модели проводится ее предварительное исследование теоретическими методами, что позволяет получить важные начальные знания об объекте. Суть вычислительного эксперимента состоит в исследовании на компьютере математическом моделей численными методами. На данном этапе решаются вопросы о корректности задачи в узком математическом смысле.
Основное содержание предварительного исследования математической модели состоит в выделении более простых (модельных) задач и их всестороннем исследовании, так как полная математическая модель слишком сложна. Модельные математические задачи строятся для двух различных целей: для качественного исследования полной задачи и для проверки, тестирования вычислительных алгоритмов приближенного решения полной задачи.
Второй этап вычислительного эксперимента - разработка алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы не должны искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач. Изучение
математических моделей проводится методами вычислительной математики, основу которых составляют численные методы решения задач математической физики - краевых задач для уравнений с частными производными. На этом этапе сроится дискретная задача и численный метод решения этой дискретной задачи. Проводятся строгие доказательства существования и единственности решения дискретной задачи, получают теоретические оценки погрешности приближенного решения, сходимости итерационного процесса
На третьем этапе создается программное обеспечение для реализации модели и алгоритма на компьютере. Программный продукт должен учитывать важнейшую специфику математического моделирования, связанную с использованием ряда (иерархии) математических моделей, многовариантностью расчетов, а так же многом од ельность. Поэтому уже нельзя обойтись одной программой на компьютере, нужно иметь возможность легко ее менять для решения близких задач (задач для набора моделей). Это подразумевает широкое использование комплексов и пакетов прикладных программ, разрабатываемых, в частности, на основе объектно-ориентированного программирования.
Комплекс программ предназначен для решения близких по своей математической природе задач из одной предметной области. Он включает в себя библиотеку программных модулей (в большей или меньшей степени независимых), из которых комплектуются рабочие программы. В комплексах прикладных программ сборка программ из модулей осуществляется вручную.
В пакетах прикладных программ для сборки используются системные средства компьютера, что позволяет в значительной степени автоматизировать этот процесс.
Создав триаду «модель-алгоритм-программа», нужно удостоверится в ее адекватности исходному объекту, для этого она отлаживается и тестируется в «пробных» вычислительных экспериментах. На этапе анализа результатов становиться ясным, удачно ли выбрана математическая модель, ее вычислительная
реализация. Процесс моделирования также сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады. С полученной моделью проводятся разнообразные, подробные «опыты», дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.
Единственным универсальным способом исследования моделей является применение численных методов для нахождения приближенного решения поставленной задачи с помощью средств современной вычислительной техники.
Доступный «пониманию» компьютера вычислительный алгоритм, т. е. последовательность операций, в результате выполнения которых находится решение, должен удовлетворять весьма жестким и подчас противоречивым требованиям. К ним относится, прежде всего, необходимость получить решение с заданной точностью за разумное и, по возможности, минимальное число действий. Объемы обрабатываемой при этом информации не могут превышать допустимой емкости машинной памяти, в процессе вычислений нельзя допускать возникновения не воспринимаемых компьютером слишком больших или слишком малых чисел и т.д.
Только отвечающие этим требованиям вычислительные алгоритмы позволяют проводить всестороннее численное исследование исходной модели, подвергать ее вычислительному эксперименту, проводя ее анализ в самых разных ситуациях и получая исчерпывающую информацию об изучаемом объекте. Такое понимание математического моделирования означает не просто уточнение количественных характеристик явлений, но так же изучение основных их качественных свойств. Последнее важно, прежде всего, для нелинейных объектов, поведение которых может быть весьма разнообразным и неожиданным.
Проблемы численного моделирования не снимаются сами собой по мере появления все более мощных компьютеров. Это связано, по меньшей мере, с двумя причинами: усложнением выдвигаемых как практикой, так и теорией, за-
дач и необходимостью большого числа серий вычислительных экспериментов для достаточно полного изучения объекта.
Поэтому разработка эффективных вычислительных алгоритмов всегда остается одной из ключевых задач математического моделирования. Для их конструирования широко используются методы, идеи и подходы, применяемые при построении исходных математических моделей. Эта связь хорошо прослеживается на примере очень широкого класса моделей - тех, которые сводятся к дифференциальным уравнениям. Для них процесс создания вычислительных алгоритмов состоит из двух главных этапов: на первом строятся дискретные аналоги исходных моделей, на втором дискретные модели решаются численно.
Вычислительные средства (численные методы и компьютеры) широко используются для математического моделирования проблем механики сплошной среды, механики жидкости и газа. При исследовании многих процессов в движущихся средах в качестве основных можно выделить диффузионный перенос той или иной субстанции и перенос, обусловленный движением среды, т. е. конвективный перенос. В газо- и гидродинамике в качестве базовых моделей многих процессов выступают краевые задачи для стационарных и нестационарных уравнений конвекции-диффузии - эллиптическое или параболическое уравнение второго порядка с младшими членами.
Существует большое количество природных процессов и явлений, описываемых уравнением конвекции-диффузии - распространение загрязнения в водоемах и атмосфере, движение подземных вод и др. [18, 41, 94]. Исследование большинства процессов, описываемых уравнением конвекции-диффузии, особенно важно при решении экологических проблем.
В тех случаях, когда процесс конвекции является преобладающим, применение стандартных численных методов становится весьма проблематичным, с математической точки зрения это объясняется наличием малого параметра при старшей производной. При некоторых дополнительных условиях - несогласо-
ванности правой части дифференциального уравнения с краевыми условиями -в таких задачах может возникать явление пограничного слоя, т.е. резкое изменение решения в очень малой области расчета [111]. Трудности численного решения этих задач обусловлены их двойственной природой. Когда коэффициент при старшей производной становится достаточно малым, начальная эллиптическая задача ведет себя по существу как гиперболическая вне приграничных областей, в то время как диффузионный эффект наблюдается только в слоях. Однако подход к решению эллиптических и гиперболических задач различается.
Для таких задач, кроме метода разностной аппроксимации, весьма важной является начальная форма записи уравнения конвекции-диффузии [21]. Существуют три формы записи оператора конвективного переноса, которые эквиваленты для дифференциального уровня в несжимаемых средах, но после аппроксимации приводят к различным формам разностных уравнений, отличающихся по своим свойствам.
При различных методах разностной аппроксимации дифференциального уравнения конвекции-диффузии получаем системы линейных алгебраических уравнений различного типа. В случае преобладающей конвекции использование противопотоковых схем приводит к системе линейных алгебраических уравнений с монотонной (М-матрицей) и сильному сглаживанию решения за счет появления в разностных уравнениях искусственной вязкости. Поэтому при решении данных задач эффективнее использовать центрально-разностную аппроксимацию, при которой сохраняется характер поведения решения, но в результате получается система линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, не имеющей диагонального преобладания. В этом случае задач большинство классических методов либо вообще не работают, либо обладают очень медленной скоростью сходимости. Поэтому так актуальна проблема создания эффективных численных методов для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией [3,4,21, 39].
В настоящее время для решения задач линейной алгебры существует множество различных численных методов, которые непрерывно усовершенствуются и модифицируются. Активно разрабатываются новые методы. В результате оказывается, что значительная часть созданных методов имеет право на существование, обладая своей областью применимости. При решении конкретной задачи важно выбрать наиболее подходящий для рассматриваемого класса задач метод из множества допустимых методов решения данной задачи. Этот метод, очевидно, должен обладать наилучшими характеристиками, такими как минимум времени решения задачи на компьютере (или минимум числа арифметических и логических операций при нахождении решения), вычислительной устойчивостью, т. е. устойчивостью по отношению к ошибкам округления и др. При выборе метода решения задач конвекции-диффузии необходимо учитывать перечисленные выше особенности рассматриваемого класса задач.
Одним из критериев выбора алгоритма, используемого при численном моделировании той или иной физической задачи, является объем вычислительной работы, который требуется для его реализации. Существует правило, что этот объем должен быть пропорционален реальным физическим изменениям, происходящим в моделируемой системе. Если алгоритм требует большого количества тяжелой вычислительной работы для расчета слабого эффекта или очень медленного физического процесса, то от такого «затратного» алгоритма следует, по возможности, отказаться, выбрав более эффективный.
Примером «затратных» алгоритмов являются обычные итерационные методы для решения алгебраических уравнений, возникающих при численном решении уравнений в частных производных или интегро-дифференциальных уравнений. Так, практически единственным, но наиболее существенным недостатком методов Якоби и Гаусса-Зейделя, используемых для решения эллиптических задач методом сеток, является их низкая скорость сходимости. Другим примером могут служить решения нестационарных задач, с шагом по времени
(выбор которого диктуется условиями устойчивости) много меньшим масштаба реального изменения решения. То есть, в общем случае, «затратным» можно назвать такой алгоритм, который требует использования очень подробных сеток, там, где на большей части расчетной области величина шага по пространству или по времени много меньше, чем реальный масштаб изменения решения.
В этом случае эффективным решением проблемы является использование многосеточного алгоритма, который позволит преодолеть главную трудность, возникающую при решении такого рода задачи - ее «жесткость». Жесткость задачи заключается в существовании нескольких компонент решения, которые имеют разный масштаб и конфликтуют друг с другом. Например, гладкие компоненты, которые можно эффективно аппроксимировать на грубых сетках, но которые плохо сходятся на мелких сетках, конфликтуют с высокочастотными компонентами, которые необходимо аппроксимировать с помощью мелких сеток. Используя несколько уровней дискретизации, многосеточный алгоритм решает конфликты такого рода, позволяя достигать большой эффективности, путем снижения объема вычислений, необходимых для получения численного решения.
Благодаря вышеуказанным свойствам многосеточный метод {MGM) стал в последние годы одним из эффективных и довольно универсальных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Многосеточный метод принадлежит к классу быстро сходящихся итерационных методов. Метод является оптимальным по числу арифметических операций для достижения точности, согласованной с порядком сходимости. Скорость сходимости многосеточного метода всегда независима от числа неизвестных в системе, полученной в результате аппроксимации дифференциального уравнения, то есть многосеточный метод обладает не улучшаемой оценкой сходимости. Другая особенность метода - то, что он является своего рода шаблоном. Не существует строго определенного многосеточного алгоритма, применимого ко всем крае-
вым задачам. Многосеточный метод устанавливает лишь структуру алгоритма, эффективность которого во многом зависит от адаптации его компонент к конкретной задаче.
В данном исследовании мы предлагаем многосеточный метода со сглажи-вателем специального вида, который эффективно решает сильно несимметричные СЛАУ, появляющиеся после центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.
Обладая высокой эффективностью, многосеточные методы допускают наиболее естественное распараллеливание и векторизацию приложений, что позволяет отнести их наиболее перспективному и быстро развивающемуся разделу высокопроизводительных алгоритмов.
Многосеточный метод может применяться к задачам, рассматриваемым в областях произвольной формы и с различными граничными условиями. MGM может быть использован при решении сложных, несимметричных и нелинейных систем уравнений. Он может применяться для решения нестационарных параболических уравнений. В настоящее время ведутся активные исследования использования многосеточного метода для гиперболических уравнений.
В настоящее время многосеточные алгоритмы эффективно применяются для решения задач динамики плазмы и гидродинамики, расчета собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов, для расчета нейтронных полей в ядерном энергетическом реакторе, для решения задач теории упругости, а так же в задачах обтекания тел достаточно сложной формы.
Целью данной работы является разработка, исследование и программная реализация модификаций многосеточного метода для включения в виде расчетного модуля в программный комплекс "Математическое моделирование конвективно-диффузионного переноса в средах с преобладающей конвекцией".
В соответствии с этими целями решен ряд задач:
использованы новые эффективные сглаживающие процедуры в многосеточном методе для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений;
теоретически обоснованы предложенные модификации;
создано программное обеспечение, позволяющее реализовать модификации многосеточного метода для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.
Методы исследования основаны на базовых положениях теории многосеточных методов, теории оператори о-разностных схем, а также на теории итерационных методов, понятиях и методах матричного анализа.
Научная новизна. Предложено использовать новый класс сглаживателеи в многосеточном методе для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, полученных после разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, доказана сходимость многосеточного метода с новыми сглаживателями. Проведен локальный Фурье-анализ предложенных сглаживающих методов в многосеточном методе и локальный Фурье-анализ двухсеточного метода. Проведено сравнение эффективности многосеточного метода с предложенными сглаживателями и многосеточного метода с другими типами сглаживателеи для решения различного типа задач.
Достоверность. Представленные в диссертации теоремы имеют строгое математическое обоснование, предложенные методы теоретически исследованы и численно проверенны.
Практическая значимость. С помощью разработанных методов можно эффективно решать стационарные и нестационарные задачи конвективно-диффузионного переноса с дискретным пространственным оператором, матрица которого диссипативна (т.е. симметричная часть матрицы положительно определена). Разработанный расчетный модуль включен в программный комплекс,
реализующий математические модели конвективно-диффузионного переноса в средах с преобладающей конвекцией.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VIII, IX X и XI Всероссийских школах-семинарах молодых ученых "Современные проблемы математического моделирования" (п. Абрау-Дюрсо 1999г., 2001г., 2003г., 2005г.); на Всероссийской конференции "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности" (п. Абрау-Дюрсо, 2000г.); на VIII и IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященном памяти А.Ф. Сидорова (Пушино, 2000г.; п. Абрау-Дюрсо, 2002г.); на I и II Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач" (г. Казань, 2001г., 2003г.); на Международной конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике" (г. Ростов-на-Дону, 2001г.); на международной конференции ІММС-2002 "Итерационные методы и матричные вычисления" (г. Ростов-на-Дону, 2002г.); на IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2002) / XIX Международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (г. Санкт-Петербург, 2002г.); на Международной конференции по вычислительной математике ІССМ-2002 (г. Новосибирск, 2002г.); на Всероссийской научно-технической конференции "Параллельные вычисления в задачах математической физики" (г. Ростов-на-Дону, 2004г.); на II Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (п. Абрау-Дюрсо, 2004г.)
В полном объеме диссертационная работа докладывалась на научном семинаре "Методы решения краевых задач" лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО РГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, в том числе 14 в соавторстве. Из них 1 статья в российском реферируемом журнале, 11 статей в сборниках трудов и 5 в тезисах докладов всероссийских и международных конференций.
В работах, опубликованных в соавторстве, автору принадлежат исследование сходимости модификаций многосеточного метода, Фурье-анализ и проведение вычислительных экспериментов.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
В диссертации предлагается модификация многосеточного метода решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.
Во введении раскрывается актуальность темы диссертации, изложены основные цели и задачи диссертации, показана их практическая значимость, представлена структура диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.
Первая глава посвящена физическому описанию процессов конвекции и диффузии. Сделан краткий обзор существующих математических моделей различных природных процессов, в основе которых лежит уравнение конвекции-диффузии. Отмечены особенности формы записи оператора конвективного переноса, рассмотрены различные способы аппроксимации операторов конвективного и диффузионного переноса. Приводятся основные понятия, определения и свойства линейных операторов, необходимые для дальнейшего изложения результатов исследования.
В прямоугольной области рассматривается двухмерное стационарное уравнение конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией, записанное в симметричной форме. Ограничиваемся рассмотрением движения неразрьшнои несжимаемой жидкости. Дифференциальное уравнение дополняется граничными условиями 1-го рода.
При аппроксимации дифференциального уравнения используется метод конечных разностей с центрально-разностной аппроксимацией первых производных. Получаемая, в результате матрица является диссипативной, т.е. ее симметричная часть самосопряжена и положительно определена, а также если параметр при старшей производной в уравнении мал, то матрица будет сильно несимметричной, то есть в некоторой матричной норме кососимметричная часть исходной матрицы преобладает над симметричной.
Приведены основные определения и теоремы из теории итерационных методов, представлен обзор классических и современных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, условия их сходимости.
Во второй главе изложены основные принципы многосеточного метода.
Многосеточный метод является эффективным методом решения дифференциальных уравнений в частных производных. В основе многосеточного метода лежат два принципа:
принцип сглаживания - многие классические итерационные методы подобно методу Гаусса-Зейделя или Якоби обладают эффектом сглаживания ошибки при применении к дискретным задачам;
принцип грубо-сеточной коррекции - гладкие компоненты ошибки могут быть хорошо представлены на более грубой сетке, где решение требует меньше вычислительных затрат.
Многосеточный алгоритм позволяет значительно повысить эффективность основного итерационного метода, комбинируя обычный итерационный процесс с приемом, называемым грубо-сеточной коррекцией - последовательным использованием в вычислениях более грубых сеток.
Во второй главе диссертационной работы представлены различные виды многосеточных алгоритмов, отдельно рассмотрены каждая из компонент многосеточного метода. Особое внимание уделено сглаживающим методам.
Роль базовых итерационных методов (сглаживающих методов) заключается в том что, они должны не столько уменьшать ошибку, сколько сглаживать ее, а именно подавить высокочастотные гармоники ошибки так, чтобы ошибка могла быть хорошо приближена на грубой сетке.
Существует целый ряд итерационных методов, которые можно использовать в качестве сглаживателей в многосеточном методе, но не все они эффективны для решения сильно несимметричных систем. В диссертационной работе предлагается использовать в качестве сглаживателей итерационные методы из класса треугольных кососимметричных методов (ТКМ), впервые предложенных в работах проф. Крукиера Л.А. Использование метода из класса ТКМддя решения систем линейных алгебраических уравнений не требуют диагонального преобладания для начальной матрицы. Единственным ограничением этих методов является требование диссипативности исходной матрицы. Поведение методов класса ТКМ аналогично поведению метода Гаусса-Зейделя, который быстро гасит высокочастотные гармоники ошибки, замедляясь в дальнейшем. Поэтому треугольные методы являются эффективными сглаживателями в многосеточном методе для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений.
Сделан краткий обзор возможности параллельной реализации многосеточного метода, даны основные понятия параллелизма, приведена модель параллельных вычислений для многосеточного метода. Проведен теоретический анализ эффективности параллельного многосеточного алгоритма.
Третья глава диссертационной работы посвящена теоретическому исследованию многосеточного метода с предложенными в качестве сглаживателей треугольными кососимметричными методами. Доказана сходимость многосеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями.
Основным инструментальным средством для получения количественных оценок сходимости и оптимизации различных компонент многосеточного мето-
да в регулярных областях может рассматриваться Фурье-анализ, который легко применяется как к симметричным, так и несимметричным задачам.
Основная идея Фурье-анализа, изложенная в третьей главе, состоит в том, чтобы представить ошибку или невязку в виде суммы некоторых периодических функций, называемых компонентами Фурье. При этом появляется возможность оценить воздействие различных многосеточных компонент на каждый компонент Фурье.
Существует два подхода при анализе многосеточного метода, которые отличаются, главным образом, исследуемой областью: анализ можно проводить на конечной дискретной области или на бесконечной сетке. Первый - точный анализ, который известен как анализ модельной задачи (МРА) может быть применен только к некоторым модельным ситуациям, таким как прямоугольная область и постоянные коэффициенты операторов. Второй тип анализа называется локальным Фурье-анализом (LFA). В LFA, основные дискретные операторы с постоянными коэффициентами считаются формально расширенными на бесконечную сетку. Следовательно, граничными условиями пренебрегают. Также, согласно общим предположениям, любой дискретный оператор, нелинейный, с непостоянными коэффициентами может быть локально линеаризован и локально заменен (замораживая коэффициенты) оператором с постоянными коэффициентами.
В третьей главе диссертации проведен односеточный локальный Фурье-анализ или анализ сглаживания и двухсеточный Фурье-анализ предложенной модификации многосеточного метода. При проведении односеточного анализа основное внимание в многосеточном цикле уделяется процедуре сглаживания, а влиянием грубо-сеточной коррекции пренебрегают или используют "идеальный" оператор грубо-сеточной коррекции. При проведении Фурье-анализа сглаживания важным моментом является вычисление коэффициента сглаживания, который может быть легко рассчитан для большинства стандартных сгла-
живаюших методов. Коэффициент сглаживания показывает, насколько метод является хорошим сглаживателем.
Для лучшего понимания замысла и структуры многосеточного метода проводится двухсеточный LFA. Этот анализ дает больше информации, чем анализа сглаживания. Его целью является определение коэффициента асимптотической сходимости, по которому можно судить о сходимости двухсеточного метода.
В четвертой главе описывается созданный расчетный модуль, который реализует предложенные модификации многосеточного метода. Данный расчетный модуль является одним из компонентов программного комплекса, разрабатываемого в Южно-Российском региональном центре информатизации Ростовского госуниверситета "Математическое моделирование конвективно-диффузионного переноса в средах с преобладающей конвекцией". Программный комплекс предназначен для реализации математических моделей, описывающих процессы распространения вещества в водных и воздупшых средах. Приводятся и анализируются результаты численных экспериментов, проведенных с использованием предлагаемого программного модуля.
Для численного исследования эффективности предложенных модификаций многосеточного метода рассматривались две модельные задачи - стационарная и нестационарная задача конвекции-диффузии.
В стационарном случае дифференциальное уравнение, представленное в первой главе, дополнялись граничными условиями первого рода. Поставленная задача рассматривалась с различными известными точными решениями.
В нестационарном случае, как и в случае стационарной задачи для аппроксимации конвективных членов по пространственным переменным использовались центральные разности, применялась неявная схема.
Были проведены вычислительные эксперименты для четырех модельных задач с различными векторами скорости движения среды - постоянными, с раз-
деляющимися переменными, линейными и быстроменяющимися коэффициентами. Исследовалось поведение метода в зависимости от числа Пекле.
При проведении локального Фурье-анализа, чтобы оценить свойство сглаживания базовых итерационных методов были получены коэффициенты сглаживания для треугольных кососимметричных методов. Для оценки сходимости двухсеточного метода с предложенными треугольными кососимметрич-ными сглаживателями были вычислены коэффициенты асимптотической сходимости двухсеточного метода. Исследования проводились для задачи с постоянным вектором скорости движения среды. Проведено сравнение результатов Фурье-анализа многосеточного метода, в котором в качестве сглаживателей выбирались треугольные кососимметричные сглаживатели с многосеточным методом со стандартными сглаживателями (методом Гаусса-Зейделя и методом Якоби).
В заключении приведены результаты сравнения на модельных задачах основных свойств многосеточного метода с различными сглаживающими процедурами. Даны рекомендации о целесообразности и эффективности использования тех или иных модификаций многосеточного метод в зависимости от особенностей решаемой задачи. Подводятся итоги проведенных в диссертации исследований.
Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному руководителю к.ф.-м.н., доценту Муратовой Г.В. и проректору РГУ, директору ЮГИНФО РГУ д.ф.-м.н., проф. Крукиеру Л.А., благодарит коллектив ЛВЭ ЮГИНФО РГУ за внимание к работе, оказанную помощь и полезные советы.
К ЗАЩИТЕ ПРЕДСТАВЛЕНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:
Предложены, теоретически и численно исследованы модификации многосеточного метода для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений, полученных после разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией. Доказана теорема сходимости предложенных модификаций многосеточного метода,
Проведен Фурье анализ предложенных модификаций многосеточного метода. Исследованы способы выбора различных сглаживателей из класса треугольных кососимметричных итерационных методов.
Создан программный комплекс, реализующий предложенные модификации многосеточного метода. Проведены численные исследования многосеточного метода на модельных задачах для процессов конвективно-диффузионного переноса.
Математические модели конвективно-диффузионного переноса
Математические модели, включающие в себя комбинацию конвективных и диффузионных процессов, достаточно часто встречаются при описании различных явлений окружающей среды. Представим некоторые наиболее часто рассматриваемые модели.
Модель распространения многофазного вещества в водоеме
В настоящее время биосфера Земли подвергается нарастающему антропогенному воздействию. При этом можно выделить несколько наиболее существенных процессов, любой из которых ухудшает экологическую ситуацию на планете.
Наиболее масштабным и значительным является химическое загрязнение окружающей среды несвойственными ей веществами химической природы. Многие химические вещества, попадающие в водоемы в результате техногенных аварий, а также в процессе функционирования промышленных предприятий, представляют собой не однородные, а многофазные вещества или многокомпонентные смеси. К таким веществам, например, относятся нефтяные загрязнения, тяжелые металлы и радионуклиды.
Особого внимания заслуживает радионуклидное заражение от работающих атомных электростанций и предприятий ядерного топливного цикла, когда возможные аварии несут глобальные, негативные последствия.
Потребность предсказания возможных последствий строительства тех или иных гидросооружений для экологии региона, а также расчета последствия уже произошедших катастроф, диктует необходимость создания специализированных математических моделей.
В области Qy.T, Q = ПиГ рассматривается система трехмерных уравнений, описывающая процессы переноса в многофазной среде [45]: ot i=iaxi dXj і=ідхі ы дхі divvt = 0, S = {S1,S2,...,Sk} - вектор концентраций i-x веществ, Mj, M2, M3 - диагональные матрицы размера kxk с элементами \juf }i=; - коэффициентами турбулентной диффузии /-го вещества, а = 1,2,3, V}, V2, V3 - диагональные матрицы размера к х к, элементами которых являются скорости движения каждой компоненты примеси по направлениям х, у и z соответственно, v,- = {M(,V(,W(} - вектор скорости движения Ї -ГО вещества. В общем случае нелинейный оператор вида B(S) описывает взаимодействие веществ в среде. Система дифференциальных уравнений замыкается начальными _ __ 4 S[=o S и смешанными краевыми условиями на границе Г= \jrt области лс _ G + PS(x) = R(x),xer,t 0, дп где Г0 - боковая непроницаемая граница, Г, - участки впадання рек, Г2 -открытые участки границы, на которых происходит водообмен, Г3 - поверхность водоема, Г4 - дно водоема.
Примером многофазной жидкости может служить водоем, в который попало некоторое количество радионуклидов. Модель распространения загрязнения в атмосфере Первая модель
В последнее время сильно возрос научно-практический интерес к математическому моделированию процессов загрязнения атмосферы антропо генными источниками, в том числе и радиоактивными элементами в районах атомных электростанций.
Для прогнозирования состояния атмосферы важно определить, какие факторы способствуют распространению загрязнения, и наоборот, какие его ослабляют. Так, увеличению концентрации вредных веществ в атмосфере способствуют следующие факторы: слабый ветер (0-0,3 м/с), инверсия температуры воздуха, туман. Вместе с тем ряд факторов может способствовать ослаблению концентрации вредных веществ в атмосфере, например, сильный ветер и осадки.
Большинство рассматриваемых моделей загрязнения в атмосфере -трехмерные, именно такие модели позволяют учесть все особенности физико-химических процессов распространения примесей в воздушной среде. Математические модели распространения загрязнений в атмосфере могут либо учитывать многослойность атмосферы [8], либо рассматривают загрязнения только в приземном слое атмосферы [11,31, 35].
В качестве математической модели исследуемых процессов рассматривается транспортно-диффузионное уравнение распространения примесей в ветровом поле над местностью со сложным рельефом, выражающее закон сохранения вещества. Решается трехмерная начально-краевая задача распределения радиоактивных примесей в атмосфере.
Выбор оператора на грубой сетке
Выбор операторов интерполяции Р и ограничения R" сильно зависит от процедуры огрубления сетки. Для описания функции перехода с более грубой сетки на более мелкую, мы рассматриваем две сетки - Qh обозначенную на (рис. 2.5) точками и Q2h обозначенную на (рис. 2.5) квадратами, то есть используется стандартное огрубление сетки.
Функция интерполяции (prolongation) осуществляет переход с грубой сетки Q2h на более мелкую сетку Qh. Чаще всего в качестве оператора перехода используется функция, называемая билинейной интерполяцией.
Пусть даны значения функции ошибки (поправки) в узлах шаблона на грубой сетке (0,0), (0,2h), (2h,0), (2h,2h) Oh r\02k, отмеченные на рис. 2.6. Процесс распределения для оператора билинейной интерполяции. Интерполяция с помощью формул (2.2.9), (2.2.10), (2.2.11) называется девятиточечным продолжением, а с помощью формул (2.2.9), (2.2.10), (2.2.12) -семиточечным продолжением.
Вводим поправку к точному решению, т.е. ошибку vt=ut и& точное. Как отмечено выше, большинство итерационных методов быстро гасят высокочастотные гармоники ошибки. Низкочастотные гармоники сходятся гораздо медленнее, и поэтому будут составлять подавляющую часть ошибки. В результате нескольких сглаживающих итераций ошибка становится некоторой плавно меняющейся сеточной функцией, для которой можно выписать систему сеточных уравнений с невязкой в правой части.
Для этого подставим ui в уравнение (2.2.15) и получим дефект или невяз T-dt=Ltut-ft. уравнения Livi =Lgue - Ьги1точное = L(ue - f? =df получаем систему уравнений такого же вида, как (2.2.15) Lev( = de. Правая часть - дефект или невязка, в качестве искомой функции имеем поправку к точному решению, о которой известно, что она является гладкой функцией. Эту систему можно решить и найти ошибку, но этот путь довольно трудоемок и по затратам равен решению исходной задачи. Вместо этого системе для ошибки ставится в соответствие дифференциальная задача с достаточно плавным, гладким решением. По этой дифференциальной задаче снова строится система линейных дифференциальных уравнений на более грубой сетке, т.е. переходим на следующий уровень -1.
Переход осуществляется с помощью оператора ограничения R.Ih de4 = Rh dg. Таким образом, переходим к системе Lt ivi-i = d(_j. Такую систему можно решить более экономично, поскольку число неизвестных и уравнений уменьшается. Ввиду указанной гладкости ее решение бу дет хорошо приближать искомую ошибку на этой сетке, и она будет найдена с достаточно высокой точностью.
Решение сеточной задачи на сетке вдвое или втрое крупнее все еще может представлять собой трудоемкую задачу, поэтому ее решение можно осуществить приближенно, используя описанный прием перехода на более крупную сетку еще раз. В итоге этот прием понижения размерности можно использовать до тех пор, пока не перейдем к задаче на самой грубой сетке, на которой можно довольно быстро осуществить решение прямым методом по формуле:
Затем, полученное решение интерполируем на мелкую сетку — п + 1 уровня с помощью оператора интерполяции / /А:
На каждом уровне проводится уточнение приближенного решения (коррекция) с помощью найденной поправки: иЄ-п+І,точное = Ut-n+l V-n+l Для погашения высокочастотных компонент погрешности, появляющихся после интерполяции на более мелкую сетку, можно сделать несколько У2 сглаживающих итераций на каждом уровне. Это так называемое post-smoothing — последующее сглаживание.
Сходимость многосеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями
До недавнего времени применение многосеточного метода, как правило, ограничивалось системами с симметричными положительно определенными матрицами. Это можно объяснить недостаточностью теоретического исследования многосеточного метода в несамосопряженном случае и отсутствии эффективных сглаживающих процедур, аналогичных по свойствам методам Якоби и Гаусса-Зейделя.
Для симметричных положительно определенных задач существует достаточно полная теория сходимости многосеточного метода (включая V- и W-циклы) с различными итерационными методами в качестве сглаживателей. Для случая несимметричных неопределенных задач получены лишь отдельные теоретические результаты.
Некоторые теоретические результаты по доказательству сходимости многосеточного метода для несимметричных неопределенных задач можно найти в работах [49, 103]. Доказательство сходимости многосеточного метода с одним сглаживающим шагом методом Ричардсона для несимметричной неопределенной задачи приведено в работе [95]. В работе [75] проведено доказательство сходимости многосеточного метода для широкого класса сглаживателей - Гаусса-Зейделя, квази-Гаусса-Зейделя, квхт-SOR, включая произвольные переобуславливатели.
В данной работе представлено доказательство сходимости многосеточного метода с треугольными кососимметричными сглаживателями для несимметричной задачи.
Приведем некоторые сведения по исследованию сходимости треугольных кососимметричных методов, которые используются в качестве сглажи-вателей в многосеточном методе. Более подробно доказательства сходимости методов представлены в [93]. Для доказательства была использована описанная выше идея разложения исходного оператора: Lk=Bh-Nh (3.1.1) где В/, обратимый оператор из (2.2.2), а оператор Nf, выбирается таким образом, чтобы итерационный процесс (2.2.2) сходился. Кроме того, вводим оператор Fh = L-h!Nh. Оператор Bh, как и оператор Lh, можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной частей: Bh=(Bh,0+Bh}), (3.1.2) где Bkfl Л{вк +ВІ) и BhJ =-2{Bh-B h) (3.1.3) Для предложенных треугольных итерационных методов выполняются следующие равенства: BhJ=LhJnBh B hi0 (3.1.4)
Приведем ряд теорем [93], описывающих свойства сходимости методов класса ТКМ.
Теорема 3.1. Итерационный метод (2.2.2) сходится для т 0 тогда и только тогда, когда спектр оператора Fh лежит в полуплоскости Rel{Fh) -l.
Следствие 3.1. Если оператор Fh диссипативный, то при 0 т 2 итерационный процесс (2.2.2) сходится.
Теорема 3.2. Пусть оператор Lh диссипативный. Тогда итерационный метод (2.2.2) с Bk из (2.2.4), (2.2.5) сходится в энергетическом пространстве HN , если выполняются неравенства 0 т 2 и N h — N h 0. Теорема 3.3. Пусть оператор Lh диссипативный. Итерационный метод (2.2.2) с оператором Ви из (2.2.4), (2.2.5) сходится в энергетическом пространстве HN , если выполняются неравенства 0 т 2 и Bh0 Lhg
Доказательство сходимости многосеточного метода со сглаживателем ТКМ приведено в [102]. Проведем доказательство сходимости многосеточного метода со сглаживателями ТКМ1 и ТКМ2. При доказательстве используются некоторые теоретические результаты из [75, 95].
Рассматривается дискретный аналог задачи: Lhuh=fh, (3.1.5) где оператор Lh определяется на пространстве Н = \J =lHm , Нs с Н2 с.. -семействе вложенных конечномерных линейных пространств, /АеЯ. Размерность каждого пространства обозначим через Hm = пт и введем скалярное произведение {-,.)„ с соответствующей нормой . в Нт ,т = 1, 2...
Описание интерфейсас пользователем
Прошлые три десятилетия показали, что адаптированные многосеточные методы успешно применяются к большому классу не только эллиптических задач. В течение этого периода развития, стандартные многосеточные компоненты были заменены блочными сглаживателями, ILU сглаживателя-ми, зависимыми операторами перехода, грубо-сеточными операторами Га-леркина, (множественными) полу грубо-сеточными методами [118]. Все эти геометрические средства основываются на определенной иерархии сеток. В середине 1980-ых годов была предложена альтернатива геометрическому многосеточному методу - алгебраический многосеточный (AMG) [52, 69, 70, 109, 110], где грубо-сеточный переход является частью AMG алгоритма. Интерес к этому подходу постоянно увеличивается, тем более, что сетки имеют тенденцию становиться более сложными и "неструктурированными" [114, 115].
Для неэллиптических и несимметричных задач (или их комбинации) -наиболее распространенных в реальной жизни - строгая математическая теория, вообще говоря, не доступна, а правильный выбор многосеточных компонентов далек от стандартного. Для таких ситуаций анализ сглаживания и двухсеточный Фурье-анализ являются главными инструментами, для получения количественных оценок сходимости. Применение Фурье-анализа к многосеточным методам было предложено Брандтом [58]. Основная идея Фурье-анализа состоит в том, что ошибка (или невязка) раскладывается в сумму некоторых периодических функций, называемых компонентами Фурье. При этом появляется возможность оценить воздействие различных многосеточных компонент на каждый компонент Фурье [56, 116, 117, 118, 124].
Существует два типа Фурье-анализа, применимого к многосеточному методу. Первый - точный анализ, известный как анализ модельной задачи {МРА), который может быть применен только к некоторым модельным ситуациям, таким как прямоугольная область и постоянные коэффициенты операторов [131]. Второй тип анализа называется локальным анализом Фурье (LFA) или способом локального анализа (LMA) [58, 118, 131]. В LFA, основные дискретные операторы с постоянными коэффициентами считаются формально расширенными на бесконечную сетку. Следовательно, граничными условиями пренебрегают. Согласно общим предположениям, любой дискретный оператор, нелинейный, с непостоянными коэффициентами может быть локально линеаризован и может быть локально заменен (замораживая коэффициенты) оператором с постоянными коэффициентами [118]. Это демонстрирует большой диапазон применимости LFA и его локальную природу. В большинстве случаев приходиться переходить именно к LFA особенно для оценки несимметричных задач, исследование которых является актуальным в реальной жизни.
Стандартной стратегией получения быстрого многосеточного метода является рассмотрение модельных уравнений, которые описывают большой набор задач с качественно подобным поведением. В этом случае Фурье-анализ применяется для того, чтобы выбрать базовый итерационный метод с хорошим сглаживанием ошибки (анализ сглаживания), и грубо-сеточную коррекцию (двухсеточный анализ). Эта стратегия очень успешна, пока двух-сеточный метод является хорошим приближением многосеточного метода. Анализ многосеточного метода нельзя заменить рассмотрением двухсеточнго метода при исследовании работы V- и W-циклов, пред- и постсглаживания, различных сглаживателей на различных сетках, или различной дискретизации на различных сетках. Таким образом, важно перейти от Фурье-анализа с двумя сетками к анализу с Аг-сетками. При этом можно получить более глубокое понимание трудностей, связанных с грубо-сеточной коррекцией.
Существует два принципа для адаптации многосеточных компонентов: оптимальность и ошибкоустойчивость. Оптимальность означает, что многосеточный метод является эффективным, но строго специализированным для решения одной специфической задачи, тогда как ошибкоустойчивость говорит о том, многосеточный метод хорошо работает для большого класса задач. Эти принципы имеют и преимущества, и недостатки. Оптимизированный многосеточный метод используется тогда, когда специализированная задача должна быть решена не один раз. Ошибкоустойчивость появляется в том случае, когда должны решаться различные задачи с подобной структурой, например, в научном программном обеспечении для решения частных дифференциальных уравнений. Трудно выбрать универсальные многосеточные компоненты для больших классов задач.
