Содержание к диссертации
Введение
1. Финансовые рынки, полные по отношению к любому моменту времени, кроме одного, и интерполирование (В, S)-рынков до полных
1.1. Критерий глобальной полноты
1.2. Нарушение полноты для единственного момента времени
1.3. Интерполирование финансовых рынков до полных
1.4. Минимизация моментов нарушения полноты при интерполировании
2. Интерполяция арбитражных финансовых рынков до рынков, обладающих различными дополнительными свойствами
2.1. Интерполирование до глобально полных рынков
2.2. Интерполирование до рынков, допускающих субмартингальную меру
2.3. Интерполирование до рынков, допускающих мартингальную меру
3. Моделирование финансовых рынков и хеджирующих портфелей с помощью случайных хааровских интерполяций
3.1.Случайные хааровские интерполяции и моделирование (B,S)-рынков с двумя агрессивными скупщиками акций
3.2. Описание мартингальных мер для четырехпараметрических моделей (В, S)-рынков, удовлетворяющих СУХЕ
3.3. Моделирование и хеджирование безарбитражных рынков при выполнении свойства универсальной хааровской единственности (СУХЕ)
3.4. Моделирование и хеджирование арбитражных рынков при выполнении условий интерполяции до глобально полного рынка
3.5. Трехпараметрическая модель дисконтированного рынка, допускающего интерполируемость до ГПР
3.6. Описание программного комплекса "Совершенный хедж"
Заключение
Литература
- Нарушение полноты для единственного момента времени
- Минимизация моментов нарушения полноты при интерполировании
- Интерполирование до рынков, допускающих субмартингальную меру
- Описание мартингальных мер для четырехпараметрических моделей (В, S)-рынков, удовлетворяющих СУХЕ
Введение к работе
Общая характеристика диссертации. Настоящая диссертация посвящена моделированию специальных классов арбитражных и безарбитражных финансовых рынков, исследованию этих рынков с помощью метода хааровских интерполяций, построению на этих рынках хеджирующих портфелей ценных бумаг. Основные теоретические результаты диссертации связаны с классификацией интерполяций арбитражных и безарбитражных финансовых рынков, состоящих из банковского счета и акций одного типа. При этом упор делается именно на интерполяциях арбитражных рынков. Принципиальной задачей является улучшение свойств исходного финансового рынка без потери всех уже имеющихся его «хороших» свойств. Исследование рынков проводится методом интерполяций относительно хааровских фильтраций. Этот метод состоит в следующем. Рассмотрим стохастический базис с конечным вероятностным пространством, на котором задан адаптированный процесс Z, мыслимый как дисконтированная стоимость акции заданного финансового рынка. Интерполяция данного рынка строится следующим образом. Сначала вводится в рассмотрение хааровская фильтрация, интерполирующая исходную фильтрацию стохастического базиса, в которой при переходе от момента времени п к моменту п + 1 ровно один атом дробится на две части, а остальные атомы остаются неизменными. Эта процедура связана с расширением числа времен наблюдения за состоянием рынка. Потом конструируется адаптированный к построенной хааровской фильтрации процесс Y, интерполирующий Z в том смысле, что Y совпадает с Z в исходные моменты времени {0,1,2,...}. Далее производится интерполяция исходного банковского счета согласно естественному принципу, что в дополнительно введенные промежуточные времена банковский счет не эволюционирует. И, наконец, посредством операции, обратной к дисконтированию, получается интерполяция цены акции исходного финансового рынка. Определить процесс У в случае арбитражных рынков с помощью вероятностного решения задачи Дирихле, как это делалось при условии существования мартингальных мер процесса Z (этот случай подробно изучен в работах [5-Ю]), не представляется возможным, так как если исходный рынок арбитражей, то процесс Z не допускает мартингальных мер. Поэтому для различных классов рынков выработаны свои принципы построения интерполяционных процессов. Полностью исследованы интерполяции финансовых рынков до полных рынков, до глобально полных рынков, до рынков, допускающих субмартингальную вероятностную меру, а также до рынков, допускающих сочетание этих свойств. Для каждого случая получены необходимые и достаточные условия интерполируемости по Хаару и универсальной интерполируемости по Хаару исходного финансового рынка. При этом под универсальной интерполируемостью понимается возможность интерполяции процесса Z относительно произвольной интерполирующей хааровской фильтрации.
При интерполяции исходного финансового рынка до полного разработана схема построения «наилучшего» интерполирующего рынка в смысле минимизации моментов нарушения полноты. Охарактеризованы финансовые рынки, полные по отношению к любому моменту времени, кроме одного.
В работах И.В. Павлова и М.Н. Богачевой была предложена математическая модель безарбитражного финансового рынка с двумя агрессивными скупщиками акций при условии, что один из скупщиков всегда опережает второго. В диссертации с помощью случайных хааровских интерполяций смоделирован рынок, на котором поведение Введение скупщиков носит случайный характер. При этом рассмотрены как безарбитражные рынки, так и рынки, допускающие арбитраж. Создан программный комплекс "Совершенное хеджирование" для расчета компонентов хеджирующих портфелей в безарбитражном и арбитражном случаях.
Основные определения и факты
Финансовый рынок. Под финансовым рынком будем понимать совокупность денежных и валютных рынков, рынков ценных металлов и рынков финансовых инструментов, включая рынки ценных бумаг, реализуемых на бирже (акции, облигации и производные (вторичные) ценные бумаги) и внебиржевые рынки финансовых ресурсов (кредиты, банковские услуги и т.д.).
Операциями на рынке ценных бумаг финансово-страховые структуры увеличивают свои фонды для развития, а индивидуумы вкладывают свои средства с целью получения дохода в будущем. Помимо операционной функции рынок ценных бумаг является источником информации, которую используют в разнообразных сферах экономики для оптимального инвестирования.
Принято выделять основные ценные бумаги: банковский счёт, облигации, акции, и производные ценные бумаги: форвардные контракты, опционы, фьючерсные контракты, варранты, свопы, комбинации, спрэды, сочетания.
Дадим краткую характеристику некоторых основных понятий.
Акции - это долевые ценные бумаги, выпускаемые различными корпорациями и фирмами с целью аккумулирования капитала для последующей деятельности. Имеется два основных типа акций: обыкновенные и привилегированные. Владелец обыкновенной акции получает право на участие в работе корпорации и на получение дивидендов, но в случае разорения корпорации теряет все. Это рисковая форма. Привилегированные акции имеют установленный доход, который начисляется на акционерный сертификат в первую очередь в виде твердого заранее определенного процента. Но владелец такой акции не имеет права голоса на общем собрании акционеров. Привилегированные акции обычно являются выкупаемыми по фиксированной цене по желанию компании. Купля и продажа акций производится через брокерские конторы, которые являются членами биржи по обмену акциями (stock exchange).
Акции также являются предметом игры на бирже. Многих инвесторов покупка акций привлекает не дивидендами, а возможностью зарабатывать деньги на колебаниях цен акций, покупая их по низкой цене перед тем, как остальные начнут это делать, и раньше конкурентов продавая их по высокой цене. Некоторые акционеры приобретают акции с целью увеличения числа голосов на общем собрании акционеров, в том числе при избрании членов правления. В таком случае возникает ситуация называемая целенаправленной скупкой акций. Основная цель такой скупки получить контрольный пакет акций. Контрольный пакет акций — это часть общего количества выпущенных акционерным обществом акций, сосредоточенная в руках одного лица и дающая ему право осуществлять фактический контроль над деятельностью акционерного общества, управлять им. Теоретически контрольный пакет акций составляет не менее половины всех выпускаемых голосующих акций. Практически при широком распространении акций обладание более 20% акций дает их владельцу контрольный пакет, так как не все акционеры могут быть представлены на собрании и не все будут голосовать против предложений такого собственника.
Облигации — это долговые обязательства, выпускаемые государством, банками или финансовыми институтами с целью аккумулирования капитала, реструктурирования своих долгов и т.д. В Введение каждом контракте указывается сумма займа, дата возмещения займа, норма процента, по которой будет возмещаться заем и даты выплат. Выплаты по облигациям, в сущности, эквивалентны банковской процентной ставке. Большинство облигаций выпускаются на предъявителя и могут передаваться от одного владельца к другому. Именные облигации могут быть переданы только при соответствующем подтверждении и согласии выпустившей облигацию корпорации.
Банковский счет — это ценная бумага, относящаяся к облигациям и означающая, что банк обязуется выплачивать заранее определенный процент от суммы счета.
Фьючерсный контракт — это соглашение о поставке-покупке некоторого товара в определенный момент в будущем по фиксированной цене. Такой контракт заключается на бирже и клиринговая палата осуществляет контроль и перерасчет между договаривающимися сторонами в зависимости от ежедневно пересчитываемой фьючерсной цены. Такой механизм перерасчета делает отказ от исполнения контракта невыгодным для каждой из сторон.
Опционом (option) называется контракт, заключенный между двумя лицами, в соответствии с которым одно лицо предоставляет другому лицу право (которое не является обязанностью) купить (продать) определенный актив по заранее определенной цене в рамках определенного периода времени. Лицо, которое получило опцион и таким образом принимает решение, называется покупателем опциона, который должен платить за это право. Лицо, которое продало опцион, и отвечающее на решение покупателя, называется продавцом опциона.
Опционы, дающие право купить актив называют опционами купли (call options). Если контракт дает право продать, то его называют опционом продажи (put options). Введение
По времени погашения опционы делятся на два основных типа: Европейские и Американские. Опционы Европейского типа имеют фиксированную дату погашения. Опционы Американского типа могут быть предъявлены к исполнению в любое время до фиксированной даты его исполнения. Помимо основных опционов на рынке встречаются самые разнообразные "экзотические" опционы . Например:
• Азиатский опцион (Asian arithmetical option) - опцион, стоимость которого определяется средней стоимостью активов на период его действия.
• Стандартный опцион с последействием (look back option) -опцион, позволяющий покупателю выбирать любую цену базисного актива, имевшую место в течение всего периода его существования, в качестве цены исполнения. В случае опциона "колл" покупатель выберет минимальную цену, тогда как в случае опциона "пут" покупатель предпочтет максимальную цену. Данный опцион всегда будет выгодным.
В США существуют стандартные контракты и достаточно ликвидный рынок биржевых опционов. Торговля опционами значительно упрощается с помощью Клиринговой корпорации опционов (ОСС). Она представляет собой компанию, которой совместно владеют несколько бирж. Эта компания располагает компьютерной системой, которая отслеживает опционные позиции каждого инвестора. Как только покупатель и продавец решают заключить определенный опционный контракт и покупатель оплачивает согласованную опционную премию, ОСС становится продавцом для покупателя и покупателем для продавца, а все прямые связи между покупателем и продавцом прекращаются. Если покупатель решить исполнить опцион, то ОСС наугад выберет продавца с открытой позицией и направит ему извещение об исполнении. ОСС также гарантирует поставку акций, если продавец не в состоянии этого сделать. Введение
Когда речь идет о финансовых рынках, то у исследователей имеется больше оснований строить и оценивать модели, опираясь на общепринятые теоретические гипотезы и модели. Так как участникам формирующихся финансовых рынков в большой мере присуща рациональность, их действия диктуются ресурсными ограничениями, необходимостью сопоставления затрат и результатов, оценками рисков и т.д. Но все же финансовые рынки представляют собой пример системы с высокой степенью неопределенности; на такие системы действует множество случайных факторов и для успешной работы на финансовых рынках необходимо эти случайности учитывать. Для того чтобы успешно работать на реальном финансовом рынке необходимо уметь достаточно точно рассчитывать цены активов, с учетом случайностей. Однако делать состоятельные прогнозы и вырабатывать оптимальные стратегии, учитывая все факторы, невозможно. Поэтому делаются некоторые допущения, позволяющие применять для анализа научные теоретические результаты. К этим допущениям относятся:
1. "Скрытые" параметры типа психологических мотивов не учитываются.
2. Предполагается, что дальнейшее развитие рынка пойдёт примерно так же, как это происходило в прошлом (с учётом изменений, происшедших на рынке). Такой способ анализа можно развить далее, допустив, что различные показатели рынка можно моделировать как случайные величины. Это, в свою очередь, открывает путь к использованию теоретико-вероятностных методов.
3. Об анализируемом финансовом инструменте (или о близких ему в некотором смысле) должна быть накоплена определённая информация за предыдущий период.
Перечисленные выше предположения служат основанием для исследования финансовых рынков научными методами Введение (математическими, с использованием компьютерной техники и т.д.).
Исторический обзор. В начале своего становления, в 20-х годах XX века, теория финансов в качестве математического аппарата использовала лишь формулу сложных процентов, а ее основной интерес был связан с вопросами администрирования и увеличения фондов. Последующее развитие теории шло в двух направлениях: в предположении условий полной определенности и условий неопределенности. В первом случае важную роль сыграли работы И. Фишера (1930) и Ф. Модильяни и М. Миллера (1958, 1961, 1963), в которых рассматривался выбор оптимальных решений для индивидуумов и фирм. Исторически первой работой во втором направлении стала диссертация Л. Башелье [86], в которой было предложено рассматривать эволюцию стоимостей акций на парижском рынке как случайный процесс. Систематическому обобщению эта теория впервые подверглась в статье А.Н.Колмогорова. Хотя истоки теории лежали в области экономики, после Л.Башелье очень долгое время большинство ее методов использовалось, в основном, при исследованиях в области теоретической физики, и главным образом, в молекулярной физике и радиофизике. Лишь в начале пятидесятых годов XX века стохастическая математика вновь стала применяться в финансовых вычислениях.
Проблемам инвестиционных решений индивидуумов в условиях неопределенности была посвящена классическая работа Г. Марковитца [102]. Следующим этапом стали работы В.Шарпа [114], Дж.Линтнера [101]и Дж.Моссина, в которых развитие идей и методов Г.Марковица получили свое воплощение в широко известной модели САРМ (Capital Asset Pricing Model), призванной объяснить, как инвесторы должны действовать на рынке, находящемся в равновесном состоянии. В основе теории САРМ лежит гипотеза эффективного рынка, которая была выдвинута еще в работах М.Кендалла, Г.Робертса, М.Осборна [98]. "Эффективность" здесь означает то, что рынок рационально реагирует на поступающую информацию в том смысле, что на рынке: мгновенно производится коррекция цен, которые устанавливаются так, что оказываются в состоянии "равновесия", не оставляя места арбитражным возможностям, т.е. получению прибыли без риска; участники рынка однородно интерпретируют поступающую информацию, при этом мгновенно корректируют свои решения при обновлении этой информации; участники рынка однородны в своих целевых установках, их действия носят "коллективно-рациональный" характер. Концепция эффективного рынка продолжает играть доминирующую роль в финансовой теории по сегодняшний день. Основное ее предположение состоит в том, что значение цены "сегодня" установилось так, что оно полностью учло всю доступную информацию, а изменение цены происходит только в результате обновления этой информации.
В 1973 году были опубликованы две работы, совершившие революцию в финансовых расчетах, связанных с опционами. Это статьи Ф. Блэка и М. Шоулса "Расчет цены опционов и обязательства корпораций" [87] и Р. Мертона "Теория расчета рациональной цены опциона" [104]. В них было предложено обоснование справедливой цены опциона, приведена замечательная формула Блэка-Шоулса, развита теория оптимальных биржевых операций (хеджирующие стратегии), которые должен совершать продавец опциона, с тем чтобы оговариваемые условиями контракта возможные платежи, зависящие от случайного состояния цен на рынке, были гарантированным образом выполнены. Предполагая, что цены акций в любой момент времени либо поднимаются вверх, либо опускаются вниз, Д. Кокс, Р. Росс и М. Введение
Рубинштейн [88] предложили считать эти изменения дискретными и показали, что их модель имеет в пределе геометрическое броуновское движение, а полученная формула справедливой цены сходится к формуле Блэка-Шоулса. Эти классические работы стали основанием для применения и развития методов современного стохастического анализа и теории финансов.
В 1976 году вышла в свет работа С. Росса [110], в которой для описания равновесности состояния рынка использовались идеи арбитража. Соответствующая теория, объясняющая поведение инвесторов, известна как модель АРМ (Arbitrage Pricing Model) и включает САРМ как частный случай. Основная идея этой теории состоит в том, что рынок, находящийся в равновесном состоянии, не должен допускать арбитражных ситуаций, то есть возможности извлечения прибыли без риска.
Изучение данной проблематики в нашей стране было начато в начале 90-х годов на семинаре А.Н. Ширяева в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН. С тех пор российскими математиками были получены фундаментальные результаты в этой области (см. [59, 60, 79,]), в частности, в рамках работы научно-исследовательского актуарно-финансового центра.
Настоящая диссертация является развитием работ И.В Павлова М.Н. Богачевой ([5-10]). Существенным отличием является то, что исследуются произвольные финансовые рынки, в том числе и арбитражные, на которых процесс Z не допускает мартингальных мер. Определить процесс Y в случае арбитражных рынков с помощью решения задачи Дирихле, как это делалось при условии существования мартингальных мер процесса Z, не представляется возможным. Поэтому для различных классов рынков выработаны свои принципы построения интерполяционных процессов.
Рыночную цену акции будем интерпретировать как последовательность S = (Sk, Jii)k=0 Uk-измеримых случайных величин (св.) Sk (то есть, адаптированную к ( ) последовательность), где Sk — цена акции в момент времени k, Sk 0 Р-почти наверное \/к = 0,1,...,N. Стоимость единицы банковского счёта будем понимать как детерминированную последовательность В = (Вк)к=0, Вк 0 У к = 0,\,...,N, где Вк— цена единицы банковского счета в момент времени к. Отметим, что -измеримость Sk означает, что цены акций становятся известными только по получению всей информации в момент времени к в то время, как цены банковского счета известны в начальный момент времени. Это объясняет почему банковский счет называют "безрисковым" активом, а акции — "рисковыми" активами. Рынок, определяемый последовательностями Sk и Вк, называется (В,$)-рынком.
В настоящей работе всегда предполагается, что N со и Q -конечное множество, а вероятностная мера Р нагружает все атомы о-алгебры J Обозначим через J3k количество единиц банковского счёта, а через ук — количество акций в момент времени к. Величины /Зк и ук могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, что означает взятие в долг с банковского счета и возможность короткой продажи акции ("short selling").
Условие самофинансирования (а) означает, что перед изменением состава портфеля в промежутке между моментами времени к -1 и к портфель не испытывает ни притока дополнительного капитала, ни оттока капитала. Наглядный смысл балансового соотношения (Ь) заключается в том, что изменение капитала за счет изменения банковского счета может осуществляться лишь за счет изменения в составе пакета акций, и наоборот. Формула (с) показывает, что реальное изменение капитала происходит лишь за счет реальных изменений цен акций и цены банковского счета, а не только за счет изменений в составе портфеля. Соотношение (d) означает, что при переходе от момента времени к-\ к моменту времени к весь прирост дисконтированного капитала определяется лишь приростом дисконтированной стоимости акций.
При рассмотрении произвольных финансовых рынков мы зачастую сталкиваемся с тем, что не существует мартингальных мер вообще (арбитражный случай). Однако, если рассматриваемый рынок универсально интерполируем до ГПР, то строить совершенные хеджи можно. Компоненты соответствующего портфеля находятся по формулам (3.22), (3.26), выведенным в параграфе 3.4. Введение
В пятом параграфе вводится в рассмотрение трехпараметрическая модель дисконтированного финансового рынка, описывается процесс интерполяции и строится совершенный хедж.
Шестой параграф содержит описание программного комплекса «Совершенный хедж», созданного средствами Visual Fox Pro 6.0.
При этом:
• учитывается возможность работы в условиях арбитражных рынков;
• поведение скупщиков на рынке носит случайный характер, что задается соответствующими вероятностями и реализовано с помощью генератора случайных чисел;
• Рассматривается широкий набор возможных финансовых обязательств, как классических (европейский, американский опционы), так и «экзотических» (Бостонский, коллар), а также опционов с последействием (стандартный, Азиатский).
Минимальные системные требования к программному комплексу: ОС Win98SE, Microsoft Excel 97, 10Mb свободного дискового пространства, 16Mb оперативной памяти.
В заключении приводятся и комментируются основные результаты работы, выносимые на защиту, которые приведены в начале автореферата.
В приложении представлен код программного комплекса «Совершенный хедж» в среде Visual Fox Pro 6.0, дано описание программного комплекса.
Апробация диссертационной работы. Основные результаты диссертации содержатся в 14 публикациях: [15 - 27], [85]. Результаты работы в разное время докладывались автором на следующих конференциях и семинарах: Введение
1) на Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам и Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 2003, 2004 гг.; г. Кисловодск, 2004 г.);
2) на четвертых и пятых межвузовских научных чтениях при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2003, 2004 гг.);
3) на Международных научно-практических конференциях «Строительство» при РГСУ (г. Ростов-на-Дону, 2003, 2004 гг.);
4) на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004 г.);
5) на XIII Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Дюрсо, июнь, 2005 г.);
6) на XI Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Дюрсо, сентябрь, 2005 г.);
7) на кафедральных семинарах по стохастической финансовой математике кафедры высшей математики РГСУ (рук. — проф. И.В. Павлов);
8) на семинаре по вероятностным методам геометрии и анализа при РГУ (рук. — проф. СБ. Климентов).
Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Павлову И.В. за оказанную помощь и ценные советы.
Нарушение полноты для единственного момента времени
Финансовый рынок. Под финансовым рынком будем понимать совокупность денежных и валютных рынков, рынков ценных металлов и рынков финансовых инструментов, включая рынки ценных бумаг, реализуемых на бирже (акции, облигации и производные (вторичные) ценные бумаги) и внебиржевые рынки финансовых ресурсов (кредиты, банковские услуги и т.д.).
Операциями на рынке ценных бумаг финансово-страховые структуры увеличивают свои фонды для развития, а индивидуумы вкладывают свои средства с целью получения дохода в будущем. Помимо операционной функции рынок ценных бумаг является источником информации, которую используют в разнообразных сферах экономики для оптимального инвестирования.
Принято выделять основные ценные бумаги: банковский счёт, облигации, акции, и производные ценные бумаги: форвардные контракты, опционы, фьючерсные контракты, варранты, свопы, комбинации, спрэды, сочетания.
Дадим краткую характеристику некоторых основных понятий.
Акции - это долевые ценные бумаги, выпускаемые различными корпорациями и фирмами с целью аккумулирования капитала для последующей деятельности. Имеется два основных типа акций: обыкновенные и привилегированные. Владелец обыкновенной акции получает право на участие в работе корпорации и на получение дивидендов, но в случае разорения корпорации теряет все. Это рисковая форма. Привилегированные акции имеют установленный доход, который начисляется на акционерный сертификат в первую очередь в виде твердого заранее определенного процента. Но владелец такой акции не имеет права голоса на общем собрании акционеров. Привилегированные акции обычно являются выкупаемыми по фиксированной цене по желанию компании. Купля и продажа акций производится через брокерские конторы, которые являются членами биржи по обмену акциями (stock exchange).
Акции также являются предметом игры на бирже. Многих инвесторов покупка акций привлекает не дивидендами, а возможностью зарабатывать деньги на колебаниях цен акций, покупая их по низкой цене перед тем, как остальные начнут это делать, и раньше конкурентов продавая их по высокой цене. Некоторые акционеры приобретают акции с целью увеличения числа голосов на общем собрании акционеров, в том числе при избрании членов правления. В таком случае возникает ситуация называемая целенаправленной скупкой акций. Основная цель такой скупки получить контрольный пакет акций. Контрольный пакет акций — это часть общего количества выпущенных акционерным обществом акций, сосредоточенная в руках одного лица и дающая ему право осуществлять фактический контроль над деятельностью акционерного общества, управлять им. Теоретически контрольный пакет акций составляет не менее половины всех выпускаемых голосующих акций. Практически при широком распространении акций обладание более 20% акций дает их владельцу контрольный пакет, так как не все акционеры могут быть представлены на собрании и не все будут голосовать против предложений такого собственника.
Облигации — это долговые обязательства, выпускаемые государством, банками или финансовыми институтами с целью аккумулирования капитала, реструктурирования своих долгов и т.д. В каждом контракте указывается сумма займа, дата возмещения займа, норма процента, по которой будет возмещаться заем и даты выплат. Выплаты по облигациям, в сущности, эквивалентны банковской процентной ставке. Большинство облигаций выпускаются на предъявителя и могут передаваться от одного владельца к другому. Именные облигации могут быть переданы только при соответствующем подтверждении и согласии выпустившей облигацию корпорации.
Банковский счет — это ценная бумага, относящаяся к облигациям и означающая, что банк обязуется выплачивать заранее определенный процент от суммы счета.
Фьючерсный контракт — это соглашение о поставке-покупке некоторого товара в определенный момент в будущем по фиксированной цене. Такой контракт заключается на бирже и клиринговая палата осуществляет контроль и перерасчет между договаривающимися сторонами в зависимости от ежедневно пересчитываемой фьючерсной цены. Такой механизм перерасчета делает отказ от исполнения контракта невыгодным для каждой из сторон.
Опционом (option) называется контракт, заключенный между двумя лицами, в соответствии с которым одно лицо предоставляет другому лицу право (которое не является обязанностью) купить (продать) определенный актив по заранее определенной цене в рамках определенного периода времени. Лицо, которое получило опцион и таким образом принимает решение, называется покупателем опциона, который должен платить за это право. Лицо, которое продало опцион, и отвечающее на решение покупателя, называется продавцом опциона.
Опционы, дающие право купить актив называют опционами купли (call options). Если контракт дает право продать, то его называют опционом продажи (put options).
Минимизация моментов нарушения полноты при интерполировании
"Неопределенность" возникающую на рынке можно описать как "случайность" в рамках некоторого вероятностного пространства (Q, J Р) гДе — пространство элементарных событий со, понимаемых как различные состояния рынка; J — а-алгебра подмножеств Q (совокупность всех событий, наблюдаемых на рынке), Р - вероятностная мера на (Q, ). Вероятностное пространство (Q, \J, Р) дополняется фильтрацией F = ( );t=0, где N — финальный момент времени (горизонт), до которого включительно исследуется модель, vJk)k=o возрастающая последовательность а-алгебр, причем JQ = {Q, 0}, JN = :3 а каждая 7 7 интерпретируется как информация о событиях, происходящих на рынке на момент времени к. Стохастический базис (Qj F, Р) является основой вероятностной модели финансового рынка.
Рыночную цену акции будем интерпретировать как последовательность S = (Sk, Jii)k=0 Uk-измеримых случайных величин (св.) Sk (то есть, адаптированную к ( ) последовательность), где Sk — цена акции в момент времени k, Sk 0 Р-почти наверное \/к = 0,1,...,N. Стоимость единицы банковского счёта будем понимать как детерминированную последовательность В = (Вк)к=0, Вк 0 У к = 0,\,...,N, где Вк— цена единицы банковского счета в момент времени к. Отметим, что -измеримость Sk означает, что цены акций становятся известными только по получению всей информации в момент времени к в то время, как цены банковского счета известны в
Введение начальный момент времени. Это объясняет почему банковский счет называют "безрисковым" активом, а акции — "рисковыми" активами. Рынок, определяемый последовательностями Sk и Вк, называется (В,$)-рынком.
В настоящей работе всегда предполагается, что N со и Q -конечное множество, а вероятностная мера Р нагружает все атомы о-алгебры J Обозначим через J3k количество единиц банковского счёта, а через ук — количество акций в момент времени к. Величины /Зк и ук могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, что означает взятие в долг с банковского счета и возможность короткой продажи акции ("short selling").
Стохастическая предсказуемая последовательность 71 = {Рк- Ук)1=о (то есть Рк и У к являются _,-измеримыми V& = 0,1,...,JV, := ) называется инвестиционной стратегией или портфелем ценных бумаг. _,-измеримость рк и ук означает, что состояние портфеля в момент времени к полностью определяется информацией доступной в предыдущий момент времени к -1.
Капиталом портфеля ценных бумаг л называют последовательность случайных величин \Хк )к=0, задаваемую формулой Х1=РкВк+укБк. Оперируя с портфелем ценных бумаг тс, желательно упростить структуру входящих в него ценных бумаг. Один из часто применяемых подходов состоит в том, что от исходного (В,8)-рынка переходят к новому рынку (B,S) такому, что B = l, S= — . В качестве дисконтирующего актива выбирается банковский счет, потому что он является "предсказуемым" активом, и это вносит значительные
Введение упрощения в математический анализ. К тому же банковский счет в экономике играет роль "нулевого отсчета", "среднего значения".
В дальнейшем мы часто будем использовать теорему, составленную из результатов, которые можно найти в [79, с. 493-503]. Теорема 0.1 Рассмотрим самофинансируемый портфель ж = \J0k /k)l=Q ценных бумаг с капиталом Хк = fikBk+ykSk. Тогда следующие условия равносильны: (a) Xk_{ = РкВк_х + ykSk_{, 0 к N (условие самофинансирования); (b) Bk_\Aflk + Sk_xkyk = 0, 0 к N (балансовое соотношение); (c) АХк = (ЗккВк + ykASk, 0 к N (формула приращения капитала); (d)A Лк КВк J s = укА — , 0 к N (формула приращения \BkJ дисконтированного капитала);
Условие самофинансирования (а) означает, что перед изменением состава портфеля в промежутке между моментами времени к -1 и к портфель не испытывает ни притока дополнительного капитала, ни оттока капитала. Наглядный смысл балансового соотношения (Ь) заключается в том, что изменение капитала за счет изменения банковского счета может осуществляться лишь за счет изменения в составе пакета акций, и наоборот. Формула (с) показывает, что реальное изменение капитала происходит лишь за счет реальных изменений цен акций и цены банковского счета, а не только за счет изменений в составе портфеля. Соотношение (d) означает, что при переходе от момента времени к-\ к моменту времени к весь прирост дисконтированного капитала определяется лишь приростом дисконтированной стоимости акций.
Интерполирование до рынков, допускающих субмартингальную меру
Процесе Z, являющийся дисконтированной стоимостью акции, определим следующим образом: 2 ,=(1 + 0 .,.,)2 . Таким образом, получаем: Zk+]=Y\V + i)Zo (3-2) /=1 Распишем равенство (3.2) в момент времени к на атоме B2kS : Zk={\ + cfZ{). (3.3) Распишем теперь равенство (3.2) в момент времени к + \ на следующих атомах: на А2к+1+5гм_8ік: Zk+l =(\ + cf(\ + a)Z0, на A2k+2+S2k+2_Sn+]: Zk+l = (\ + c)k(\ + b)Z0, (3.4) mB2k+2Ak+2:Zk+]=(\ + c)k+lZ{).
Используя параметры a,b,c, запишем условия существования мартингальной меры процесса Z. Из [79] вытекает, что мартингальная мера существует тогда и только тогда, когда \/к :0 к N mm{\ + c)k(\ + a)Z{),(\ + c)k(\ + b)Z0,(] + c)k+]ZQ} (\ + c)kZ0 max l + с) 41 + a)Z{), (1 + cf{\ + b)ZQ, (1 + c)k+x ZQ}. Это неравенство очевидным образом преобразуется к виду: тт{а,Ь,с} 0 max {а, Ь, с).
Теперь охарактеризуем те (1,Z)-рынки, у которых все мартингальные меры удовлетворяют СУХЕ. По [5, Теор. 4] любая мартингальная мера Р e P(Z,F) удовлетворяет СУХЕ тогда и только тогда, когда числа Zk+l\ , ZkJ , Zk+]\ Глава З различны и не совпадают с Zk\ (V 0 k N). С учетом равенств (3.3) и (3.4) данный критерий переписывается в следующем виде: любая мартингальная мера Р e P(Z,F) удовлетворяет СУХЕ тогда и только тогда, когда числа а, Ь, с различны и не равны нулю.
Вернемся теперь к исходному (В,S)-рынку, где банковский счет Вк эволюционирует по формуле сложных процентов: Вк = В0(\ + г)к (г - процентная ставка). (3.5) Выведем формулы, выражающие цену акции Sk+] в момент времени к +1. Так как Z - дисконтированная стоимость акции, то Sk+] = Zk+lBk+x. С учетом формул (3.2) и (3.5) получаем: к+\ к+\ sk+] = ад+ ) +І По+«/ о=ад+г)к+і по+«/). (з.б) »=1 /=1
Распишем равенство (3.6) в момент времени /: + 1 на следующих атомах: на А1к+х+3гк+х_5гк : Sk+] = S0(\ + rf+](\ + c)k(\ + a), на 4 +2+ww 5А+1 =ад + г) +1(1 + с) (1 + А), Ha52t+2 +j: +1=50(l + r)A+1(l + c)A+I. Выразим значение +] через : 5 +, = Bk+lZk+1 = (1 + r)S, (1 + a,+1)ZA = (1 + r)(l + а,+1)5,. Введем св. рк+] = (1 + г)(1 + огА.+,) -1, которая принимает значения: рк+] -г на атомах А1,А2,...,А2к, (к \), Рк+\ = 0 + )(1 + а) -1 := ах на атоме 4 +,+ , _ „, (к 0), P +i = 0 + г)0 + )-! = «2 на атоме А2к+2+6гш _ +] , ( 0), Рк+\ = 0 + )0 + с) -1 := «з на атоме В2к+2 2 ,(к 0). Тогда Sk+x=(\ + pk+x)Sk.
На атомах Ai,A2,...,A2k (к \) Sk+l = (1 + r)Sk, то есть после того как акция скуплена, она начинает эволюционировать как банковский счет. Пусть Pe P(Z,F) - фиксированная мартингальная мера и выполняются все условия, при которых любая такая Р удовлетворяет СУХЕ, то есть min{a,b,c} 0 тах{а,Ь,с}, числа а, Ь, с различны и неравны нулю.
Рассмотрим введенную ранее схему дробления атомов (рис 3.1) при переходе от момента времени к = О к моменту времени к = \.
Обозначим через rx = Р{А{Щ _SQ ), r2 = P(A2+Si _S{), гъ = Р(В2Л). Запишем мартингальное соотношение: EP[ZX J0]=Z0. Так как J0 тривиальна, то EI [Z]]=Z0 = Ep[(\ + a])Z0]=Zi) = Z()Ep[(\ + al)]-Z() = Ep[al] = 0. Таким образом получаем следующую систему: , + г2 + г, = 1, arx + br2 + cr2 = 0, (3.7) гх 0, г2 0, гъ 0. Очевидно, что 0 rt 1 (/ = 1,2,3).
Рассмотрим теперь схему дробления атомов (рис 3.1) при переходе от момента времени к = 1 к моменту времени к = 2. Обозначим через рх = Р{Аъ г_5г), р2 = P(A4+S4_s3), ръ = Р(В ). Аналогичным образом получаем систему: Рі+Р2 + Рз=Ь, арх + Ьр2 + сръ = О, р] 0,р2 0,р2 0. р Разделим все уравнения системы на г3 и введем замену г( =— і-1,2,3.
Описание мартингальных мер для четырехпараметрических моделей (В, S)-рынков, удовлетворяющих СУХЕ
В том случае, если полученные исходные данные приводят к арбитражному рынку, этот рынок на каждом шаге и для каждого атома подвергается преобразованию (сдвиг начального значения дисконтированной цены акции) до "локально безарбитражного рынка", строится "локальная" мартингальная мера, с помощью этой меры производится интерполяция рынка (также локально), а затем сдвинутое значение дисконтированной цены акции возвращается на начальный уровень.
Далее по известным формулам строится эволюция рынка акций, капитала и компонентов портфеля (рисковая и безрисковая составляющие), а также вычисляется справедливая цена финансового обязательства.
Восьмой шаг - заключительный, с выводом полученных результатов в виде электронной книги формата Excel "анализ рынка акций.хІБ".
В заключении приведем список основных результатов, выносимых на защиту. В соответствии с поставленной перед нами задачей и в результате анализа возникших теоретических проблем нам удалось получить результаты, которые сводятся к следующему: 1. Построены и исследованы две модели (Д5)-рынков с действующими на нем двумя агрессивными скупщиками, поведение которых носит случайный характер: a) модель безарбитражных рынков, для которых выполняется свойство универсальной хааровской единственности; b) модель арбитражных рынков, для которых выполняется условие интерполяции до глобально полного рынка (I IIP);
2. Построена теория хааровских интерполяций финансовых рынков, допускающих арбитраж. Получены теоретические результаты, обосновывающие метод хааровской интерполяции: a) необходимые условия восстановления полноты (теорема 1.2); b) критерии интерполируемости и универсальной интерполируемости по Хаару до полного рынка (теоремы 1.3,1.4); c) теорема о минимальном числе моментов нарушения полноты рынка (теоремы 1.6); d) критерии интерполируемости и универсальной интерполируемости по Хаару до глобально полного рынка и до регулярного глобально полного рынка (теоремы 2.1, 2.3, 2.2); e) критерии интерполируемости и универсальной интерполируемости по Хаару до глобально полного рынка, допускающего субмартингальную вероятностную меру (теоремы 2.4, 2.5). 3. Разработана методика построения «наилучшего» интерполирующего рынка в смысле минимизации моментов нарушения полноты. 4. Получены алгоритмы расчетов совершенных хеджей, основанные на методе интерполяций относительно хааровских фильтраций. Соответствующие вычислительные процедуры разработаны и реализованы в виде программного комплекса «Совершенный хедж». Таким образом, наше исследование позволяет преобразовывать арбитражные рынки в новые финансовые рынки, обладающие рядом дополнительных свойств, полезных при хеджировании.
На основе описанной модели средствами Visual Fox Pro 6.0 создан программный комплекс «Совершенный хедж». Отметим особенности алгоритма построения совершенных хеджей интерполирующих рынков: учитывается возможность работы в условиях арбитражных рынков; поведение скупщиков на рынке носит случайный характер, что задается соответствующими вероятностями и реализовано с помощью генератора случайных чисел; Рассматривается широкий набор возможных финансовых обязательств (в том числе call- и put- опционы разных типов) как классических (европейский, американский), так и «экзотических» (Бостонский, коллар), а также опционов с последействием (стандартный, Азиатский). Предусмотрен вариант ввода данных вручную, чтобы можно было всесторонне исследовать эволюцию цен акций.
Минимальные системные требования к программному комплексу: ОС Win98SE, Microsoft Excel 97, 10Mb свободного дискового пространства, 16Mb оперативной памяти. Комплекс не требует установленной на ПК среды разработки: для пуска достаточно провести инсталляцию программы, запустив файл Setup.exe.
