Содержание к диссертации
Введение
1 Алгоритм решения задачи Копій для неоднородных систем уравнений леонтьевского типа 22
1.1 Проекторы 22
1.2 Разрешающие группы операторов 26
1.3 Разрешимость задачи Коши 29
1.4 Пример Леонтьева 31
2 Задача оптимального управления 35
2.1 Постановка задачи оптимального управления 35
2.2 Алгоритм решения задачи оптимального управления 40
2.3 Пример Леонтьева 44
3 Коммунальное хозяйство малого города (г. Еманжелинск Челябинской области) 52
3.1 Историко-географическая и экономическая характеристика Еманжелинска 52
3.2 Построение матриц L и М 56
Список литературы 63
- Разрешающие группы операторов
- Пример Леонтьева
- Алгоритм решения задачи оптимального управления
- Историко-географическая и экономическая характеристика Еманжелинска
Введение к работе
Постановка задачи. Пусть L и М - квадратные матрицы порядка п, det L = 0, причем матрица М L-регулярна (т.е. существует число а Є С такое, что det(aL — М) = 0). Фиксируем г Є R+ и введем в рассмотрение пространство управлений
Нр+1 (Я) = {ие Ь2(0,т;Шп) : u^+V є L2(0,r;Rn),«<«>(0) = 0,
g = 0,1,...,р}
р - порядок полюса в точке оо L-резольвенты оператора М (подробное определение дано в п. 1.1. данной работы), верхний индекс (р + 1) и (q) обозначает порядок производной по t. Выделим в пространстве Нр+1 замкнутое выпуклое множество Hq - множество допустимых управлений. В качестве множества управлений Нр+1 рассматривается множество многочленов ит степени т > р + 1, причем «(^(О) = 0 (т.е. коэффициенты многочлена и при Р (j < р+1) равны нулю). В качестве допустимых управлений рассматриваем такие ит, что
q=oJo d - некоторая константа. С экономической точки зрения, множество допустимых управлений необходимо для того, чтобы ограничить воздействие на экономику. Любое управление сопряжено с определенными расходами. Воздействие на экономику может быть ограничено бюджетными расходами. Величина d характеризует предельно допустимую величину таких расходов. Пусть далее В и С - невырожденные квадратные матрицы порядка п, тогда вектор-функция Ви = Bu(t) задает управление, а вектор-функция z(t) =
Cx(t) - наблюдение. Поставим задачу оптимального управления
J(v)= min J {и) (0.1)
иЄН?1
задачи Коши с начальными условиями
(0) = xQ (0.2)
для системы уравнений
Lx = Мх + у + Ви, (0.3)
где функционал качества J = J (и) имеет вид
і -т р+1 «г
j(«)=Е / Иг<,)(') - ^'wiis*+ /
(0.4) где || ||я и (, )# - евклидова норма и скалярное произведение в пространстве Ш1 соответственно, Nq - самосопряженные и положительно определенные матрицы порядка п, q = 0,1,...,р + 1, z{i) = Cx(t) - обозначает наблюдение, zo(t) - "желаемое" наблюдение, то наблюдение, которое необходимо получить в результате управления. С экономической точки зрения, zo(t) - это плановые значение некоторого показателя (например, план выпуска продукции).
Целью диссертации является построение численного алгоритма для решения задачи (0.1) - (0.3). Однако прежде необходимо построить алгоритм численного решения задачи Коши с начальными условиями (0.2) для системы уравнений
Lx = Мх + у. (0.5)
В диссертации СВ. Брычева [11] (см. также [48]) разработан алгоритм решения задачи (0.2), (0.5) в случае, когда свободный
член у - постоянный вектор. Поэтому нужно распространить эти результаты на случай, когда у = y(t) есть вектор-функция. Отправной точкой здесь должна стать теория относительно р-ограниченных и относительно р-радиальных операторов и вырожденных аналитических и сильно непрерывных групп операторов, разработанная Г.А. Свиридюком и В.Е. Федоровым [75], гл. 4 (см. также [44], [51]). При решении задачи (0.1) - (0.3) необходимо опираться на результаты Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова [75], гл. 7 (см. также [45], [46]).
При решении задачи Коши для неоднородной системы уравнений (0.5) будем применять метод фазового пространства, метод построения разрешающих групп операторов, аналогичный использовавшемуся в диссертации СВ. Брычева, а так же метод Гаусса для численного интегрирования.
СВ. Брычев рассматривает однородное уравнение
Lx = Мх + /.
Так как в исследовании С.Брычева / = const, то фазовое пространство можно записать как
Хо є Щ = {х є Я : (I - Р)х = (I - Q) (Мх + /)} .
В работе СВ. Брычева не рассматриваются методы, позволяющие получить xq проекцию произвольного начального условия х на фазовое пространство уравнения таким образом, чтобы
||жо — х\\2 —> min.
Погрешность экономических измерений достаточно велика (зачастую в отчетах округляют значения показателей до тысяч или миллионов рублей), и полученные начальные условия х могут не принадлежать фазовому пространству. Поэтому важным этапом вычислений является построение указанной проекции.
В данном исследовании мы рассматриваем неоднородное уравнение, где / = y(t) + Bu(t), y(t) - некоторое внешне воздействие на экономическую систему, зависящее от времени t (например, экспорт и импорт товаров, которые зависят от сезонных факторов), u(t) - управляющее воздействие государства на экономическую систему, постоянная матрица В - характеризует правила, по которым осуществляется перераспределение бюджетных средств. Из-за неоднородности рассматриваемого уравнения, его фазовое пространство имеет более сложный вид, чем в работе СВ. Брычева
х0 Є Щ = їх Є it: (I - P)x = - ]Г Я*М0"1(І - 3)^/(0)
Аналитическое решение уравнения (и однородного, и неоднородного) имеет вид
р Hi г*
U dtQ «^
При численном решении однородного уравнения, которое рассматривает СВ. Брычев, не требуется применять численное дифференцирование в первом слагаемом, нет необходимости вычислять подынтегральный оператор R*, применять методы численного интегрирования. В случае неоднородного уравнения, для решения применяются методы численного дифференцирования
и интегрирования, вычисляется подынтегральный оператор R1. Далее, указанные методы решения неоднородного уравнения используются при решении задачи оптимального управления. В работе СВ. Брычева вопросы оптимального управления не рассматриваются.
Решение задачи оптимального управления исследуется на множестве многочленов. Это дает несколько преимуществ:
Множество многочленов степени не менее р + 1, с нулевыми коэффициентами при степенях менее р +1 всюду плотно в Н1*1-
Решение неоднородного уравнения на множестве многочленов степени га можно выразить через коэффициенты этих многочленов (в любой заданной точке Т). Таким образом, подставляя в полученное для множества многочленов степени т решение значения коэффициентов, легко находим решение для любого соответствующего многочлена степени т.
3) Выразив решение неоднородного уравнения через
коэффициенты многочленов, подставляем это решение в
функционал. Теперь функционал зависит от коэффициентов
многочлена.
4) Так как функционал представляет собой в результате
функцию многих переменных, то для его минимизации пользуемся
известными методами поиска экстремума функции многих
переменных. Найденные коэффициенты будут коэффициентами
многочлена управления, минимизирующего функционал.
Данный метод минимизации функционала отличается от ранее предлагавшихся методов тем, что может быть использован для практических вычислений (текст соответствующей программы на C++ приведен в приложении к работе).
Терминология. В диссертации СВ. Брычева [11] уравнения (0.5) с L-регулярными матрицами М названы уравнениями леонтъевского типа. Происхождение термина восходит к динамической системе межотраслевого баланса В. В. Леонтьева "затраты-выпуск" с учетом запасов [32], [33]. В дальнейшем мы будемм пользоваться этим термином наряду с терминами "вырожденная (сингулярная) система обыкновенных дифференциальных уравнений" [5], [19], [12], "дескрипторная система обыкновенных дифференциальных уравнений" [68], [72], [74], [64], [65], [60], "алгебро-дифференциальные уравнения" [6], [8], [15], [10], [24], [71], "уравнения типа Соболева" [3], [45], [49].
Актуальность темы диссертации. Однозначная
разрешимость задачи (0.2), (0.5) является объектом пристального внимания многих математиков. Исчерпывающий ответ на вопрос о существовании единственного решения задачи (0.2), (0.5) дали Л.Кронекер и К.Вейерштрасс (цит. по [17]). Однако их подход, основанный на концепции регулярности матричного пучка fiL—M, в настоящее время невозможно реализовать в численном алгоритме. Тем не менее, многие математики используют предложенный подход для решения задачи (0.2), (0.5), в частности [2], [69], [70], [34]. Численным методам решения задачи (0.1), (0.3), основанным на неявной схеме Эйлера, посвящены многие из работ Ю.Е. Бояринцева, М.В. Булатова, В.Ф. Чистякова, А.А. Щегловой. Главные принципы этого подхода изложены в монографиях Ю.Е. Бояринцева [9], [5], [7], [4], В.Ф. Чистякова [53], [54], [55].
Цикл работ [37], [38], [39] посвящен методу решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, основанный на вычислении
матричной экспоненты и интеграла от нее с помощью реккурентных соотношений. Приводятся формулы для вычисления глобальной погрешности численного решения.
М.В. Булатов в своей статье [13] (1997 г.) рассматривает линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной. В работе предложен алгоритм возмущения при решении задачи Коши для исходной системы. Доказывается теорема об оценке разности решений исходной и возмущенной систем.
В статье М.В. Булатова [14] (1998 г.) рассмотрена задача Коши для дифференциально-алгебраических систем. Для характеристики степени некорректности дифференциально-алгебраических систем вводится понятие индекса. Предложен класс разностных схем высокого порядка точности для численного решения рассматриваемых задач. Если входные данные заданы с погрешностью, то указаны условия, при выполнении которых предложенные разностные схемы являются регуляризующим оператором, причем параметром регуляризации является шаг дискретизации.
В работе В.Ф. Чистякова и М.В. Булатова [15] (2002 г.) предлагается класс разностных схем для численного решения дифференциально-алгебраических уравнений высокого индекса. Получена оценка сходимости к решению исходной задачи. Доказано, что в некоторых случаях предложенные разностные схемы позволяют вычислять точное решение уравнений в узлах сетки.
В работе М.В. Булатова [16] (2002 г.) выделен класс интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с вырожденной
матрицей перед производной вида
A{t)x\t) + B{t)x{t) + JK(t,T,x{r))dT = f(t), te [0,1],
с заданным начальным условием х(0) = а, где A(t), B{t) - заданные (п х п)-матрицы, К(-) : Rn+2 —у Дп, f(t) - заданная, x(t) - искомая n-мерные вектор-функции и det A(t) = 0. Приведены достаточные условия существования и единственности непрерывного решения данной задачи. Для рассматриваемых систем предложен численный метод решения, основанный на неявном методе Эйлера и квадратурной формуле левых прямоугольников.
А.А. Щеглова в статьях [57], [56] (2002 г.) исследует возможность построения обобщенного в смысле Соболева—Шварца решения задачи
A(t)x'(t) + B(t)x(t) = f(t), teT = [0, +oo), x{0) = a,
с вырожденной для любого t Є Т (п х п)-матрицей при производных в условиях, когда классического решения x(t) Є С1(Т) не существует (начальные данные не согласованы, а правая часть - недостаточно гладкая вектор-функция). Доказана сходимость последовательности классических решений задачи Коши для системы с постоянными коэффициентами, полученных методом возмущения, к обобщенному решению.
В статье В.Ф. Чистякова и А.А. Щегловой [58] (2004 г.) исследуется устойчивость в смысле Ляпунова тривиального решения алгебро-дифференциальной системы (АДС) вида
A{t)x'{t) + B(t)x{t) = /(*), t Є Т = [0, +оо),
где A(t), B(t) - (п х п)-матрицы; detA(t) = 0, t Є Т.
На базе развитой в последнее десятилетие теории регуляризирующих операторов получены признаки устойчивости решений АДС произвольно высокого индекса неразрешенности г < п, доказаны аналоги теорем Еругина и Флоке. Сформулированы и доказаны утверждения об устойчивости решений АДС с ш-периодическими коэффициентами. Допускается случай, когда матрица A(t) имеет на Т переменный ранг.
Несмотря на большое количество задач оптимального управления для уравнений леонтьевского типа, возникших в последнее время в приложениях, современная математическая литература представляет недопустимо мало образцов их решения. Особенно это относится к неоднородным системам дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной. Рассмотрим основные из имеющихся на данный момент результатов в этой области.
Одной из первых работ, посвященных управлению сингулярными системами, является монография L.Dai [68] (1989 г.), в которой рассматриваются и прикладные аспекты проблемы. В частности, L.Dai рассматривает в качестве примера сингулярной системы динамическую систему "затраты-выпуск" В.В. Леонтьева. Для решения сингулярных систем автор использует алгоритм Вейерштрасса-Кронекера.
S.L.Campbell и W.J.Terrell [77], [76], [61], [62], [63] (1990 -1994 г.г.) исследовали вопросы наблюдаемости для системы
E(t)x' + F(t)x = B(t)u, (0.6)
У = C(t)x, (0.7)
где Е, F - квадратные матрицы. Е идентично сингулярна на интервале т, х Є Rn, и - гладкая вещественнозначная
функция входа, C(t) - гладкая матричная функция / х п, определяющая выход системы у. В одной из статей [77] W.J.Terrell применил метод разложения системы (0.9), (0.7) в прямую сумму ненаблюдаемого подпространства и его наблюдаемого дополнения. Декомпозиция системы относительно наблюдаемости получена с помощью построенного автором естественного завершения системы (0.9), (0.7), т.е. системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида
(1> + с)* = ад(лчО(*), (0.8)
г=0
D = jf,b(t) = B(t)u(t),
G и Ri(t) - матрицы п х п, и ассоциированного с ним проектора Р. Доказана единственность такой декомпозиции для данной конкретной системы в пространстве Ж.4.
Г.А. Куриной и Х.А. Овезовым в работе [27] (1996 г.) рассмотрена оптимизация квадратичного критерия качества на траекториях дескрипторной системы
{А + еВ) ^ = C(t)x(t) + D(t)u(t), х(0) = х.
Для решения задачи используется прямая схема метода пограничных функций, которая заключается в подстановке в условиях задачи постулируемого асимптотического разложения и построение серии задач оптимального управления.
Р.С. Muller в статье [73] (1999 г.) рассматривает дескрипторную линейную систему уравнений
Ex{t) = Ax{t) + Bu(t) 14
y(t) = Cx(t) + Du(t)
где x - вектор размерности n, и - n-мерный вектор управления, у - вектор наблюдения размерности т. Матрицы Е, А размерности п х го, а матрицы В, С, D имеют размерность п х г, т х п и т х г соответственно. Основное свойство рассматриваемой системы заключается в том, что
rank Е < п.
Для рассматриваемой системы уравнений определен функционал качества
"2 Л
dt -> min
>0.
Д>0,
g z
ZT R
Алгоритм решения сформулированной задачи основан на приведении матричного пучка (sE — А) к канонической форме Вейерштрасса-Кронекера.
Г.А. Куриной в работе [28] (2001 г.) приведены достаточные условия существования ограниченного обратного оператора для линейного оператора, появляющегося в теории оптимального управления линейными системами в гильбертовом пространстве и имеющего матричное представление вида
( FX
\
*з -Ft Fb
\
Щ *2
где F%, Г4 — неотрицательные самосопряженные операторы. Обратимость исследуемого оператора используется для доказательства однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи, возникающей из условий оптимальности управления. Схожая проблема рассматривается в статье [29], [1], [31].
Особо в этом кратком обзоре следует отметить работы Г.А. Свиридюка [40] и Г.А. Свиридюка и Т.Г. Сукачевой [41], [42], в которых метод фазового пространства применяется к исследованию задачи (0.2), (0.3) при условии, что вектор-функция / = f(u). При некоторых дополнительных условиях на вектор-функцию / показано, что фазовым пространством уравнения (0.3) является гладкое С-многообразие.
Предпосылкой для данного исследования стали работы Г.А. Свиридюка и СВ. Брычева [11], [47], [48] и Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова [45], [46].
В работах Г.А. Свиридюка и СВ. Брычева основные факты теории относительно р-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов были адаптированы к конечномерной ситуации. Был построен численный алгоритм для решения задачи (0.2), (0.3) в случае, когда свободный член у - постоянный вектор. Алгоритм основан на теории относительно р-радиальных операторов и вырожденных сильно непрерывных полугрупп операторов.
Важное место в данном обзоре занимают работы Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова [45], [46], где доказано существование и единственность решения задачи (0.1) - (0.3).
В работе В.Е. Федорова и М.В. Плехановой [52] (2004 г.) используется подход, аналогичный [45], [46]. От указанных
результатов, результаты [52] отличаются отсутствием ограничений на начальные условия задачи Коши Xq и гораздо более существенными ограничениями, накладываемыми на множество допустимых управлений.
Методы исследования. Для построения алгоритма численного решения задачи (0.2), (0.5) воспользуемся методом фазового пространства. Суть его вкратце сводится к следующему. Сингулярное уравнение (0.5) редуцируется к регулярному
х = Sx, (0.9)
определенному однако не на пространстве Rn, а на некотором его подмножестве ф С Жп, понимаемом нами как фазовое пространство исходного уравнения (0.5). Затем ищется разрешающая (полу)группа уравнения (0.9), которая оказывается разрешающей (полу)группой уравнения (0.5). Необходимо отметить, что начал строить такие полугруппы A.Favini [66], затем его результаты были развиты A.Favini и A.Yagi [67]. Независимо от них другое решение задачи (0.2), (0.3) дали И.В. Мельникова и М.А. Алынанский [35], [36]. И, наконец, третий способ был разработан Г.А. Свиридюком [43].
При поиске оптимального управления на пространстве многочленов, выразим решение задачи (0.1) - (0.3) через коэффициенты многочлена ит степени т > р + 1. Затем, при поиске вектор-функции ит (многочлена), минимизирующей функционал J (и), можно воспользоваться методом градиентного спуска, методом Ньютона или другими методами поиска экстремума функции многих переменных.
Краткое содержание диссертации. Диссертация кроме
трех глав содержит Введение, Список литературы и Приложение. Отметим сразу, что Список составлен только с учетом личных вкусов и пристрастий автора, содержит только работы, непосредственно относящиеся к теме диссертации, и не претендует на полноту. В Приложении приводится исходный текст на языке C++ программного продукта, предназначенного для вычисления оптимального управления для систем уравнений леонтьевского типа.
В первой главе изложены основные факты теории относительно р-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов в адаптации к конечномерной ситуации. Необходимо отметить, что первым начал изучать этот класс операторов Г. А. Свиридюк [43]. Им была обнаружена и классифицирована изолированная особая точка в бесконечности L-резольвенты оператора М, построены вырожденные аналитические разрешающие группы операторов и найдены достаточные условия разрешимости задачи Коши. Основные результаты изложены в обзоре [44]. Полные доказательства можно найти в [75]. В дальнейшем теория относительно сг-ограниченных операторов и порождаемых ими вырожденных аналитических групп операторов легла в основу многих исследований. Именно, Л.Л.Дудко [20] рассмотрела класс замкнутых операторов, являющихся относительно ^-ограниченными операторами; А.А. Ефремов [21] изучил задачу оптимального управления для линейных уравнений Соболевского типа с относительно ^-ограниченными операторами; А.В. Келлер [22] нашла необходимые и достаточные условия существования ограниченных решений таких уравнений; М.М. Якупов [59] использовал относительную ^-ограниченность
для исследования морфологии фазовых пространств полулинейных уравнений Соболевского типа; Г.А. Кузнецов [23] нашел необходимые и достаточные условия относительной сг-ограниченности операторов в терминах относительно присоединенных векторов, причем более простые, чем в [20] и [44].
В п. 1.1 показано, что в конечном случае L-спектр оператора М либо совпадает с комплексной плоскостью, либо является конечным множеством точек. Перечислены свойства относительно сг-ограниченных операторов, которые названы здесь (и далее) "относительно регулярными". Замена терминов вызвана тем фактом, что в конечномерном случае относительно сг-ограниченные и относительно р-радиальные операторы совпадают. В этом же пункте приведены формулы для численного построения проекторов Р и Q, вычислены значения проекторов Р и Q для примера Леонтьева (см. п.1.4). В п.1.2 строятся разрешающие группы операторов. В п. 1.3 приведена формула единственности решения задачи (0.2), (0.3), в явном виде выписано решение задачи Коши для неоднородного уравнения, обсуждаются оценки сходимости. В п. 1.4 все абстрактные результаты приложены к расчету примера Леонтьева, взятого из [33].
Вторая глава содержит основные результаты диссертации. В ней излагается численный алгоритм решения задачи (0.1) - (0.3), основанный на теории относительно р-радиальных операторов и вырожденных сильно непрерывных полугрупп операторов.
В п.2.1 доказана теорема о непрерывности функционала J (и), получена оценка сходимости решения задачи оптимального управления. В п.2.2 рассматривается алгоритм решения задачи оптимального управления. В п.2.3 полученные результаты
приложены к примеру Леонтьева. Дано сравнение управления, вычисленного по алгоритму, и оптимального управления. Показано, что значения функционала для этих двух случаев отличаются незначительно.
В третьей главе приводятся расчеты экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска. В п.3.1 дается общая историко-географическая характеристика города. В п. 3.2 приводятся матрицы капитальных и текущих затрат, построенные по данным, полученные в администрации г. Еманжелинска. Здесь же приводятся промежуточные результаты расчетов. В п.3.3 приводятся окончательные результаты. Все расчеты проводились в простых дробях для избежания ошибок округления, а затем переводились в десятичные.
Теоретическая и практическая значимость. Основными результатами диссертации следует считать построение численного алгоритма решения задачи (0.2), (0.3), основанного на теории относительно р-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов, а так же алгоритма вычисления оптимального управления для задачи (0.1) - (0.3). По численному алгоритму создан программный продукт для расчета оптимального управления экономикой коммунального хозяйства малых городов, экономикой многоотраслевых промышленных холдингов.
Апробации. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международной конференции посвященной 100-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова "Общие проблемы управления и их приложения" (Тамбов) 2003 г. [78], Воронежской зимней математической школе 2004 г. [80], Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"
(Екатеринбург) 2004 г. [81], на семинарах проф. Г.А. Свиридюка в Челябинском государственном университете. Программный
*' продукт, разработанный в ходе подготовки диссертации,
зарегистрирован в "Отраслевом фонде алгоритмов и программ".
Благодарности. Автор выражает искреннюю и глубокую благодарность научному руководителю проф. Георгию Анатольевичу Свиридюку за постановку задачи и проявленное терпение; проф. Владимиру Игнатьевичу Ушакову за помощь в выходе из возникавших затруднений; проф. Алексею Юрьевичу
Щ Шумакову за постоянное внимание и творческие дискуссии; своим
родителям Татьяне Ивановне и Владимиру Анатольевичу, жене Елене - за моральную поддержку и понимание.
'#
#
Разрешающие группы операторов
Особо в этом кратком обзоре следует отметить работы Г.А. Свиридюка [40] и Г.А. Свиридюка и Т.Г. Сукачевой [41], [42], в которых метод фазового пространства применяется к исследованию задачи (0.2), (0.3) при условии, что вектор-функция / = f(u). При некоторых дополнительных условиях на вектор-функцию / показано, что фазовым пространством уравнения (0.3) является гладкое С-многообразие.
Предпосылкой для данного исследования стали работы Г.А. Свиридюка и СВ. Брычева [11], [47], [48] и Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова [45], [46].
В работах Г.А. Свиридюка и СВ. Брычева основные факты теории относительно р-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов были адаптированы к конечномерной ситуации. Был построен численный алгоритм для решения задачи (0.2), (0.3) в случае, когда свободный член у - постоянный вектор. Алгоритм основан на теории относительно р-радиальных операторов и вырожденных сильно непрерывных полугрупп операторов.
Важное место в данном обзоре занимают работы Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова [45], [46], где доказано существование и единственность решения задачи (0.1) - (0.3).
В работе В.Е. Федорова и М.В. Плехановой [52] (2004 г.) используется подход, аналогичный [45], [46]. От указанных результатов, результаты [52] отличаются отсутствием ограничений на начальные условия задачи Коши XQ и гораздо более существенными ограничениями, накладываемыми на множество допустимых управлений.
При поиске оптимального управления на пространстве многочленов, выразим решение задачи (0.1) - (0.3) через коэффициенты многочлена ит степени т р + 1. Затем, при поиске вектор-функции ит (многочлена), минимизирующей функционал J (и), можно воспользоваться методом градиентного спуска, методом Ньютона или другими методами поиска экстремума функции многих переменных.
Краткое содержание диссертации. Диссертация кроме трех глав содержит Введение, Список литературы и Приложение. Отметим сразу, что Список составлен только с учетом личных вкусов и пристрастий автора, содержит только работы, непосредственно относящиеся к теме диссертации, и не претендует на полноту. В Приложении приводится исходный текст на языке C++ программного продукта, предназначенного для вычисления оптимального управления для систем уравнений леонтьевского типа.
В первой главе изложены основные факты теории относительно р-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов в адаптации к конечномерной ситуации. Необходимо отметить, что первым начал изучать этот класс операторов Г. А. Свиридюк [43]. Им была обнаружена и классифицирована изолированная особая точка в бесконечности L-резольвенты оператора М, построены вырожденные аналитические разрешающие группы операторов и найдены достаточные условия разрешимости задачи Коши. Основные результаты изложены в обзоре [44]. Полные доказательства можно найти в [75]. В дальнейшем теория относительно сг-ограниченных операторов и порождаемых ими вырожденных аналитических групп операторов легла в основу многих исследований. Именно, Л.Л.Дудко [20] рассмотрела класс замкнутых операторов, являющихся относительно -ограниченными операторами; А.А. Ефремов [21] изучил задачу оптимального управления для линейных уравнений Соболевского типа с относительно -ограниченными операторами; А.В. Келлер [22] нашла необходимые и достаточные условия существования ограниченных решений таких уравнений; М.М. Якупов [59] использовал относительную -ограниченность для исследования морфологии фазовых пространств полулинейных уравнений Соболевского типа; Г.А. Кузнецов [23] нашел необходимые и достаточные условия относительной сг-ограниченности операторов в терминах относительно присоединенных векторов, причем более простые, чем в [20] и [44].
В п. 1.1 показано, что в конечном случае L-спектр оператора М либо совпадает с комплексной плоскостью, либо является конечным множеством точек. Перечислены свойства относительно сг-ограниченных операторов, которые названы здесь (и далее) "относительно регулярными". Замена терминов вызвана тем фактом, что в конечномерном случае относительно сг-ограниченные и относительно р-радиальные операторы совпадают. В этом же пункте приведены формулы для численного построения проекторов Р и Q, вычислены значения проекторов Р и Q для примера Леонтьева (см. п.1.4). В п.1.2 строятся разрешающие группы операторов. В п. 1.3 приведена формула единственности решения задачи (0.2), (0.3), в явном виде выписано решение задачи Коши для неоднородного уравнения, обсуждаются оценки сходимости. В п. 1.4 все абстрактные результаты приложены к расчету примера Леонтьева, взятого из [33].
Вторая глава содержит основные результаты диссертации. В ней излагается численный алгоритм решения задачи (0.1) - (0.3), основанный на теории относительно р-радиальных операторов и вырожденных сильно непрерывных полугрупп операторов.
В п.2.1 доказана теорема о непрерывности функционала J (и), получена оценка сходимости решения задачи оптимального управления. В п.2.2 рассматривается алгоритм решения задачи оптимального управления. В п.2.3 полученные результаты приложены к примеру Леонтьева. Дано сравнение управления, вычисленного по алгоритму, и оптимального управления. Показано, что значения функционала для этих двух случаев отличаются незначительно.
В третьей главе приводятся расчеты экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска. В п.3.1 дается общая историко-географическая характеристика города. В п. 3.2 приводятся матрицы капитальных и текущих затрат, построенные по данным, полученные в администрации г. Еманжелинска. Здесь же приводятся промежуточные результаты расчетов. В п.3.3 приводятся окончательные результаты. Все расчеты проводились в простых дробях для избежания ошибок округления, а затем переводились в десятичные.
Теоретическая и практическая значимость. Основными результатами диссертации следует считать построение численного алгоритма решения задачи (0.2), (0.3), основанного на теории относительно р-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов, а так же алгоритма вычисления оптимального управления для задачи (0.1) - (0.3). По численному алгоритму создан программный продукт для расчета оптимального управления экономикой коммунального хозяйства малых городов, экономикой многоотраслевых промышленных холдингов.
Пример Леонтьева
В примере рассматриваются взаимозависимости между тремя отраслями экономики - сельским хозяйством, промышленностью и домашними хозяйствами. Элемент а матрицы А означает количество продукции г-ой отрасли необходимой для производства единицы продукции j-ой отрасли. Элемент bij матрицы В представляет определенный технологический запас особого типа благ - машин, механических инструментов, промышленных зданий и сооружений, рабочих запасов первичных и промежуточных материалов, производимых отраслью, который используется в отрасли j для производства единицы ее продукции. Другими словами, каждый столбец матрицы В описывает потребность некоторой отрасли в физическом капитале (в расчете на единицу ее валового выпуска) таким же образом, как соответствующий столбец матрицы А описывает ее затраты. Именно поэтому последняя строка матрицы В содержит только нулевые элементы, так как труд невозможно запасти.
Отметим, что принципиально задача (2.1.1)-(2.1.4) решена, причем даже в более общем, чем у нас, случае (см. гл. 6, [75] или [46]). В статье [46] формулируется теорема о существовании и единственности оптимального управления v ЄНд+ , минимизирующего функционал (2.1.4) (теорема З.1.). Мы же предлагаем численный алгоритм решения задачи оптимального управления.
Очевидно, что если нам удастся построить вектор-функцию u(t), которая принадлежит множеству допустимых управлений и для которой значение функционала J(u) весьма близко к J(v), то следует ожидать, что u(t) будет хорошим приближением к истинному решению задачи. Если же нам удастся найти минимизирующую последовательность um(t), то есть последовательность вектор-функций из множества допустимых управлений, для которой J(um) — J{v), то есть основание ожидать, что такая последовательность будет в том или ином смысле сходится к решению.
Ограничим теперь множество допустимых управлений вектор-функциями множества (2.1.7) и найдем среди них ту, которая минимизирует функционал (2.1.4). Подставив в функционал (2.1.4) вместо и выражение (2.1.7) и выполнив необходимое дифференцирование и интегрирование, мы увидим, что J зависит от пхт переменных J = J (an, аи,..., апт). Затем, несложно получить значения параметров aii,ai2,... ,a m, дающие функции /(ац, ai2,..., апт) абсолютный минимум.
Любая последовательность значений функционала, стремящаяся к J{v) образует в пространстве допустимых управлений последовательность вложенных друг в друга сфер. Центр всех сфер совпадает и находится в точке v, в которой функционал равен J(v). Таким образом, расстояние от допустимого управления до v равно радиусу соответствующей сферы. Если рассматривать только правое слагаемое функционала, то оно так же образует последовательность сфер, но большего радиуса, чем функционал в целом. Причем, каждая сфера, образованная функционалом, вписана в сферу, образованную правым слагаемым функционала. Радиусы сфер, образованных правым слагаемым функционала больше либо равны, соответствующих радиусов сфер, образованных функционалом. Радиус сферы, образованной правым слагаемым функционала, в случае, если значение функционала равно J{um)
Алгоритм решения задачи оптимального управления
Пусть, как и в предыдущем разделе, матрица М Ь-регулярна, причем оо - полюс порядка р Є О U N L-резольвенты матрицы М. Здесь мы рассмотрим итерационный процесс для построения оптимального управления, минимизирующего функционал (2.1.4) на множестве допустимых управлений.
Пользуясь свойством интеграла и производной, вынесем коэффициенты многочлена допустимого управления за знак интеграла и знак производной. Используя замечание 1.3.1, теорему 1.3.2, квадратурную формулу Гаусса, формулы численного дифференцирования перепишем функционал (2.1.4) в виде функции от переменных ит - коэффициентов многочлена допустимого управления. Затем, для минимизации функционала воспользуемся алгоритмом минимизации функции многих переменных. В процессе минимизации будем учитывать условие о принадлежности многочлена управления множеству допустимых управлений. Для вычисления минимума функции многих переменных можно воспользоваться различными методами. Мы рассмотрим следующий метод, отличающийся простотой и не требующий значительных вычислительных ресурсов. Будем обозначать umj - вектор коэффициентов многочлена, которым мы приближаем оптимальное управление. В качестве ито будем брать нулевой вектор, так как в этом случае всегда выполняется условие принадлежности управления множеству допустимых управлений (шару заданного радиуса).
Здесь zo() = C o( ) плановые значения некоторого показателя, на достижение которых направлено государственное управление. В качестве такого показателя в примере Леонтьева будем рассматривать x{t) - валовый выпуск отраслей экономики, матрица С будет единичной. Важное значение прироста валового выпуска (или x (t)) отмечают многие известные экономисты. В настоящее время темп прироста валового выпуска используется как наиболее общий показатель, для оценки экономического развития страны. Поэтому функционал зависит не только от валового выпуска, но и от его прироста.
В первой главе данной работы показано, что решение уравнения (2.3.1) существенно зависит от р производных потребления u(t). Воздействие на потребление как один из основных инструментов государственной экономической политики рассматривал Дж.М. Кейнс. В частности, он считал, что большое влияние на потребление оказывают ожидания населения относительно экономической ситуации. В связи с этим, имеет смысл ограничить резкие изменения управляющего воздействия государства, чтобы стабилизировать ожидания.
Матрицы Nq - самосопряженные и положительно определенные матрицы порядка п, q = 0,1,...,р + 1, Nq = NqNq. Матрицы Nq характеризуют удельные затраты, связанные с государственным управлением (расходы на содержание государственного аппарата, транзакционные издержки). Согласно "Теории предельной полезности и предельных издержек" увеличение управляющего воздействия на экономику должно вызывать рост затрат, связанных с управлением. Причиной такого роста является ограниченное предложение на рынке ресурсов, необходимых для управления (в частности, трудовых ресурсов). Быстрая мобилизация ресурсов ведет к их удорожанию. Таким образом, скорость изменения управляющего воздействия влияет на затраты, которые необходимо минимизировать.
Таким образом, второе слагаемое функционала имеет важное значение. Минимизация колебаний управляющего воздействия государства на потребление позволяет стабилизировать ожидания населения относительно экономической ситуации и снизить расходы на государственное управление.
Проблема оптимального управления для динамической системы Леонтьева рассматривалась А.Г. Гранбергом [18]. Им был предложен функционал вида т GC(t)dt max
C(t) - вектор-функция потребления, G - вектор постоянных коэффициентов, применяемых для соизмерения различных потребительских благ.
Задача, сформулированная А.Г. Гранбергом, заключается в максимальном увеличении суммарного потребления за определенный отрезок времени. Так как в работе А.Г. Гранберга предполагалось, что государство напрямую может влиять на объемы производства в различных отраслях, то в качестве управления рассматривалась вектор-функция выпуска x(t). При этом, как видно из функционала, не учитываются затраты связанные с управлением. При анализе оптимальных траекторий, полученных в результате решения задачи оптимального управления, А.Г. Гранберг столкнулся со следующими сложностями
1. Проблема "необратимости" капиталовложений, когда вектор-функция x(t) принимает отрицательные значения. В предлагаемом нами функционале такая проблема не возникает, так как всегда можно выбрать неотрицательный план zo(t).
2. Скачкообразные изменения потребления. В нашей постановке задачи такой проблемы удается избежать включив в функционал производные потребления u(t).
Следует отметить, что для решения системы уравнений Леонтьева А.Г. Гранберг пользовался методом, предложенным самим Леонтьевым. Как было показано в диссертации СВ. Брычева данный метод ошибочен и непригоден для решения уравнений.
Теперь рассмотрим возможность государства влиять на систему (2.3.1) при помощи налогов и дотаций из бюджета (вектор-функция гг). Допустим, государственными планами определены значения макроэкономических показателей, которые необходимо достигнуть за определенный промежуток времени. Например, планируется линейный рост валового выпуска продукции во всех отраслях экономики. В итоге, валовый выпуск отраслей должен увеличится более чем в два раза, и, соответственно, увеличится валовый внутренний продукт страны. Таким образом, функция наблюдения zo(t) будет линейной. Матрица Со, определяющая связь между валовым выпуском отраслей x(t) и наблюдением z(t) будет единичной матрицей (т.к. рассматривается именно валовый выпуск
Историко-географическая и экономическая характеристика Еманжелинска
Еманжелинск, город областного подчинения, расположен на востоке Челябинской области, в 56 км к югу от областного центра. Город был основан и развивался на базе Еманжелинского месторождения бурых углей. В 1931 году на левом берегу речки Еманжелинка возникли первые поселения. С 1934г. - поселок Еманжелинские угольные копи. С 25 сентября 1951 г, Указом Президиума Верховного Совета РСФСР Еманжелинск является городом.
В муниципальное образование г. Еманжелинск входят два поселка городского типа - Зауральский и Красногорский. Общая численность населения муниципального образования составляет 51500 чел., из них на город приходится 28800 чел., на п. Зауральский - 7800 чел., на п. Красногорский - 14900 чел. Доля трудоспособного населения в общей численности составляет около 60%, доля пенсионеров - 32%. Ежегодно, в результате естественной убыли население муниципального образования сокращается примерно на 460 человек, миграционный прирост населения составляет около 300 человек в год.
Со дня своего основания Еманжелинск был шахтерским городом. Предприятия угольной отрасли были градообразующими и занимали в общем объеме промышленного производства около 50%. На протяжении всех лет существования города отдельные шахты закрывались и на их базе открывались предприятия других отраслей. К ним относятся ОАО "Красногорский завод абразивного инструмента", ОАО "Еманжелинскнй ремонтный завод", ГДУП "Сигнал-Полимер". После ликвидации в 2001 году последнего угледобывающего предприятия - разреза "Батуринский" в общем объеме промышленного производства преобладает доля предприятий машиностроительного комплекса.
Ликвидация предприятий угольной отрасли повлекла за собой рост безработицы в городе. На конец 1998 года уровень безработицы в Еманжелинске составлял 11,7%. Для стабилизации обострившейся ситуации на рынке труда, администрацией города с участием средств господдержки проводится работа по созданию новых рабочих мест за счет расширения, внедрения новых производств на крупных, средних предприятиях (ОАО "Еманжелинскхлеб", ОАО "Еманжелинскнй ремонтный завод", ООО "Сельхозпром" и др.), создания малых предприятий (000 "Еманжелинскнй Дом печати", 000 "Радиант", 000 "Виктория" и другие).
После ликвидации угольных предприятий Еманжелинска, малый бизнес признан перспективной основой для экономического развития бывшего шахтерского города. В 2004 году в этой сфере был занят каждый 10-ый горожанин - в Еманжелинске зарегистрировано почти полторы тысячи индивидуальных предпринимателей и 60 малых предприятий. В городе за последние годы появились производства по обработке гранита, мрамора, переработке утильных автошин, выработке растительного масла, изготовлению колбасных изделий, продукции из полипропилена. Более чем в два раза возросло поголовье на Красногорском свинокомплексе. Значительно увеличился объем печатной продукции. Созданы условия для развития малого бизнеса, частного предпринимательства. Особое место в стимулировании малого бизнеса занимает муниципальный Фонд местного развития, созданный на рубеже 2002-2003 годов. Принципы работы Фонда достаточно просты. Для финансирования отбираются бизнес-проекты наиболее значимые для города как в социальном, так и в экономическом отношении. Особое внимание при этом обращается на количество создаваемых рабочих мест, объёмы производства (услуг, товарооборота).
За немногим более полутора лет своей работы Фонд приобрёл значительную популярность у предпринимателей Еманжелинска: процентные ставки здесь намного ниже, чем в любом банке. Если за весь 2003 год Фондом был профинансирован 41 проект на сумму 6,2 млн. руб., то только за восемь месяцев 2004 года кредиты получил уже 31 предприниматель, и сумма выданных кредитов превысила 5,9 млн. рублей.
Темы бизнес-проектов самые разные: столярное дело, камнеобработка, цех пищевых полуфабрикатов, стоматология, ремонт сложнобытовой техники, организация водоснабжения частного сектора и даже производство швейных изделий детского ассортимента.
В результаты заинтересованного отношения администрации Еманжелинска к местному бизнесу только за семь месяцев 2004 года по сравнению с тем же периодом 2003 года объём производства малых предприятий вырос на 77%, оборот розничной торговли - на 17,7%, объём платных услуг - на 25,3%. В настоящее время годовой объем производства продукции в городе составляет около 300 млн. рублей, в то время как стоимость основных фондов предприятий Еманжелинска составляет около 315 млн. рублей.
Одним из сдерживающих факторов для роста экономики города является ограниченность водных ресурсов. В период развития угольной промышленности в Еманжелинске, было осушено озеро Большой Сарыкуль. Озеро было неглубоким, но занимало огромную площадь в 56 кв. км, в нем обитали огромные колонии водоплавающей птицы и зверя, разнообразная рыба. В связи с планами разработки угольных пластов воды озера спустили в соседний водоем. Городу и озеру был нанесен огромный экологический урон. Благодаря настойчивой борьбе еманжелинцев за восстановление озера в последние годы уровень воды в нем значительно поднялся, восстановился животный мир. Водоснабжение города в настоящее время осуществляется за счет Шершневского водохранилища. Шершнёвское водохранилище питает, кроме Еманжелинска, ещё несколько территорий, и возлагать надежды на этот водоём нет смысла. А создавать и развивать промышленные предприятия возможно только при наличии гарантированного источника воды, потребность в которой Еманжелинска, оценочно, будет составлять в ближайшие годы 12-14 тыс. кубометров в сутки вместо 9 тыс. кубометров в 2004 году. В настоящее время доля промышленных предприятий в потреблении воды составляет около 16%, но с ростом промышленного производства доля потребления воды промышленностью будет расти.
Выход из сложившейся ситуации администрация города видит в строительстве водовода из Сухарышского подземного водоёма, который расположен вдвое ближе к Еманжелинску, чем Шершнёвский.
Еще одна проблема Еманжелинска - долги перед предприятиями, осуществляющими энерго- и водоснабжение города. Задолженность за газ на 01.09.2004 г. составляла 2600 тыс. рублей. Задолженность перед ОАО "Челябинская угольная компания" в 2004 году планировалось погасить в полном объеме, но из 900 тыс. рублей долга, заплачено только 300 тыс. рублей.
