Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Неголономные системы описывающие качение без проскальзывания и верчения 16
1.1. Постановка задачи. Уравнения движения и интегралы 17
1.2. Отображения Пуанкаре 19
1.3. Интегрируемость и стохастичность некоторых систем, описывающих качение без верчения и проскальзывания 21
1.3.1. Качение эллипсоида по плоскости. 21
1.3.2. Качение эллипсоида по сфере 24
1.3.3. Качение шара по сфере 26
1.4. Феномены хаотической динамики в задаче о качения неуравно вешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения под действий поля тяжести 27
1.4.1. Уравнения движения 28
1.4.2. Обратимости в системе 29
1.4.3. Странные аттракторы 33
1.4.4. Смешанная динамика 44
ГЛАВА 2. Неголономная модель кельтского камня кельтского камня 50
2.1. Введение 50
2.2. Уравнения движения и интегралы 52
2.3. Построение отображения Пуанкаре 54
2.4. Феномены регулярной динамики: реверс, периодические движения 55
2.5. Феномены хаотической динамики 58
2.6. Выводы
ГЛАВА 3. Топологическая монодромия в неголономных системах 67
3.1. Введение 67
3.2. Топологическая монодромия в интегрируемых системах 70
3.2.1. Как мы собираемся монодромию вычислять? 75
3.3. Качение осесимметричного эллипсоида по гладкой плоскости 79
3.3.1. Уравнения движения и первые интегралы 79
3.3.2. Бифуркационный анализ 81
3.3.3. Анализ монодромии 85
3.4. Качение осесимметричного эллипсоида по абсолютно шерохо ватой плоскости 90
3.4.1. Уравнения движения и первые интегралы 90
3.4.2. Бифуркационный анализ 93
3.4.3. Анализ монодромии 95
3.5. Результаты проведенного анализа и выводы 97
ГЛАВА 4. Программный комплекс 99
4.6. Описание интерфейса программного комплекса 99
4.6.1. Менеджер запущенных инструментов 99
4.7. Методы интегрирования 102
4.7.1. Метод Рунге-Кутта 103
4.7.2. Метод Мерсона 103
4.7.3. Метод Эверхарта 104
4.8. Инструменты 104
4.8.1. Отображение Пуанкаре 106
4.8.2. Cпектр Фурье 109
4.8.3. Ляпуновские показатели для потока 111
4.8.4. Поиск неподвижных и периодических точек отображения 113
4.8.5. Продолжение неподвижных и периодических точек по параметру 116
4.8.6. Построение сепаратрис седловых точек 117
4.8.7. Дерево бифуркаций удвоения периода 119
4.8.8. Построение поверхности z = Map(x) - x 120
4.8.9. Области возможного движения (ОВД) 121
4.8.10. Отображение Пуанкаре для заданных линий 122
4.8.11. Построение карт динамических режимов 124
4.9. Фильтры и дополнительные окна 127
4.9.1. Построение двумерных графиков 128
4.9.2. Построение трехмерных графиков 130
4.9.3. Визуализация движения мультипликаторов неподвижной точки 131
4.9.4. Визуализация движения апексов 131
4.9.5. Универсальный трехмерный визуализатор 133
Заключение 136
Литература
- Интегрируемость и стохастичность некоторых систем, описывающих качение без верчения и проскальзывания
- Феномены регулярной динамики: реверс, периодические движения
- Уравнения движения и первые интегралы
- Поиск неподвижных и периодических точек отображения
Введение к работе
Актуальность работы.
Развитие современной теории динамических систем тесно связано со всевозрастающей ролью компьютерных методов исследований. Первыми достижениями на этом пути были открытие аттрактора Лоренца, исследования Фейгенбаума, связанные с универсальностью перехода к хаосу путем каскада бифуркаций удвоения периода, создание фрактальной геометрии и фрактальной динамики Мандельбротом. Все эти классические результаты тесно связаны с аналитическими исследованиями восходящими к Пуанкаре, Биргофу и др. С другой стороны, они указывают ряд новых свойств, которые не были замечены ранее при аналитических исследованиях. В настоящее время диапазон задач и методов исследования в теории динамических систем чрезвычайно широк, начиная с качественного анализа интегрируемых систем и до исследования сложных неинтегрируемых систем, в которых мы сталкиваемся с таким понятием как хаос и требующих применения компьютерных методов анализа.
Традиционно динамические системы разделяют на консервативные и диссипативные. В физике термин консервативные означает обеспечивающие сохранение энергии, что, в частности, относится к системам классической механики, для описания которых применяется формализм Гамильтона [1, 2]. Для гамильтоновых систем имеет место теорема Лиувилля о сохранении меры (фазового объема).
При наличии трения приходим к диссипативным системам, где механическая энергия не сохраняется, а постепенно рассеивается, переходя в тепло. В диссипативных системах фазовый объем уменьшается по ходу эволюции во времени, по крайней мере, в среднем, и облако изображающих точек оседает в итоге на некоторое подмножество в фазовом пространстве, которое называется аттрактором. Для систем, в которых обеспечивается компенсация потерь энергии внешними источниками (открытые системы), в качестве аттракторов наряду с состояниями равновесия (неподвижными точками) могут встречаться также предельные циклы, отвечающие автоколебаниям, и странные аттракторы, соответствующие хаотической динамике.
В системах с инвариантной мерой, обладающих свойством сохранения фазового объема (когда аттракторов не бывает), облако изображающих точек можно представлять как состоящее из несжимаемой жидкости. В диссипативном случае его надо представлять себе, как сжимаемую субстанцию, наподобие пара, имеющего возможность конденсироваться с существенным уменьшением занимаемого объема при оседании на аттрактор.
В механике, помимо систем, описываемых в рамках гамильтонова формализма, выделяют еще особый класс систем с неголономными связями, или, более коротко неголономные системы (термин введен Генрихом Герцем в XIX веке) [3,4]. Сюда относятся многие задачи, имеющие большое практическое значение, например, в механике передвижных и летательных аппаратов, робототехнике. История изучения этих систем богата драматическими моментами, в том числе ошибками, которые совершались видными исследователями, и лишь затем
исправлялись в ходе более аккуратного анализа. Иерархия типов поведения неголономных систем [5] включает разнообразные ситуации от простых (интегрируемых) до сложных (не интегрируемых), что связано с количеством присущих задаче инвариантов и симметрий.
В данной диссертации с помощью совместного использования компьютерных и аналитических методов мы пытаемся подойти к проблеме интегрируемости, неинтегрируемости и перехода к хаосу, а также его классификации в некоторых неголономных динамических системах. Вообще говоря, в динамических системах существуют различные пути перехода к хаосу. Эти пути, как правило, связаны с различными явлениями типа бифуркаций и обуславливают ряд новых эффектов, возникающих в динамических системах.
Сравнительно недавно выяснилось, что хаос, возникающий в неголономных динамических системах может качественно различаться. Так помимо консервативного хаоса в некоторых неголономных системах были обнаружены странные аттракторы [6–10], а так же другой, малоизученный тип динамического хаоса – так называемая смешанная динамика. Совершено замечательным фактом является обнаружение в неголономной модели кельтского камня странного аттрактора лоренцевского типа [10,11]. По сути эта модель (насколько нам известно) является первой моделью из приложений, в который обнаружен этот хорошо изученный феномен хаотической динамики.
На сегодняшний день для проведения аналитических и численных исследований динамических систем применяют как правило несколько наиболее известных программных средств — Maple, Mathematica, MathLab. Однако, вычислительная среда, создаваемая этими пакетами, не смотря на ее универсальность, направлена преимущественно на проведение аналитических вычислений. Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений с одновременным выводом нескольких потоков информации уже является для этих программных средств невыполнимой. Поэтому для проведения численных расчетов, как правило, используют собственные разработки ориентированные на конкретную исследуемую задачу. Такой подход более эффективен для решения описанной выше задачи, однако имеет существенный недостаток. Практически для каждой новой задачи приходится создавать отдельный программный продукт. Таким образом, актуальной становится проблема создания программного комплекса, который с одной стороны позволит интегрировать неголономные системы дифференциальных уравнений с одновременным многосторонним анализом фазового потока в режиме "онлайн", а с другой стороны максимально упростит и универсализует ввод новых задач. В настоящее время в ижевском институте компьютерных исследований ведется разработка программного комплекса “Компьютерная динамика”. На момент начала исследований и работ над диссертацией в рамках этого комплекса уже была реализована часть функциональности, позволяющая исследовать многие динамические системы. В рамках диссертационной работы эта функциональность была существенно расширена, и в данной момент, используя возможности программного комплекса, можно комплексно исследовать большинство неголономных динамических систем.
Цель работы
Целью диссертационной работы является исследование некоторых неголономных динамических систем с помощью сочетания аналитических и численных методов. Численные (компьютерные) методы исследования должны быть реализованы в рамках программного комплекса. Помимо функциональности, позволяющей численно исследовать неголономные динамические системы, в этом комплексе должна быть заложена возможность визуализации движения в таких системах, облегчающая осмысление и интерпретацию получаемых результатов.
Методы исследования
Для исследования рассматриваемых в диссертации задач использовался спектр аналитических и компьютерных методов теории динамических систем, а так же теории бифуркаций. При решении дифференциальных уравнений, описывающих динамику неголономных систем применялся метод численного интегрирования Рунге-Кутта четвертого порядка. Программирование комплекса осуществлялось на языке C++ в среде MS Visual Studio 2008. Для создания пользовательских интерфесов использовалась кроссплатформенная библиотека Qt v.3.3.7. Для работы с трехмерной графикой и визуализации движения использовались библиотеки OpenGL и OpenCV. Многие алгебраические преобразования, в том числе вывод уравнений, описывающих динамику, построение бифуркационных диаграмм, анализ устойчивости состояний равновесия в системах выполнялись с помощью пакета программ Maple v.14.
Научная новизна и основные результаты
Разработанный программный комплекс “Компьютерная динамика” представляет широкий спектр различных инструментов для исследования неголономных динамических систем и не имеет аналогов. Результаты, полученные, с помощью этого комплекса, являются уникальными и нигде ранее не фигурировали.
В ходе работы над диссертацией в рамках программного комплекса разработан следующий набор инструментов:
построение двухмерного отображения Пуанкаре для заданных линий
построение трехмерного отображения Пуанкаре для заданных линий
вычисления спектра ляпуновских показателей для потока
построения карт динамических режимов
универсальный трехмерный визуализатор
Кроме того, в ходе разработки и апробации комплекса был получен ряд новых научных результатов:
1) Опровергнута гипотеза об интегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существования инвариантной меры в общем случае.
-
Доказана интегрируемость системы (по теореме Эйлера-Якоби), описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существования инвариантной меры в частном случае. Найден новый интеграл.
-
Опровергнута гипотеза об интегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по сфере без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существование инвариантной меры.
-
Выдвинута гипотеза о том, что система, описывающая качение шара по сфере без проскальзывания и верчения в случае равенства их радиусов, является неинтегрируемой, хоть и конформно-гамильтоновой.
-
Показано, что динамика в системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения существенным образом зависит от типа обратимости и количества инволюций.
-
В системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения, обнаружены квази аттракторы со слабой диссипацией. Подробно описан сценарий возникновения одного из таких аттракторов, исследованы его характеристики и свойства.
-
Помимо странных аттракторов в последней системе обнаружен другой интересный малоизученный тип динамического хаоса — смешанная динамика.
-
В неголономной модели кельтского камня обнаружены и исследованы несколько типов странных аттракторов, в том числе спиральный аттрактор Шильникова, аттрактор лорен-цевского типа и аттрактор Фейгенбаума.
-
Проведена визуализация движения кельтского камня на основе неголономной модели для различных динамических режимов. Продемонстрирован эффект реверса и многократного реверса. Продемонстрировано поведение камня и его точки контакта при движение по предельным циклам, а также на некоторых странных аттракторах.
10) Исследована топологическая монодромия в неголономной интегрируемой системе, описывающей качения эллипсоида вращения по шероховатой плоскости. Доказано, что эта система по своим топологическим свойствам вполне аналогична гамильтоновой системе, описывающей динамику такого же эллипсоида по абсолютно гладкой плоскости. Другими словами, никаких топологических препятствий к гамильтонизации рассматриваемой системы монодромия не дает.
Положения и результаты, выносимые на защиту.
-
Дополнительная функциональность, реализованная в рамках программного комплекса “Компьютерная динамика”, позволяющая более глубоко и комплексно исследовать него-лономные динамические системы.
-
Гипотеза о неинтегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существования инвариантной меры в общем случае.
-
Новый интеграл в системе, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существования инвариантной меры в частном случае.
-
Гипотеза о неинтегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по сфере без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существования инвариантной меры в общем случае..
-
Система, описывающая качение шара по сфере без проскальзывания и верчения в случае равенства их радиусов является неинтегрируемой.
-
Динамики в системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения существенным образом зависит от типа обратимости и количества инволюций.
-
Странные аттракторы в системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения.
-
Смешанная динамика в системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения.
-
Новые странные аттракторы в неголономной модели кельтского камня
-
Визуализация движения кельтского камня на основе неголономной модели для различных динамических режимов.
-
Исследования топологической монодромия в неголономной интегрируемой системе, описывающей качения эллипсоида вращения по шероховатой плоскости.
Аргументированность, обоснованность и достоверность диссертации
Полученные в диссертации результаты основываются на строго доказанных теоремах и утверждениях, имеют ясную физическую трактовку и не противоречат известным результатам, обобщают результаты, полученные ранее другими авторами. Достоверность результатов, полученных при работе с разработанным комплексом программ, подтверждается согласованностью с аналитическими результатами в рассматриваемых задачах. Разработанный программный комплекс был опробован на многих задачах неголономной механики, среди которых отдельно можно выделить задачу о движении кельтского камня. Полученные для этой
задачи результаты проверялись в работе [8]. Кроме того, при численных исследованиях всех задач проверялось выполнение законов сохранения энергии, а также других интегралов движения.
Теоретическая и практическая ценность
Разработанный программный комплекс является универсальным исследовательским средством для изучения неголономных динамических систем. Применение данного комплекса в научно-исследовательских коллективах позволит существенно упростить и ускорить анализ исследуемых динамических систем. Комплекс может быть использован в различных конструкторских бюро для проектирования и исследования различных негологомных систем.
Еще одним из направлений применения созданного программного комплекса является использование его в учебном процессе ВУЗов для организации практических занятий в курсах неголономной механики. Для этого автором диссертации было написано и опубликовано учебно-методическое пособие “Неголономные динамические систем” [12].
Полученные в ходе апробации комплекса научные результаты носят как теоретический, так и практический характер и могут быть использованы в дальнейших исследованиях.
Апробация результатов.
Основные результаты работы обсуждались на семинарах Института компьютерных исследований УдГУ, Научного исследовательского института прикладной математики и кибернетики ННГУ, на кафедре численного и функционального анализа ННГУ, а так же в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН. Кроме того результаты исследований, изложенные в диссертации докладывались на российских и международных конференциях:
Всероссийская конференция “Нелинейный анализ, управление и робототехника”, 20–25 декабря 2011, Ижевск, РФ
IUTAM Symposium “From Mechanical to Biological Systems - an Integrated Approach”, 05–10 июня 2012, Ижевск, РФ
IX Всероссийская научная конференция им. Ю.И.Неймарка “Нелинейные колебания механических систем”, 24–29 сентября 2012, Нижний Новгород, РФ
Fourth International Conference “Geometry, Dynamics, Integrable Systems” – GDIS 2013, 10– 14 июня 2013, Ижевск, РФ
International conference “Dynamics, Bifurcations, and Strange Attractors” dedicated to the memory of Professor Leonid Pavlovich Shilnikov, 01–05 июля 2013, Нижний Новгород, РФ
Публикации.
Результаты диссертации отражены в 14 научных публикациях, 8 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК. Список приведен в конце автореферата.
Личный вклад.
Постановки задач, обсуждение и интерпретация результатов проводились совместно с научным руководителем и соавторами работ. Автором разработаны математические модели, проведено программирование всех задач и выполнены все численные эксперименты.
Объем и структура работы.
Интегрируемость и стохастичность некоторых систем, описывающих качение без верчения и проскальзывания
Рассмотрим качение неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения. Неуравновешенным будем называть шар, центр масс которого смещен относительно геометрического центра. Из работы [23] известно, что система, описывающая качение неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения, не обладает инвариантной мерой даже в случае существования полного набора интегралов — в случае отсутствия поля тяжести. При добавлении поля тяжести интегрируемый случай был обнаружен лишь когда два главных момента инерции совпадают, а центр масс шара смещен только вдоль третьей главной оси инерции [24]. Для неуравновешенного шара с произвольным распределением масс при добавлении поля тяжести пропадает как дополнительный интеграл, так и инвариантная мера. Отсутствие дополнительного интеграла приводит к возникновению хаотического поведения в системе, а отсутствие инвариантной меры к существованию асимптотических режимов, которые легко обнаружить при анализе отображения Пуанкаре.
Далее будет показано, что на динамическое поведение неуравновешенного шара существенное влияние оказывает тип обратимости. В зависимости от типа обратимости в системе обнаружены два принципиально различных типа динамического хаоса: странные аттракторы и смешанная динамика. Ниже подробно описан сценарий возникновения странного аттрактора, а также приведены его основные свойства. Приведен ряд критериев, по которым, с помощью численных экспериментов, можно отличить смешанную динамику от других типов динамического хаоса.
Для численного исследования качения шара со смещенным центром масс по плоскости без проскальзывания и верчения, как и для других аналогичных задач, удобными являются переменные (L,G,g,l) задаваемые формулами (1.9), а основным инструментом исследования - “отображение Пуанкаре” (в том числе для заданных линий), реализованное в программном комплексе “Компьютерная динамика”. отвечающая за обращение угловых скоростей шара. Множеству неподвижных точек этой инволюции соответствует подпространство нулевых скоростей {uj\ = UJ2 = из = 0). Помимо Ro, система допускает дополнительные инволюции, количество которых определяется количеством компонент смещения (вдоль осей инерции) центра масс шара. Максимальное количество инволюций соответствует уравновешенному шару (центр масс которого совпадает с геометрическим центром). В зависимости от типа преобразования переменных (и , 7) все дополнительные инволюции можно разделить на два класса: инволюции отвечающие за поворот шара вокруг одной из осей инерции
Если центр масс шара смещен вдоль единственной оси, тогда система (1.20) допускает три дополнительные (помимо Ro) инволюции: инволюцию, отвечающую за поворот шара на угол 7г вдоль оси смещения (одну из НІ, і = = 1..3) и две инволюции, отвечающие за отражение шара относительно плоскостей, проходящих через ось смещения и одну из двух осей инерции (две из Тч, і = 1..3). Если центр масс шара смещен вдоль двух осей, тогда исследуемая система имеет единственную дополнительную инволюцию, отвечающую за отражение шара относительно плоскости, проходящей через оси смещения (одну из Т І, і = 1..3). В случае произвольного смещения центра масс шара (когда все компоненты а\, а2 и аз ненулевые) рассматриваемая система не обладает дополнительными инволюциями.
Напомним определение обратимости и инволюции для отображений. Преобразование г{х) : х - х называется инволюцией для отображения (1.10), если: jro0r = rojr-i (1.26) Отображение Fgo(x) в этом случае называется обратимым по отношению к инволюции г (ж). Легко видеть, что каждая инволюция для потоковой системы порождает инволюцию для отображения Пуанкаре, сконструированного для этой системы, если в качестве секущей выбрать многообразие, инвариантное относительно действия этой инволюции. Далее инволюции отображения Пуанкаре, порожденные инволюциями потоковой системой, будем называть порожденными инволюциями. Ниже приведены порожденные инволюции для отображения Пуанкаре (1.10)
Для каждой инволюции (кроме го) множество неподвижных точек представляет собой линию в переменных (L, G, /, д). Будем называть такие линии линиями неподвижных точек или просто неподвижными линиями. Для тривиальной инволюции го множество неподвижных точек не определено, так как при нулевых угловых скоростях не определены переменные (L,G,l,g).
Назовем образ отображения Пуанкаре для линии неподвижных точек инволюции образом неподвижной линии. Всевозможные образы неподвижной линии, пересекаясь между собой, образуют густую сеть в пространстве отображения Пуанкаре, которую мы будем называть симметрийной сетью инволюции. Можно доказать (см., например, [25, 26]), что узлами этой сети являются периодические точки с единичным якобианом (эллиптические точки либо седловые с единичной седловой величиной). В случае отсутствия у системы инвариантной меры ячейки симметрийной сети инволюции могут быть конечных размеров и содержать асимптотические источники и стоки, такие как периодические точки, инвариантные кривые или, даже, странные аттракторы. Таким образом чем “гуще” симметрийная сеть инволюции, тем меньше ее ячейки и большая часть области отображения заполнена периодическими точками с единичным якобианом, а динамика в системе ближе к динамике в системах, обладающих инвариантной мерой.
В случае когда система обратима относительно нескольких инволюций симметрийные сети для каждой инволюции накладываются друг на друга, образуя густую общую симметрийную сеть, узлами которой являются всевозможные периодические точки с единичным якобианом.
Феномены регулярной динамики: реверс, периодические движения
Приведем анализ показателей Ляпунова для потока (1.20) в области , отвечающей странному аттрактору. Построения спектра Ляпуновских показателей осуществлялось с помощью инструмента “Спектр ляпуновских показателей для потока”. Три из шести ляпуновских показателей исследуемой системы являются нулевыми благодаря наличию трех интегралов движения (1.7), еще один нулевой показатель отвечает сдвигу по времени. Таким образом, исследуемый поток обладает двумя ненулевыми показателями Ляпунова. Для вычисления полного спектра ляпуновских показателей применялся известный алгоритм Бенетина [13]. Для определения погрешности численного счета вычисление ляпуновских показателей выполняется многократно из различных точек на аттракторе. Полученный набор значений рассматривается как выборка случайной величины, для которой оценивается математическое ожидание и выборочная дисперсия. В качестве оценки погрешности вычислений используется среднеквадратичное отклонение — корень из выборочной дисперсии. Ниже приведены ненулевые ляпуновские показатели для странного аттрактора, а также их сумма c учетом погрешностей счета:
Положительный показатель Ляпунова подтверждает хаотическую природу исследуемого множества. Отрицательная сумма свидетельствует о сжатии объемов, характерном для настоящих аттракторов. Отметим, что сжатие объемов на нашем аттракторе является слабым, о чем свидетельствует небольшая по величине сумма ляпуновских показателей.
Из формулы видно, что размерность близка к двум, в связи с чем аттрактор занимает соизмеримую с пространством отображения область.
Согласно приведенным свойствам обнаруженное хаотическое множество нельзя отнести ни к одному из известных типов странных аттракторов (таких как лоренцевского типа, типа Эно или др.). Более того нам удалось обнаружить внутри этого хаотического множества периодические устойчивые режимы периодов 5 и 32 с очень малыми областями притяжения. Перечисленные свойства позволяют классифицировать обнаруженное хаотическое множество как квази аттрактор со слабой диссипацией.
Все динамические системы, в которых наблюдается хаотическое поведение условно можно разделить на 3 класса. К первому классу относятся системы обладающие свойством сохранения инвариантной меры или фазового объема. Динамика в таких системах близка к гамильтоновой, а хаос сосуществует с эллиптическими островами и является несжимаемым. Второй класс формируют системы без инвариантной меры. Так как фазовый объем в таких системах не сохраняется, в них могут существовать асимптотические траектории (состояния равновесия, инвариантные кривые, торы и, даже, странные аттракторы). Третий класс образуют обратимые системы без инвариантной меры, объединяющий в себе свойства первых двух классов. В работе [26] показано, что для таких систем характерно сосуществование отделенных друг от друга областей с квази гамильтоновым и асимптотическим поведением. В данной главе мы выяснили, что хаос в таких системах хоть и похож на гамиль-тоновый, однако может таковым не является. На примере обратимой системы, сводимой к исследованию двумерного отображения Пуанкаре мы показали наличие периодических орбит фокусного и эллиптического типов внутри областей, заполненных, хаотическими траекториями.
Некоторые вопросы сосуществования орбит различных типов (хаотических, эллиптических и асимптотических) для достаточно общего класса об ратимых систем рассматриваются в [33, 34] (где также введено понятие смешанной динамики). В данной работе мы рассматриваем глобальные аспекты такого смешанного поведения для обратимых двумерных отображений, не сохраняющих инвариантную меру.
Под смешанной динамикой для двумерных обратимых отображений без меры мы понимаем хаотическое неблуждающее множество обладающее следующими свойствами: оно плотно накрыто симметрийной сетью инволюции. В симметрийной сети существуют ячейки, содержащие асимптотические (устойчивые и неустойчивые) периодические траектории фокусного типа.
Таким образом, смешанная динамика для двухмерных отображений содержит хаотические орбиты; симметричные орбиты (эллиптические и седловые с единичной седловой величиной), расположенные в узлах симметрийной сети; и асимптотически устойчивые и неустойчивые орбиты (фокусы), в некоторых ячейках симметрийной сети.
Данное определение позволяет сформулировать естественный критерий, позволяющий численно отличить смешанную динамику от квази гамильто-новой. Для этого необходимо построить достаточно густую симметрийную сеть и попытаться обнаружить в ячейках этой сети ассимптотические орбиты (устойчивые или неустойчивые фокусы).
ЗАМЕЧАНИЕ 4. Так как смешанная динамика является одним из типов хаоса, она характеризуется экспоненциальным разбеганием большинства траекторий, вследствие которого длина каждого следующего образа неподвижной линии, а значит и время на его построение экспоненциально растут. Таким образом, для построения богатой и густой симметрийной сети, потребуется провести огромный объем вычислений (построение десятой итерации линии неподвижных точек с шагом 0.001 требует около получасу вычислительного времени).
Уравнения движения и первые интегралы
Данная работа мотивирована следующим общим вопросом классической механики: чем и в какой мере динамическое поведение неголономных систем отличается от поведения гамильтоновых? С этим вопросом непосредственно связана известная проблема гамильтонизации: можно ли путем подходящего выбора пуассоновой структуры и замены времени превратить заданную него-лономную систему в гамильтонову? Эта проблема весьма нетривиальна, обсуждается во многих работах (см., например, [5,52,57–59,64–66,72,73,75,76]), и имеет много различных аспектов. Одним из них является поиск топологических препятствий к гамильтонизации интегрируемых неголономных систем.
В нашей конкретной ситуации под интегрируемостью понимается существование достаточного числа таких первых интегралов системы, что их совместная неособая поверхность уровня является двумерным тором (так же, как в случае интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы) и на фазовом пространстве системы возникает слоение на инвариантные торы. Говоря о топологических препятствиях к гамильтонизации, здесь мы имеем в виду следующий содержательный и важный вопрос: можно ли в структуре такого слоения выделить те свойства, которые позволяют отличить его от аналогичных слоений, возникающих в интегрируемых гамильтоновых системах (так называемых лиувиллевых слоений)?
Вблизи регулярного слоя таких препятствий, разумеется, нет. Более того, известно, что при наличии инвариантной меры система (после подходящей замены времени) гамильтонизуется (см. [50,61]). Однако топологические препятствия могут существовать в окрестности сингулярных слоев. Одним из таких препятствий является так называемая топологическая монодромия слоения. Изучению различий между гамильтоновой и негамильтоновой монодро-мией посвящена известная работа Дюистермаата и Кушмана [69], в которой дан подробный теоретический анализ монодромии в интегрируемых неголо-номных системах. В качестве конкретного примера неголономной системы, в которой монодромия, возникающая при обходе особого слоя, дает топологическое препятствие и гамильтонизация системы невозможна, авторы приводят задачу о качении вытянутого эллипсоида вращения по плоскости без проскальзывания.1
Хорошо известно, однако, что аналогичная задача в случае бесконечно гладкой плоскости (то есть когда трение обращается в нуль) гамильтоновой является. В этой гамильтоновой системе имеется совершенно аналогичный осо 1Вот цитата из [69]: “Because the monodromy going around this heteroclinic cycle is the identity, the rolling prolate ellipsoid of revolution can not be made into a Hamiltonian system, even though it is time reversible and energy conserving. This is an example where a global invariant (namely, monodromy) has been used to show that a 4-dimensional conservative time reversible system is not Hamiltonian”. К сожалению, подробных пояснений к этому заключению работа не содержит, поэтому затруднительно не только указать на возможные неточности, но даже понять строгую математическую формулировку приведенного выше утверждения. бый слой с «обычной», то есть гамильтоновой, монодромией. В связи с этим было бы очень интересно увидеть динамические различия в поведении этих двух довольно схожих систем. Поскольку монодромия является грубой топологической характеристикой, то эффект должен хорошо наблюдаться. Наши предварительные теоретические рассуждения, однако, никаких принципиальных различий в поведении этих двух систем не выявили. Поэтому мы решили провести более подробный и аккуратный анализ топологической монодромии для двух этих систем. Именно это исследование составляет содержание настоящей работы.
Структура работы такова. В следующем разделе мы напоминаем понятие монодромии для интегрируемых систем и обсуждаем некоторые ее свойства в случае гамильтоновых систем, в частности, следуя работе [69], делаем акцент на различии между гамильтоновым и негамильтоновым случаями. Затем мы обсуждаем один из возможных способов практического вычисления мо-нодромии в системах с вращательной симметрией, основанный на анализе некоторых свойств отображения Пуанкаре для специальным образом выбранного сечения. В последующих разделах мы применяем этот способ для исследования монодромии в двух интегрируемых задачах о качении вытянутого эллипсоида вращения: на гладкой плоскости (гамильтонов случай) и на шероховатой плоскости (неголономный случай).
Основной вывод работы заключается в том, что с точки зрения монодро-миии эти две системы устроены совершенно одинаково. В частности, никаких препятствий для гамильтонизации второй из них монодромия не дает. Более того, наш анализ фактически приводит к заключению об изоморфности слоений на инвариантные торы в этих двух задачах. Это, однако, не означает, что монодромия оказывается бесполезной в проблеме гамильтонизации. Напротив, она позволяет сузить «сектор поиска» подходящей пуассоновой структуры. Об этом идет речь в заключительной части работы. Понятие монодромии в интегрируемых (гамильтоновых) системах было введено Дюистермаатом в [71] как одно из препятствий к существованию глобальных переменных действие-угол. Поскольку это понятие носит чисто топологический характер, то есть полностью определяется свойствами слоения на инвариантные торы, то его легко перенести на случай неголономных интегрируемых систем.
Мы напомним определение монодромии в интересующем нас случае (различные обобщения обсуждаются в [77]). Рассмотрим интегрируемую динамическую систему, фазовое пространство которой расслоено на двумерные инвариантные многообразия (торы). Особые слои мы игнорируем (выбрасываем). Выберем какой-либо конкретный тор Т0 и некоторую его деформацию Tt, t Є [0,1], такую, что Ті = То. Другими словами, мы рассматриваем замкнутый путь в пространстве параметров (то есть значений первых интегралов), задающий такую деформацию, после завершения которой тор возвращается в исходное положение.
Далее мы фиксируем пару базисных циклов А0, /І0 на исходном торе Т0 и в процессе деформации непрерывным образом меняем их, получая в итоге семейство циклов At, /it, при каждом фиксированном t Є [0,1] образующих базис на торе Tt. Когда деформация завершится, на торе Тх = Т0 мы получим некоторую пару базисных циклов Ль/л. Ясно, что если деформация происходила внутри малой окрестности тора То, то полученные циклы будут гомологичны исходным циклам До, До, то есть Ло и Лі могут быть непрерывно продеформированы друг в друга внутри тора Т0 (аналогично для ц0 и щ). Однако если семейство торов Tt уходило «далеко» от начального тора То, то может случиться так, что новые циклы Лі, /І і будут совсем другими, существенно отличающимися от Ло, До.
Поиск неподвижных и периодических точек отображения
Один из основных инструментов. Предназначен для построения отображения Пуанкаре динамической систем. Отображение Пуанкаре строится на пересечении изоэнергетического уровня и некоторой гиперплоскости (плоскости сечения) в фазовом пространстве. Эта гиперплоскость обычно задается как условие постоянности некоторой фазовой переменной, которую мы назовем переменной сечения. Сечение изоэнергетического уровня гиперплоскостью в общем случае представляет собой некоторую поверхность, которую в дальнейшем мы будем называть поверхностью уровня энергии. Нарисовать эту поверхность для двумерного отображения Пуанкаре можно с помощью инструмента “Построение ОВД”. Для построения отображения Пуанкаре поверхность уровня энергии проецируется в некоторое пространство фазовых переменных, которые мы будем называть координатами отображения Пуанкаре, а само пространство — пространство отображения Пуанкаре. В общем случае поверхность уровня энергии проецируется в пространство отображения Пуанкаре неоднозначно. Таким образом, одним и тем же координатам отображения Пуанкаре могут соответствовать несколько точек на поверхности уровня энергии. В этом случае отображение Пуанкаре становится много-листным. Тогда в случае значения yes параметра Many-sheeted map с помощью параметра Number of the root выбирается номер листа. А в случае значения no - параметр Number of the root определяет номер листа только начальной точки, а во время счета отображаются точки, попадающие на любой из листов.
Построение отображения Пуанкаре основано на выводе точек пересечения фазовой траектории на заданном уровне энергии с плоскостью сечения. Фазовая траектория системы рассчитывается с помощью численного интегрирования уравнений движения. Точки пересечения фазовой траектории с плоскостью сечения ищутся методом деления пополам отрезка соединяющего две последовательные точки траектории, расположенные по разные стороны плоскости сечения. Найденные точки пересечения выводятся на экран в зависимости от принадлежности их к заданному листу отображения и направления пересечения плоскости сечения фазовой траекторией (задается параметром Direction intersection). Последнее условие исключает дублирование информации об одной и той же траектории на фазовом портрете.
В программном комплексе реализована возможность построения как двухмерных так и трехмерных отображений Пуанкаре. Размерность отображения Пуанкаре определяется спецификой исследуемой задачи.
Для двумерных случаев инструмент позволяет строить отображение Пуанкаре на поверхности уровня энергии, которая в этом случае представляет собой некоторую двумерную поверхность (параметр Draw on energy level). В случае трехмерного отображения Пуанкаре поверхность уровня энергии является уже трехмерной, поэтому ее построение невозможно.
Построение трехмерного отображения Пуанкаре, в отличие от двумерного, происходит одновременно в двух окнах. В первом окне (под названием Map) строится проекция отображения на горизонтальную плоскость, а во втором (под названием Map3D)— полное трехмерное отображение Пуанкаре. Задание первых двух координат для запуска траектории происходит в первом окне, а третья координата всегда задается вручную параметром Initial coordinate Z.
Данный инструмент позволяет построить спектр Фурье ряда функций (параметр Function to expand), зависящих от фазовых переменных, при движении системы вдоль некоторой фазовой траектории. Построение спектра ведется с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье. В качестве траектории может быть выбрана любая уже построенная с помощью инструмента “Отображения Пуанкаре” траектория. В силу специфики построения спектра Фурье, в качестве метода интегрирования необходимо выбирать метод с постоянным шагом (метод Рунге-Кутта или Эверхарта).
