Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современное состояние исследований системы «паразит хозяин» методами имитационного математического моделирования 11
1.1 Эпидемиология инфекционных болезней - основание для построения моделей «паразит-хозяин» 11
1.2 Модели других медико-биологических систем, близких к системе «паразит-хозяин» 19
1.2.1 Модели инфекционного процесса 20
1.2.2 Модели динамики численности популяций 22
1.2.3 Модели математической генетики 25
1.3 Модели системы «паразит-хозяин» 27
1.3.1 История вопроса 27
1.3.2 Классификация моделей 30
Глава 2. Общие подходы к имитационному моделированию эпидемического процесса 39
2.1 Область применимости имитационных математических моделей и исходные предположения 39
2.2 Определение достоверности различия заболеваемости 44
2.3 Классификация моделей эпидемического процесса антропонозных инфекций по состояниям и переходам 47
Глава 3. Детерминированные модели 53
3.1 Простейшие гомогенные модели для бесконечной популяции в стационарных условиях 53
3.2 Стационарные решения в гетерогенной популяции 63
3.3 Влияние разных видов гетерогенности популяции хозяина на динамику заболеваемости 67
3.4 Применение к количественному определению заразности 68
3.5 Динамика в периодических условия 73
3.6 Изменение динамики заболеваемости в периодических условиях от амплитуды колебаний активности механизма передачи. Результаты численного анализа 77
3.7 Изменение динамики заболеваемости в периодических условиях от амплитуды колебаний активности механизма передачи. Аналитические результаты 113
3.8 Применение к анализу фактической заболеваемости 125
3.9 Модель гетерогенной не полностью изолированной популяции 136
3.10 Существование периодических решений в гетерогенной модели 140
3.11 Устойчивость и единственность периодических решений в гетерогенной модели 145
3.12 Численные результаты и обсуждение 156
Глава 4. Стохастическая модель 159
4.1 Модель SIoo. Случай конечного количества инфицированных и бесконечно большого числа восприимчивых 160
4.2 Случай среднего значения контактного числа, равного единице. Характерное время обнуления количества инфицированных 163
4.3 Динамика распределения количества инфицированных при R 1 и внешнем притоке 169
4.4 Случай R 1. Форма предельного распределения и доверительные границы к показателям заболеваемости при постоянных условиях 175
4.5 Случай R 1. Расчет достоверности различий годовых показателей заболеваемости 182
4.6 Расчет достоверности различий заболеваемости с учетом того, что не все случаи инфицирования регистрируются 193
4.7 Использование полученных распределений для анализа годовой заболеваемости "заносными инфекциями" на примере малярии и брюшного тифа 195
4.8 Использование доверительных границ для частично регистрируемых инфекций 200
4.9 Определение скорости изменения заболеваемости по помесячным данным и ее доверительных границ 202
4.10 Прогнозирование заболеваемости заносной инфекцией: схема анализа 204
4.11 Прогнозирование заболеваемости заносной инфекцией: анализ изменения коллективного иммунного статуса 205
4.12 Случай отсутствия иммунитета в конечной популяции -модель SIN. Уравнения динамики. Предельное распределение в стационарных условиях 206
4.13 Распределение количества инфицированных в периодических условиях 219
4.14 Анализ динамики заболеваемости венерическими болезнями 224
4.15 Вывод уравнения динамики плотности распределения для стохастической модели SIR 226
4.16 Большая популяция - динамика малых случайных флюктуации 228
4.17 Предельное распределение малых случайных флюктуации в периодических условиях 230
4.18 Определение инфекционного характера заболеваемости по ее размахам 233
Заключение 240
Практическая значимость 240
Выводы 241
Список литературы 243
- Область применимости имитационных математических моделей и исходные предположения
- Применение к анализу фактической заболеваемости
- Устойчивость и единственность периодических решений в гетерогенной модели
- Динамика распределения количества инфицированных при R 1 и внешнем притоке
Введение к работе
Актуальность проблемы
Имитационное математическое моделирование - мощный метод исследования, который в последние годы все шире внедряется в медико-биологические исследования. Его особая важность для эпидемиологии инфекционных заболеваний связана с ограниченностью возможности проведения прямого экспериментального исследования, а также необходимостью анализа ситуации и прогнозирования в постоянно меняющихся условиях.
Борьба с инфекционными заболеваниями – одна из наиболее важных задач современного здравоохранения. Несмотря на постоянно расширяющийся спектр средств контроля и управления инфекционными болезнями, в том числе за счет разработки новых вакцин, инфекционные и паразитарные заболевания удерживают первое место среди причин смертности в мире, опережая заболевания сердечно-сосудистой системы и новообразования. При этом появляются новые опасные заболевания, такие, как ВИЧ-инфекция, ТОРС, птичий и свиной грипп. Ряд известных инфекционных заболеваний возвращаются в новом, более грозном обличии.
Для анализа заболеваемости, направленного на поиск групп, времен и мест риска, факторов риска, разработки противоэпидемических мероприятий и анализа их качества и эффективности используется ретроспективный эпидемиологический анализ. Это – статистическая обработка данных о показателях заболеваемости и иных связанных с ней показателей и параметров. Поэтому такие актуальные задачи, как прогнозирование результатов новых противоэпидемических мероприятий в условиях быстрых беспрецедентных изменений социально-экономических и экологических условий жизни, находятся вне пределов применимости статистического анализа.
Так, для современной России характерны следующие особенности:
1. Резкое и существенное изменение социально-экономических условий жизни, приведшее к существенному изменению условий передачи и распространения ряда инфекционных болезней.
2. Изменение демографической структуры, значительное снижение рождаемости и уменьшение удельного веса лиц младших возрастов.
3. Появление новых средств вакцинопрофилактики и изменение схем ее применения.
4. Ограниченность финансирования медицины вообще и профилактической медицины в особенности. В этих условиях особенно важно уметь точно определять экономическую эффективность планируемых противоэпидемических мероприятий.
Поэтому крайне желательно иметь возможность достаточно точно оценивать последствия, в том числе и долгосрочные, от проведения тех или иных противоэпидемических мероприятий в меняющихся условиях, для чего возможностей стандартного ретроспективного эпидемиологического анализа недостаточно.
Использование же методов математического моделирования имеет ряд преимуществ. Во-первых, анализ не ограничивается манипуляцией с показателями заболеваемости. Анализируются такие величины, как контактное число (среднее количество инфицированных лиц одним источником инфекции), величина сезонного колебания активности механизма передачи, уровень коллективного иммунитета и т. д. Эти показатели позволяют более прямым образом выйти на факторы риска. Во-вторых, использование математических моделей позволяет предсказывать результативность ранее не проводившихся мероприятий в беспрецедентно меняющихся условиях. В-третьих, использование этих методов для анализа позволяет получить теоретические результаты о системе «паразит-хозяин».
Цель исследования
Разработка и анализ набора математических моделей эпидемического процесса, расширяющих возможности ретроспективного эпидемиологического анализа.
Задачи исследования
1. Разработка терминов и понятий, необходимых для построения математических моделей «паразит-хозяин» применительно к инфекционным болезням человека. Классификация моделей по исходным предположениям, их приложение к реальным задачам.
2. Построение и анализ модели «паразит-хозяин» для антропонозного заболевания в бесконечной популяции с учетом гетерогенности популяции хозяина по индивидуальному риску инфицирования и заразности, периодических изменений активности механизма передачи и не полной изолированности популяции.
3. Построение и анализ модели эпидемического процесса для заболеваний с контактным числом менее единицы, в конечной популяции.
4. Построение и анализ модели эпидемического процесса антропонозного заболевания без выраженного постинфекционного иммунитета в конечной популяции с учетом сезонных изменений активности механизма передачи.
5. Построение и анализ модели эпидемического процесса антропонозного заболевания с иммунитетом в конечной популяции с учетом сезонных изменений активности механизма передачи.
6. Разработка методов анализа данных о заболеваемости на предмет выявления эпидемиологических особенностей, характерных для инфекционных заболеваний.
Научная новизна исследования
Настоящая работа посвящена исследованию системы «паразит-хозяин» в очень общей постановке, которая ранее не исследовалась.
Во-первых, популяция хозяина предполагается состоящей из лиц, имеющих разные индивидуальные заразность и риски инфицирования, что может быть связано как с их индивидуальными особенностями, так и с особенностью поведения и принадлежностью к группам риска.
Во-вторых, популяция хозяина рассматривается как не полностью изолированная, а имеющая внешний источник инфицирования. Этим внешним источником может быть, например, контакт с членами другой популяции.
В третьих, учитывается, что активность инфицирования не обязательно постоянна, а может зависеть от времени года.
Было доказано, что для стационарных условий рассматриваемая система «паразит-хозяин» имеет единственное стационарное экспоненциально устойчивое решение, являющееся глобальным аттрактором. Для достаточно малых колебаний зависимости активности передачи из внешних и внутрипопуляционных источников это справедливо и для периодических решений, однако получено, что при увеличении амплитуды колебаний периодическое решение с периодом, равным периоду колебаний констант, может потерять устойчивость и породить бифуркацию удвоения цикла. Кроме этого получено, что могут существовать и дополнительные периодические решения, например, с периодом в три раза большим периода колебаний.
Кроме этого была рассмотрена стохастическая система «паразит-хозяин», учитывающая конечность популяции, с учетом возможной периодичности условий и внешнего притока. Для нее получены аналитические результаты и оценки параметров для получающихся распределений по заболеваемости и количеству инфицированных. Получено, что рассматриваемая система обладает выраженными случайными флюктуациями даже при очень больших размерах популяции. Более того, получено, что для достаточно быстрых инфекций даже многомиллионные популяции недостаточны, чтобы препятствовать разрушению системы вследствие флюктуации на ноль.
Это резко отличается от ситуации, обычной для задач исследования динамики систем взаимодействующих биологических популяций, в которых даже для групп в несколько десятков особей случайные эффекты малосущественны.
На основании полученных результатов и моделей был предложен метод анализа фактических данных о заболеваемости, позволяющий определить, являются ли отдельные случаи заболевания независимыми или нет, то есть не носит ли заболеваемость некоторых особенностей, характерных для инфекционной заболеваемости.
Для анализа коротких временных рядов обычно используют автокорреляционную функцию и другие аналогичные методы, но в данном случае ее применение осложняется тем, что случайные флюктуации инфекционной заболеваемости имеют разные направления связи на разных промежутках. На коротких промежутках эта связь положительна, так как увеличение заболеваемости в данный момент времени увеличивает ожидаемое количество тех, кто от них заразится. Однако на больших промежутках эта связь отрицательна, так как увеличение заболеваемости вызывает уменьшение доли восприимчивых, что влечет дальнейшее снижение уровня заболеваемости.
Использование ряда других методов, таких, как расчет старшего показателя Ляпунова, оценка эффективной размерности системы, показателя Херста и пр., затрудняется небольшой длиной имеющихся рядов. Поэтому была предложена «упрощенная» версия анализа подобных показателей, основанная на анализе изменения размахов при группировке.
Практическая значимость работы
На основе полученных результатов о закономерности динамики системы «паразит-хозяин» предложен ряд новых методов ретроспективного эпидемиологического анализа, включая анализ независимости случаев заболевания на основе изменения размахов заболеваемости при изменении интервалов группировки.
Построенные модели хорошо воспроизводят основные закономерности фактической заболеваемости, в том числе и при изменении условий, что позволяет использовать их для решения задач оптимального планирования противоэпидемических мероприятий.
Полученные результаты представляют также интерес для развития математических методов анализа медико-биологических систем.
Некоторые результаты, полученные в ходе подготовки данной работы, используются в преподавании спецкурса «Математическое моделирование в экологии и медицине», который автор в течение более чем десяти лет ведет в МИФИ (технический университет).
Апробация результатов работы
Основные результаты работы были доложены на заседании кафедры эпидемиологии ММА им. И.М. Сеченова от 15 декабря 2008 года.
Структура диссертации
Область применимости имитационных математических моделей и исходные предположения
Имитационное математическое моделирование - мощный метод исследования, который в последние годы все шире внедряется в медико-биологические исследования. Его особая важность для эпидемиологии инфекционных заболеваний связана с ограниченностью возможности проведения прямого экспериментального исследования, а также необходимостью анализа и прогнозирования в постоянно меняющихся условиях.
В отличие от статистической обработки имитационные модели основаны на учете специфический особенностей изучаемого процесса, применительно к эпидемическому процессу антропонозной инфекции - то, что она существует как цепь последовательных инфицирований. Однако в необходимом для имитационного математического моделирования учете специфики изучаемого процесса имеются и определенные ограничения для применимости имитационного моделирования - оно требует достаточно точного (качественного и количественного) знания законов развития изучаемого явления.
Между тем теоретические представления об эпидемическом процессе развивались в двадцатом веке очень стремительно, многие факторы, которым ранее не придавали особого внимания, впоследствии были признаны существенными, и на представлениях начала и середины двадцатого века адекватная модель не может быть построена.
Для получения корректных результатов при построении имитационной математической модели следует учитывать многие существенные с точки зрения современной эпидемиологической науки моменты. Перечислим некоторые из них: 1. Инфекционный процесс не обязательно протекает с выраженными или специфическими клиническими признаками. Он может протекать в форме невыраженного заболевания или вообще субъективно не отмечаться. Ряд инфекционных заболеваний практически регистрируется по характерным для них постинфекционным осложнениям. Так, вирусные гепатиты в основном определяются по возникающим у части переболевших характерным поражениям печени, а полиомиелит - по имеющимся у части заболевших специфическим поражениям центральной нервной системы. Таким образом, значительная часть инфицированных может остаться не выявленной. Заболеванием с только манифестными случаями признается лишь корь (в современной литературе обсуждается, встречаются ли атипичные варианты кори как редчайшие отклонения).
2. По своему основному резервуару инфекции делятся на антропонозы, для которых основной хозяин - человек, зоонозы (основной хозяин - животные) и сапронозы (объекты неживой природы). Для неантропонозных инфекций человек - биологический тупик. Поэтому неантропонозные заболевания малозаразны. Для большинства зоонозов и сапронозов инфицированный человек практическую угрозу для окружающих не представляет, и случаи инфицирования от человека к человеку отсутствуют или чрезвычайно редки. В другом случае случаи заражения человека от человека отмечаются, однако их меньше, чем исходных случаев, так что эпидемический процесс не может самоподдерживаться без дополнительных источников.
3. Для большинства инфекций заболевание оканчивается выработкой иммунитета, предохраняющего хозяина от повторного заражения. По этому признаку инфекции можно разделить на следующие группы:
а) приводящие к выработке пожизненного иммунитета (например, корь, дифтерия);
б) приводящие к выработке временного иммунитета (например, бактериальные дизентерии). в) не приводящие к выработке иммунитета (например, с некоторыми оговорками это - сифилис, гонорея, глистные инвазии), в том числе из-за пожизненного носительства (герпес), а также из-за неизбежной смерти инфицированного (ВИЧ).
Вопрос о причине угасания иммунитета также сложен и неоднозначен. Он может включать в себя как индивидуальную компоненту, связанную с постепенным угасанием с течением времени активности иммунного ответа после повторной встречи организма с возбудителем, так и популяционную компоненту, связанную с постепенным дрейфом антигенных свойств циркулирующих в популяции штаммов возбудителя. Степень и скорость угасания иммунитета может зависеть не только от индивидуальных особенностей организма человека, но и от особенностей эпидемического процесса в популяции, так как повторные встречи организма с ранее известным ему возбудителем может позволять поддерживать ранее выработанный иммунитет на высоком уровне.
Кроме того, иммунитет может вырабатываться как на сами возбудители, так и на токсины. Например, при дифтерии значительная составляющая иммунитета - антитоксинная, из-за чего раз переболевший человек уже больше не заболевает, но может быть здоровым носителем.
4. Инфицирование может приводить к заболеваниям разной длительности. При этом в разных фазах инфекционного процесса выделение возбудителя неодинаково. Некоторое время после инфицирования, пока инфекционный процесс только развивается, возбудитель не выделяется (этот период не обязательно совпадает с инкубационным периодом, продолжающимся до появления признаков заболевания, так как начало выделения и появление признаков заболевания наступают не обязательно одновременно). В конечной фазе заболевания выделение во внешнюю среду обычно менее интенсивно, кроме того, в случае выраженного заболевания больной в это время обычно вступает в малое количество контактов.
5. Популяция хозяев неоднородна, так что в силу как биологических, так и социальных особенностей вероятность инфицирования разных членов популяции неодинакова. Кроме того, популяция хозяев структурирована, то есть в ней имеются более тесно связанные подгруппы. В качестве примера можно взять школы и детские дошкольные учреждения.
6. Популяция паразита также неоднородна, в ней есть более и менее вирулентные штаммы, соотношение между которыми может меняться. Изменение антигенных свойств циркулирующего в популяции возбудителя может также приводить к потере ранее выработанного иммунитета или снижению его интенсивности.
7. Смертность членов популяции зависит от их возраста. Кроме того, в последнее время для России характерны значительные изменения величин повозрастной смертности и рождаемости, из-за чего возрастная структура населения быстро меняется.
8. Характеристики эпидемического процесса изменяются во времени. Так, обычно наиболее выражена зависимость активности механизма передачи от времени года. Кроме них могут иметься также и иные изменения условий течения эпидемического процесса, как медленные и плавно меняющиеся, так и меняющиеся быстро, скачкообразно. Кроме того, имеются и случайные колебания количества инфицированных, которые не могут быть описаны регулярным процессом.
9. Популяции человека не являются не только относительно изолированными (за редким исключением типа полярных экспедиций), но также и точечными в том смысле, что можно не учитывать их пространственное расположение. Даже города занимают значительную и неоднородную по условиям проживания площадь. С другой стороны, из-за активности населения, постоянно осуществляющего перемещения внутри и (менее активно) между административно-территориальными образованиями модели распространения эпидемий по площади по типу диффузии также малоприменимы .
Вопрос, можно ли считать с эпидемиологической точки зрения конкретный город единой популяцией, достаточно сложен и конкретен. Так, для Москвы при некоторых инфекциях заболеваемость в разных районах ведет себя согласованным образом, из-за чего можно считать Москву объектом единого эпидемического процесса, а для других инфекций динамика заболеваемости в разных районах различна, и считать Москву точечной перемешивающейся популяцией нельзя [9,10].
Особенностью эпидемического процесса является большое количество параметров не только не управляемых, но и (по крайней мере на количественном уровне) практически ненаблюдаемых. Поэтому современная эпидемиологическая наука в той части, которая касается теории эпидемического процесса, оперирует величинами на качественном уровне.
Результаты математического моделирования прямо зависят от исходных предположений, используемых для построения модели. Поэтому сопоставление результатов имитационного моделирования с реальностью является также и проверкой адекватности теоретических представлений, положенных в ее основу. В этом смысле имитационное математическое моделирование является развитием техники мысленного эксперимента, в котором неверные исходные предположения опровергаются путем получения из них заведомо неправильных следствий.
Применение к анализу фактической заболеваемости
Приведем примеры использования полученных выше результатов для анализа фактической заболеваемости и решения реально стоящих практических задач.
В разделе 3.6 были приведены графики зависимости внутригодовых колебаний заболеваемости от амплитуды колебаний активности механизма передачи. Приведем также таблицу зависимости длительности многолетнего цикла от параметров
В приведенной таблице колонки соответствуют средним значениям R от 2 до 10, строки - средним длительностям заболевания (с приведенными выше оговорками) в днях от 5 дней до 35. Числа в ячейках - длительность цикла многолетних колебаний.
Расчет проводился для малых синусоидальных колебаний, однако, как показывают результаты численного анализа, длительность цикла мало зависит от амплитуды колебаний.
Эта зависимость вместе с полученными выше значениями внутригодовых перепадов заболеваемости позволяет по известной длительности смены хозяина восстановить как среднее значение R, так и амплитуду его колебаний и величину сдвига фаз R и заболеваемости.
Приведенная ниже таблица характерных времен выделения возбудителя во внешнюю среду была подготовлена сотрудниками отдела социально-гигиенического мониторинга ГЦСЭН г. Москвы.
Для вирусного гепатита А с фекально-оральным механизмом передачи для определения среднего промежутка времени от инфицирования до инфицирования следует также учитывать и время нахождения возбудителя во внешней среде, которое может быть существенным. Для остальных инфекций с воздушно-капельным механизмом передачи нахождение возбудителя во внешней среде кратковременное, от нескольких секунд до нескольких часов.
Разные литературные источники приводят несколько различающиеся величины указанных параметров. Однако они и не могут быть строго постоянными, так как особенности протекания инфекционного процесса зависят от особенностей поражаемого населения, условий, на фоне которых протекает эпидемический процесс (в том числе особенности медицинской помощи), а также свойств конкретного штамма возбудителя.
Есть еще несколько обстоятельств, затрудняющих точное определение этого параметра. Приведенные в литературе данные почти исключительно относятся к характеристикам манифестного, выраженного инфекционного процесса. Стертые же формы заболевания, которых для большинства инфекций больше, чем манифестных, могут протекать с другой скоростью.
Кроме того, интенсивность как выделения возбудителя, так и контактов инфицированного во время инфекционного периода меняется. Поэтому при проведении анализа конкретной имеет смысл искать решения как для указанных значений, так и для близких к ним.
Полученный характер зависимостей позволяет без особых сложностей восстановить динамику активности механизма передачи по динамике заболеваемости. Так как длительность цикла многолетней заболеваемости существенно зависит от среднего значения R и мало - от его амплитуды, то по длительности цикла и времени от инфицирования до инфицирования в цепочках последовательных инфицирований можно восстановить среднее значение индекса контагиозности R, после чего по величине внутригодовых колебаний заболеваемости - амплитуду колебаний индекса контагиозности.
Переход от анализа динамики заболеваемости к анализу динамики индекса контагиозности позволяет эпидемиологу существенно расширить возможности. Одна из этих дополнительных возможностей - проведение сравнительного анализа разных инфекций. Так, внутригодовая и многолетняя динамика заболеваемости (в допрививочный период) корью, коклюшем, дифтерией, краснухой, ветряной оспой и эпидемическим паротитом в Москве существенно различаются. Помимо разной длительности цикла многолетних колебаний существенно различается и величина перепада внутригодовой заболеваемости, несколько различаются и месяцы максимальной заболеваемости. Однако полученные для них параметры динамики индекса контагиозности очень близки: при различающихся средних значениях доля внутригодовых колебаний и ее фаза различаются мало [10]. Таким образом, наблюдающиеся различие в динамике заболеваемости обуславливаются не различием сезонно обусловленных факторов передачи для этих инфекций, а лишь различиями в скорости порождаемых ими инфекционных процессов.
Переход от анализа заболеваемости к анализу индекса контагиозности также позволяет решать некоторые ранее недоступные задачи, в том числе анализа и прогнозирования заболеваемости в резко меняющихся условиях.
Рассмотрим актуальную задачу анализа зависимости заболеваемости корью в г. Москве от объема вакцинопрофилактики.
В допрививочный период заболеваемость корью в г. Москве имела перепад внутригодовой заболеваемости в 6,4 раза и длительность цикла многолетней заболеваемости в 2,5 года. Большая часть болевших составляли дети (по стандартной классификации - лица до 14 лет включительно); число случаев заболевания среди подростков и взрослых составляло лишь около 1,5-2% от общей заболеваемости.
В соответствии с приведенной выше таблицей примем длительность среднего промежутка от инфицирования до инфицирования в цепочках последовательных инфицирований за 12,5 дня. Тогда длительность многолетнего цикла в 2,5 года будет при среднем значении индекса контагиозности в 22. С учетом погрешностей определения параметра скорости инфицирования, и длительности цикла фактической заболеваемости точность определения параметра составляет порядка 10%.
Для проверки надежности определения среднего индекса контагиозности используем также другой способ его оценки - по возрастной структуре заболеваемости. В предположении о независимости риска инфицирования от возраста и доля восприимчивых S(t) среди лиц в возрасте т, и заболеваемость 1(г) зависят от возраста экспоненциально (см. выше).
Предположим для простоты, что длительность жизни Ттах всех членов популяции - 70 лет. Тогда если D(T) - доля заболеваемости среди лиц возраста Т в общей заболеваемости, то величину индекса контагиозности R можно найти из системы
Устойчивость и единственность периодических решений в гетерогенной модели
Содержательный с точки зрения приложений смысл имеют только устойчивые решения системы (15). Оказывается, что такие решения всегда можно найти для слабо периодически возмущенной системы (15) вблизи экспоненциально устойчивых стационарных решений невозмущенной автономной системы.
Теорема 1. В случае периодических с периодом Т коэффициентов a{t), и V(t), мало отличающихся от постоянных, доставляющих системе (15) экспоненциально устойчивое стационарное решение, система (15) имеет периодическое с тем же периодом экспоненциально устойчивое решение.
Доказательство. Пусть й - стационарное решение, построенное в следствии 2 теоремы 1 для случаяa(t) = a0,V(t) = Va. Положим для малых периодических отклонений коэффициентов a(t) = a0+sa](t),V(t) = V0 + sV](t), где 0 - малый параметр. Пусть Р(и,є) - соответствующее отображение монодромии за время Т, так что Р(й,0) = й. В силу асимптотической устойчивости й спектр оператора Р = ОиР(и,0)\иы (здесь Du - производная Фреше) локализован строго внутри единичной окружности. По теореме о неявной функции отсюда следует, что уравнение Р{и,є)-и = О в окрестности й при малых є 0 имеет единственное решение йс, причем в силу верхней полунепрерывности спектра (см. [29]) спектр оператора Ре = DvP(u,s)\mS также локализован строго внутри единичной окружности. Это означает, что периодическое решение возмущенной системы с начальным условием и = йе тоже является асимптотически устойчивым.
Одним из условий теоремы 1 является существование экспоненциально устойчивого стационарного решения системы (15) с постоянными коэффициентами. Ниже приводится один результат, гарантирующий существование таких решений.
Теорема 2. Пусть (I(x),S(x)) - стационарное решение системы (5) с постоянными коэффициентами. Достаточным условием его экспоненциальной устойчивости является выполнение неравенства
Систему (18) следует понимать как поточечную (по х) запись обыкновенного дифференциального уравнения в выбранном нами банаховом пространстве С(Х). Экспоненциальную устойчивость его тривиального решения будем понимать в смысле локализации спектра ст(А + R) = {Re з -8 0}.
Это включение означает существование ограниченной резольвенты (A + R-A)"1 для любого A:ReA -8, т.е. корректную разрешимость уравнения (A + R-X)w = a (19) для любого а є С(Х). Далее будем подбирать 8 80 = min{/7, у}. Поскольку при ReA - 50 точка 1 является резольвентной для оператора А, то решение уравнения (19) можно искать методом последовательных приближений: wo = 0,w„+, = (A-Ay\a-RwJ. Ограниченность оператора (А-Я) 1 обеспечивает в условиях экспоненциальной сходимости этой процедуры разрешимость уравнения (19), т.е. ограниченность оператора (A + R-1) 1. Действительно, имеем и „=]Г(-1)".8и04 А)-а,где 5 = (Л-Я) Л, и экспоненциальная сходимость эквивалентна тому, что спектральный радиус r(B) \.
Доказательство. Первое из этих неравенств получается из (17) отбрасыванием части неотрицательных слагаемых в знаменателе. Второе получается из первого применением оценок j{xS(x)\ хтгхутау и \Л + р\ р для ReA 0. При этом его строгость оставляет возможность для использования подходящего зазора S 0.
Следствие 2. В условиях теоремы для выполнения экспоненциальной устойчивости стационарного решения (l{x),S{x)) достаточно, чтобы выполнялось неравенство V 0.
Докажем теперь, что для малых периодических колебаний коэффициентов а и V периодическое решение, существование и единственность которого доказана выше, является не только локальным, но и глобальным аттрактором.
Теорема 3. В автономном случае решения системы (15) с начальными условиями 0 S(x,0) l, 0 1(х,0) 1, 0 S(x,0)+I(x,0) \ стремятся к стационарному.
Доказательство. Пусть вначале (I(x,0),S(x,Q)) непрерывно дифференцируемы по х. Тогда из непрерывности правой части уравнения (15) по х и / следует, что при продолжении решения I и S остаются непрерывно дифференцируемыми, следовательно, и измеримыми. Тогда к обоим уравнениям системы (15) можно применить оператор J, в результате чего (так как J(l)=l) получим
Следовательно, по норме (I,S) = max sup /( ), sup S(x)l решение стремится к непрерывно дифференцируемым по х функциям, удовлетворяющим условиям 0 /(х), 0 JS(X), I(X)+S(X) 1.
Выше было получено, что для любого Б 0 при продолжении решения с непрерывно дифференцируемыми начальными условиями оно оказывается в є-окрестности (относительно указанной нормы) стационарного решения. Из непрерывной зависимости решения от начальных условий в этой норме следует, что если (/(х,0)Дх,0)) достаточно близки (по этой норме) к непрерывно дифференцируемым по х начальным условиям, то при продолжении решения по времени оно через некоторое время окажется в 2є-окрестности стационарного решения.
В результате получаем, что любое решение, удовлетворяющее начальным условиям, проходит сколь угодно близко от стационарного решения. Но тогда из следствия 2 теоремы 2 следует, что при дальнейшем продолжении это решение стремится к стационарному.
Таким образом, для автономного случая стационарное решение является глобальным аттрактором. Компактность множества, к которому стремятся решения, и локальная экспоненциальная устойчивость позволяет получить показать, что для достаточно больших времен отображение монодромии является сжимающим, откуда следует и равномерная ограниченность сверху скорости сходимости к стационарному решению.
Динамика распределения количества инфицированных при R 1 и внешнем притоке
В случае Б с постоянными коэффициентами существует единственное стационарное распределение, которое можно получить из рекуррентных формул (3). Докажем, что в обобщенном случае Б с периодическими коэффициентами существует единственное периодическое решение и оно устойчиво.
Как получено выше, динамика первого момента (среднего количества инфицированных) описывается уравнением
Теорема 1. Пусть R и V непрерывные неотрицательные периодические функции с одинаковым периодом Т, причем среднее от R меньше 1, а V не равно тождественно нулю. Тогда
1. Для любого начального значения Si(0) решение задается формулой
2. Существует единственное периодическое решение Sx(t).3. Это решение устойчиво. Более того, для данных R, V и t существуют такие положительные а и Ь, что для любого ti и любого другого решения Si(t) уравнения (9)
Докажем теперь, что у уравнения (6) существует периодическое решение. Для этого определим функцию f на множестве неотрицательных вещественных чисел так, что если Si(t) - решение уравнения (9) и Si(0)=x, то f(x)= Si(T). Тогда это отображение:
1. Переводит неотрицательные числа в положительные числа (что следует из имеющегося решения (7)),
2. Непрерывно, что следует из имеющегося решения (6), непрерывности функций V и R и их ограниченности как непрерывных периодических функций.
3. Образ функции f не ограничен сверху. Действительно, из уравнения (6) dS RT имеем —l- -/3Su откуда S](T) Si(0) є1 . Это неравенство справедливо и для dt всех t, а не только кратных периоду, так что Vx 0 Зу Vt T Si(0) y= S(t) х.
4. Для достаточно больших х f(x) x. Действительно, уравнение (6) линейно, оба непрерывных периодических коэффициента (при функции и свободный член) ограничены, в соответствии с пунктом 3 решение в течении периода уменьшается не более чем в некоторое количество раз. Поэтому для любого s 0 существует х такое, что если S](0) = si(0) х, и Si(t) - решение "усеченного" уравнения
Поэтому если взять є 1-9, то из Si(0) х будет следовать S](0) Si(T). Из пунктов 1-4 следует, что у функции f существует положительная неподвижная точка о. Тогда по определению функции f решение J,(0 уравнения (б) с начальным условием Si(0) = о будет периодическим.
Докажем теперь единственность и устойчивость периодического решения S i(t). Пусть Si(t) - произвольное решение уравнения (б). Положим S(t) = Si(t) &i(t). После подстановки в уравнение (6) получаем, что 8 удовлетворяет
Докажем теперь, что притягивающее периодическое решение есть и у распределения вероятностей.
Теорема 2. Пусть R и V непрерывные неотрицательные периодические функции с одинаковым периодом Т, причем среднее от R меньше 1. Тогда
1. Существует единственное периодическое решение рк (0 системы (1)
2. Для любого начального значения распределения из пространства быстро убывающих функций рк(0) решение системы (1) сходится к этому периодическому сильно в метрике 1 .
Доказательство. В теореме 1 было доказано, что существует единственное периодическое решение уравнения (6), к которому экспоненциально приближаются решения с любыми начальными условиями. Из нее легко получить и существование единственного периодического решения системы (2), к которому экспоненциально приближаются решения при любых начальных условиях, в том смысле, что существует единственное периодическое решение оД/), к=0,1,..., со и существуют ак, Ьк такие, что для любого решения Sk(t)
