Введение к работе
Актуальность темы. В прикладных исследованиях часто возникает необходимость определять, в какой момент времени произошла смена характеристик изучаемого объекта. Решение такого рода задач сводится к обнаружению моментов разладок случайного процесса. Методики подобных исследований представляет собой стохастическое описание и компьютерную имитацию. Для изучения отдельных механизмов и систем в целом применяется математическое имитационное моделирование.
Классическая задача с разладками сформулирована еще в 60-е годы А. Вальдом' и А.Н. Ширяевым . Далее это направление развивалось в работах Э.Л. Пресмана , Г. Роббинса , а на сегодняшний день развитие этой задачи отражено в работах М.Л. Николаева5, В.В. Мазалова6, Г.И. Салова7 и др. В качестве прикладного применения традиционно рассматриваются технические области науки. Также в последнее десятилетие появился ряд статей, посвященных применению задач о разладке в биологии и медицине. Принято выделять следующие два класса теоретических задач:
анализ основной и альтернативной гипотез о наступлении момента разладки;
численное определение вероятности появления момента разладки ко времени /.
В диссертационной работе сформулированы задачи, относящиеся к другому типу - системы обнаружения моментов разладок считающего процесса с известными и неизвестными множествами переключаемых параметров на основе минимизации функционала, диффузионных методов и аппроксимации. В качестве объекта применения рассматривается организационно-техническая система. Такого рода задачи являются новыми и недостаточно исследованными как теоретически, так и в прикладных
' Вальд А. Последовательный анализ, пер. с английского.-М., I960
1 Ширяев А.Н. Некоторые точные формулы в задаче о разладке. // Теория вероятностей и ее применение.-М.:
ТВП, т. 10, в. 2, 1965, с. 380-385
3 Пресман Э.Л., Сонин И.М. Последовательное управление по неполным данным.-М.: Наука, 1982.
4 Роббинс Г., Сигмунд Д., Чао И, Теория оптимальных правил остановУи.-М.: Наука, 1977
5 Николаев М.Л. Оптимальные правила многократной остановки // Обозрение прикладной и промышленной
математики - том 5, вып.-2, М.-.ТВП, 1998, с. 309-348
6 Мазалов В.В., Домбровский Ю.А., Перрин H. Теория оптимальной остановки: приложения к экологии
поведения // Обозрение прикладной и промышленной математики. Серия «Математические методы в
экологии» - том 1, вып.-б, М.:ТВП, 1994, с. 893-900
' Salov G. 1. The disorder problem for pure jump Markov processes. II Proc. of the Second IASTED International Multi-Conference on SIGNAL AND IMAGE PROCESSING. June 20-24,2005, Novosibirsk, Russia. P. 205-209.
работах. Актуальность этих задач также обоснована востребованностью в широком круге практических исследований.
Традиционно проблеме безопасности полетов в гражданской авиации уделяют большое внимание. Важную роль в обеспечении безопасности полетов играют такие организации, как ICAO (ИКАО, Международная организация гражданской авиации), МАК (Межгосударственный авиационный комитет), IATA (ИАТА, Международная ассоциация воздушного транспорта). Каждый авиационный инцидент и происшествие расследуется специализированными комиссиями, выявляющими неточности и необходимые дополнения в летных инструкциях, правилах, допусках и т.п. На основании этих результатов и по состоянию безопасности полетов в мире предлагаются меры, направленные на снижение аварийности в будущем. Однако возникает вопрос - насколько эффективны были те или иные меры. Достаточно сложно судить о качественном влиянии таких нововведений как до их принятия, так и после. Часто мнение экспертов дает лишь частичное представление об эффекте от планируемых или принимаемых мер, тогда как в диссертационной работе разработаны методы как количественной, так и качественной оценки. Целью всех мероприятий по повышению безопасности полетов является снижение числа или полное исключение авиационных инцидентов и происшествий. Таким образом, показателем результативности мер или отсутствия таковой может быть снижение или, соответственно, увеличение авиационной аварийности, т.е. изменение скорости роста числа авиационных инцидентов и происшествий. В таком случае моментом смены характеристик является момент разладки.
В качестве статистического материала в прикладном исследовании данной работы рассматривается авиационная аварийность в гражданской авиации за 1899-2006гг. по данным службы ASN (Aviation Safety Network).
Разработанные в данной работе математические и имитационные модели позволяют оценить моменты разладок случайных процессов, а для рассматриваемой статистики - судить о качественном влиянии мероприятий по повышению безопасности полетов, и, следовательно, позволяют определять их эффективность.
Таким образом, объектом исследования являются точечные процессы с разладками, которые могут в приложениях играть роль считающих процессов. Математическое и имитационное моделирование и решение задачи оптимального оценивания моментов разладок случайного процесса и
их характеристик на основе разработанных численных методов является предметом исследования.
Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка стохастических математических и имитационных моделей процессов с разладками и их анализ для построения оценок моментов разладок и их характеристик, а также разработка численных методов и алгоритмов, реализующих данные модели, и их воплощение в виде комплекса программ на языке высокого уровня . Для достижения поставленной цели исследования рассматриваются три модели. Первая модель основана на задаче с одной разладкой, для которой построена оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка. Вторая и третья - модели со множественными разладками и, соответственно, известной и неизвестной группой параметров исследуемого объекта. Проводится также теоретическое и численное исследование, посвященное альтернативному изучению второй модели методами диффузионной аппроксимации для оценки числа разладок точечного процесса.
Методы исследования. В диссертационной работе используются
методы математического моделирования дискретных систем, методы
математического анализа, методы объектно-ориентированного
программирования. Математические модели и методы разрабатываются в семимартингальных терминах. Выбор параметров моделей осуществляется исходя из известной информации о моделируемом объекте. Определение неизвестных коэффициентов проводится с использованием методов аппроксимации и оптимального оценивания. Для программной реализации алгоритмов используется аппарат численного математического моделирования и пакеты прикладных программ компьютерной математики.
Научная новизна. Все основные результаты настоящей диссертационной работы являются актуальными и новыми. В работе предложены новые модели определения оценок моментов разладок. Доказаны новые теоремы и утверждения об оценке и приближениях моментов разладок. Разработаны численные методы оценки числа разладок, а также самих моментов.
Основные положения, выносимые на защиту:
Теорема об оптимальной оценке момента разладки точечного процесса.
Оценки числа разладок точечного процесса с помощью минимизации функционала потерь и методами диффузионной аппроксимации.
Математические модели систем обнаружения моментов множественных разладок случайного процесса с известными и неизвестными множествами переключаемых параметров.
Численные методы вычисления оценок моментов разладок и алгоритм, их реализующий. Разработанный комплекс программ для исследования созданных моделей и рассматриваемой статистики.
Достоверность результатов. Достоверность результатов
обеспечивается строгостью постановок задач и доказательств теорем, использованием аналитических и численных методов расчета, методов математического моделирования и применением современных методик экспериментальных исследований. Результаты прикладного применения диссертационной работы привели к выводам, совпадающим или близким к открыто публикуемым мнениям экспертов ICAO, IATA и др., что также является косвенным подтверждением достоверности разработанных моделей.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут найти применение в исследованиях организационно-технических систем. Разработанные программные процедуры численного моделирования могут быть использованы для исследования различных математических моделей задач с разладками считающих процессов.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2-8 мая 2006 г.), XIII Всероссийской школа-коллоквиуме по стохастическим методам и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Йошкар-Ола, 16-22 декабря 2006 г.), Международной молодежной научной конференции «XV Туполевские чтения» (Казань, 9-10 ноября 2007 г.), Международной научной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (Екатеринбург, 22-24 ноября 2007 г.), IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и Региональном макросимпозиуме «Насущные задачи прикладной математики в Ставрополье» (Кисловодск, 1-8 мая 2008 г.),
Личный вклад автора. Постановка задач осуществлялась научным руководителем профессором Бутовым А.А. Доказательство теорем и утверждений, разработка стохастических моделей и их компьютерное исследование, анализ полученных результатов и выводы из них выполнены автором самостоятельно.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 6 в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, их список помещён в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 81 наименования источников отечественных и зарубежных авторов, а также приложений. Общий объем диссертации составляет 103 страницы.
