Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Дилатонная гравитационная модель 13
1.1. Основные понятия 13
1.2. Вывод уравнений эволюции 16
Глава 2 Поле тяготения центрально-симметричного массивного тела 21
2.1. Введение 21
2.2. Решения при п = 1 23
2.3. Решения шварцшильдовского типа при п = 2 24
2.4. Решения шварцшильдовского типа при п 3, Л = 0 26
2.5. Ньютоновский предел и квазиэллиптические орбиты 32
2.6. Отклонение светового луча вблизи солнечного диска 37
Глава 3 Эволюция однородной и изотропной Вселенной в дилатонной модели 43
3.1. Введение 43
3.2. Плоская модель: к = О 46
3.3. Пространства с кривизной fc = ±1, Л = О 49
3.4. Пространства с кривизной к = ±1, Л ф О 54
3.5. Решения с пылевидной материей (Тц„ ф 0) 60
3.6. Анализ космологических параметров 69
Заключение 76
Приложение 79
Литература 80
- Вывод уравнений эволюции
- Решения при п = 1
- Ньютоновский предел и квазиэллиптические орбиты
- Пространства с кривизной к = ±1, Л ф О
Введение к работе
Актуальность
Дилатонная гравитационная модель возникла около 20 лет назад как следствие теории струн и отличается от общей теории относительности (ОТО) А. Эйнштейна наличием дополнительного скалярного поля — поля дилатонов. Появление данной модели обусловлено тем, что хотя ОТО подтверждена экспериментально, однако экспериментальным ограничениям удовлетворяет также и ряд гравитационных моделей, обобщающих теорию Эйнштейна. К их появлению привели многочисленные не решенные окончательно вопросы и трудности экспериментальной проверки теории. К таковым относятся проблемы, связанные с предсказанными в ОТО черными дырами, а также космологические проблемы плоскостности, однородности Вселенной, начальной сингулярности, параметров динамики Вселенной и другие.
В связи с изложенным, возникает актуальная проблема математического моделирования динамики связанной системы дилатонно-го и гравитационного полей, которому посвящена данная диссертационная работа. Она включает следующие задачи: описание тяготения центрально-симметричного массивного тела, оценка параметров гравитационного поля и отличия от их аналогов в решении Шварц-шильда, анализ возможных наблюдательных проявлений, позволяющих экспериментально отличить предсказания дилатонной модели от предсказаний ОТО; включение материи в действие дилатонной гравитации; описание эволюции однородной и изотропной Вселенной, классификация полученных решений фридмановского типа и определение космологических параметров.
Эволюция дилатонного и гравитационного полей, а также полей материи описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, полученных при варьировании действия дилатонной модели. Так как аналитическое решение данной системы встречает большие трудности и возможно в частных случаях, то в общей постановке задачи требуется привлечение более широкого набора методов математического моделирования, включая численные методы.
Цель работы
Целью данной работы является разработка математической модели, позволяющей выполнить исследование параметров динамики дилатонного и гравитационного полей и установить их зависимости от
начальных условий. Целью работы также является описание на основе дилатонной модели тяготения центрально-симметричного массивного тела и эволюции однородной и изотропной Вселенной, сравнение результатов исследования с последними данными наблюдательной астрономии и предсказаниями ОТО.
Методы исследования
В работе применяются численные и аналитические методы вывода, преобразования и решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику дилатонного и гравитационного полей, оценок асимптотических свойств их решений и соответствующих физических проявлений.
Основные результаты работы
Разработана математическая модель для проведения исследования параметров динамики дилатонного и гравитационного полей с включением материи. Исследование на модели осуществляется в различных режимах с выдачей результатов по всем параметрам динамики в графической и цифровой формах, что обеспечивает проведение полного анализа динамики полей непосредственно в процессе вычислительного эксперимента.
С помощью моделирования центрально-симметричных решений уравнений дилатонной модели (решений шварцшильдовского типа) исследовано поле тяготения массивного тела и установлено, что в отличие от ОТО в дилатонной гравитации исчезает горизонт черной дыры при наличии дилатонного поля.
Получены прогнозные оценки измеримых параметров для таких явлений как смещение перигелия Меркурия и гравитационное отклонение светового луча, проходящего вблизи Солнца; найдены ограничения на допустимые параметры дилатонной модели, полученные на основе экспериментальных данных.
Определены с помощью численных экспериментов параметры (масштабный фактор, параметр замедления и др.), характеризующие динамику расширения однородной и изотропной Вселенной, в том числе с пылевидной материей.
Получены космологические решения с нетривиальными параметрами динамики: решения описывающие расширение Вселенной с ускорением, а также решения без начальной сингулярности в виде сверхплотного сжатия.
Научная новизна и теоретическая значимость
Разработанная математическая модель является вкладом в теорию и методы математического моделирования таких процессов, как динамика дилатонного и гравитационного полей, описывающих тяготение центрально-симметричного массивного тела и эволюцию Вселенной как целого. Она позволила впервые получить центрально-симметричные решения в пустоте, не имеющие горизонта черной дыры при наличии дилатонного поля. Для этих решений впервые в рамках дилатонной модели исследованы такие наблюдательные проявления, как смещение перигелия и гравитационное отклонение луча света с оценкой экспериментальных ограничений на допустимые параметры модели. Найдены новые космологические решения и их классификация в дилатонной модели, включающей пылевидную материю. Получен более широкий чем в ОТО спектр космологических решений с нетривиальными особенностями.
Практическая значимость
Практическая значимость разработанной модели и полученных в диссертации результатов моделирования заключается в том, что данная модель построена как практический инструмент по оцениванию и исследованию параметров динамики дилатонного и гравитационного полей.
Установленные моделированием ограничения и условия на допустимые параметры динамики могут составить основу при выполнении астрофизических исследований с применением компьютерных технологий.
Достоверность и обоснованность
Достоверность и обоснованность полученных результатов базируются на использовании апробированных численных и аналитических методов исследования; на применении физически обоснованных исходных данных; на сравнении результатов с экспериментальными данными и сравнении результатов численных расчетов с известными в частных случаях точными решениями. Полученные в дилатонной модели решения являются обобщениями известных в ОТО решений и переходят в них в пределе, когда дилатонное поле исчезает.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались на конференциях "Математические модели сложных систем"(г. Тверь, 1999 г.), "Ма-
тематическое моделирование и оптимальный контроль комплексных систем"(г. Тверь, 1999 г.), XV международной конференции QFTHEP 2000 (г. Тверь, 2000 г.), V конференции молодых ученых и специалистов (г. Дубна, 2001 г.), XVIII международной конференции QFTHEP 2004 (г. Санкт-Петербург, 2004 г.).
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 12 работ, среди них 2 — в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Вывод уравнений эволюции
Многочисленные не решенные окончательно вопросы, а также трудности экспериментальной проверки теории привели к появлению большого числа гравитационных моделей, обобщающих ОТО Эйнштейна или предлагающих альтернативные подходы к описанию тяготения. В эйнштейновской теории гравитационное поле имеет тензорный характер, и в его роли выступает метрический тензор д и{х) четырехмерного пространственно-временного многообразия M.\,z с координатами жм, ц = 0,1,2,3, с метрикой ds2 =g (x)dx dxu (1) и со связностью, согласованной с метрикой. В альтернативных теориях предлагались различные обобщения данного подхода: связность бо лее общего вида, в частности, с ненулевым тензором кручения [1]; введение дополнительного скалярного поля (скалярно-тензорные теории гравитации) [10]-[12]; введение дополнительной метрики (биметриче-ские теории); теории с дополнительными измерениями, развивающие идеи Т. Калуцы и О. Клейна [13], [14] и др. Многие из этих теорий оказались несостоятельными, но тем не менее ряд из них при соответствующем выборе параметров удовлетворяет набору требований, налагаемых экспериментом на теорию гравитации [4]. Поэтому необходимы дальнейшие исследования гравитационных моделей, обобщающих ОТО или выступающих как альтернативные.
Основной мотивировкой для создания таких моделей было естественное стремление создать теорию, объединяющую все физические взаимодействия: гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное. Как известно А. Эйнштейн до конца жизни безуспешно пытался решить проблему объединения гравитации и электромагнетизма [15].
Первые успехи на этом пути были достигнуты в 60-х годах — У. Глэ-шоу, С. Вайнбергом и А. Саламом была предложена единая теория электромагнитных и слабых взаимодействий [16]-[18]. В ходе дальнейшего продвижения по пути включения в единую теорию гравитационного и сильного взаимодействий (построения теории Великого объединения) было выдвинуто немало интересных и плодотворных идей, приведших по мере их развития к появлению новых теорий и направлений в теоретической физике.
Несомненно, самым ярким примером такого нового бурно развивающегося направления является теория струн [19]-[22]. За три десятилетия ее существования эта теория, имеющая целью дать ответы на самые глубокие вопросы о природе фундаментальных взаимодействий, разрослась до уровня крупного самостоятельного раздела в физике и математике.
Сразу после своего возникновения теория струн развивалась как теория адронов — элементарных частиц, участвующих в сильных взаимодействиях. Основная идея данной теории состояла в замене точечной частицы на релятивистскую струну — одномерный протяженный физический объект (линию), действие для которого пропорционально площади поверхности заметаемой струной при движении в простран стве Минковского [23]. Упомянутая поверхность называется мировой поверхностью релятивистской струны. Такой характер движения струны является аналогом динамики свободной материальной точки, действие которой пропорционально длине мировой линии.
В отличие от остальных вариантов квантовой теории поля, описывающих точечные объекты, теория струн оперирует протяженными объектами — релятивистскими струнами, характеризуемыми постоянной плотностью энергии 7 (этот параметр имеет также физический смысл натяжения струны), и их мировыми поверхностями. Топологически релятивистская струна может, в частности, быть открытой — гомеоморфной отрезку или замкнутой — гомеоморфной окружности.
Первоначально открытая струна выступала в качестве модели мезона — частицы, образованной парой кварк-антикварк, связанной сильным взаимодействием. При этом струна с натяжением у служила моделью данного взаимодействия. Эта модель основывалась на том, что квантовая хромодинамика (теория, наиболее адекватно описывающая сильные взаимодействия) предсказывает струноподобный характер распределения соответствующего силового поля [24] при достаточно больших расстояниях между кварком и антикварком в мезоне или тремя кварками в барионе.
В дальнейшем развитии этого направления [19] - [22] стала доминировать высказанная впервые в работе Дж. Шерка и Дж. Шварца [25] идея рассматривать теорию струн не как теорию адронов, а как более фундаментальную теорию, объединяющую все взаимодействия вплоть до гравитационного, возникавшего в низкоэнергетическом пределе такой струнной теории.
Рассмотрим более детально наиболее важные с этой точки зрения аспекты теории струн. Если мировая поверхность струны в пространстве Минковского Я1 " произвольной размерности D = п + 1 задана параметризацией X (a,cr1), [І = 0,1,...,п, то действие для релятивистской струны можно записать в следующем виде, предложенном A.M. Поляковым [26]: S= -/V V- II H (2)
Здесь Ццу = diag (1; —1; —1; 1) — метрический тензор пространства Минковского, /iQ)g, а, (3 = 0,1 — вспомогательный метрический тензор на мировой поверхности; везде ниже подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, скорость света с = 1.
Действие Полякова (2) инвариантно: а) по отношению к преобразованиям Пуанкаре в пространстве Минковского R1,n, б) по отношению к произвольным невырожденным гладким заменам параметров аа на мировой поверхности аа = аа(а ,дг), J = det0cre/ H ф 0; (3) и обладает конформной или вейлевской инвариантностью относительно преобразований ha0 -+ e2+Wh fi. (4) Действие (2) на классическом уровне эквивалентно действию Нам бу-Гото [23] S = -7JV-detll0a/3 P i гДе 9ар = f rffr - индуцированная метрика на мировой поверхности.
Для квантования открытых и замкнутых бозонных струн действие Полякова (2) оказалось более удобным. Данная процедура квантования [19], [27]-[29], сопровождается возникновением различных аномалий (нарушений симметрии классического действия на квантовом уровне) и приводит к ряду нестандартных особенностей, таких как наличие тахиона в спектре состояний струны и размерность пространства-времени D = 26, необходимая для отсутствия состояний с отрицательной нормой. Именно с этим связано введение произвольной размерности D пространства Минковского. Для фермионной или спиновой струны [30], [31], а также для развитой на ее основе модели суперструны [32], [33] (обладающей особым видом симметрии между бозонными и ферми-онными полями струны) соответствующая критическая размерность D = 10.
Проблему лишних измерений предполагается решить посредством их компактификации1 на (D — 4) - мерное компактное многообразие с характерным планковским масштабом 1р — HG/c3 Ю-33 см.
Решения при п = 1
Решением Шварцшильда называется известное сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна (6) в пустоте, имеющее следующий вид [2], [8] dsi = (і - ) dt2 - (і - )_1 dr2 - r2(d92 + cos2 M022). (2.1)
Это выражение описывает черную дыру1 с гравитационным радиусом гд. Выражение для метрики Шварцшильда позволяет найти гравитационный радиус тела массы М так как известно, что в предельном случае слабого гравитационного поля ОТО переходит в теорию гравитации Ньютона.
Цель данной главы в том, чтобы найти решение обобщающее решение Шварцшильда в дилатонной гравитационной модели с действием верной дырой называют область пространства-времени, в которой гравитационное поле настолько сильно, что не позволяет даже свету покинуть эту область и уйти в бесконечность [8]. (1.2). Уточним формулировку данной задачи: для гравитационной модели с действием (1,2) для случая произвольной размерности D будем рассматривать стационарные центрально-симметричное решения в пустоте, которые будем называть решениями шварцшильдовского типа. Факт, что решение в пустоте означает, что тензор энергии-импульса материи T v равен нулю везде кроме центра симметрии,
Решения шварцшильдовского типа позволяют сделать анализ некоторых наблюдательных проявлений теории, (например, смещение перигелия) и сравнить их с соответствующими результатами ОТО, В данной главе этот параметр вычисляется для дилатонной гравитации,
Ньютоновский предел в дилатонной гравитации рассматривался в ряде работ. Например, в работе [61] изучается предел слабого поля в струнно-дилатонной гравитации.
Система уравнений (1.20) в этом случае примет вид R»v + Щ;ц = 0, R + 4(V / )2 = Л. [ } Уравнения (2.2) переходят в уравнение ОТО в пустоте R = 0, если поле дилатонов ф постоянно и Л = 0.
Для системы уравнений (2,2) ищем стационарные решения шварцшильдовского типа. Метрика сферически симметричного псевдориманова многообразия Mi n имеет вид [2], [87]: ds2 = e2a dt2 - eWdr2 - г2 йї2, (2 3) d№ = d$i + cos2M022 + cos20n_2d0n-i. Здесь t — временная, r — радиальная, в к — угловые координаты. Подставляем метрику (2.3) в систему уравнений (2.2). При этом ненулевые компоненты тензора Риччи имеют следующий вид:
Случай п=1, приводящий к нетривиальной 1 + 1-мерной гравитации, хорошо исследован [39]-[41]. В данном случае система (2.4) будет состоять из трех уравнений
В случае Л 0 получается решение ds2 = th2 [іv Afr - го)] (ft2 - rfr2 (2.6) описывающее "двумерную" черную дыру. При этом поле дилатонов ф — — In [cich(i\/—Л (г — т"о))]. То, что данный объект является черной дырой можно увидеть с помощью анализа светоподобных (ds — 0) геодезических. Подставляя в (2.6) ds = 0 и интегрируя полученное выражение получим:
Данное выражение показывает, что при г —со, т.е. время достижения гравитационного радиуса бесконечно. В случае Л 0 решение имеет вид е2а = tg2[\\fk(r - г0)] и ф = -In [cocos(i\/A(r - го))]. Также как и при Л 0 объект является черной дырой.
Следует отметить, что в большинстве работ [40] авторами рассматривался случай Л 0. При Л = 0 получим следующее решение: ds2 = _}r dt2-dr2 и ф = - 1п[со(г—го)]. Особенность г = го которая возникает в данном решении значительно отличается от горизонта черной дыры. Анализ скорости движения пробной частицы (подробнее см. в 2.3) позволяет сделать вывод, что данное решение описывает гравитационное отталкивание.
Рассмотрим случай п = 2. Система (2.4) сводится к следующим уравнениям: Линейная комбинация первого и третьего уравнений данной системы приводит к уравнению а" + а /г = 0. Его общее решение имеет вид е2а(г) = (r/ri)«. (2.8) Здесь а и и — произвольные константы интегрирования. Пользуясь выражением для а, а также тем, что ф и /3 связаны соотношением 2ф + (3 = а/2г мы можем свести систему (2.7) к следующим двум уравнениям:
Здесь В± = ±у/а2 + 4, С — постоянная интегрирования. Выражение е2 положительно (имеет физический смысл) если С 0, Л 0 или С 0, Л 0. В первом случае данные решения эквивалентны 2+1 - мерным решениям полученным в работе [42]. Эти решения имеют цилиндрическую асимптотику поверхности t = const, это связано с тем, что в данном случае г Є (О, С1/ ). Решения (2.8), (2.9), которые мы получаем во втором случае, в отличие от решений [42], определены при 0 г оо, не имеют особенностей и цилиндрической асимптотики при г — со. Решение системы (2.4) при Л = О может быть получено переходом к пределу при Л - 0 (при Л/С - const) в выражениях (2.8), (2.9).
Сечение і = const 2 + 1-мерного многообразия (2.10) имеет вид поверхности вращения. Случай J3+ = 2 соответствует известному коническому решению возникающему в стандартной 2 +1 - мерной гравитационной модели без дилатона (при этом ф = const) [70], [85], [86] ds2 = dt2-Adr2-r2d92.
Решения (2.8), (2.9) в случае С 0, Л 0 имеют особенность при г = С11в±, обладающую свойствами горизонта черной дыры [42]. Решения (2.10) при Л = 0 не имеют подобных особенностей.
Геометрический и физический смысл полученных решений (2.8)-(2.9) может быть исследован с помощью движения в данном гравитационном поле пробных частиц, не взаимодействующих непосредственно с дилатонным полем ф. Траекториями движения материальных точек (частиц) в этом поле являются времениподобные геодезические (ds2 0). Уравнение геодезических
Интегрируя это уравнение с учетом соотношения выражения для метрики мы можем найти физическую скорость движения материальной точки [8] #00 Здесь Со — постоянная интегрирования, которая определяется с помощью заданных начальных значений r\t=o = г$ и v\t=o = vo, а именно Со = а(г0) - 1/21п(1 - vo2). Знак ± перед корнем описывает соответственно движение от центра и к центру г = 0. Выражение (2.12) показывает, что в случае о/ 0 (goo = е2а убывает с ростом г) физическая скорость пробной частицы возрастает с ростом г, следовательно, решения (2.8), (2.9), в которых а 0, описывают гравитационное отталкивание, а соответствующие решения с а 0 — притяжение. Этот же вывод следует из вида уравнения геодезических (2.11) при /І = 1 (см. 2.4).
Применяя данный критерий к случаю п = 2, видим, что знак а зависит от знака показателя а в выражении (2.12). При а 0 имеет место отталкиванию, а при а 0 — притяжение, следовательно, лишь в последнем случае полученные решения имеют физический смысл.
Ньютоновский предел и квазиэллиптические орбиты
В случае отрицательной пространственной кривизны к = — 1 и Л О каждая интегральная кривая на фазовой плоскости aw касается границы запрещенной области (3.30). В точке касания ао, WQ меняется знак в выражении (3.27) по аналогии со случаем к = 1. Семейство этих кривых для фиксированных п = 4,Л = — 1 и различных значений ао (указанных вблизи линий) представлено на рис. 3.5а.
Все решения при Л 0 (рис. 3.5а) характеризуются конечным временем жизни Г(ао,Л) и асимптотикой (3.31) при t - Т. Но их поведение при t -» 0 зависит от ао и Л. Если ао не превосходит некоторого критического значения ао = асг(Л), тогда а,0 стремятся к +оо при t -» 0 в соответствии с (3.25) (подобно решениям с Л = 0 на рис. З.ЗЬ). В противоположном случае ао асг реализуется сингулярность типа "0" (3.24) а, е2ф - 0. (сравните с рис. 3.3а). Эти два случая разделены решением, отвечающим критическому значению ао = асг (рис. 3.5а). Последнее решение близко к линейному (3.15) a t, ф фо при t С Т.
В случае к = — 1, Л 0 запрещенная область (3.30) отсутствует. Решения с различными знаками в (3.27) связаны обращением времени ill
Эволюция масштабного фактора a(t) при к = — 1 і - —, гу —) — w. Таким образом, мы имеем одно семейство решений с бесконечным временем жизни и асимптотикой а у/т (3.29) при t -» оо [83], которое показано на рис. 3.5Ь для Л = 1 и п = 2. Значения w = а в точке а = ао = 1 нумеруют кривые. Для значений w шсг(ао,Л) (здесь wcr 1) решения имеют предел (3.25) при t — 0, а для w wcr — предел (3.24). Критическое решение при w = wcr близко к линейному а t, ф о ПРИ малых t.
Подводя итог проведенному анализу, классифицируем найденные решения системы (3.2)-(3.4) в дилатонной гравитационной модели с действием (1.2) для различной пространственной кривизны к = 0, ±1 при различных значениях Л. Они включают в себя как выражения (3.8)-(3.10), (3.11), (3.15), частные случаи или обобщения которых были получены в работах [45]-[83], так и новые аналитические решения (3.19)-(3.21), (3.26), (3.28).
Классифицируя различные типы решений, сведем их для наглядности в следующую таблицу:
Здесь символ "О" означает сингулярность типа "О", то есть начало или конец4 эволюции с асимптотическим поведением (3.24) (а,е2 - 0). Символ "оо" описывает сингулярность типа "оо" и отвечает асимптотике а,ф —) +оо вида (3.25) или (3.31). Заметим, что в случае Л О время жизни дилатонной Вселенной всегда конечно — начало и конец эволюции обозначены в табл. 1 упомянутыми символами (при к = — 1 имеется критическое решение с близким к линейному началом эволюции а т,0 / оис конечным временем жизни).
Другие символы, обозначающие конец эволюции в табл. 1, соответствуют бесконечному времени жизни и степенному закону эволюции одного из следующих типов: (3.29) (a л/т), (3.11), (3.8)-(3.10) (к = О, Л 0), (3.15), (3.19)-(3.21) (& = -1, а т).
При к = —1, Л 0 асимптотику аол/т (3.29) имеют все решения [83], а при к = 1, Л 0 данный предел имеет единственное (при фиксированных Л и to) критическое решение, разделяющее различные типы эволюции.
Отметим, что рассмотренные космологические решения имеют одинаковые качественные особенности для различных размерностей п 2
Напомним, что мы считаем одинаковыми решения, переходящие друг в друга при обращении времени. (случай n = 1 или D — 2 эквивалентен к = 0). В этом смысле классификация в табл. 1 имеет универсальный характер для всех D.
В предыдущих параграфах данной главы рассматривались космологические решения фридмановского типа для случая, когда тензор энергии-импульса материи Тм„ равен нулю. Теперь рассмотрим случай Тм„ ф 0, считая материю пылевидной. Последнее означает, что все компоненты Tff = g xT\v равны нулю кроме Т = є. Как известно [2], [9], [99], такое предположение достаточно хорошо описывает эволюцию Вселенной в течение большей части ее истории, когда средние тепловые скорости частиц материи являются нерелятивистскими. Считая распределение плотности однородным и изотропным (е зависит лишь от времени ), из условия сохранения энергии (массы) вещества при изменении масштабного фактора найдем, что произведение еап = Q равно константе.
Подставим тензор энергии-импульса указанного вида в систему уравнений дилатонной гравитации с материей (1.20) V + 2 „ = 7е2%„ Я + 4(У )2 = Л + 27е2 , в которой положим а = 0 (возможные значения константы а обсуждались в первой главе данной работы). В результате система (3.33) сводится к трем нетривиальным уравнениям or а ап В этой системе, так же как и в случае Т — О, уравнение (3.36) выступает в роли уравнения связи. Другими словами, уравнения системы (3.34) - (3.36) не являются независимыми — производная последнего уравнения оказывается комбинацией уравнений (3.34) и (3.35).
Здесь /2 = \іС = 27Є0С — константа, пропорциональная как плотности материи єо, так и интенсивности дилатонного поля С. В силу соотношения (3.39) константа ji (как и С) имеет тот же знак, что и а.
Уравнение (3.40) отличается от всех уравнений дилатонной гравитации без материи из 3.1-3.4 тем, что оно (его правая часть) не обладает симметрией относительно обращения времени t -» —t. Следовательно, такой симметрией не обладают и его решения.
Пространства с кривизной к = ±1, Л ф О
В случае открытой модели (к = — 1) имеются две ветви решений, показанные на рис. 3.3, 3.5 и 3.8. Для ветви с начальной сингулярностью типа "О" (3.24) величина Н уменьшается по мере роста а(т) от +оо до нуля (для Л 0). Для ветви решений с начальной сингулярностью типа "со" (3.25) на начальном этапе эволюции, отвечающем сжатию (см. рис. З.ЗЬ), величина Н отрицательна, обращается в нуль в точке максимального сжатия. На следующем этапе расширения постоянная Хаббла Н положительна, возрастает неограниченно при Л 0 и стремится к нулю при г - со при Л 0.
Параметр замедления (3.53) для решений Фридмана (при Л = 0) позволяет определить тип модели: для плоской модели qo = 1/2; для замкнутой Вселенной qo 1/2; для открытой Вселенной qo 1/2.
В дилатонной гравитационной модели выражение для параметра замедления (3.53) следует из уравнения (3.49) « = -1+w±/3(1- +2fleS ) + - (3 61) Здесь учтено соотношение (3.46), и константа ц = I EQ выражена через параметр плотности материи (3.54): \i — 6Я2а3П. В частном случае, когда к = О, Л = 0 возможные значения q имеют вид q = -l± д(1 + 2Пе2Ф).
Значение q = -l- 3 (1 + 2Пе2 ) соответствует сжатию плоской Вселенной (ветви решений, показанной на рис. 3.6b). В то же время значение q = — 1 + у/3 (1 + 20е2 ? ) соответствует расширению и может быть сопоставлено с данными наблюдений.
Оценка значением постоянной Хаббла определяется данными наблюдений красного смещения удаленных галактик и зависит лишь от совершенствования методов измерения расстояний до этих объектов [99], [100], [101]. В то же время непосредственное измерение параметра замедления (3.53) (или, что равносильно, скорости изменения постоянной Хаббла Н) по понятным причинам невозможно. Существуют лишь косвенные методы определения qo.
Имеющиеся в настоящее время данные наблюдений и оценки возможного значения параметра замедления модельно зависимы. Они, как правило, проводятся в рамках ОТО или варианта данной теории с Л-членом. В силу этого до недавнего времени для qo рассматривался достаточно широкий допустимый интервал значений — 1 qo 2 [103].
Однако в последнее время, появились данные [104]-[108], свидетельствующие о том, что расширение Вселенной происходит с ускорением, т.е. значение параметра qo отрицательно (так, например в работе [107] приводится значение qo = -0.6). Это следует из анализа наблюдений за сверхновыми, расположенными на больших расстояниях и имеющими, соответственно, большое красное смещение, и сделанных авторами оценок для параметра плотности материи (3.54) и аналогичного параметра плотности для Л-члена.
Важно отметить, что отрицательные значения параметра q (или qo) в ОТО не реализуются в моделях Фридмана для решений (3.55) и (3.56) и возможны лишь при Л ф 0.
В то же время в дилатонной гравитационной модели решения с q 0 существуют и при Л = 0 для всех значений к. В этом можно убедиться из анализа как выражения (3.61), так и приведенных выше решений, иллюстрируемых рис. 3.2-3.8.
Что касается параметра плотности (3.54), отметим, что в ОТО при Л = 0 параметр плотности материи (3.54) определяет тип модели, так как уравнение Эйнштейна для моделей Фридмана (3.57) сводится к виду jfe = _(fi_l). (3.62)
Следовательно, при С1 = 1 (или, иначе говоря, при равенстве плотности материи критическому значению pcr = ZHQ/(8TTG)) реализуется плоская модель, при 9, Г (р рсг) — замкнутая, при С1 1 (р рсг) — открытая. В дилатонной гравитационной модели соответствующее (3.57) уравнение (3.38) является квадратным относительно к и сводится к виду 4к2 - 2k(2q - 1){На)2 + {q2 + 2q-2- №е2ф - А/Н2){На)4 = 0 (3.63) Из этого уравнения следует выражение, играющее в дилатонной гравитации роль (3.62) к=ъ-и Ет+ШШШ.(На) . (3.64) Как видим, выбор типа модели (значения к) здесь не определяется однозначно даже при известных q, Н, О и Л, а зависит также от выбора ветви решения и величины е2ф.
Отметим, что во все приведенные здесь формулы дилатонной модели параметр плотности материи (3.54) входит только в комбинации 0,е2ф. Следовательно, в дилатонной гравитации величина 1) сама по себе не определяет характер космологического решения, в частности, значения к и q. Определяющую роль играет произведение параметра Q на величину е2ф — интенсивность дилатонного поля. Таким образом, можно заключить, что в дилатонной гравитационной модели возникает более широкий спектр решений по сравнению с ОТО.
