Введение к работе
Актуальность. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет описывать динамические процессы в системах, обладающих свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости. Для исследования таких систем существуют аналитические и численные методы интегрирования.
В настоящие время возможности вычислительной техники позволяют численно интегрировать динамические уравнения для систем с числом структурных единиц порядка , что является достаточным для исследования многих эволюционных процессов.
Основным при использовании численных методов является учет погрешности, вносимой процессом численного интегрирования, и, как следствие, оценки полученных компьютерных моделей.
В известных численных методах, в частности Эйлера и Рунге-Кутта, влияние итерационных процессов ведет к накоплению погрешности, которую можно снизить уменьшением шага интегрирования, что ведет к увеличению времени счета.
В качестве альтернативного подхода рассматривается так называемый канонический метод численного интегрирования, где сам процесс интегрирования уравнений движения консервативной системы является бесконечно малым по параметру шага консервативным возмущением.
Сравнительный анализ позволяет говорить о перспективности канонического метода численного интегрирования для описания и исследования динамических систем, что и определяет актуальность выполняемого исследования.
Предметом исследования являются динамические системы свободных и взаимодействующих частиц в условиях консервативных возмущений, которые представлены в форме ансамбля Гиббса, а также динамические процессы, происходящие в указанных системах.
Цель работы – математическое моделирование и исследование динамики ансамбля частиц в условиях действия консервативных возмущений с использованием канонического метода численного интегрирования.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
-
Разработка математических моделей движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.
-
Разработка алгоритмов численного интегрирования ансамбля частиц.
-
Создание комплекса программ для исследования динамики ансамбля частиц.
-
Компьютерное исследование поведения ансамбля частиц с использованием условия обратимости времени.
Методы исследования
В работе использованы теоретические и численные методы исследования на основе фундаментальных результатов гамильтоновой механики, теории канонического интегрирования и канонической теории возмущений. В практической части исследования использованы основные методы компьютерного моделирования.
Достоверность и обоснованность полученных результатов
Достоверность теоретических результатов обеспечивается корректной формулировкой математических моделей. В основу теоретических методов положены основные результаты гамильтоновой механики и теории возмущений. Достоверность результатов численного интегрирования и компьютерного эксперимента подтверждается их совпадением с основными теоретическими предсказаниями теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера для движения систем, близких к интегрируемым, и имеющимися результатами канонической теории возмущения.
На защиту выносятся:
-
Математические модели для исследования движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.
-
Алгоритмы численного интегрирования уравнений движения ансамбля частиц.
-
Комплекс программ для исследования динамики ансамбля частиц при различных начальных условиях и условиях взаимодействия.
-
Результаты компьютерного исследования поведения ансамбля Гиббса с использованием условия обратимости времени.
Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что:
-
Впервые получены математические модели движения ансамбля частиц в условиях консервативных возмущений.
-
Впервые проведено аналитическое исследование устойчивости канонического метода интегрирования уравнений движения ансамбля частиц.
-
Впервые построены устойчивые к накоплению погрешности численные алгоритмы интегрирования уравнений движения на больших интервалах времени.
-
Впервые условие обратимости времени использовано для анализа поведения ансамбля Гиббса.
-
Разработан комплекс программ для качественного и количественного исследования ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.
Научная апробация результатов исследования
Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на 2-ой Всероссийской конференции молодых ученых, преподавателей, аспирантов и студентов «Теория динамических систем в приоритетных направлениях науки, технологии и техники» (г. Чайковский, 2007г.), на 2-ой Международной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (г.Екатеринбург 2007г.), на 6 – ой Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии» (г. Тула 2010г), на 13-ой Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения и информатики» (г. Сочи 2010г.).
Практическая значимость и реализация результатов исследования
Положительные результаты использования канонического метода численного интегрирования для исследования рассмотренных динамических моделей могут быть применены в различных областях эволюционной динамики.
Одношаговый тип канонических алгоритмов интегрирования и минимально возможное количество выполняемых операций делают перспективным создание программных комплексов, используя процедуру распараллеливания процесса счета. Практическая ценность разработанного программного комплекса заключается в том, что, как и в натурном эксперименте, предусмотрена возможность разделения процесса его проведения и анализа результатов.
Программный комплекс используется в учебной программе в спецкурсе «Компьютерное моделирование физических процессов» для специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления», а также преподавания разделов «Механика» и «Молекулярная физика» в курсе физики.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 8 публикациях, в том числе в 3 работах в издании рекомендованным ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из содержания, введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 125 наименований, приложения. Работа изложена на 144-х листах машинописного текста, содержит 91 рисунок и 8 таблиц.
