Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Постановка задачи оптимального портфеля 7
1.1. Средне-дисперсионный анализ портфеля и влияние корреляции 8
1.2. Модель марковица
1.3. Решение задачи оптимального портфеля 13
1.4. Решение задачи оптимального портфеля при возможности безрисковых вложений 15
1.5. Доходность актива і7
1.6. Мера риска 23
ГЛАВА 2. Математическая модель оптимального портфеля с дополнительными ограничениями 26
2.1. Законодательные ограничения, возникающие в работе коллективных инвесторов з і
2.2. Математическая модель оптимального портфеля сдвухсторонними ограничениями 43
2.3. Постановка прямой и двойственной задач квадратичного программирования 46
2.4. Экономический смысл множителей лагранжа 50
ГЛАВА 3. Численный алгоритм решения задачи оптимизации порфеля 54
3.1. Теорема куна-таккера 55
3.2. Метод баранкина-дорфмана решения задачи квадратичного программирования 60
3.2.1 Общее описание метода 60
3.2.2. Алгоритм метода 62
3.2.3. Вычислительная схема метода 65
3.3 Применение метода гамильтона и метода монте-карло для нахождения базисного решения 68
Глава 4. Решение реальных задач рынка ценных бумаг 72
4.1. Решение задачи оптимального портфеля без дополнительных ограничений 73
4.2. Решение задачи оптимизации портфеля при дополнительных ограничениях сверху 82
4.3. Решение задачи оптимизации портфеля при дополнительных двухсторонних Ограничениях 87
Заключение 94
Литература
- Решение задачи оптимального портфеля
- Математическая модель оптимального портфеля сдвухсторонними ограничениями
- Метод баранкина-дорфмана решения задачи квадратичного программирования
- Решение задачи оптимизации портфеля при дополнительных ограничениях сверху
Введение к работе
Актуальность темы исследования.
В настоящее время проблема выбора оптимального портфеля ценных бумаг становится особенно актуальной в связи с ростом российского фондового рынка, расширением инвестиционной активности банковского сектора, появлением паевых инвестиционных фондов, негосударственных пенсионных фондов. На развивающемся рынке ценных бумаг, характеризующемся высокой доходностью, сопряженной с высокими рисками, потенциальному инвестору достаточно трудно составить портфель с приемлемым для него соотношением риск-доходность.
Развитие рынка ценных бумаг требует активного использования современных математических методов при анализе эффективности финансовых инвестиций. В частности, возникает задача оптимизации портфеля ценных бумаг. Впервые этот вопрос сформулирован в работах Г. Марковица [1], [2], заложивших основы современной портфельной теории. При описании портфеля был применен средне-дисперсионный анализ для формализации понятий доходности и риска, впервые была построена математическая модель оптимального портфеля ценных бумаг. Именно в работе Г. Марковица была обоснована идея диверсификации при составлении портфеля для редуцирования финансового риска. Дальнейшее развитие современная теория инвестиций получила в работах Дж. Тобина [3], У. Шарпа [4], [5], Линтнера [6], Моссина [7], Р. Ролла [8], С. Росса [9].
Проблема применения данной модели заключается в том, что часто в реальных задачах кроме ограничений неотрицательности переменных возникают дополнительные ограничения. Эти ограничения могут быть двух типов: ограничения сверху, когда доля і-го актива в общей структуре активов может составлять не более заданной величины, и ограничения снизу - доля j-го актива в суммарном капитале портфеля должна быть не менее заданной величины. Ограничения сверху соответствуют нормам законодательства и
4 отражены в требованиях к составу и структуре вложений паевых инвестиционных фондов, негосударственных пенсионных фондов, страховых компаний и т.д. Ограничения снизу могут быть наложены как условие на минимальную безрисковую часть портфеля. Дополнительные ограничения усложняют решение задачи и могут делать задачу несовместной.
Вычислительная сложность решения соответствующих задач математического программирования предопределяет актуальность настоящей работы.
Цель работы.
Цель исследования - разработка математической модели задачи оптимального портфеля с дополнительными двухсторонними ограничениями на переменные, оценка значимости ограничений и использование выбранной методики для анализа реальных статистических данных рынка ценных бумаг.
Задачи исследования:
построение математической модели оптимального портфеля ценных бумаг с двухсторонними ограничениями на переменные, соответствующими требованиям законодательства;
разработка вычислительного алгоритма и компьютерного обеспечения решения задач оптимизации портфеля;
численное решение и анализ реальных задач рынка ценных бумаг.
Методы исследования.
Поставленные в работе задачи решены с использованием методов выпуклого анализа, математической теории двойственности, теории вероятностей и математической статистики. При решении задач использовались труды отечественных и зарубежных ученых, посвященные проблемам математического моделирования и анализа рынка ценных бумаг.
Основные научные результаты, выносимые на защиту:
математическая модель оптимального портфеля с учетом
двухсторонних ограничений на переменные;
способ моделирования основных показателей инвестирования на
рынке ценных бумаг;
алгоритм решения задачи оптимизации портфеля с использованием решений двойственной задачи;
программный комплекс, позволяющий автоматизировать процесс оптимизации портфеля и анализа значимости активов рынка ценных бумаг.
Научная новизна работы:
Разработана математическая модель оптимального портфеля инвестиций с учетом двухсторонних ограничений на переменные, соответствующих законодательным нормам.
Сформулирована двойственная задача в проблеме оптимизации решения. Решения двойственной задачи позволяют оценивать значимость ограничений прямой задачи.
Разработан алгоритм одновременного решения прямой и двойственной задач оптимизации портфеля.
Разработан комплекс программ для автоматизации процесса портфельного инвестирования и анализа значимости активов на рынке ценных бумаг.
Практическая значимость работы.
Проведенные исследования дают участникам рынка ценных бумаг реальные механизмы выбора оптимального портфеля и анализа значимости различных типов ценных бумаг. Разработанные математические модели и комплекс компьютерных программ переданы и приняты в эксплуатацию в Управляющей компании «ИнвестКапитал» в г.Уфе. Результаты исследования использованы в курсах лекций по финансовой математике на математическом факультете Башкирского государственного университета.
Достоверность полученных результатов.
Основные положения и результаты работы докладывались на IV Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященной 95-летию БашГУ (г.Уфа,
2004г.), на VI Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (г.Уфа, 2006г.), на Шестом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г.Санкт-Петербург, 3-7 мая 2005г.), на Седьмом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2-8 мая 2006г.), на Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (г. Уфа, 2-4 июня 2007г.), на III Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 1-13 июля 2007г.), на научных семинарах математического факультета Башкирского государственного университета, Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН, кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева (г. Саранск, 2007г.).
Структура работы.
Диссертационная работа состоит из 120 страниц машинописного текста, включающего введение, четыре главы, заключение, приложения, список литературы из 100 наименований.
Решение задачи оптимального портфеля
Американский экономист Джеймс Тобин1 в своих работах [3] исследовал ситуацию, когда портфель формируется не только из рисковых ценных бумаг, но и из безрисковых типа государственных облигаций с фиксированным доходом. Пусть т0 - неслучайная доходность безрисковых вложений, mr - ожидаемая доходность какого-либо портфеля рисковых ценных бумаг (очевидно, mr m0), Vr - вариация доходности рискового портфеля. Рассмотрим случай, когда возможно взятие любых ценных бумаг в долг [22. с.78-80]. Функция Лагранжа в этом случае имеет вид:
Подставив выражения (1.4.5) в уравнения (1.4.2) и (1.4.3) получим систему относительно х0и Х2: х0+лС;-1 = 0 (1.4.6) п x0m0+X2 GJmj-mp = 0 (1.4.7) и п
Будем считать, что 5]С,оту /«02 / Тогда система (1.4,6),(1.4.7) имеет единственное решение. Для его нахождения умножим первое уравнение на т0 и вычтем из него второе. Получим А.2=Н(тр-т0), где Н - некоторая константа. Подставляя это выражение в (1.4.5), (1.4.6), получаем: Xj = Gj И(тр -m0)-Sj{тр -m0), с =1- 0, =lf(wp-m0)-Gy =1-П -т0), J-I где 5;, Г- некоторые числа. При этом выполняется следующее свойство: для всех ij 0 верно х S равенство: — =—, т.е. это отношение не зависит от тр. Следовательно, если Xj Sj оптимальный портфель состоит из двух частей (безрисковой и рисковой), структура рисковой части портфеля, т.е. соотношение затрат на ценные бумаги разных видов, не зависит от ожидаемой доходности. 17 Выразим теперь риск портфеля через параметр тр. Пусть Хо - доля капитала, вложенного в безрисковые ценные бумаги; 1-Хо - доля вложений в рисковые ценные бумаги. Тогда эффективность объединенного портфеля является случайной: Rp = x0m0+(\-x0)Rr. (1.4.8)
Средняя ожидаемая доходность портфеля равна: тр=х0т0 + (\-х0)тг=тг+х!)(т0 -тг). (1.4.9) Вариация портфеля определяется только рисковой частью вложений (с учетом (1.4.8), (1.4.9)): =( -тр)2=фо«о+0- Я- -х0(т0-ш ]2=[(1- )Лг-(1-х0)шг]2 = = (l-xa)2E[Rr-mr]2=(\-x0)%. Риск портфеля определяется формулой: ар =(1-х0) 7,. Выразив хо из формулы (1.4.9), получим
Полный доход инвестора от данного актива складывается из текущего дохода (дивиденды по акциям, купонный доход по облигациям и т.д.) и прироста капитала, т.е. дохода от изменения цены. Очевидно, прирост капитала может быть и отрицательным, если стоимость актива падает. Для характеристики эффективности инвестирования используют фактическую доходность - доходность актива за данный промежуток времени, которая рассчитывается как отношение полного дохода к начальной стоимости актива [10. с. 119]: _DT+P,-P0_DT+AP (1.5.1) P P где rT - доходность актива за период Т; DT - текущий доход, полученный от актива в течение периода Т; Ро - цена актива в начале периода (в момент времени t0); Pi - цена актива в конце периода (в момент времени U); АР = Pt- Р0 - прирост капитала за период Т; Т = t\ to- период инвестирования, или инвестиционный горизонт.
Определенная по формуле (1.5.1) доходность актива является доходностью за весь период инвестирования, длина которого может быть произвольной. На практике для сравнения доходностей, относящихся к периодам различной длительности, используют нормированную доходность, т.е. доходность, приведенную к выбранному базисному периоду (например, году). Самый простой способ приведения состоит в умножении доходности за период на коэффициент, пересчитывающий доходность на заданный интервал времени [23. с.605]: г = гт , (1.5.2) At где г- номинальная (годовая) доходность; ДТ - интервал времени, на который пересчитывается доходность (год); At - интервал времени, за который был получен доход. Для длительных промежутков времени с неравномерным потоком текущих выплат и резким ростом или падением цен активов оценка (1.5.2) становится непригодной. В этом случае сначала выбирается небольшой интервал, называемый базовым периодом, для которого вычисление доходности по формуле (1.5.1) будет приемлемым. Затем реальный инвестиционный горизонт разбивается на ряд таких частичных интервалов, для каждого из которых вычисляется соответствующая доходность.
Математическая модель оптимального портфеля сдвухсторонними ограничениями
Проблема применения модели Марковича заключается в том, что часто в реальных задачах возникают дополнительные ограничения на переменные. Напомним, что условие неотрицательности переменных х. О означает, что недопустима «короткая продажа», т.е. взятие ценных бумаг в долг. Короткая продажа - это продажа инвестором ценных бумаг, которыми он не владеет. При этом проданные бумаги берутся взаймы у брокера, поступления от продажи также остаются у брокера; кроме того, инвестор размещает у него маржу (гарантийный депозит) в форме наличных денег на случай повышения рыночной цены акций. Короткая продажа применяется для получения прибыли от ожидаемого падения рыночных цен на акции, так как в этом случае взятые взаймы акции могут быть покрыты акциями, купленными по более низкой цене. Однако, если цена акций существенно поднимется, «короткому» продавцу придется внести дополнительную наличность для пополнения гарантийного депозита.
В результате анализа нормативных документов, регулирующих инвестиционную деятельность институциональных инвесторов, таких как паевые инвестиционные фонды, негосударственные пенсионные фонды и страховые компании, были выделены следующие типы законодательных ограничений: 1. x. 6j (0 6 1).
Ограничения сверху, когда доля j-ro актива в общей структуре активов может составлять не более заданной величины. Эти ограничения изложены в «Положении о составе и структуре активов акционерных инвестиционных фондов и активов паевых инвестиционных фондов», «Требованиях к составу и структуре пенсионных резервов негосударственных пенсионных фондов», «Правилах размещения страховщиками средств страховых резервов» и т.д. Например, согласно пунктам 4.3.3. и 5.3.3. Положения, оценочная стоимость ценных бумаг одного эмитента может составлять не более 15% стоимости активов фонда акций и фонда смешанных инвестиций. Аналогичные ограничения предусмотрены в пунктах 3.2.1., 4.2.1., 5.2.1., 3.3.2., 4.3.2., 5.3.2., 7.3.1., 7.3.3., 7.3.6. Положения; в пункте 7.1. Требований; в пунктах 1.1.,1.4.,1.5. статьи 28 Закона; в пунктах 2,3,7 приложения к Правилам. 2. х сс (0 а 1).
Ограничения снизу, т.е. доля какого-либо актива в суммарном капитале портфеля должна быть не менее заданной величины. В работе негосударственных пенсионных фондов предусмотрены максимальные доли вложений в объекты повышенного риска и в рискованные объекты (пункт Требований). Ограничения снизу также могут быть наложены как условие на минимальную безрисковую часть портфеля. Это связано с характером вложений НПФ - преобладанием государственных облигаций в портфеле, которые считаются условно безрисковым активом. 3. х.+х. +... + Х- у (0 y l,jk n).
Ограничения снизу на сумму долей активов. Данные ограничения характеризуют специфику работы конкретного фонда - акций, облигаций или смешанных инвестиций. Например, для фонда облигаций оценочная стоимость государственных и корпоративных облигаций должна составлять не менее 50% стоимости активов (пункт 3.3.1. Положения). Аналогичные ограничения описаны в пункте 4.3.1. Положения - для фонда акций, в пункте 5.3.1. Положения - для фонда смешанных инвестиций, в пункте 7.3.4. Положения - для фонда венчурных инвестиций; в пункте 9 Требований - для негосударственных пенсионных фондов.
Таким образом, на основе модели Марковица можно построить модель формирования оптимального портфеля с дополнительными двухсторонними ограничениями на переменные, соответствующими требованиям законодательства [54]:
Метод баранкина-дорфмана решения задачи квадратичного программирования
Равенства (3.2.3)-(3.2.4) образуют систему N=n+m линейных уравнений с 2N=2(n+m) неизвестными х1,...,хп,уі ...,уп,уі,...,ут,Л1,...,Лт. Следовательно, согласно локальным условиям Куна-Таккера, решение x = (x t,...,xl) является оптимальным для задачи (2.3.1)-(2.3.2) тогда и только тогда, когда совместно с решением v = (v,,...,vj существуют решения Л = (Л[,...,Лт),у = {у1,...,уП1), такие, что і = (хи...,хп,у],...,уп,Л1,...,Лт,у],...,ут) являются решением системы (3.2.3)-(3.2.5) при выполнении условия (3.2.6). Таким образом, метод Баранкина-Дорфмана позволяет нелинейную задачу сводить к решению системы линейных алгебраических уравнений с дополнительным комбинаторным условием (3.2.6). Это условие требует, чтобы из каждых двух ограниченных по знаку переменных х_, и vJ (у, и 1J хотя бы одна равнялась нулю. Другими словами, не все решения z = (x]t...,yK) системы (3.2.3)-(3.2.4) удовлетворяют условию (3.2.6), а только те, в которых по меньшей мере n+m компонент равны нулю, т.е. столько, сколько уравнений в системе. Известно, что таким свойством обладают базисные решения системы, следовательно, искать решение, удовлетворяющее условию (3.2.6), нужно только среди базисных решений. Баранкин и Дорфман поступают следующим образом: начинают с некоторого базисного решения системы (3.2.3)-(3.2.5), которое не обязательно удовлетворяет условию (3.2.6), и с помощью симплексных преобразований сводят к нулю выпуклую функцию xTv + yTX [82.С.186].
. Алгоритм метода Запишем равенства (3.2.3)-(3.2.6) в векторно-матричной форме: Ax + Ey + 0v + 0A = b 2Dx + 0y-Ev + ATA = Q xZ0,y 0,v 0,A 0 x v + y X = 0 Здесь
В целях упрощения записей представим все переменные в равенстве (3.2.11) в виде 2N-MepHoro вектора z ={x\y\v\X ), причем каждому такому вектору соответствует вектор z =(v ,A ,x ,y). Очевидно, что компоненты векторов z и z попарно равны, т.е. 2 W ,+ = i 0 = U0 (3.2.12) Т.к. г -2 = JC -V + у Л + v -x + A -y = 2( -v + /-A) условие (3.2.10) можно записать в виде 7 = z -z=0, а условие (3.2.9) - в виде z 0. Учитывая равенство (3.2.11) окончательно получим локальные условия Куна-Таккера в следующем виде: Е "гНЯ (3.2.13) D 0 -Е Ат\ LJ г 0 (3.2.14) 2 -2=0 (3.2.15)
Метод Баранкина и Дорфмана заключается в том, что, исходя из некоторого допустимого базисного решения системы (3.2.13)-(3.2.14), совершается ряд симплексных преобразований, в результате каждого из которых выпуклая функция Г, заданная левой частью равенства (3.2.15), уменьшается, пока не будет получено базисное решение с Т =0. При этом симплексные преобразования совершаются по тем же правилам, что и в случае линейной программы, в силу нелинейности Т усложняются только правила выбора включаемых в базис переменных, которые будут выведены ниже.
Пусть в системе (3.2.13) все N=n+m уравнений линейно независимы и система разрешена относительно первых N неизвестных, т.е. имеет вид: zk=hk,-j hhzN+t ( = UV) (3.2.16)
Такой записи системы соответствует симплексная таблица (табл. 3.1).
Равенство (3.2.16) можно записать и для свободных переменных. Оно будет иметь вид zN„=0 + \-zN+i. Таким равенствам в симплексной таблице будут отвечать строки, все элементы которых, кроме одного, равного -1, равны нулю (табл. 3.2). Следовательно, в левый заглавный столбец будут входить все переменные zk (k = l,2N) и их можно расположить в порядке возрастания индексов. Координатные равенства (3.2.16) можно заменить одним векторным равенством: (3.2.17) N (=i где ht - t-й вектор-столбец таблицы 2. При нулевых значениях свободных переменных zN+l из равенства (3.2.17) находим начальное базисное решение: z0=/,0 0 (3.2.18) Вектор „, соответствующий вектору (3.2.18), обозначим через /. Тогда значение функции Т , соответствующее начальному базисному решению (3.2.18), будет равно T6=T(h0) = h 0-h0 (3.2.19)
Выполним симплексное преобразование, выбрав разрешающий элемент по правилам линейного программирования. Найденное при этом минимальное симплексное отношение обозначим через в%: 03 = min(hto/nJ В результате симплексного преобразования получим новое базисное решение г, , которое по правилам пересчета элементов симплексных таблиц будет ИМеТЬ ВИД 2,=/го-0Д, а СООТВетСТВуЮЩИЙ ему ВеКТОр 2,=/(0-0 ,.
Решение задачи оптимизации портфеля при дополнительных ограничениях сверху
Введем в условия задачи дополнительное ограничение, возникающее в практике работы паевых инвестиционных фондов: пусть доля каждого актива в портфеле не превосходит 15% суммарной стоимости активов, т.е. х- 0,15, j = l,n. Это четвертое ограничение в системе ограничений (2.2.2).
Расчет доходности и статистических характеристик ценных бумаг проводится в соответствии с пунктом 4.1. Опишем качественные особенности решения задачи оптимизации портфеля, приведенного в табл, 4.7.
Как видно из табл. 4.7, риск портфеля растет с увеличением ожидаемой доходности, так как риск и доходность финансовых инвестиций связаны прямо пропорциональной зависимостью; при этом при введении дополнительных ограничений уровень риска выше для одних и тех же значений доходности (см. табл. 4.5). В качестве минимальной альтернативной доходности выберем 10% - среднюю норму доходности банковского вклада, Увеличим максимальную требуемую доходность до 80%. При максимальной доходности (80%) вариация портфеля составит 101,14 (стандартное отклонение от ожидаемой доходности 10,06%). Рассмотрим рекомендации по формированию портфеля. При минимальной требуемой доходности (10%) риск портфеля составит 0,097, рекомендуется большую часть капитала распределить между облигациями, доля вложений в акции будет незначительна. Такая рекомендация возникает потому, что облигации в целом считаются более надежным активом, чем акции. Более рискованными по сравнению с облигациями являются акции, особенно акции новых быстрорастущих фирм. Поэтому небольшая требуемая доходность может быть достигнута в основном за счет облигаций, почти без привлечения акций, при этом риск портфеля минимален. При эффективности 10% максимально возможные доли капитала (15%) следует вложить в облигации «Банк Русский Стандарт» (хц), в облигации «Мегафон» (хі5), в облигации «Сибирьтелеком» (хп), в облигации «ТМК» (xis); также нужно вложить 13,5% в облигации «РусАлФин» (хіб), 10,5% - в облигации «Ленэнерго» (х]3), 8,9% - в облигации «Автоваз» (х10). При требуемой доходности 20% риск портфеля составит 1,95; при этом рекомендуется вложить по 15% суммы капитала в облигации «Банк Русский Стандарт» (хп), в облигации «Ленэнерго» (Хіз), в облигации «ТМК» (xiS), в облигации «Сибирьтелеком» (х17), в облигации «ЮТК» (х20); 14,7% - в облигации «РусАлФин» (х!6); при этом в портфеле немного возрастает доля акций. С увеличением требуемой доходности растут доли вклада более доходных и более рисковых ценных бумаг (акций), в то время как доли вложений менее доходных и менее рисковых активов (облигаций) уменьшаются. При эффективности 40%о следует вложить по 15% от общей суммы капитала в облигации «Банк Русский Стандарт» (хц), в облигации «Ленэнерго» (хі3), в облигации «ТМК» (х18), в облигации «ЮТК» (х2о); 12,4% - в облигации «Сибирьтелеком» (хп), 10,9% - в акции «Сбербанк России» (X7), 8,4 % -в акции РАО «ЕЭС России» (х5), 7,5% - в акции «Ростелеком» (хе). При доходности 60% суммарный капитал портфеля распределяется между облигациями «Банк Русский
Стандарт» (хп) - 15%, облигациями «ЮТК» (х20) - 15%, облигациями «Ленэнерго» (х[3) - 15%, облигациями «ТМК» (х) - 9,9%, акциями «Сбербанк России» (X7) - 15%, акциями РАО «ЕЭС России» (х$) - 15%, акциями «Ростелеком» (х6) - 12,5%. С дальнейшим ростом ожидаемой доходности доля акций в портфеле будет возрастать, а доля облигаций снижаться, за исключением облигаций «ЮТК» (х20), доля которых останется на уровне 15%. При эффективности 70% следует вложить по 15% суммы капитала в облигации «Банк Русский Стандарт» (хц), в облигации «ЮТК» (х2о), в акции «Сбербанк России» (х7), в акции РАО «ЕЭС России» (х5), в акции «Ростелеком» (хб); 13,5% - в облигации «Ленэнерго» (х ). При максимальной требуемой доходности (80%) рекомендуется распределить вложения следующим образом: 15% - облигации «ЮТК» (х20), 10,9% -облигации «Банк Русский Стандарт» (хи), 15% - акции «Сбербанк России» (х7), 15% - акции РАО «ЕЭС России» (х5), 15% - акции «Ростелеком» (х6), 15% - акции «НЛМК». Таким образом, наименее рискованное размещение капитала (риск равен 0,097) при условии вложения всей суммы капитала будет обеспечено при эффективности 10%. Отметим, что некоторые ценные бумаги обладают либо высокой доходностью при довольно высоком уровне риска, либо низкой доходностью при довольно низком риске, но при этом положительно коррелируют с остальными ценными бумагами, поэтому оказывается невыгодным включать их в портфель. Акции «Ростелеком» отрицательно коррелируют с другими акциями и облигациями, поэтому включать их в портфель, как правило, выгодно. При минимальной требуемой доходности 10% не возникает решений, не использующих в полной мере всей суммы капитала, т.е. сумма долей вклада равна единице для данных значений доходности.
