Введение к работе
Актуальность работы. Существует широкий круг процессов различной природы, при которых образуются и эволюционируют резкие переходные слои, разделяющие фазы или компоненты. Моделирование формирования и динамики таких фронтов является актуальной задачей при исследовании фазового и компонентного разделения в биологических мембранах и свойств резких концентрационных и температурных фронтов внутрипластового горения, используемого при нефтедобыче.
Фазовое и компонентное разделение в мембранах интересно для изучения, т.к. оно существенно влияет на функционирование и форму поверхности липидных слоев, латеральную организацию ассоциированных с липидами белков. Трансмембранный транспорт также в значительной мере определяется фазовым и компонентным разделением.
Исследование формирования и динамики фронта окисления в пористой среде также актуально, из-за того, что внутрипластовое горение является эффективным методом добычи высоковязкой битуминозной нефти. Однако, данный процесс необходимо тщательно изучать и контролировать на всех стадиях для предотвращения прорывов теплового и окислительного фронтов к скважинам. Этого можно достичь, применяя математическое моделирование.
Многочисленные технические приложения, связанные с необходимостью расчета формирования и динамики фронта, требуют постоянного совершенствования и оптимизации разработанных ранее методов численного расчета. Имеющиеся в настоящее время программы расчета движения фронта основаны на решении систем, состоящих из большого числа нелинейных уравнений, их программная реализация сопряжена с определенными трудностями.
Вместе с тем, описанные выше процессы, после ряда параметризаций и упрощений, можно исследовать при помощи математических моделей на основе уравнений типа «реакция-диффузия» (РД) и «реакция-диффузия-адвекция» (РДА) с малым параметром при старшей производной. Задачи такого типа являются нелинейными и сингулярно-возмущенными, для их описания и изучения разработана асимптотическая теория контрастных структур, использование которой для исследования уравнений вышеуказанных типов позволяет существенно оптимизировать вычислительные алгоритмы, и может привести к неизвестным ранее интересным математическим результатам.
Перечисленные обстоятельства показывают актуальность создания и развития методов моделирования процессов формирования и динамики фронтов, возникающих в нелинейных задачах типа «реакция-диффузия-адвекция».
Цель работы состоит
В исследовании сингулярно-возмущенных параболических уравнений с малым параметром при старшей производной в пространственно двумерных областях, моделировании формирования и динамики переходных слоев в двумерных задачах «реакция-диффузия-адвекция»;
в создании и исследовании новых численных алгоритмов и математических моделей, основанных на асимптотическом анализе сингулярно-возмущенных задач «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция»;
в разработке комплекса программ, реализующих эти алгоритмы;
в разработке и использовании комплекса программ для моделирования задач фазового разделения и динамики внутрипластового фронта окисления при термогазовом методе увеличения нефтеотдачи и сравнении результатов с данными, полученными на основе существующих моделей (термогидродинамические симуляторы, метод прямого многочастичного моделирования Монте-Карло).
Научная новизна диссертации. В основу диссертации положены работы автора по изучению уравнений реакции-диффузии и реакции-диффузии-адвекции, а также посвященные математическому моделированию фазового разделения, процессов формирования и динамики фронта окисления в пористой среде, и работы по прямому многочастичному моделированию мембранных процессов в биофизике живой клетки, в которых впервые:
Получена оценка времени формирования контрастной структуры в уравнении типа «реакция-диффузия», исследуемого в пространственно двумерной области;
Предложено уравнение движения резкого переходного слоя, возникающего в уравнении типа «реакция-диффузия-адвекция», позволяющее эффективно описать динамику фронта в задаче РДА;
Аналитические оценки сопоставлены с численным решением уравнений РД и РДА методами конечных разностей;
Аналитические результаты применены для определения времени формирования фазового разделения в биомембранах, периода инициации внутрипластового горения и описания динамики фронта окисления в геологических структурах.
Достоверность полученных результатов обеспечивается детальным теоретическим анализом рассматриваемых задач, строгими математическими доказательствами, многочисленными модельными расчетами и сравнением их с результатами экспериментов.
Соответствие диссертации паспорту научной специальности
В соответствии с областью исследования специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» область настоящего диссертационного исследования включает разработку математических моделей, комплекса программ и вычислительный эксперимент, позволяющие эффективно описывать формирование и динамику переходных слоев в двумерных задачах «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция».
Полученные соискателем научные результаты соответствуют пунктам 2, 3 и 5 паспорта специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».
Основные результаты работы, выносимые на защиту
-
Асимптотическое исследование двумерных математических моделей «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция», позволяющее качественно описать основные структурные особенности моделей на предварительном этапе математического моделирования.
-
Теорема о времени формирования переходного слоя (фронта) в решении двумерной задачи «реакция-диффузия» и результаты асимптотического анализа математической модели РДА, позволяющие качественно исследовать динамику фронта.
-
Уравнение локализации фронта для задач «реакция-диффузия-адвекция» в форме, обеспечивающей эффективную алгоритмизацию и многократное ускорение счета движения переходных слоев в двумерных областях.
-
Результат сравнительного анализа поведения фронтов в решениях полных систем уравнений, описывающих сложную кинетику с преобладанием процессов диффузионного типа (термическое окисление нефти при закачке воздуха в пласт), на стандартном промышленном симуляторе с решениями задачи РДА и уравнения локализации фронта.
-
Результаты апробации разработанных программ совместно с существующими системами и методами моделирования (термогидродинамические симуляторы и метод прямого многочастичного моделирования).
Практическая ценность работы состоит в том, что созданные математические модели позволяют сделать ряд аналитических оценок и оценить динамические характеристики фронтов, возникающих при фазовом и компонентном разделении в различных физических системах.
Построенные в диссертации алгоритмы являются простым и эффективным способом численного расчета формирования и динамики резких переходных слоев – фронтов в разнообразных прикладных задачах.
Личное участие автора в выполнении работы. Определение цели диссертации, постановка всех задач и формулировка результатов, выносимых на защиту, выявление аспектов, составляющих научную новизну работы, были выполнены автором совместно с научным руководителем, д.ф.-м.н., профессором Н.Н. Нефедовым, при консультациях к.ф.-м.н., доцента В.Т. Волкова (руководителя дипломной работы автора в МГУ).
Выбор методов исследования, аналитический вывод основных математических формул, разработка вычислительных алгоритмов и реализация их в виде расчетных программ, а также интерпретация полученных результатов и оценка их практического значения проведены автором лично.
Отладка программ моделирования и компьютерные расчёты выполнены автором совместно со студентами старших курсов физического факультета МГУ А.Н. Николаевым, Д.С. Сениным и А.В. Дмитриевым.
В работах биологического направления вклад автора выражен в разработке ряда алгоритмов моделирования и методик применения асимптотических оценок, интерпретации результатов.
Основная часть публикаций по теме диссертации написана автором лично после обсуждения результатов исследования с соавторами работ.
Ряд результатов работы нашел, при непосредственном участии автора, практическое применение при расчетах, связанных с подготовкой «Технологической схемы опытно-промышленной разработки Южно-Торавейского месторождения нефти».
Апробация результатов. Материалы диссертации докладывались на семинаре физфака МГУ по малому параметру (рук. профессора А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов), на научно-технической конференции МИЭМ (Москва, 2008г.), на VIII международной конференции «Проблемы биологической физики» (Москва, МГУ, 2009 г.), на международной конференции «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2009 и 2010 гг.), на международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2010).
Результаты работы также докладывались на семинарах ВНИИнефть им. академика А.Н. Крылова, кафедры биофизики Биологического факультета МГУ, НИВЦ МГУ и ВЦ РАН.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 8 работах, в том числе в 2 статьях в журналах из списка ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 112 страниц, включая 45 рисунков, 2 таблицы и список литературы, содержащий 91 наименование.
