Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Постановка задачи 13
1. Вывод полной системы уравнений 13
2. Особенности исследуемой системы уравнений 20
Глава II. Численные методы 25
1. Решение НУШ с помощью лагранжевого и эйлерова подходов. Сравнение
результатов. Локальное измельчение сетки 25
2. Упрощение и численное решение полной системы уравнений модели ... 30
3. Итерационные методы решения СЛАУ. Предобуславливатели 38
4. Параллельный алгоритм. Эффективность 47
5. Моделирование начального возмущения импульса 54
Глава III. Математическое моделирование 55
1. Проверка критерия Беспалова-Таланова. Анализ спектрального распределения 55
2. Моделирование одиночного гауссового импульса 61
3. Взаимодействие двух гауссовых импульсов 72
4. Моделирование реального экспериментального расчета 80
Заключение 84
Литература
- Особенности исследуемой системы уравнений
- Упрощение и численное решение полной системы уравнений модели
- Параллельный алгоритм. Эффективность
- Моделирование одиночного гауссового импульса
Введение к работе
Предсказанное Г.А. Аскарьяном в 1962 году явление самофокусировки состоит в следующем: поле световой волны изменяет свойства вещества, в частности, показатель преломления; появляется оптическая неоднородность, создающая эффект линзы. В результате ход лучей в такой нелинейной среде может существенно измениться по сравнению с линейной средой, что приводит к образованию областей локализации интенсивности света - фокусов.
Таунс с сотрудниками в 1964 году ввел понятие критической мощности (Рсг) импульса [1], при превышении которой наблюдается самофокусировка. В это время начался значительный подъем интереса к этой области исследований. Наряду с теоретическими исследованиями проводились эксперименты, в которых явление самофокусировки наблюдалось в различных активных средах, например, в стеклянных образцах Н.Ф. Пилипецким и А.Р. Рустамовым в 1965 году [2]. Мощность импульсов достигала нескольких МВт. При этом в экспериментах наблюдались тонкие световые нити, время жизни которых было порядка 10"10сек, а длина могла превышать 5-10см (рис. 1).
Рис. 1. Результаты экспериментов в ортоксилоле. Видны две светящиеся нити.
Объяснением причин зарождения нескольких нитей импульсе занимались В.И. Беспалов и В.И. Таланов [3], которые в 1966 году сформулировали критерий поперечной неустойчивости плоской волны в нелинейной среде. Объяснение же самих нитей дали В.Н. Прохоров и А.М. Луговой в 1968 году [4], описав теорию движущихся фокусов. Согласно ей, стационарная многофокусная структура пучка представляет собой конечный ряд отдельных
4 фокусов на его оси, образованных в результате последовательной фокусировки
различных кольцевых зон этого пучка.
Наряду с возрастанием мощности экспериментальных импульсов уменьшалась их длительность. В настоящее время четырьмя институтами Франции и Германии выполняется проект «Teramobile» [5, 7, 8, 9, 10] по экспериментальному и численному исследованию распространения импульсов мощностью от нескольких сотен гигаватт и длительностью до ЮОфсек. В результате этих экспериментов по распространению терраватных импульсов наблюдалось несколько десятков филаментов, которые упорядочивались в группы (кластеры) протяженностью более десяти метров. Численным моделированием и развитием теории распространения фемтосекундных импульсов интенсивно занимается коллектив В.П. Кандидова [11,12,13,14,15] в МГУ им. М.В. Ломоносова.
Среди всевозможных режимов распространения лазерного излучения в нелинейной среде, распространение мощного фемтосекундного импульса представляет в настоящий момент особый научный интерес. Например, явление сверхуширения временного спектра излучения (генерация суперконтинуума) фемтосекундных импульсов может применяться для такой перспективной в век информационных технологий области, как сверхплотная передача информации [16], спектроскопия [17]. Распространение филаментов на дальние дистанции может применяться для дистанционного зондирования и дистанционного управления электрическим разрядом [5]. Изучение особенностей образования зон высокой интенсивности в лазерном импульсе помогает решить проблему разрушения образцов активных элементов, что, например, жизненно необходимо для обеспечения безопасности при микрохирургии глаза. Также результаты таких исследований применимы для увеличения пропускной способности оптических волноводов. Так или иначе, правильная интерпретация экспериментальных результатов исследований во многих случаях целиком
5 определяется избранной моделью и картиной распределения импульса,
полученной в рамках выбранной модели.
Впервые эксперименты по дальнему распространению фемтосекундных
лазерных импульсов были выполнены в середине 1990-ых годов [18, 19, 20], В
этих экспериментах использовался инфракрасный лазер с продолжительностью
импульса около ЮОфс и мощностью, превышающей Рсг, т.е. мощностью,
достаточной для самофокусировки импульса [1]. В экспериментах наблюдался распад начального пучка на узкие нити длиной несколько метров. Количество возникающих нитей зависело от мощности импульса. В каждой из них была сконцентрирована доля мощности импульса.
При практическом использовании мощных лазерных систем эффект мелкомасштабной самофокусировки создает серьезные проблемы. Во-первых, это одна из основных причин разрушения активных элементов лазерных систем под действием мощного излучения, т.к. в нити (или филаменте, от англ. filament - нить) объемная плотность мощности весьма велика [21]. Во-вторых, развитая мелкомасштабная самофокусировка приводит к заметной потере энергии в основном пучке. Поэтому необходим максимально близкий к реальности расчет системы, в которой развитие мелкомасштабной самофокусировки происходит на фоне типичных пространственных распределений излучения в объеме активного элемента.
В результате самофокусировки растет интенсивность импульса и уменьшается его ширина, но «схлопывания» не происходит из-за дефокусирующего воздействия электронной плазмы, созданной многофотонной ионизацией молекул воздуха. В результате, максимальная интенсивность в филаменте не превышает 10ыВт/см2 для инфракрасных импульсов. В зоне максимальной интенсивности регистрируется движущийся вдоль оси распространения импульса фокус, след которого принято называть филаментом, а процесс образования таких структур - филаментация. Возникновение нескольких фокусов при наличии достаточной мощности
импульса обычно объясняется мелкомасштабной самофокусировкой шумовых возмущений начального профиля импульса [3] либо нарушением его аксиальной симметрии [22].
Два процесса формируют характерные особенности явления, рассмотренного в этой работе: неустойчивость Беспалова-Таланова, которая порождает мелкомасштабную самофокусировку, и дефокусирующее влияние электронной плазмы, созданной за счет многофотонной ионизации. Данное исследование показало, что до тех пор, пока максимальная интенсивность импульса не достигнет пороговых значений для многофотонной ионизации, не наблюдается потери энергии - мощность импульса не меняется. Только после достижения порогового значения интенсивности начинается процесс многофотонной ионизации, и падают как мощность, так и интенсивность импульса, после чего многофотонная ионизация прекращается.
При этом необходимо решить несколько различных по характеру задач. В начале нужно выбрать и обосновать математическую модель, описывающую конкретные режимы распространения излучения в усилительных каскадах мощных лазерных систем. Одной из широко распространенных моделей является приближение Фока-Леонтовича, более известное в научной литературе как параксиальное приближение, которое представляет собой параболическое нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), описывающее распространение для излучения в нелинейной среде. На основе модели НУШ можно исследовать эффекты схлопывания пучков в процессе самофокусировки [23], характер поля вблизи нелинейного фокуса [23,24], взаимодействие пучков.
Цель настоящей работы - это разработка численных методов, позволяющих осуществить математическое моделирование распространения мощного лазерного излучения в нелинейных средах, в том числе явления мелкомасштабной самофокусировки или, как сейчас принято называть, филаментации, включая описание нелинейной стадии процесса развития
7 неустойчивости. В качестве нелинейной среды распространения импульса в
работе выбран воздух, т.к. естественные среды представляют огромный интерес
для практического использования явления самофокусировки. Моделирование
таких процессов отличается большой трудоемкостью, т.к. приходится
моделировать распространение мощных лазерных импульсов на дальние
дистанции. Существует значительное количество работ различных авторов,
посвященных математическому моделированию процесса филаментации [7, 22,
25,26]. Рассматриваемая для данного явления система уравнений для медленно
меняющейся амплитуды светового поля является нестационарной 3-х мерной
задачей. Для того чтобы иметь возможность сравнить экспериментальные
данные с расчетами при условии учета мелкомасштабных возмущений,
требуется порядка -1016 счетных ячеек. Такое большое количество делает счет
уравнений при больших расстояниях слишком долгим. Для качественного
исследования образования филаментов и их упорядочивания в кластеры
применяется упрощенная физическая модель, которая в совокупности с
использованием технологий параллельных вычислений позволяет в обозримое
время провести счет задачи. Этот алгоритм должен, в частности, адекватно
воспроизводить значение критической мощности и значения инкрементов
неустойчивости, что, как известно, является одной из самых сложных задач
вычислительного анализа. Кроме того, на нелинейной стадии для достаточно
больших значений величины R, характеризующей отношение амплитуды
сигнала к начальной амплитуде, критерием корректности численного метода
может служить правильная передача скорости приближения к асимптотике
автомодельного решения вблизи точки коллапса.
В данной работе приведены численные результаты НУШ и его
гидродинамической аналогии, проведен анализ численных результатов
неустойчивости Беспалова - Таланова как в одномерном, так и в двумерном
случае. Этот анализ дает более подробные знания о влияния шума на развитие
пучка в среде с кубической нелинейностью. Именно наличие шума в пучке на
8 входе в нелинейную среду (начальное условие для НУШ) остается пока
главным объяснением развала цилиндрической симметрии пучка и появления
нитей мелкомасштабной самофокусировки. Потребность в таком детальном
рассмотрении возникла из-за появившихся в последнее время других
объяснений этого явления, как например, в работе [22], где предлагается
альтернативное детерминированное объяснение, основанное на векторных
эффектах.
Также исследовано влияние друг на друга при сближении двух пучков с разными параметрами, имеющих гауссовское распределение. Полученные результаты распространения предполагается использовать при расчетах и анализе численных результатов светового пучка с заданными случайным образом амплитудно-фазовыми возмущениями.
На защиту представлены следующие положения:
Построена математическая модель для исследования явления филаментации при распространении импульсов фемтосекундной длительности на дальние дистанции. Разработаны эффективные алгоритмы расчета явлений филаментации в различных лазерных системах. Создан параллельный комплекс программ. Показана эффективность параллельного алгоритма. Проведено сравнение параллельных итерационных методов.
Рассмотрена динамика неустойчивости Беспалова-Таланова в зависимости от спектрального состава. Впервые продемонстрировано, что развитию самофокусировки предшествует перекачка энергии в длинноволновую часть спектра. Как следствие, в нелинейной стадии наблюдается неустойчивость мод, устойчивых в линейном приближении.
Показан ступенчатый характер развития процесса в рамках выбранной модели. При достижении пороговых значений интенсивности начинается
9 потеря энергии на ионизацию и дефокусирующее воздействие электронной плазмы, что приводит к потере интенсивности. Когда интенсивность падает ниже порогового значения, вновь начинается самофокусировка. Проведено математическое моделирование процесса множественной филаментации для реального гауссова импульса.
Цель и задачи. Целью данной работы является исследование качественно и численными методами проблемы распространения мощных лазерных импульсов в среде с кубической нелинейностью, сопровождаемого множественной филаментацией. При этом были разработаны эффективные алгоритмы, и был создан комплекс параллельных программ для решения задачи о дальнем распространении мощного фемтосекундного импульса в воздухе. Методы исследования. Для исследования задач распространения лазерных импульсов без диссипации был использован лагранжев формализм, ранее примененный в работах Дегтярева [24, 27, 28]. На основе этого формализма и использования сеток, адаптированных к особенностям решения, была исследована проблема эволюции уединенного импульса и взаимодействия двух гауссовых импульсов.
Была сформулирована система уравнений, состоящая из нелинейного уравнения Шредингера и кинетического уравнения, описывающего эволюцию лазерной плазмы (модель Друде [29]) для решения задачи о дальнем распространении мощного фемтосекундного импульса. Был создан программный комплекс, реализующий методы параллельного программирования, и проведен цикл расчетов, позволивших исследовать процессы распространения для систем с параметрами, близкими к реальным. Научная новизна. Комплекс программ, созданный при реализации данной работы, обладает возможностями, близкими к предельным для настоящего времени, и позволил исследовать системы с реальными параметрами. При реализации вычислительного комплекса были успешно совмещены методы
параллельного программирования и возможности упрощения системы уравнений для ее качественного исследования. Настоящая работа одна из первых, в которой реализовано прямое моделирование множественной филаментации. Впервые был установлен циклический ступенчатый характер эволюции гауссова импульса при наличии ионизационных эффектов. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на третьем международном научном семинаре «Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах», Москва 2006; на конференции «Ломоносовские чтения», Москва 2006; на научном семинаре им. К.И. Бабенко ИПМ РАН; на международной конференции «Тихонов и современная математика», Москва 2006.
Публикации. По теме диссертации опубликовано пять печатных работ, в том числе три в соавторстве. Из них 2 статьи в российских журналах, 3 статьи в препринтах ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Первая глава работы посвящена описанию математической модели распространения лазерного импульса в среде с кубической нелинейностью. Приведен полный вывод системы уравнений. Сделаны комментарии относительно исследования распространении фемтосекундных импульсов в воздухе.
Также приведены результаты теоретического обоснования критерии поперечной неустойчивости плоской волны в нелинейной среде, сделанные В.И. Беспаловым и В.И. Талановым. Подтверждение этих результатов а также обсуждение их влияния на характер распространения импульса затрагиваются в последующих главах диссертации.
Во второй главе описаны качественные особенности математических моделей рассматриваемой системы. Основным элементом моделей является НУШ. Существенно, что для формулировки краевых задач, описывающих
распространение электромагнитных полей в кубической нелинейной среде, может быть использован лагранжев (или гамильтонов) формализм. Трансляционная инвариантность относительно сдвига вдоль направления распространения луча приводит к сохранению Гамильтониана системы. Кроме того, в отсутствие внешних потоков излучения сохраняется мощность в пучке. Законы сохранения в дальнейшем используются для проверки правильности аппроксимации исходных уравнений на сетках различной структуры. Множественная филаментация есть развитая стадия модуляционной неустойчивости Беспалова-Таланова. Особенностью этой неустойчивости является то, что неустойчивы длинноволновые моды. Если в спектре сигнала они слабо представлены, то такой импульс может распространяться устойчиво достаточно далеко. Таким образом, динамика образования филаментов зависит от спектрального состава излучения.
Из классических работ Таунса [1] известно, что при превышении критического значения мощности в начальном пучке наблюдается явление самофокусировки. Однако, учитывая свойства неустойчивости Беспалова-Таланова, изложенные выше, эволюция пучка существенным образом зависит от его пространственного спектра. Таким образом, описанные во втором параграфе особенности являются основополагающими при заключениях, сделанных на основе численного моделирования в последующих главах. Третья глава диссертации содержит результаты численного моделирования. Были проверены результаты исследования В.И. Беспалова и В.И. Таланова о неустойчивости начальных возмущений как в одномерном так и в двумерном случае. Исследована нелинейная стадия развития самофокусировки и показано, что критерий верен лишь для начальной стадии процесса.
Затем приводятся результаты моделирования распространении гауссова импульса при наличии ионизационных эффектов с подробным описанием цикла филаментации и ступенчатого характера потери мощности.
12 Также в работе рассмотрен вопрос о взаимодействии двух импульсов,
приведены результаты численного моделирования различных случаев
взаимодействия.
На основании всех приведенных в работе сравнений результатов
выбранного численного подхода с теоретическими и экспериментальными
данными в работе приводится расчет реального лазерного импульса, процесс
распространения которого сопровождается множественной филаментацией.
Особенности исследуемой системы уравнений
В таком подходе к решению заложена консервативность, при этом можно довольно подробно рассматривать особенности решения из-за дискретизации по энергетической координате. Эффекты самовоздействия импульса в нелинейной среде определяются двумя конкурирующими эффектами: дифракцией и нелинейной рефракцией (эффект Керра). Предполагая сохранение формы гауссового импульса, авторы работы [1] находят условие, когда эти эффекты уравновешиваются. Этим условием является равенство полной мощности импульса пороговому значению Рсг = сЛ2/\6я:2п2 (здесь с - скорость света), которое и было найдено в работе.
При превышении мощности импульса критического значения происходит сужение формы импульса с одновременным возрастанием пиковой интенсивности на оси импульса. Без учета ионизационных эффектов интенсивность неограниченно возрастает на конечной длине распространения, образуется точка коллапса. Оценки для величины такой длины дает формула Марбургера [30], полученная из результатов численных экспериментов: Г 2 "I"1 2 zf = 0.367Ц \(Р I Pcr)m - 0.852 j - 0.0219 где Zf - расстояние самофокусировки, Ц = ка2 - продольный масштаб и Р мощность импульса.
Еще в ранних численных экспериментах [31] было отмечено, что вблизи фокусов локализуется мощность, близкая к критической. Основываясь на этом, авторы [32] предположили, что структура поля в окрестности фокуса автомодельна и соответствует таунсову пучку. Используя это предположение, авторы [33] показали, что изменение поля перед нелинейным фокусом имеет вид В работе [34] для численного анализа уравнений самофокусировки была
применена неявна разностная схема. Это позволило рассчитать поле за первым фокусом и обнаружить в зафокальной плоскости серию фокусов, в каждый из которых поступала мощность, близкая к критической. Общее количество фокусов равнялось целой части отношения Р/Рсг В этих расчетах присутствовало нелинейное затухание, вносимое численной схемой, благодаря чему прохождение нелинейного фокуса носило неконсервативный характер. Наличие фокусов, расположенных на одной оси, характерно лишь для пучков с идеальной симметрией. Нарушение симметрии приводит к поперечному развалу пучка и образованию нелинейных фокусов в различных точках поперечного сечения.
Впервые теория образования мелкомасштабной самофокусировки светового пучка была дана Беспаловым и Талановым в 1966 г. Было показано, что в нелинейном диэлектрике амплитудно-фазовые возмущения плоской электромагнитной волны приводят к ее распаду на отдельные пучки, имеющие разные длины самофокусировки в зависимости от масштаба первоначального возмущения [3]. Для нахождения данной зависимости для НУШ в общем виде без ионизационных членов (2) исследуется решение типа плоской волны, т.е. 4 = ( Q + yf)e irZ, Ш 2 где x0 = const - амплитуда невозмущенной волны ( j« 4 0, у-——). После подстановки линеаризуем полученные уравнения, разделим действительную и мнимую части (уг-щ + іу/2):
Первым этапом по построению вычислительного комплекса по численному моделированию распространения импульсов в нелинейной среде явилась реализация различных алгоритмов для решения уравнения НУШ в общем виде без членов, соответствующих многофотонной ионизации: ЭЧ1 г ъг х В качестве начального условия для данной задачи выбирался гауссов импульс J_ 0 = Ае ъ .
В зависимости от решаемой задачи выбиралась форма области моделирования, но так или иначе выполнялось условие удаленности границ, т.е. диаметр области в 5-7 раз превосходил полуширину начального импульса. Условия на границе области выбирались первого рода - равенство нулю функции, в одномерных задачах в центре импульса ставилось условие второго рода -равенство нуля потока.
Были рассмотрены различные модели процесса и методы их решения для апробации, сравнения и выработки критериев для моделирования реальной задачи с помощью параллельных методов. Квази-одномерная задача (цилиндрически симметричный случай) решалась в эйлеровых и лагранжевых координатах. При введении лагранжевых координат использовалась гидродинамическая аналогия, предложенная в [24]. Далее приведен вывод соответствующих уравнений и ход решения задачи. Аппроксимировав систему полученных дифференциальных уравнений (З.а) с определяющими соотношениями (З.б), исключим из разностной задачи значение v на верхнем слое (для этого выразим значение v0,5 из разностного уравнения движения и результат подставим уравнение неразрывности). Получим 1_
На основе этих уравнений построим итерационный процесс, где р = /г + Sp и р р + ф . В результате получим систему трехточечных уравнений для поправок, которую решаем методом матричной прогонки. Лагранжев формализм применительно к данной нелинейной задаче позволяет довольно близко приблизиться к фокусу, сохраняя при этом интеграл мощности (здесь он соответствует полной массе, а его сохранение изначально заложено в формализм).
Упрощение и численное решение полной системы уравнений модели
Спектральные методы позволяют эффективно использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье, но реализуются из-за этого только на равномерных сетках. Преимущество спектрального подхода бесспорно только для простых решений типа движущегося солитона, в случае моделирования реального импульса большой мощности в работах проекта «Teramobile» использовалось 1024 процессора [7].
Расщепление по процессам - решение уравнения (6) на шаге Az заменяется последовательным решением двумерных задач дифракции в линейной среде сначала в плоскостях, параллельных XZ, затем в плоскостях, параллельных YZ, после чего вычисляется нелинейный набег фазы светового поля на том же интервале Az в отсутствие дифракции. Для схем расщепления по процессам существенна проблема консервативности, которая требует отдельного обсуждения.
В данной работе использован прямой метод решения уравнения (6) с использованием симметричных разностных схем [25], консервативность которых установлена.
За основу при построении приближенных методов решения исходных систем нелинейных дифференциальных уравнений принимается принцип консервативности, согласно которому дискретные модели дифференциальных задач должны обладать сеточными аналогами законов сохранения, если таковые имеют дифференциальные задачи. Такой подход приводит, как правило, к нелинейным дискретным моделям и к необходимости использовать итерационные методы для нахождения приближенного решения. На границе Э рассматриваемой области задаются условия равенства нулю потока —- = 0. an
Уравнение можно считать двумерным (относительно переменных х, у) и нестационарным относительно переменной г, которая в данном случае принимает роль времени. Для решения задачи составим для квадратной области в координатах (х, у) равномерную (в общем случае) сетку с шагом h и с общим количеством ячеек М N-N. Составим неявную разностную схему (значение функции i/fj будем брать в середине у-ой ячейки составленной сетки): Г ак .Vj-Vj „2- WA+VA - Wj\ +WA - . 0 2K-2 Vj 2K-2 j = 0.Jlf-lf где приняты стандартные обозначения: y/j - значение на нижнем слое, у/, у/. + у/. значение на верхнем слое, у/, = — - среднее арифметическое. Для предложенной разностной схемы в случае отсутствия много фотонного поглощения (к = 0) выполняются разностные аналоги интегральных законов сохранения мощности P(z) = pfdxdy = const и гамильтониана 2АГ+2 Л р IV/F Я(г) = Л 2 2(/:+1) d&fy = аш , V Подробно вывод инвариантов для систем более общего вида описан Ю.Н. Карамзиным в [36].
Данная нелинейная задача решается с помощью метода Ньютона. Решаемое уравнение представляется в виде F( ) = 0, тогда для нахождения составляется итерационный процесс (значения для нулевой итерации / = 0 берутся с предыдущего шага): Р(ф+фї+Щ ?г(ІЇ1)) = 0, j = 0.M-l, где k(j) - совокупность номеров всех соседних ячеек для рассматриваемой. Представим комплекснозначную функцию yr = a + ib, тогда из (6) получим два уравнения для каждой ячейки сетки
В ходе решения линейной системы с помощью итерационного метода (сравнение производительности различных методов для данной задачи обсуждается ниже) получим вектор решения длины 2М = 2N2 fuo+1\%+1\..,a t!pi2tJM. Критерием для завершения итерационного процесса по нелинейности служит выполнение следующего неравенства: , Ї = 1..2М я(Ы)/2,/ -нечетное , А(. + 2,ГДЄ ,= &)72, -четное Как правило, для достижения критерия сходимости метода Ньютона хватает 2-6 итераций по нелинейности.
В качестве начальных условий выбирается профиль: [ (S + yf =0)= V o ехР J3S где U)Q - начальная ширина импульса; уЩ - начальная амплитуда.
Чтобы оценить необходимые размеры расчетной сетки, воспользуемся следующими условиями и результатами экспериментов, проведенных участниками проекта «Teramobile» [7]: для изучения процесса филаментации используется мощный (от ЮОГВт до ЪТВт) лазерный импульс, начальная ширина которого может достигать 2 см; ширина образующегося филамента, как мелкомасштабного эффекта, постоянна и достигает 100-150 мш, а интенсивность в фокусе филамента может превышать интенсивность фона в десятки раз; наблюдаемая длина распространения импульса составляет от десятков до сотен метров.
Таким образом, длина ребра квадрата расчетной сетки может достигать 10см, чтобы избежать влияния границ. Длина же ребра одной ячейки должна быть не более 10-\5мкм для удовлетворительной передачи характера мелкомасштабных эффектов. Таким образом, количество ячеек в расчетной области (х,у) может достигать 105-105=1010. Шаг по z выбирается h2/2t и уменьшается обратно пропорционально максимальной интенсивности тш =тах(=о д/-і(ИІ )
Параллельный алгоритм. Эффективность
Ввиду большой размерности решаемой системы линейных уравнений и необходимости численного моделирования процесса распространения фемтосекундного импульса на длинные дистанции использовался параллельный вычислительный комплекс.
Создание параллельного программного комплекса - трудоемкий технический процесс, упрощение и систематизация которого приводит к значительному выигрышу затраченного исследователем времени. Процесс создания параллельного программного комплекса можно разделить на несколько блоков: 1. Блок подготовки данных. 2. Блок расчета 3. Блок интерпретации результатов
В зависимости от объема входных данных решаемой задачи и объема визуализируемых расчетов блоки подготовки данных и интерпретации результатов могут выполняться как на персональном компьютере, так и на параллельном комплексе. В созданном программном комплексе блок подготовки данных находился в теле основной программы расчетов, т.к. не требовал задания каких либо сложных пользовательских данных с помощью удобного интерфейса. Программа для интерпретации результатов написана как интерфейсное приложение для персонального компьютера с возможностью пользовательских настроек: выбора набора отображаемых параметров и дискретности их отображения. На рис.8 представлена диаграмма взаимосвязи основных блоков программы.
Чтение входных параметров задачи, задание или чтение из файла начальных условий, распределение данных по процессорам
Назначение каждому процессору области решения, инициализация массивов для обмена и информации о зависимых процессорах Новый шаг по г: изменение величины шага в соответствии с текущим решением, обнуление счетчиков итераций для нового шага Новая итерация по Ньютону: задание начальных данных с предыдущего шага пог
Заполнение необходимых элементов матрицы и вектора правой части на каждом процессоре
Основное внимание требуется уделить написанию блока расчета. Параллельная программа должна быть компактна и обладать прозрачной логической структурой. В сформулированной выше постановке задачи основным ресурсоемким процессом является решение систем линейных уравнений. Из-за процесса линеаризации за один шаг по координате z требуется несколько раз выполнять решение системы. При реализации программного кода было принято решение использовать пакет Aztec [43], разработанный в исследовательской лаборатории параллельных вычислений Сандии (США), как достаточно эффективный и удобный в использовании пакет для решения итерационными методами системы уравнений. Предоставляемые средства трансформации данных позволяют легко создавать разреженные неструктурированные матрицы для решения как на однопроцессорных, так и на многопроцессорных системах [43]. Aztec включает в себя процедуры, реализующие ряд итерационных методов, описанных в предыдущем параграфе: метод сопряженных градиентов (CG), обобщенный метод минимальных невязок (GMRES), квадратичный метод сопряженных градиентов (CGS), метод квазиминимальных невязок (TFQMR), метод бисопряженного градиента со стабилизацией (BiCGStab).
Все методы используются совместно с различными предобуславливателями (полиномиальный метод и метод декомпозиции областей, использующий как прямой метод LU, так и неполное LUразложение в подобластях).
В процессе моделирования подбиралась наиболее эффективная по производительности пара итерационного метода и предобуславливателя. В таблице представлены значения времени, затраченные на счет одного шага по z при выборе соответствующего итерационного метода (столбцы таблицы) и предобуславливателя (строки таблицы).
Моделирование одиночного гауссового импульса
В результате подтвердился тот факт, что при возрастании начальной ширины возмущения до определенного момента инкремент неустойчивости растет. При этом решение до определенного момента времени (t=z) представляет собой уединенный максимум: процессы последующего распада максимума не рассматриваются. Первоначальная полуширина пучка есть Ь. Если b мало, то это означает, что пучок обладает широким спектром и если доля низкочастотных составляющих (которые согласно теории Беспалова Таланова экспоненциально возрастают), мала, то такой пучок на линейной стадии неустойчивости не будет возрастать. Для таких начальных условий сначала произойдет уширение пучка, сопровождающееся падением амплитуды.
Действительно (рис. 15-6), полуширина пучков с 6=0.05, 0.08, 0.11 первоначально растет. Одновременно для тех же b падает амплитуда поля (рис. 15-а). есть разложение первоначального возмущения в суперпозицию рассмотренных волн. Чем меньше значение Ь, тем шире спектр сигнала и тем меньшая доля его приходится на область малых к (здесь к - Jkx2 + ку2), т.е. для малых Ь сигнал будет расти медленнее, чем для больших. Но в целом такое начальное возмущение неустойчиво, т.к. всегда существуют к, удовлетворяющие условию Беспалова - Таланова.
Если начальная ширина пучка достаточно велика, то в силу того, что доля низкочастотных растущих компонент велика, то амплитуда такого пучка возрастает, а его полуширина падает. Для гауссовых пучков спектральное распределение также гауссово, при этом большая часть спектра сосредоточена 2 в области к —. Для того, чтобы эта часть спектра удовлетворяла условиям b у /9 Беспалова - Таланова — j2Vn, т.е. b —. В данном случае Ь 0.14, т.к. О т0 4 = 10. Вычисления показывают, что вплоть до Ь 0.17амплитуда сначала падает. Одновременно с падением амплитуды растет полуширина пучка. В дальнейшем на нелинейной стадии такие пучки будут себя вести так же, как более широкие, но с большим запозданием по z.
По мере развития неустойчивости подавляются те части спектра, где к л/2 Р0 и происходит уширение пучка, т.е. сужение спектра к малым к (рис. 15-а,б для Ь 0.2). Т.е. высокочастотные составляющие при уширении пучка, удовлетворяющие условию устойчивости, затухают, тем самым увеличивая преобладание низкочастотных (неустойчивых) составляющих (это происходит из-за сохранения первого интеграла - суммарной мощности пучка).
Однако значение имеет соотношение спектра не только с границей неустойчивости, но и с областью максимального инкремента. При дальнейшем увеличении b спектр продолжит сужаться, тем самым все большая часть к будет меньше 0, что соответствует более медленному развитию неустойчивости (рис. 15-а,б для Ь-02 и 6=0.4). В этом случае устойчивые составляющие отсутствуют, вследствие чего уширения пучка не происходит. Данный анализ справедлив лишь на начальной «линейной» стадии развития неустойчивости.
Аналогичным образом можно описать эволюцию пучка при отсутствии фона. При этом аналогом собственного фона для гауссовского возмущения будет являться величина Исходя из этого, можно применить рассмотренную теорию к возмущению без общего фона. Для неустойчивости возмущения необходимо выполнение hA неравенства к 2Е0 =2Е0 — для большинства составляющих. Если спектр первоначального возмущения есть гауссовское распределение, т.е. е 4 0.1, то это соответствует тому, что неустойчивыми являются большая часть гармоник. В результате имеем пару неравенств, которые 3 Ая\2 заведомо выполнены если Ъ , т.е. Ь 2.6 2.%, что и представлено результатами вычислений (рис. 16-а,б).
