Введение к работе
Актуальность темы.Статистика числа работ в направлении математического моделирования синтеза сложных макромолекул показывает интерес научного сообщества к этой теме. Прежде всего, это связано с развитием эволюционной теории образования сложных самовоспроизводящихся макромолекул, предложенной М. Эйгеном1. С этой темой также связаны проблемы синтеза современных лекарств, исследование синтеза молекул во внешних природных водоемах и внутри организмов. Ряд важных задач связанных с теорий распределенного гиперцикла решен в работах А.С.Братуся, А.С. Новожилова, В.П. Посвянского. Развитию этой теории посвящена данная рабо-
Та' Цель работы. Целью настоящей работы является разработка метода исследования задачи распределенного открытого гиперцикла размерности два Это исследование является расширением и добавлением к комплексному подходу состоящего из аналитических и численных методов, служащих для математического моделирования и разностороннего анализа моделей авто-вочн волн разряжения, волн перепада, открытой модели гиперциклической репликации, других моделей спиральных волн и связанных с ними эффектов.
Научная новизна полученных результатов. Все результаты, включенные в диссертацию, получены впервые. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит Волосовой А.К. Заимствованный материал обозначен в работе ссылками.
В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:
1 Построена сопутствующая матрица системы функциональных линейных ' алгебраических уравнений (СФЛАУ) к параболическому квазилинейному уравнению с частными производными второго порядка в декартовой системе координат. Вычислены собственные числа и собственные вектора сопутствующей матрицы - СФЛАУ в декартовой системе координат для одной временной и одной пространственной переменной. Вычислены собственные числа сопутствующей матрицы - СФЛАУ в полярной системе координат для задачи с двумя пространственными переменными для параболического уравнения второго порядка. Выведены формулы метода нефиксированной констр)іСтивной замены переменных
іцсе ссылки приведены в диссертации
(МНФКЗП) в полярной системе координат.
-
Построены семейства точных решений распределенной системы открытого гиперцикла — из двух параболических уравнений с квадратичной нелинейностью функцией источника - методом МНФКЗП. Построены примеры точных решений параболических полулинейных уравнений в неявной, параметрической форме, с функций источника, который моделируется кубическими или квадратичными полиномами. Сформулирована гипотеза об альтернативной классификации решений смешанных задач для квазилинейных и полулинейных параболических уравнений в случае одной временной и одной пространственной переменной на основе анализа большого количества примеров. Указана связь собственных чисел сопутствующей матрицы -СФЛАУ с характером эволюции решения. Сформулирована гипотеза - найдены необходимые условия эволюции решения смешанной задачи к «предельному притягивающему» решению по собственным числам сопутствующей матрицы.
-
Показано, на основе анализа точных решений, что во вращающейся полярной системе координат, при математическом моделировании и построении решений, возникают структуры близкие к спиральным волнам. Предложено аналитическое описание эффекта локального вращения структуры вокруг местного ведущего центра при малых временах. Построены алгоритмы программ в символьном виде в системе «Математика» на базе точного метода нефиксированной конструктивной замены переменных (МНФКЗП) в декартовой и полярной системе координат. Распечатки разработанных программ приведены в приложении к диссертации.
Методы исследований. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений, методы теории численных методов. Обоснованность выводов диссертации. Достоверность полученных результатов обеспечивается выбором апробированных исходных моделей, строгостью применения математического аппарата;
сравнением вычислений по полученным аналитическим формулам с результатами численного моделирования, которые получены другими различными авторами при тех же значениях параметров;
использованием модельных задач при численном моделировании и сравнением результатов с данными, полученными другими авторами независи-
мыми методами исследования подобных задач.
Практическая ценность работы. В диссертации рассмотрены некоторые актуальные модели автоволн и структур спиральных волн. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при решении многочисленных аналогичных задач, к которым ранее не применялась техника метода нефиксированной конструктивной замены переменных (МНФКЗП). Кроме того, представленные результаты могут служить эталоном для апробации новых методов в математической физике и теории процессов переноса. Рассмотрены решения уравнений с квадратичной и кубической нелинейностью. В работе исследована задача, имеющая практическое значение в других областях приложений, например, задача о « волне разрежения» для модифицированного уравнения Колмогорова — Петровского— Пискунова-Фишера. Построены новые решения моделирующие спиральные волны и т.п. Кроме того, результаты работы могут быть использованы при анализе, предсказании эффектов и объяснении результатов численных расчетов структур типа спиральных волн. Разработанная в диссертации методика исследования поведения решений нелинейных уравнений по точному решению дополняет известные в настоящее время другие методы исследований. Полученные аналитические результаты могут использоваться в учебном процессе при изложении теории уравнений с частными производными, устойчивости решений и динамики нелинейных систем. Основные положения теории МНФКЗП и новые точные решения вошли в учебные пособия и в справочники. Материалы диссертации также выставлены на сайтах в Интернете.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на
научных семинарах кафедры «Прикладная математика 1», Московского государственного университета путей сообщения (руководитель д.ф-м.н, проф. А.С.Братусь);
на семинаре на кафедры «Кибернетика», Московского государственного института электроники и математики (технический университет МИЭМ) (руководитель д.ф-м.н, проф. В.Н.Афанасьев);
на семинаре кафедры «Прикладная математика», Московского государственного института электроники и математики (технический университет МИЭМ); (руководитель лауреат государственной премии России, д.ф-м.н, проф. М.В. Карасев);
на семинаре отдела Математического моделирования экономических систем ВЦ РАН, Центрального экономико- математического института РАН.
(руководители д.ф-м.н, проф. Г. М. Хенкин, д.ф-м.н, проф. Р. Г. Новиков, д.ф-м.н, проф. А. А. Шананин.);
на семинаре кафедры «Системный анализ», факультета ВМК, Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (руководитель д.ф-м.н, проф. А.С.Братусь);
Представленные результаты докладывались на международных конференциях:
1. « Актуальные задачи математического моделирования и информаци
онных технологий», IV Всероссийская конфереренция (13-18 05.2008),
СГУТКД, Сочи.
2. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и то
пология» посвященная 100 летию со дня рождения Портрягина Л.С. 17-22
июня 2008.
3 «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования», Герценовские чтения, Санкт-Петерб. педагогический университет 13-15 04.2009.
4.« Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», V Всероссийская конфереренция, 10-15 05.2009,
СГУТКД, Сочи.
^Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений» посвященная 70-летию ректора МГУ В.А.Садовничего.ЗО 03.-02 04. 2009.
6 XVI Всероссийская школа-семинар по стохастическим методам.
X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, 19-24 05. 2009. С-Петербург.
7 Восьмая международная конференция. Eighth International Conference
«Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics», Киев, Украина, 21-27 06. 2009.
' 8 VI Всесоюзная научная конференция. «Математическое моделирование и краевые задачи.» Самарский гос. технический университет. 1-4 06. 2009.
Самара. v
9. XVII Всероссийская школа-семинар по стохастическим методам, л
Всероссийский симпозиум по прикладной и пром. математике. 9-14 10. 2009.
Сочи-Догомыс.
10 VII - международная научно - практическая конференция, lrans
- Mech - Art - Chem. c.59 - 60. М.:МИИТ. 2010.
11 Международная конференция по дифференциальным уравнениям и
динамическим системам. Матем.'институт им.В.А.Стеклова, МГУ им.
М В.Ломоносова, Владимирский гос. университет. Суздаль, 2-7 0«. 2010.
12 Третья международная конференция по нелинейной динамике.
Национальный технический университет «Харьковский политехнический ин-
статут». 21-24 09. 2010.
13. V международная конференция РАСО 2010. Институт управления
им. В.А.Трапезникова. Москва. 26-28 10. 2010.
-
«Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования», Герценовские чтения, Санкт-Петерб. педагогический университет. 11-15 04.2011, С-Петербург.
-
53 научная конференция МФТИ. «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» Москва - Долгопрудный. 26-28 11. 2010.
Публикации. По теме диссертации опубликовано в центральных, рецензируемых научных журналах по списку ВАК 6 научных труда. Разные аспекты работы опубликованы в сборниках докладов 15 конференций.
В 2008 году Волосовой А.К. за участие в XVI конкурсе студенческих работ образовательного математического сайта выдан памятный сертификат. Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа содержит 137 страниц, включая 34 рисунков и списка литературы состоящего из 150 наименований.
