Содержание к диссертации
Введение
Анализ существующих математических методов моделирования транспортных потоков . 8
Проблемы дорожного движения в мире и России 9
Математическое моделирование транспортных потоков . 11
Перспективные направления исследований 37
Выводы по главе 1 39
Теоретические основы моделирования подсистемы «дорога - транспортные потоки» 40
Цель и задачи моделирования. 40
Усовершенствование методики составления дифференциальных уравнений с использованием процессов Маркова ; 41
Дорожные условия и режимы движения потоков . 50
Особенности распределения интервалов между, автомобилями на двухполосных дорогах 59
Расчет вероятности обгона при моделировании движения автомобильного потока. 73
Путь и время обгона в различных дорожных условиях... 79;
Стационарный режим. Моделирование и эксперимент. . 84
Моделирование движения автомобильного потока при переходных режимах. 93
Выводы по главе 2. 103
Имитационное моделирование на ЭВМ движения транспортных потоков 105
Особенности имитационного моделирования транспортных потоков. 105
Алгоритм идеализация шмитационноймодели движения транспорт ных потоков на двухполосной автомобильной дороге . 111
Описание блок-схемы и функционирования имитационной модели движения транспортных потоков на двухполосной автомобильной дороге. 123
Оценка адекватности работы имитационной модели движения транспортного потока на двухполосных автомобильных дорогах 127
Имитационное моделирование вероятностных транспортных потоков 132
Выводы по главе 3 139
Основные выводы 140
Список литературы
- Математическое моделирование транспортных потоков
- Перспективные направления исследований
- Дорожные условия и режимы движения потоков
- Алгоритм идеализация шмитационноймодели движения транспорт ных потоков на двухполосной автомобильной дороге
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В настоящее время остро стоит проблема управления транспортными потоками, особенно в крупных мегаполисах. Увеличение количества транспортных средств (ТС) как личных, так и общественных, привело к перегрузке городских дорог, многочасовым пробкам, затруднению движения пешеходов, увеличению количества аварий.
Решение данных проблем во многом связано с исследованием транспортных потоков и их математическим моделированием. Теория транспортных потоков развивалась исследователями различных областей знаний - физиками, математиками, специалистами по исследованию операций, транспортниками, экономистами. Накоплен большой опыт, исследования процессов движения транспортных средств.
Автор при проведении настоящего диссертационного исследования опирался на разработки следующих ученых и практиков: Сильянов В.В., Дрю Д., Лобанов Е.М., Фишельсон М.С., Черепанов В.А., Капитанов В.Т., Хилажев Е.Б., Трибунский В.М., Буслаев А.П., Приходько В.М., Таташев А.Г., Новиков А.В., Яшина М.В. и многих других.
Однако, общий уровень исследований и их практическое использование затруднено в силу следующих основных факторов:
- транспортный поток нестабилен и многообразен, получение объективной информации о нем является сложным и ресурсоемким элементом системы управления;
- критерии качества управления дорожным движением противоречивы, например, необходимо обеспечивать бесперебойное движение при одновременном снижении ущерба и заданных ограничений на скорость и направление движения;
- дорожные условия, при всей стабильности, имеют непредсказуемые отклонения как в части погодно-климатических параметров, так и, собственно, покрытия дороги;
- принятие решений по управлению дорожным движением всегда неточны, а учитывая природу процесса дорожного движения, они могут привести к непредвиденным обстоятельствам.
Таким образом, проблемы и сложность формализации процессов движения транспортного потока стали серьезной причиной неадекватности результатов научных исследований к современным требованиям практики.
Наконец, необходимо отметить принципиальную сложность проведения масштабных натурных экспериментов в сфере управления дорожным движением. Это предопределено, во-первых, необходимостью обеспечения безопасности движения, во-вторых, материальными и трудовыми затратами на проведение эксперимента (изменение разметки и дислокации дорожных знаков) и, в-третьих, тем, что серьезные изменения в комплексной схеме организации движения затрагивают интересы большого количества людей - участников движения.
Особенности транспортных систем делают невозможным построение адекватной аналитической модели, позволяющей исследовать эффективные варианты управления в различных ситуациях функционирования. В то же время имитационное моделирование как метод исследования сложных объектов представляется многообещающим подходом к решению этой проблемы. Он позволяет быстро и с хорошей точностью прогнозировать характеристики сложных систем данной природы и оптимизировать существенные параметры, выбирая соответствующие параметры управления.
Отсутствие эффективных методик, уменьшение разработок в данном направлении, потеря интеллектуальной и научной базы, необходимой для исследований городских транспортных потоков, определяет актуальность настоящего диссертационного исследования.
Целью диссертационного исследования является разработка имитационных и аналитических математических моделей распределения транспортных потоков, учитывающих специфику передвижения транспорта в условиях крупных мегаполисов в сложившейся на сегодняшний день социально-экономической обстановке.
Для достижения указанной цели в диссертации поставлены и решены следующие основные задачи:
анализ существующих математических методов моделирования транспортных и пассажирских потоков;
развитие метода моделирования движения автомобильных потоков применительно к двухполосным дорогам как основы для оценки транспортно - эксплуатационных характеристик автомобильных дорог;
разработка методов моделирования движения потока автомобилей в различных дорожных условиях при различных режимах функционирования;
разработка имитационной модели, которая позволяет адекватно, имитировать движение потоков автомобилей и прогнозировать основные транспортно-эксплуатационные показатели.
Объектом исследования являются способы и методы моделирования распределенных транспортных потоков.
Предметом диссертационного исследования является движение автомобильного транспорта в крупных мегаполисах.
Научная новизна диссертационного исследования состоит в разработке способов и методов моделирования автомобильных потоков для двухполосных дорог при воздействии случайно возникающих факторов, а также в синтезе пакета прикладных программ, позволяющего исследовать процессы эксплуатации автомобильных дорог при заданных потоках автомобильного движения.
К основным результатам, составляющим новизну проведенного исследования можно отнести следующее:
- разработан способ моделирования движения автомобильных потоков для двухполосных дорог, основанный на использовании процессов Маркова, что позволяет формировать основные уравнения, решение которых обеспечивает получение вероятности свободного движения и плотности распределения потока;
сформирована математическая модель транспортного потока, которая в отличие от известных позволяет оценить транспортно-эксплуатационные качества различных участков дорог для различных режимов эксплуатации и на этой основе при проектировании улучшить показатели дорожного движения;
разработана имитационная модель, позволяющая адекватно, имитировать движение различных потоков автомобилей и прогнозировать основные транспортно-эксплуатационные характеристики дорог;
разработан пакет прикладных программ, позволяющий моделировать процессы и условия эксплуатации дороги, учитывая с максимальной полнотой показатели дорожного движения.
Теоретической и методологической основой исследования послужили методы математического моделирования, теории графов, математического программирования, теории вероятностей, линейного и динамического программирования и теории потоков в сетях.
Теоретическая и практическая значимость результатов исследования определяется эффективностью использования разработанного инструментария моделирования для исследования реальных потоков движения автомобилей и оптимизации процессов двухстороннего дорожного движения в крупных мегаполисах.
Результаты выполненных исследований использованы при оптимизации транспортных потоков г.Махачкалы. На основе материалов, полученных в результате вычислительного эксперимента, разработан проект маршрутной сети и определены маршруты движения городского пассажирского транспорта г. Махачкалы, которые утверждены постановлением Администрации г. Махачкала № 1645 от 05.06.2010 «О маршрутах движения пассажирского транспорта общего пользования в г. Махачкала».
Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты диссертации доложены и обсуждались и получили одобрение на научно-практических конференциях «Автомобили и безопасность движения» МФ МАДИ(ГТУ) (г. Махачкала, 2009 г.), на Международной конференции «Мухтаровские чтения»: Современные проблемы математики и смежные вопросы (г. Махачкала, 2010, 2011гг.), на XI Международной научно-практической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения (г. Пенза, 2010 г.), на III Международной научно-практической конференции «Перспективные направления развития автотранспортного комплекса» (г. Пенза, 2010 г), на Международной научно-практической конференции «Наука и современность-2011» (г.Новосибирск, 2011г.).
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена на 162 страницах машинописного текста, содержит 46 рисунков, 7 таблиц.
Список использованной литературы включает 111 наименований.
Математическое моделирование транспортных потоков
Основы математического моделирования закономерностей дорожного движения были заложены в 1912 году русским ученым, профессором Г.Д. Дубелиром. Первостепенной задачей, послужившей развитию моделирования транспортных потоков, стал анализ пропускной способности магистралей и пересечений. Под пропускной способностью понимают максимально возможное число автомобилей, которое может пройти через сечение дороги за единицу времени. В специальной литературе встречаются такие модификации понятия пропускной способности, как теоретическая, номинальная, эффективная, собственная, практическая, фактическая и другие. В настоящее время пропускная способность является важнейшим критерием оценки качества функционирования путей сообщения.
Первая макроскопическая модель (см. раздел 1.5.3 ), в которой движение транспортного потока рассматривалось с позиций механики сплошной среды, была предложена в 1955 году Лайтхиллом (Ligthill) и Уиземом (Whitham) [103]. Они показали, что методы описания процессов переноса в сплошных средах могут быть использованы для моделирования заторов.
Выделение математических исследований транспортных потоков в, самостоятельный раздел прикладной математики впервые было осуществлено Ф:Хейтом[38].
В. 60 - 70-е годы вновь возник интерес к исследованию транспортных систем. Эта заинтересованность проявилась в том числе, в финансировании многочисленных контрактов, обращении к. авторитетным- ученым специалистам в области математики, физики, процессов управления, таким как Нобелевский лауреат И. Пригожий, специалист по автоматическому управлению М. Атанс; автор фундаментальных работ по статистике Л. Брейман. В нашей стране движение автотранспорта5активно изучалось в конце 70-х годов в связи с подготовкой к Олимпийским играм 1980 года в Москве. Результаты этих исследований неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре И.Н. Зверева на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова [37].
Сегодня,, имеется обширная литература по изучению и моделированию автотранспортных потоков. Несколько академических журналов посвящены исключительно динамике автомобильного движения. Наиболее крупными являются Transportation Research, Transportation Science, Mathematical Computer Simulation, Operation Research, Automatica, Physical Review E, Physical Reports. Количество публикуемых статей исчисляется сотнями.
В конце 80-х начале 90-х в США проблемы исследования транспортных систем были возведены в ранг проблем национальной безопасности. К решению этой задачи были привлечены лучшие "физические умы" и компьютерная техника Национальной исследовательской лаборатории Лос-Аламос - bos Alamos National Lab (LANL).
В моделировании дорожного движения исторически сложилось два основных подхода - детерминистический и вероятностный (стохастический).
В основе детермининированных моделей лежит функциональная зависимость между отдельными показателями, например, скоростью и дистанцией между автомобилями, в потоке. В стохастических моделях транспортный поток рассматривается как вероятностный процесс.
Все модели транспортных потоков можно разбить на три класса [107]: модели-аналоги, модели следования за лидером и вероятностные модели.
В моделях-аналогах движение транспортного средства уподобляется» какому либо-физическому потоку (гидро и газодинамические модели): Этот класс моделей принято называть макроскопическими.
В» моделях следования за лидером существенно предположение о наличии связи между перемещением ведомого и головного автомобиля. По мере развития теории в моделях этой» группы учитывалось время реакции водителей, исследовалось движение нае многополосных дорогах, изучалась устойчивость движения. Этот класс моделей называют микроскопическими. В вероятностных моделях транспортный поток рассматривается как результат взаимодействия транспортных средств на элементах транспортной сети. В связи с жестким характером ограничений сети и массовым характером движения в транспортном потоке складываются отчетливые закономерности формирования очередей, интервалов, загрузок по полосам дороги и т. п. Эти закономерности носят существенно стохастический характер.
В последнее время в исследованиях транспортных потоков стали применять междисциплинарные математические идеи, методы и алгоритмы нелинейной динамики. Их целесообразность обоснована наличием в транспортном потоке устойчивых и неустойчивых режимов- движения, потерь устойчивости при изменении условий движения, нелинейных обратных связей, необходимости в большом числе переменных для адекватного описания системы.
Транспортный поток можно рассматривать как поток одномерной сжимаемой жидкости, допуская, что поток сохраняется и существует взаимнооднозначная зависимость между скоростью и плотностью. транспортного потока.
Первое допущение выражается уравнением неразрывности. Второе -функциональной зависимостью между скоростью и плотностью для учета1 уменьшения скорости движения автомобилей-с ростом плотности потока. Это интуитивно верное допущение теоретически может привести к отрицательной величине плотности- или скорости. Очевидно, одному значению, плотности может соответствовать несколько значений скорости. Поэтому для второго. допущения? средняя скорость потока в каждый момент времени долэюна: соответствовать равновесному значению при данной плотности автомобилей на дороге. Равновесная ситуация - чисто теоретическое допущение и может наблюдаться только на участках дорог без: пересечений. Поэтому часть исследователей отказались от непрерывных моделей, часть рассматривает их как слишком грубые.
Перспективные направления исследований
Отечественные ученые А.К. Бируля [7, 9, 11], И.Л. Романенко [64] выделяли отношение при анализе количества встреч и обгонов. Известные зарубежные исследователи также используют зависимость типа B(v). Так, например, Петиньи вычисляет в виде, аналогичном B(v), количество автомобилей, которые догоняют быстроходный автомобиль; Миллер называет величину Л f„B(v) темпом rate, с которым быстроходные догоняют тихоходные; Хейт также широко
Таким образом, применение процессов Маркова для моделирования потока существенно упрощает методику составления дифференциальных уравнений, описывающих вероятностные характеристики движения отдельного автомобиля в потоке. При различных дорожных условиях изменяются начальные условия системы (2.15) и тем самым определяются различные режимы движения автомобильных потоков.
Разработанные принципы моделирования движения автомобилей в потоке могут быть применены при моделировании движения потоков по многополосным дорогам.
Режимы движения в значительной степени зависят от геометрических характеристик трассы дороги и характеристик придорожного пространства. Они определяют начальные условия системы дифференциальных уравнений (2.15) и совместно с характеристиками дороги, составом потока и его интенсивностью определяют скорости движения типовых автомобилей потока.
Решение системы (2.15) требует оценки условий выполнения обгонов. Поэтому следующей задачей является исследование распределения интервалов между автомобилями. Распределение интервалов определяется не только интенсивностью потока, но и его составом, эксплуатационными качествами покрытия, геометрией трассы дороги, режимом движения потока, характеристиками встречного движения. 2.3 Дорожные условия и режимы движения потоков
Двухполосная дорога может быть разбита на ряд участков с отличительными дорожными условиями (см. рисунок 2.3). Движение потока на них описывается дифференциальными уравнениями, соответствующими следующим режимам движения потока.
Участки с возможными обгонами - достаточно далеко отстоящие от участков с невозможными обгонами. На таких участках при неизменных характеристиках дороги средняя скорость потока постоянна. В любой точке участка вероятности различных ситуаций в потоке остаются неизменными. Режим движения на таких участках можно назвать стационарным и описывать его уравнениями:
Анализ показывает, что lim-P(v) = l , т.е. свободно движутся самые тихоходные автомобили при любых сочетаниях плотности прямого Лп встречного Лд потоков. Также непосредственной подстановкой можно проверить, что P(v)— \ при незначительной плотности Лп прямого потока, т.е. все автомобили (и быстроходные в том числе) движутся свободно. При очень большой плотности потока прямого направления, когда Лп — IIh, /о - расстояние между автомобилями при заторе), Л л -»оо. В этих условиях P(v) — 0. При большой плотности Лл встречного потока вероятность обгона rj(v) —»0 и поэтому, P(v) —»0, т.е. при невозможности использовать встречную полосу для обгона все автомобили вынуждены двигаться без обгонов со скоростью самого тихоходного автомобиля.
Таким образом, качественно движение автомобильного потока описывается формулами (2.16), (2.17), (2.18) при широком диапазоне изменения плотности и интенсивности прямого и встречного потоков. 1. Стационарный режим, определенный решением (2.15), является устойчивым при достаточно высоких плотностях потока. Для выяснения устойчивости систему дифференциальных уравнений (2.15) представим в виде
Система (2.15) устойчива. Следовательно, стационарный режим, определенный решением (2.18), характеризует устойчивое равновесие потока. К этому режиму поток стремится вернуться всегда после временного изменения дорожных условий.
Участки с невозможными обгонами. Типичные участки с таким режимом движения потока показаны на рисунках 2.4-2.10. Такие участки расположены сразу после участков /-го типа и движение по ним происходит с уменьшением скорости потока из-за невозможности обгонов. Вероятности различных ситуаций в потоке в любой точке участка зависят от местоположения этой точки на участке.
Режим движения на таких участках можно назвать переходным без обгонов. Так как обгоны невозможны на таких участках, то в системе (2.15) П(У) = 0 в любой точке х и движение потока описывается уравнением с начальным условием P(v) = Рі(Я при х=0. Здесь P\(v)- вероятность свободного движения автомобиля типа v в начале участка с невозможными обгонами, т.е. в конце предыдущего участка стационарного режима. Г" Г І І»
Случайность интервалов между автомобилями - это неотъемлемое качество автомобильных потоков. Лишь в отдельные редкие дни организованного движения колонн однотипных автомобилей улучшается регулярность потока. Парадоксально, но идеальная синхронизация во времени автомобилей потока поставила бы перед участниками ряд трудных задач. Известно, что для безопасного обгона во встречном потоке должен быть интервал 8 неменее 15-20 с. Поэтому при полной» синхронизации потока обгоны, стали бы невозможными при интенсивности более 3600: (15-20)= 180-240 авт/час.
Все автомобили достигли бы скорости самого тихоходного1 автомобиля. Потери времени, расходы топлива, себестоимость перевозок. - все показатели движения существенно бы ухудшились.
На двухполосных дорогах именно неравномерность интервалов между автомобилями дает возможность водителям сокращать время движения, за счет использования при обгонах интервалов больших среднего значения.
Возможность обгонов, а, следовательно, и возможность движения с высокой скоростью зависит от количества интервалов, достаточных для этих маневров, от плотности вероятности интервалов, которой» описывается их распределением в потоке.
Дорожные условия и режимы движения потоков
На участках переходных режимов при постоянной интенсивности потока плотность Л] непрерывно меняется, т.к. изменяется средняя скорость потока (см. рисунок 2.3). Плотность Л, не является исходной величиной, а зависит от интенсивности и скорости потока, поэтому плотность вычисляется в процессе расчета характеристик движения. Вероятности Р(у), определяющие скорость потока, в свокг очередь зависят от его плотности Л (х) в точке х (см. формулы (2.15), (2.17)). Поэтому при расчетах на ЭВМ величину А(х) приходится подбирать. Последовательность таких итерационных расчетов может быть следующей:
1. Вычисляют по формуле(2.18) вероятности Pi(v) стационарного режима в «начале участка с невозможными обгонами (начало переходного режима без обгонов). Эти вероятности служат начальными условиями дифференциального уравнения (2.27).
2. Назначают некоторую точку, расположенную , на расстоянии- Xi (например, хі=100 м) от начала участках переходным режимом.
Принимают в качестве начального приближения, что в этой точке плотность Л,(х) (а значит, и соответствующая ей эффективная плотность А[(х) равны Л! и- А[) Л! и Aj ] - характеристики потока на предыдущем пикете, т.е. при х = 0, в точке окончания стационарного и начала переходного режима).
3. Вычисляют вероятности РгСу), функцию распределения скоростей Ф(у) и среднюю скорость потока v\. Эти значения соответствуют фиктивной плотности А\(х). Плотность потока Л,(;с) находят по формуле Если неравенство (2.82) выполняется, расчет характеристик потока в точке xi закончен и можно переходить к следующей точке Х2 (пикету). При этом начальными условиями дифференциального уравнения (2.27) с решением (2.29) служат вероятности Pi(v) и фиктивная.плотность А[(х). Поэтому переменная х в формулах (2.27) и (2.29) равна расстоянию?между точками Х\ их2. Аналогично, начиная с пункта 3, рассчитывают характеристики потока на всех остальных пикетах, т.е. до конца участка с невозможными- обгонами (т.е. на всей длине L).
В точке с координатой L+X\ установится переходный режим с обгонами, который? описывается дифференциальным уравнением (2.31). Начальными условиями служат фиктивная плотность А\ (Г) вероятность Р26О, вычисленные в конце участка с невозможными обгонами. Решают уравнения (2.31), и далее определяют характеристики1 потока так, как изложено в пункте 3
В следующей.точке L+X2 (x=X2-xj)- начальными условиями служат фиктивная плотность AJ(X + x,) и вероятность F3(v) в точке L+x\, с которыми и входят в формулы (2.18), (2.32) для вычисления вероятности Pi(v) в точке L+x2. Аналогично рассчитывают характеристики потока во всех последующих точках до окончания переходного режима с обгонами. Момент окончания переходного режима (т.е. координата L+xn ) неизвестен заранее. Но так как критерием окончания переходного режима естественно принять достижение средней скоростью потока уровня средней скорости при стационарном режиме, то в каждой точке с координатой L+x„: 1) вычисляют по формуле (2.18) вероятность P\(v), соответствующую стационарному режиму, функцию распределения скорости Ф(у) и среднюю СКОРОСТЬ Va 2) сравнивают среднюю скорость V] переходного режима со значением vc: если vi vc, то в точке с координатой L+xn достигнут стационарный режим, в противном случае переходят к расчету характеристик переходного режима в точке. Невозможность обгонов ведет к существенному снижению скорости быстроходных автомобилей, (см. рисунок 2.35). С увеличением длины участка с невозможными обгонами темп снижения скорости уменьшается; скорости быстроходных автомобилей уравниваются со скоростью тихоходных. При переходных режимах ухудшаются все характеристики, в том числе и пропускная способность участка дороги (см. рисунок 2.36). t Пропускная способность определена точкой пересечения кривых 1-6 (снижение скорости с ростом.интенсивности) с восходящей кривой (зависимость пропускной способности от скорости при колонном режиме). Точки кривых 1-6 получены в результате расчётов на ЭВМ по формулам модели по методике в настоящем параграфе. Точки восходящей кривой получены из известной зависимости где / - динамический габарит при скорости v. Наиболее существенно влияет на пропускную способность длина-участков ограничения обгонов и величина продольных уклонов - см. рисунок 2.35. Переходные режимы ухудшают показатели движения.
Характеристики движения потока,.соответствующие-схемам I и II; Экономия времени1- разность площадей?АшВ Анализ зависимости (2:.5 6) показывает, что при одном; и том. же значении интенсивности потока вероятность.интервалов?в, достаточных1 для обгона; зависит от вероятности; R (средней- вероятности? свободного- движения? этого- потока). ТИт пичный;характер изменения, вероятности свободного движенняшо-длине дорогишо-: казан на рисунке 2.6 . Как следует из таблицы 23;, значенияш которой рассчитанышо формуле (2}56);,, с увеличением вероятность./ существенно возрастают..Є увеличением і? также возрастут вероятности: Р(у) и скорости; движения; Поэтому прш проектировании; сложных; участков с переходными режимами (см. рисунок 2:40) следуетне;только уменьшать,длину участков;с ограниченными;обгонами;в.прямом. направлении, но также увеличивать» вероятность свободного5 движения? встречного потока. Для;этого;не следует совмещать на одном;участке восстановительный режим одногошаправленияг с переходным режимом встречного направления?(см: рисунок2.40; схема I): Желательно, чтобы; восстановительнышрежим одного; направления совмещался со стационарным или: с окончанием восстановительного (переходного собгонами) режима встречного потока(см. рисунок 2.40; схема II): Віз-том случае условшгдля обгонов будут более благоприятны. При средних интенсивностях потоков (до 5-7 тыс. авт./сутки; полное восстановление: показателей движения происходит на участках переходного режима с обгонами длиной около 1-4,5 км..
Алгоритм идеализация шмитационноймодели движения транспорт ных потоков на двухполосной автомобильной дороге
Особенности транспортных систем делают невозможным построение адекватной аналитической модели, позволяющей исследовать варианты управления в этой системе и ее характеристики в различных условиях. В то же время имитационное моделирование как метод исследования подобных объектов представляется обещающим подходом к решению этой проблемы: оно позволяет быстро и с хорошей точностью прогнозировать характеристики сложных систем подобной природы и оптимизировать существенные параметры, выбирая соответствующие параметры оптимизации.
Объектом исследования является /z-ый вариант системы транспортных потоков региона, имеющей графовую структуру Gf,, определяемую матрицами где су - пропускные способности-ветвей графа Gh, соединяющих узлы і и у; /у - расстояния между узлами; х - начальный поток по ветви if (скорость движения транспортных средств); qtJ -стоимость единицы пути движения транспортного средства по ветви-//. Существует множество входов в сеть, Z = (z = l,m), где т- общее количество входов и выходов из сети Y = [у = \,п), где п- общее количество выходов из сети. Максимальный поток между узлами ф распределяется по ветвям сети Х =x J, где к - номер итерации алгоритма Форда-Фалкерсона [1] при определении максимального значения потока ф , . В сети, кроме транзитных потоков, существуют местные транспортные потоки внутри региона, которые назовём "противопотоками". Естественно, они снижают пропускные способности ветвей графа G/,. Предполагается, что величина пропускных способностей "противопотока" определяется функцией распределения
Поэтому пропускные способности ветвей, у графа Gh из-за "противопотоков" представляют собой случайную величину, Определяемую С ПОМОЩЬЮ фуНКЦИЙ распределения Fy (с) = Су - Ну (у). Наличие "противопотоков" внутри G/, обусловливает вероятностный характер пропускных способностей на многих ветвях графа G Кроме: того, в сети существует множество входов и выходов. Необходимо отметить, что; для случая,- когда элементы матрицы- пропускных способностей С/, являются детерминированными величинами, известны алгоритмы. решения задачи о максимальном потоке [2]; Но вероятностный характер-пропускных способностей ветвей І графа Gh не позволяет решить, эту задачу с помощью, данных алгоритмов и обусловливает актуальность использования имитационной- модели; основанной; наї сочетании? процедуры, Монте-Карло и теоремы Форда-Фалкерсона.
Таким» образом; ставятся ізадачшопределения наимитационной мод ели (ИМ)\ множества значений максимальных потоков {щ} ., а также поиска-узких мест BiCQTmGh, устранение которых позволит достичь максимальных; потоков во всех четырёх направлениях:: с: запада-; (WE)1 на? восток (OS): ж обратно,а также с севера (NO)на юг (ZD) и обратно: . Формализация объекта моделирования Определим показатель затрат движения, транспортных средств вдоль весовые коэффициенты, важности трёх составляющих затрат соответственно; (расстояния, времени движения, стоимости движения); =1. Звёздочка, у составляющих выражения означает нормированные значения соответствующих- затрат, изменяющихся на интервале [0,1]. Нормировка осуществляется максимальным значением соответствующих затрат во всех ветвях if графа G/,. Поскольку при движении транспортных средств по сети Gh необходимо стремиться к минимизации этих затрат, то в качестве показателя "выгоды" максимального потока берётся усреднённая характеристика затрат, которая вычисляется по матрице распределений максимального потока по всем ветвям if графа G/,:
Этот обобщённый показатель определяет величину затрат транспортных средств в сети С?/, при максимальном потоке ф . Как видим, с одной стороны фд, необходимо максимизировать, а с другой стороны Ф должно быть минимальным. Эти два противоречивых критерия определяют область компромисса при заданном векторе важности (S\, %, %) для исследователя, которую необходимо определить на ИМ.
Воспользуемся, принципом- суперпозиции: исследуем- распределение потоков в одном из направлений, а затем рассмотрим подобное распределение с помощью, матрицы, которой строками являются, номера-входы. jzj в графе Gh, а столбцами - номера- выходы- jFj из сети. Это означает, что фд, и Ф есть соответственно величина потока и величина его интегральной "выгоды" между входом Щ и выходом Щ из-графа Gh, описываемого зависимостью (3.22), Величину потока Х , = х и его- минимальное значение р.у находим как результат применения процедуры
Монте-Карло и- последующего их усреднения по выборке объема N. С помощью ИМ эта задача решается следующим образом. На z -ой итерации применения процедуры Монте-Карло вероятностная задача- превращается-в классическую. При этом определяются компоненты матрицы пропускных способностей путём вычисления су =cIJ-vlJl, где Vy/ определяется по функции распределения H,j(v) путём нахождения единичного жребия.третьего типа [1].
В качестве начального потока выбирается матрица Х = Используется матрица пропускных способностейСы =kJ, и с помощью алгоритма Форда-Фалкерсона определяется на Аг-ой итерации само распределение потока по сети X , = использовании (3.21) и (3.22) и Х , определяется обобщённый показатель "выгоды" этого потока Фф Значения р , и Ф запоминаются в базе данных модели (БДМ). Модифицируется номер итерации процедуры Монте-Карло (=+1), и все расчёты повторяются сначала. По завершении N итераций этих расчётов в БДМ модели сформированы следующие выборки: для каждого элемента матрицы распределений- потока имеется своя выборка {jtijzyi}, l = \,N; значения максимального потока {(р }, I = l,N ; интегральные показатели "выгоды" потока {Фгуі}, / = 1,N. По этим выборкам объема N формируются средние значения, выборочные дисперсии и точности вычисления этих характеристик с помощью процедуры Монте-Карло по известным-функциям:
На основе формализации транспортной сети G,, была реализована имитационная модель, в которой объединены алгоритм Форда-Фалкерсона, процедура Монте-Карло и использованы принципы суперпозиции независимых транспортных потоков в одном и том же графе Gh. Имитационная модель, реализуется на основе процессного способа имитации [3], и при этом используются- средства- поддержки имитационного эксперимента [4]. Поэтому модель представляет собой объединение десяти процедур, каждая из которых, реализует один из шагов технологии использования ИМ! для решения- поставленной задачи исследования вероятностных транспортных потоков региона.
Рассмотрим динамику, реализации десяти шагов технологии- решения поставленной задачи. На шаге 1 с помощью процедуры PR.ZAPIT осуществляется ввод исходной, информации в БДМ! Вс качестве начальной информации-, PR.ZAPIT вводит информацию, представленную зависимостью (1). При этом в ходе "запитки" ИМ G,, вводится множество? входов {Zr}. и выходов {Yr} для каждого из г направлений: г=1, запад-восток {WE— OS); г =2 , восток-запад (OS- -WE); г =3 север-юг (NO-+ZD); г =4 юг-север (ZD-+NO).
