Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задачи с плоской симметрией. Галатея-Пояс 33
1.1. Физическая постановка задачи 33
1.2. Математические модели 35
1.3. О численном решении задачи 42
1.4. О разрешимости краевых задач 47
Глава 2. Задачи с плоской симметрией. Результаты расчетов 51
2.1. Результаты расчетов задачи с краевым условием первого рода 51
2.2. Расчеты собственных значений А и соответствующие 65
2.3. Вторая краевая задача. Результаты 68
2.4. Сопоставление моделей «Пояс» и Токовый слой 79
Глава 3. Модели ловушки «Трилистник» 84
3.1. Результаты расчетов задачи с краевым условием первого рода 84
3.2. Результаты расчетов задачи с краевым условием второго рода 98
Глава 4. Задачи с винтовой симметрией. Стелларатор- галатея 105
4.1. Постановка задачи и результаты базовых расчетов. Преимущество расположения плазмы на сепаратрисе 105
4.2. Результаты расчетов задачи с прозрачной для магнитного поля границей 117
4.3. Результаты расчетов задачи с краевым условием второго рода 126
Заключение 134
Литература
- Математические модели
- Расчеты собственных значений А и соответствующие
- Результаты расчетов задачи с краевым условием второго рода
- Результаты расчетов задачи с прозрачной для магнитного поля границей
Математические модели
Одна из задач настоящей работы - рассмотреть другие варианты плазмостатических моделей с уравнением Грэда-Шафранова и тем самым расширить область их приложений к исследованиям магнитных ловушек. Расширение предполагает избавиться, во-первых, от ограничений, обязанных магнитной непроницаемости границ и, во-вторых, исследовать влияние электрического тока в плазме на свойства плазменных конфигураций. Первым этапом является исследование свойств при постановке задачи с первым краевым условием. В большинстве работ в качестве граничного условия использовалось постоянное = хг = const значение, решение задачи с этим условием в дальнейшем будут называться базовыми, для расширения возможностей конфигурации это условие варьируется. Исследование проводилось с граничным условием, зависящим от угла, а именно Ч, = Ч,г(ф), данное предположение позволяет сделать оболочку камеры проницаемой для магнитного поля, но при этом не изменять величину тока в области. Величина тока, как и ранее получается в результате решения. Второй этап, относится к изменению тока в ловушке, но, стоит отметить, что ток в проводниках фиксирован во всех постановках, таким образом, изменение тока происходит только в плазме. Величину тока при этом желательно задавать. И то и другое удается сделать, варьируя граничные условия в краевых задачах. Серии расчетов проведены в геометрии цилиндрического аналога ловушки «Пояс», однако концептуальные вопросы и качественная сторона результатов могут быть отнесены к широкому классу магнитных ловушек-галатей.
В работе ставится и решается вторая краевая задача с уравнением Грэда-Шафранова. Граничное условие второго рода на внешней границе области задает нормальную производную функции , которая равна значению касательной компоненты напряженности магнитного поля Hz. Её интеграл по границе - циркуляция магнитного поля представляет собой полный электрический ток в системе. Он является здесь основным заданным параметром задачи. Максимальное значение давления р0 зависит от него и определяется в расчетах с помощью интегрального соотношения, обобщающего известное необходимое условие существования решения задачи Неймана в теории линейного уравнения Пуассона: поток искомой величины через границу области должен быть равен мощности источника в правой части уравнения (см. например, [59,60]). Решение второй краевой задачи сопоставлено с решением первой на базовом варианте конфигурации. Совпадение решений послужило тестом для расчета дальнейших вариантов.
Примером современных разработок галатей может служить «Тримикс - ЗМ» [61]. Галатей предполагаются, как правило, традиционной для ловушек тороидальной формы, однако многие теоретические положения и даже некоторые экспериментальные исследования, связанные с ними, возможны и удобны в более простом распрямленном варианте - цилиндре, однородном или периодическом в осевом направлении. К обобщениям и развитию «Пояса» следует отнести «Трилистник» - цилиндр с тремя параллельными токами [Ml] и его более интересную разновидность -«стелларатор-галатею» (СГ) [52], в которой эти три тока - винтовые, обвивающие ось цилиндра. Исследования их проведены пока только численно на языке плазмостатических моделей [62,63,Ml,М2], результаты которых могут стать полезными в становлении будущей теории.
Постановка обоих типов задач и их реализация в расчетах осуществлена в работе [М2] в приложении к «Поясу» и в [МЗ] в приложении к СГ. Результаты расчетов демонстрируют деформацию равновесных плазменных конфигураций и изменение их параметров в зависимости от магнитного потока сквозь границу и от величины полного электрического тока.
Целью диссертации являются построение, исследование, развитие нелинейных математических моделей равновесных магнитоплазменных конфигураций в указанных ловушках, включая составление программного комплекса, и реализация модели в численных исследованиях геометрии и количественных характеристик конфигурации. Особое внимание уделено условиям на внешней границе цилиндра, допускающим её проницаемость для магнитного поля.
Методы исследования. "Распрямление" тора в цилиндр бесконечной длинны очевидно упрощает модель, в случае прямых проводников конфигурация автоматически обладает симметрией, а в случае винтовых проводников позволяет предположить винтовую симметрию, т.е. сделать задачу двумерной. Решение нелинейных краевых задач с двумерным уравнением Грэда-Шафранова строится, используя численные методы. Разностный аналог краевой задачи решается итерационным методом установления, нелинейная часть берется с предыдущего слоя, а линейная со следующего. Для численного решения систем линейных уравнений на следующем слое использовались метод продольно-поперечной прогонки и метод Фурье. Для анализа появившихся в решении бифуркаций используются спектральные свойства линеаризованного аналога дифференциального оператора. Реализация численных алгоритмов проводилась на языке C++. Обзор математических моделей в задачах плазмостатики содержится в [22,23,М1,М2,МЗ]
Расчеты собственных значений А и соответствующие
Известно, что решение первой краевой задачи АЧ + gQ) = о, Ч = РГ при г = R (2.4) существует, единственно и в некотором смысле устойчиво (поскольку легко находится в процессе установления) лишь при определенном ограничении на функцию ( [22]. В рассматриваемом классе задач это ограничение касается безразмерного параметра р0в формуле (1.13) При р0 = р" происходит бифуркация решения, после чего одному и тому же значению Ч г отвечают три решения, из которых только одно удовлетворяет требованию 4 (0) = 0 [56]. Два других решения могут быть найдены итерационным методом численного решения задачи с функцией PQ)B виде (1.13). Нужное решение получается изложенным выше вариантом метода с формулой (1.18) при значениях Pir p0 pc2r до следующей бифуркации при р0 = р". Найденные в работе [56] значения рсг в зависимости от параметра q соответствуют именно второй бифуркации.
Причина бифуркаций - в природе итерационного процесса установления. Его малые возмущения являются решением линейной задачи которое асимптотически при ґ-»ю имеет вид U(t,r,(p)& е htVx(r,(p). Здесь \-старшее собственное значение, a Vx{r,cp)- соответсвующая ему собственная функция оператора L. При р0=0 1 = -А, и 0, а при возрастании р0 значение Х1 убывает. Первая бифуркация р0 = р" имеет место при \ = о. Если итерации используют формулу (1.18) с выбором ч 0 указанным способом, то возмущение U образуется в начале в центре круга, и первая собственная функция Vx (она отлична от нуля при г=о) не участвует в решении. Асимптотика решения при ґ -со определяется одним из следующих собственных значений Х1 с собственной функцией 1 (0) = 0, и вторая бифуркация р0 = р" имеет место при X, = 0. Для иллюстрации этой тенденции нами найдены численно значения Х1 и 2 в зависимости от р0 при q=0,l (рис.2.9) они приближенно определяются в процессе численного решения задачи (2.6) практически тем же итерационным методом, что и в решении нелинейной задаче. Значение Х1 получается при граничном условии dU/dr = 0 в центре круга, а Х - при U(0) = 0. Получены значения Х1 = 0 и Х2 = 0 соответствуют р0 = р" и р0 = р" которые приближенно совпадают с таковыми, полученными в процессе расчета нелинейной задачи (2.4) О
Вторая краевая задача. Результаты. В первой краевой задаче мы рассматриваем граничное условие в двух разновидностях х = хг при r=R с подбором Ц г удовлетворяющему условию 4 (0) = 0 и используя давление в виде (1.18) при этом и в том и в другом варианте Ц г не зависит от угла. Как говорилось выше использование давления в виде (1.18) позволяет избавиться от подбора Ц г, для выполнения условия, используя этот факт возьмем в качестве граничного условия Ц г функцию зависящую от угла, т.е. ХРГ= f((p)- Такое изменение дает возможность смоделировать область включающую в рассмотрение внешние проводники с током, расположенные за границей области. Заданием вида функции Ч г = /( р) можно варьировать силу тока во внешних проводниках, менять направление тока, менять количество проводников и менять расположение тока по углу. Физический смысл условия Ч г = f((p) - замена проводящего кожуха непроводящим или вообще отсутствие какой-либо материальной границы, ограничивающей цилиндр, а распределение Нг вдоль границы может имитировать существование дополнительных проводников с током за пределами рассматриваемой цилиндрической области.
Математическая модель конфигурации «Пояс» в терминах второй краевой задачи с уравнением Грэда-Шафранова в квадранте 0 р л/2, r R представлена здесь тремя сериями расчетов. Функция ) в граничном условии второго рода = НАср) будет варьироваться дг тремя способами, отталкиваясь от ее значения полученное в численном решении первой краевой задачи для базового варианта (глава 2 пункт 2.1 рис.2.1.). Эта функция характеризуется двумя обстоятельствами. Её интеграл по границе или среднее значение соответствует циркуляции магнитного поля, т.е. полному току в квадранте
Результаты расчетов задачи с краевым условием второго рода
Отдельно стоит отметить, что константа -1,44 в (2.1) соответствующая базовому варианту (приведенному на рис.2.1, значение, принимаемое Ч на границе) в главе 2, естественно отличается от рассматриваемых в этой главе результатов, в базовом варианте константа принимает значение -2,13, это значение получено для параметров ( р0=0.5 а = 0.1 7 = 0.5), как и ранее множитель С пусть принимает разные значения. В этом разделе рассматриваются конфигурации для пониженных параметров, которые заведомо докритические, что видно наглядно из таблицы 3.2, это связано с тем что необходимо избегать сильного наполнения области плазмой, особенно при изменении граничного условия, этот факт хорошо виден из представленных выше результатов: область занимаемая плазмой сильно изменяется, меняя при этом объем ею занятый, при изменении граничного условия. На рис.3.2 представлены распределения магнитного поля, давления и распределение плазменного тока в Трилистнике при решении краевой задачи с граничным условием (3.1) при С = \ и теми же параметрами д,=0.5 а = 0.1 д = 0.5. Видно, что при С 0 магнитное поле сильно деформировано, магнитное поле втекает в секторе 0 ф 60 и кратно ему, сжимая магнитную и плазменную конфигурацию в направлении вдоль луча ср = 60. При этом при значениях С 1 эта деформация незначительна, плазма занимает область, схожую по размерам и параметрам с классическим, то есть в случае использования граничного условия не зависящего от угла. Плазменный ток по прежнему распределен следующим образом: положительный плазменный ток занимает область (красный цвет на рис.3.2(B)) вблизи границы в форме вогнутого треугольника вершины, которого охватывают область проводников. Вокруг проводников сосредоточен отрицательный плазменный ток, (синий цвет на рис.3.2(B)) занимающий кольцевую область.
Деформация магнитного поля вне плазмы (рис.3.2(a)) позволяет предположить существование вне цилиндра на осях р = ±л/3 трех дополнительных проводников с током противоположного относительно основных токов в «Трилистнике» направления, что согласуется с приведенными ранее результатами для ловушки «Пояс». При значениях С 2 поле сильно деформируется на оси вдоль луча за основными проводниками: здесь начинают формироваться особые точки типа седла, которые можно интерпретировать, как влияние ещё трех дополнительных токов, сонаправленных с основными токами, что хорошо видно на рис.3.3. Как хорошо видно уже при С = 2 вслед за полем деформируется распределение давления и плазменного тока. При этом хорошо видно, что деформации более значительны, на примере распределения давления, (рис.3.3(6)) в частности область выделенную красным цветом, будучи замкнутым контуром вокруг проводников и по-прежнему занимающей область вогнутого шестиугольника. В тоже время область увеличивается, расширяясь во внешнюю сторону к границе, в областях за каждым из проводников с внешней части конфигурации, повторяя таковую ситуацию в случае Пояса. Одновременно с этим стоит отметить, что распределение плазменного тока не сильно изменилось. Область с положительным плазменным током расширилась, но не значительно, примечательно то, что слабый плазменный ток дошел до границы, но не основная его часть рис.3.3(в).
Дальнейшее увеличение до С>Ъ приводит к сильным изменениям распределений всех представленных на Рис. 3.4 характеристик. На Рис.3.4(a) представлено распределение магнитного поля, на котором явно видна его сильная деформация, так же начавшие образовываться при С = 2 седловые точки в представленном варианте сформировались, за которыми проявляется влияние ещё двух дополнительных токов, сонаправленных с основными токами, что хорошо видно на рис.3.4. При С = Ъ в след за полем деформируется распределение давления и плазменного тока, при этом хорошо видна степень изменений. Деформации более значительны, на примере распределения давления, рассмотрим его на рис.3.4(6), область выделенную красным цветом, она как и ранее сильно не изменилась, но область вокруг нее сильно расширилась, в частности, зона выделенная переходом от красного к зеленому - это область низкого давления, это значит, что плазма там есть, в «малом количестве», но она там есть, при этом видно, что это плазменное образование в плотную приблизилось к границе. Изменение распределения плазменного тока согласуется с распределением давления, но представляет более наглядную информацию о том, где и с какой плотностью протекает плазменный ток. На рис.3.4(B) видно, что в области низкого давления указанного выше и приведенного на рис.3.4(6), протекает сильный, положительный плазменный ток. При этом форма распределения положительного плазменного тока в центральной части ловушки по-прежнему вогнутый шестиугольник. С ростом коэффициента С это влияние усиливается и преобладает над влиянием основных проводников.
Результаты расчетов задачи с прозрачной для магнитного поля границей
Конфигурации в цилиндре с тремя винтовыми проводниками и прозрачными для магнитного поля границами рассчитаны в терминах краевой задачи с уравнением (4.28) и граничным условием первого рода с заданной при r=R непостоянной функцией х = хг(в). Значения 4 (0) на границе заданы аналогично используемым выше в разделе посвященным задачам о «Поясе» и «Трилистнике» в виде r(6/)- 0= + Ccos(36 ) (4.31) где Ч 0 -значение Ч на сепаратрисе, а РЬ- «базовое» значение 4 -4%, полученное в традиционной постановке задачи с Wr = const, т.е. при С = 0. Величина Ч 0 равна значению решения Ч на сепаратрисе магнитного поля. В случае СГ (а 0) оно равно максимуму решения Ч (г) на луче в = л:/3, который соответствует седловой точке, образованной сепаратрисой, не проходящей через центр (рис.1-в). Расчеты проведены при значениях параметров R=2, гс = 0.25, р0=0.5, g = 0.5 (4.32)
Непостоянное значение Ч г (4.31) на границе соответствуют ненулевой нормальной компоненте поля сР ЗГ Я =Я = - = -sin(3) (4.33) r Rd9 R У На рис.4.5 приведено распределение магнитного поля и давления плазмы в «базовом» варианте при С = 0, которые непринципиально отличается от рассчитанного в [Ml] только значениями параметров (4.32).
При С 0 поле втекает в цилиндр в первом секторе (1.12), и , следовательно, во всех нечетных секторах, и вытекает из него в четных. Магнитоплазменная конфигурация деформируется при этом, сжимаясь к центру в направлениях нечетных лучей в = (2п+1)ж/3 посредине между проводниками и растягиваясь от центра в четных - направлениях за проводниками при в = 2пл/3. Более подробно эти деформации в обоих случаях рассмотрим ниже.
На рис.4.6 представлены поле и давление в тех же ловушках и при тех же параметрах (4.32) при значениях С = 0.5 в случае центрального и сепаратрисного сосредоточения плазмы рис.4.7. Из сравнения рис.4.6(a) и рис.4.7(a) видно, что влияние граничного условия (4.31) схоже по результату и силе деформации магнитных конфигураций, в то же время из рис.4.6 (б) и рис.4.7(6) явно видно в чем проявляется различие в этих двух постановках. На рис.4.7(6) представлено распределение давления в области, а соответственно и плазмы, которая расположена на сепаратрисе и занимающая хоть и изменившую свою форму, но сепаратрисную область, иными словами изменилась форма занимаемая плазмой по сравнению с базовым вариантом. На рис.4.6(6) также представлено распределение плазмы в области, но в случае максимума давления в центре, как хорошо видно, максимум расположен в центре без смещения и хоть сколько-нибудь заметного изменения, деформации. Рассматривая рис.4.7(B) на котором показано распределение электрического тока в плазме, протекающего в конфигурации с сепаратрисным распределением максимума давления, на котором явно и наглядно видно, сравнивая с рис.4.7(6), что в центральной части расположено плазменное и соответственно электрическое образование треугольной формы, которое при изменении граничного условия (4.31) не изменило своей формы, по сравнению с базовой конфигурацией. Аналогично рассмотрев рис.4.6(6) и рис.4.6(в) мы увидим, что сосредоточенная в центре плазма и плазменный ток не изменили своей формы и расположения. Стоит уточнить, что на рис.4.6(B) В области за отрицательным плазменным током, занимающий кольцевую центральную область- выделенную синим цветом, идет область отсутствия плазменного тока, и красный цвет на внешней области, вне центральной, не иллюстрирует положительный плазменный ток. Также стоит упомянуть значение 4 , характеризующее величину азимутального магнитного потока между сепаратрисой и внешней границей. Оно равно Ч/й=-0.69, т.е. упомянутые значения «амплитуды» возмущения С в формуле (4.31) приблизительно пропорциональны им.
Деформация магнитного поля и, следовательно, плазмы, «вмороженной» в него (p=pQir)), может быть вызвана, например, как говорилось выше, дополнительными проводниками с током обратного направления, расположенными вне цилиндра на нечетных лучах в = (2п+Ґ)ж/3. Границу цилиндра при этом следует предположить диэлектрической или вообще материально отсутствующей, если рассматриваемая модель относится к некоторой круговой окрестности исследуемой конфигурации. Полученная деформация в СГ ослабляет выпуклость в сторону периферии, что по-видимому, должно положительно влиять на его устойчивость.
При С 0 конфигурация деформируется противоположным образом : поле втекает в цилиндр в четных секторах и вытекает - в нечетных, плазма прижимается к центру за проводниками, а между проводниками её внешняя граница стремиться вытянуться от центра и стать более выпуклой наружу (рис.4.8 и рис.4.9). Причиной такой деформации могут быть дополнительные проводники, расположенные вне цилиндра на четных лучах в = 2жп/3.
