Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы в России принят ряд директивных документов, которые значительно ужесточают нормативные требования к теп-лопотсрям в зданиях различного назначения как вновь проектируемых и строящихся, так и реконструируемых
Для создания более совершенных строительных конструкций с повышенными теплозащитными свойствами необходимо всестороннее изучение механизма теплопереноса в многослойных стенах зданий и сооружений при переменной во времени температуре наружного воздуха
В большинстве инженерных расчетов процессов теплообмена в составных конструкциях тепловой контакт в месте соприкосновения / - го и (/ +1) - го слоев принимается идеальным (равенство температур и тепловых потоков)
Создание новейших нанотехнологий в области экологического очищения и разделения жидкости и газа, а также экологически чистых веществ и продуктов ставит целый ряд задач исследования механизмов кинетики неизотермического массопереноса в адсорбционных средах нанопористой структуры, требует развития новых методов математического моделирования, которые описывают сложные механизмы внутренней кинетики, условия динамического равновесия и режимы массопереноса в однородных и неоднородных пористых средах
Таким образом, задачи математического моделирования процессов массо- и теплопереноса представляют большой теоретический и практический интерес
Рассмотрим изотропную упругую неограниченную трехслойную пластинку /2 = \х\ х є (-со,0)и(0,/)и (/,+<»)}, через боковые поверхности z — ±5 которой осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона В точках сопряжения осуществляется идеальный термический контакт Требуется по известному закону распределения температурного поля в трехслойном неограниченном стержне в момент t - р определить распределение температуры в начальный момент времени Моделирование процесса теплопереноса в рассматриваемой среде приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки вида
(1)
о /
относительно f t {), j = 1,2,3
Ранее рассматривались задачи пересчета гравитационного поля в однородном слое осадочных пород (Лаврентьев М М, Романов В Г, Шишатский СП) Моделирование процесса пересчета гравитационного поля, когда в слое осадков существует граница раздела сред, направленная по нормали к поверхности Земли, также приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки
+ о
В нашей работе метод итерации и метод регуляризации применены для разработки численных алгоритмов решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений типа свертки, возникающих в задачах интерпретации результатов косвенных наблюдений в кусочно-однородных средах С целью применения указанных численных методов в работе развит метод операторов преобразования для решения прямых и обратных задач математической физики неоднородных структур
Актуальность метода операторов преобразования в том, что он позволяет упростить вычислительные схемы при применении методов итерации и регуляризации для решения задач кусочно-однородных сред С помощью операторного метода задачу для неоднородной среды можно свести к задаче для однородной области Операторный подход дает возможность получить решение в удобном виде, допускающем простую физическую интерпретацию последовательные приближения с помощью отражения от экранов Аналитическая форма получаемого таким методом решения удобна для изучения его асимптотических свойств
Цель исследования. Разработать алгоритмы численного решения систем интегральных уравнений типа свертки теории интерпретации результатов косвенных наблюдений, представляющих обобщение уравнений в свертках. Построить операторы преобразования, позволяющие по известным решениям классических модельных задач математической физики получить решения краевых задач в кусочно-однородных пространстве и полупространстве.
Методы исследования. При разработке численной реализации обратных краевых задач применялись методы итераций и регуляризации Применяются методы теории интегральных преобразований Фурье, метод операторов преобразования
Научная новизна. По мнению автора, новыми являются следующие результаты
построены операторы преобразования для решения широкого круга задач математического моделирования физических процессов в неоднородных средах прямых и обратных задач моделирования процесса теплопереноса, моделирования стационарного температурного поля, волнового поля,
найдены граничные операторы преобразования, позволяющие по известному граничному условию hu{x, >')+«* | 0 = fiy\ h<0, найти значение
функции и на границе области при х = 0, что дает возможность, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой, восстановить характеристики материала на границе (например, температуру),
- получены новые выражения для интегрального преобразования Фурье на
оси с одной и двумя точками сопряжения, для двумерного интегрального пре
образования Фурье на плоскости с одной линией сопряжения, построены регу-
ляризирующие операторы дія сепаратных систем интегральных уравнений ти
па свертки,
на основе методов итераций и регуляризации и метода операторов преобразования разработаны и обоснованы схемы численного решения ряда задач интерпретации результатов косвенных наблюдений в кусочно-однородных средах, приводящих к сепаратным системам интегральных уравнений типа свертки;
программно реализованы схемы численного решения следующих задач
а) ретроспективной задачи о структуре нестационарної о температурного
поля в двухслойном неограниченном стержне и в двухслойной неограни
ченной пластине,
б) векторной кусочно-однородной обратной задачи теплопроводности,
в) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного
поля в изотропной неограниченной трехслойной пластинке;
г) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного
поля в двухслойном ограниченном стержне,
д) задачи пересчета гравитационного поля в слое осадков с границей раз
дела сред, направленной по нормали к поверхности Земли
Теоретическая и практическая значимость. В работе с помощью методов итераций и регуляризации, метода операторов преобразования разработаны вычислительные схемы, позволяющие решать прямые и обратные краевые, прямые и обратные смешанные краевые задачи неоднородных структур с высокой точностью. Метод операторов преобразования развит для решения скалярных и векторных краевых задач Данный метод позволил найти точное решение краевых задач теплопроводности, краевых задач для уравнения колебаний и уравнения Лапласа для кусочно-однородных сред
Реализация результатов. Представленные в работе результаты реализованы в виде комплекта программ "Системы интегральных уравнений I рода для неоднородных областей" Данный программный продукт зарегистрирован отраслевым фондом алгоритмов и программ государственного координационного центра информационных технологий
Апробация работы. Различные результаты и разделы диссертации докладывались на Международной конференции по геометрии и анализу (Пенза, 2003 г), на Международных научных конференциях молодых ученых "Ломоносов" в МГУ (Москва, 2002, 2005 гг ), на конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2003, 2004, 2006 гг), на XIV Санкт-Петербургской конференции по математическому анализу (Международный математический институт имени Эйлера, Санкт-Петербург, 2005 г), на VII Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 2006 г), на семинарах кафедры математического анализа Пензенского государственного педагогического университета, кафедры высшей и прикладной математики Пензенского государственного университета, на объединенных научных семинарах кафедры прикладной математики МГУ им Н П Огарева и Средневолжского математического общества под руководством профессора Е В Воскресенского (Саранск, 2006,2007 гг)
Публикации. По теме диссертации опубликованы 23 научные работы, список которых приведен в конце автореферата, из них работа, опубликованная в
издании, рекомендованном ВАК "Операторы преобразований и их применение для решения задач о структуре волнового и температурного полей в кусочно-однородном полупространстве" в журнале "Известия ВУЗов. Математика", 2006 - № 9 - С 79-82
На защиту выносятся следующие положения:
предложен метод операторов преобразования для решения широкого круга задач математического моделирования физических процессов в неоднородных средах прямых и обратных задач моделирования процесса теплопереноса, моделирования стационарного температурного поля, волнового поля,
предложен метод граничных операторов преобразования, позволяющие по известному граничному условию hu(x,y)+u'x\ = f{y\ Л<0, найти значение
функции и на границе области при х = 0, что позволяет, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой, восстановить характеристики материала на границе,
с целью применения метода регуляризации А Н Тихонова и метода итераций И В. Бойкова к численному решению сепаратных систем интегральных уравнений, возникающих при решении обратных задач кусочно-однородных сред, разработан метод интегрального преобразования Фурье на оси с одной и двумя точками сопряжения, двумерного интегрального преобразования Фурье на плоскости с одной линией сопряжения, установлена связь предложенного метода с методом операторов преобразования, построены регуляризирующие операторы для сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки,
разработаны и обоснованы схемы численного решения сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки, к которым приводят задачи интерпретации результатов косвенных наблюдений в кусочно-однородных средах,
5) программно реализованы схемы численного решения ретроспективных
задач о структуре нестационарного температурного поля в различных кусочно-
однородных средах и задачи пересчета гравитационного поля в слое осадков с
границей раздела сред, направленной по нормали к поверхности Земли
Структура и объем работы. Основная часть диссертации изложена на 159 страницах, состоит из введения, четырех глав, разбитых на 12 параграфов, и заключения Приложение изложено на 51 странице Список литературы содержит 72 наименования
