Содержание к диссертации
Введение
Глава. 1. Математическое и компьютерное моделирование в задачах машиностроения
1.1. Методология математического моделирования при проектировании машин и механизмов 22
1.2. Этапы математического моделирования динамического состояния передаточных механизмов 25
1.3. Геометрические аспекты математического моделирования процесса движения идеальных пространственных фигур 26
Глава 2. Принципиальная схема эксцентриково-циклоидального зацепления и его математическая модель
2.1. Эвольвентное зацепление зубчатых колёс 33
2.2. Принципиальная схема ЭЦ-зацепления 35
2.3. Уравнения профиля большого колеса в ЭЦ-зацеплении 38
2.4. Уравнения движения поверхностей в ЭЦ-зацеплении. Создание анимационных файлов 41
2.5. Нахождение точек контакта и определение рабочих участков винтового эксцентрика 43
2.6. Расчет силовых характеристик в точках контакта и потерь мощности на трение 47
2.7. Оптимизация параметров и тестирование алгоритма построения математической модели 54
2.8. Преимущества ЭЦ-зацепления в сравнении с эвольвентным...60
Глава 3. Математическое моделирование динамического состояния передаточных механизмов с ЭЦ-зацеплением
3.1. Зубчатая реечная-передача с ЭЦ-зацеплением 66
3.2. Шнековая коническая косозубая передача с ЭЦ-зацеплением ...77
3.3. Планетарная дисковая передача с ЭЦ-зацеплением 81
3.4. Дисковая двухступенчатая передача 93
Глава 4 Математическое моделирование динамического состояния самотормозящих передаточных механизмов с промежуточными телами качения
4.1. Самотормозящие передаточные механизмы 98
4.2. Самотормозящий эксцентриковый редуктор с промежуточными телами качения 100
4.3. Нахождение линии центров шаров 102
4.4 Нахождение линии контакта шаров с неподвижной дорожкой качения 105
4.5. Нахождение точек контакта шаров с конической поверхностью 106
4.6. Расчет усилий, действующих на шары, испытывающие реальную силовую нагрузку 109
4.7. Скоростное скольжение. Обратный ход системы 112
Глава 5. Математическое моделирование динамического состояния прецессионных передаточных механизмов с синусоидальными дорожками качения на сферическом поясе
5.1. Прецессионные механизмы с дорожками качения на сферическом поясе 114
5.2. Синусоидальные кривые на сфере 117
5.3. Нахождение точек контакта шаров с объёмной эквидистантой и генератором 121
5.4. Расчёт усилий в зацеплении 127
Глава 6. Математическое моделирование динамического состояния витковых передаточных механизмов с синусоидальными дорожками качения на цилиндре
6.1. Витковые механизмы с периодическими дорожками качения 132
6.2. Уравнения движения контактирующих деталей, точки контакта 134
6.3. Расчёт усилий в точках контакта 141
6.4. Определение потерь мощности на трение 143
Заключение 146
Литература 150
Приложение 157
- Этапы математического моделирования динамического состояния передаточных механизмов
- Принципиальная схема ЭЦ-зацепления
- Шнековая коническая косозубая передача с ЭЦ-зацеплением
- Самотормозящий эксцентриковый редуктор с промежуточными телами качения
Введение к работе
Актуальность темы диссертационного исследования
Областью исследования является разработка новых математических методов моделирования таких технических объектов как передаточные механизмы. В современном машиностроении определяющую роль играют зубчатые системы передачи движения (СПД) - редукторы. Объём их ежегодного производства составляет более 200 млрд. долларов США. На автомобильную промышленность приходится третья часть от этой суммы (коробки переключения передач, главные редукторы). Созданием компактных конструкций передаточных механизмов с высокой удельной мощностью интенсивно занимаются в Японии, Китае, США, Германии.
Доля России в объёме выпуска редукторов ничтожно мала и всё более сокращается под натиском импортной продукции. Инновации в редукторострое-нии решают отдельные задачи повышения КПД, повышения надежности и т. п., так как они направлены на улучшение отдельных узлов и деталей и почти не касаются основных принципов эвольвентного зубчатого зацепления, основы которого заложены более 200 лет назад Л. Эйлером.
По форме профиля зуба различают передачи эвольвентные, червячные, циклоидальные, цевочные, передачи с зацеплением Новикова, а также передачи с промежуточными телами качения.
Наибольшее распространение получили эвольвентные передачи с профилем, предложенным Л. Эйлером в 1754 г. Значительный вклад в теорию зубчатого эвольвентного зацепления внесли: Э. Бакингем (1887-1987), М. Мааг (1883-1960), Д. Браун (1843-1903), X. Кетов (1887-1948), Н. Колчин (1894-1975) и многие другие. Во многих работах учёных разработаны аналитические методы расчёта пространственных зацеплений эвольвентных зубчатых колёс. Преимуществом этого профиля является простота изготовления, достаточно высокая нагрузочная способность, малая чувствительность к неточностям межцентрового расстояния. Однако эвольвентный профиль удовлетворяет не всем требованиям, предъявляемым к современным передачам. Так, например, в вы-сокомоментных передачах зубья эвольвентного профиля имеют недостаточную контактную прочность. Она повышена в передачах с зацеплением Вилъдгабера-Новикова, где выпуклые профили зубьев одного из колес, очерченные по дуге окружности, контактируют с вогнутыми профилями другого колеса, и нагрузочная способность передачи повышается в 2-3 раза по сравнению с эвольвент-ной, а также уменьшаются потери на трение.
Теория зацепления Новикова в настоящее время проработана достаточно глубоко. Основы данной передачи разрабатывал Э. Вильгабер (1893-1979), изобретя в 1926 году зуборезную рейку с круговым зубом, поэтому за рубежом данное зацепление называют зацеплением Вильдгабера-Новикова. Большой вклад в изучение данного зацепления внесли: М.Л. Ерихов (1937-2002),
Я.С. Давыдов (1914-2003) - автор ряда статей по образованию сопряжённых зацеплений с точечным контактом.
К недостаткам передач Новикова можно отнести:
более сложную технологию изготовления за счет использования инструмента с профилями криволинейной конфигурации;
наличие значительных осевых нагрузок на подшипники из-за использования винтовых зубьев с большими углами подъема винтовой линии;
склонность зубьев винтовых колес к излому у торца при входе в зацепление.
Червячные глобоидные передачи с архимедовой спиралью в поперечном сечении практически не отличаются по своим свойствам от эвольвентных червячных передач, за исключением повышенной несущей способности. Такими же свойствами обладают и спироидные передачи, разработанные О. Саари (1918-2003).
Преимущества:
благодаря малому числу заходов червяка (z\ = {1, 2, 3, 4}) червячная передача позволяет реализовать в одной ступени большие передаточные отношения;
обладает высокой плавностью, низким уровнем вибраций и шума;
позволяет обеспечить самоторможение червячного колеса (при малых углах подъема витка передача движения от вала червячного колеса к червяку становится невозможной).
Недостатки:
высокая скорость скольжения вдоль линии зуба, что ведет к повы
шенной склонности к заеданию (необходимы специальные смазки и материалы
для зубчатого венца червячного колеса), снижению КПД и более высокому теп
ловыделению.
Разработкой аналитических аспектов данного вида зацепления занимались Ф. Лоренц (1842-1924) и С. Кон (1865-1949). Их продолжатели: Н.И. Кол-чин, Б.А. Гессен, П.С. Зак, Ф.Л. Литвин.
Оригинальную конструкцию планетарных редукторов с циклоидально-роликовым зацеплением предложил Лоренц Брарен в 1926 году (патент Великобритании 271742 «Усовершенствование эпициклической передачи»). Теоретические основы зацепления в России были систематизированы В.М. Шанни-ковым. Сейчас продолжают исследования О.В. Берестнев, А.А. Новичков.
Преимущества:
меньший износ профилей за счет использования зацепления выпуклого профиля с вогнутым;
больший, чем в аналогичной эвольвентной передаче, коэффициент перекрытия;
возможность получения на шестерне без подрезания меньшего числа зубьев, нежели в эвольвентных зубчатых передачах;
меньшая скорость скольжения профилей.
Недостаток:
чувствительность к монтажным погрешностям межосевого расстояния (изменение межосевого расстояния изменяет передаточное отношение).
К разновидностям циклоидальных зацеплений относятся часовое и цевочное зацепление.
Зацепление с помощью промежуточных тел качения (так называемые шариковые и роликовые передачи) получило свое развитие начиная с 50-годов прошлого века сразу в нескольких странах. В России в Томском политехническом институте была сформирована научная школа под руководством профессора А.Е. Беляева, заложившая основы теории и практики передач с параллельными и пересекающимися осями с шариковым и роликовым зацеплением. Следующим шагом в развитии шариковых передач стало применение замкнутых пространственных периодических беговых дорожек. В Могилевском машиностроительном институте возникло сразу две научных школы P.M. Игнатищева и М.Ф. Пашкевича, использующих несколько разные подходы и терминологию. Эксцентриковые шариковые передачи исследованы также В.П. Брюховецким. Разработкой передач с шариковым и роликовым зацеплением за рубежом занимаются фирмы Synkinetics Inc., Compudrive Corporation (США); Axial Wave Drive (Нидерланды); Twinspin (Словакия); исследователи Imase Kenji (Япония), Xu Xiandong (Китай).
В связи с тем, что работы по шариковому зацеплению велись параллельно различными разрозненными коллективами, то общей теории зацепления в настоящее время не разработано. Каждый коллектив использовал не только различные теоретические подходы, но зачастую и различную терминологию.
Основным недостатком зацепления с промежуточными телами качения, ограничивающим его область применения, является невысокий КПД, достигающий 0,8 в лучших образцах, и ограничения по скорости.
В 2007 г. томские конструкторы предложили принципиально новую разработку эксцентриково-циклоидалъного (ЭЦ) зацепления. Большим достоинством новой разработки является возможность получения в одной ступени повышенного передаточного отношения.
До настоящего времени все перечисленные виды зацепления имели теоретическую базу в виде инженерных формул, которые учитывают как геометрию зацепления, так и силовые и кинематические характеристики передачи. Для давно разработанных зацеплений эти формулы являются сугубо эмпирические зависимости, поскольку в них были внесены многочисленные уточнения из практики с целью применения этих зависимостей для оптимизации параметров зацепления. Методы компьютерного моделирования применялись лишь для визуализации предлагаемых конструкций. Лишь в последнее время с появлением современных мощных пакетов прикладных математических программ стало возможным математическое моделирование систем передачи движения в самом широком смысле.
С другой стороны, развитие металлообработки привело к появлению четырех и пятикординатных станков с ЧПУ, обеспечивающих возможность создания СПД нового поколения с любой наперед заданной формой рабочей поверхности. Таким образом, появилась возможность для конструирования принципиально новых форм, обладающих уникальными свойствами. Однако динамическое взаимодействие новых форм не укладывается в ранее разработанные инженерные теории. Все это привело к необходимости разработки новых универсальных математических моделей, опирающихся на базовые положения теоретической механики, аналитической и дифференциальной геометрии.
Цель диссертационной работы.
Оптимизация силовых характеристик и коэффициента полезного действия (КПД) систем передачи движения нового типа в широком диапазоне физически обоснованных входных параметров на основе оригинальных, специально разработанных средств математического моделирования.
Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие основные задачи:
Разработан метод моделирования динамического состояния СПД, применимого к СПД с использованием различных видов зацепления.
Построены комплексные (охватывающие геометрические и физические аспекты) математические модели новых видов зацепления, в первую очередь - ЭЦ-зацепления.
Разработаны алгоритмы расчёта силовых характеристик и оптимизации основных параметров СПД различных видов. Построенная в работе схема оптимизации в зависимости от целей и задач исследования реализовывалась по трём критериям:
условная оптимизация по КПД, выполняющего роль целевой функции, при ограничениях на контактные напряжения (КН);
условная оптимизация по КН в заданном диапазоне изменения КПД и некоторых геометрических параметров конструкции;
условная оптимизация по среднеинтегральному расстоянию от искомой точки до границы области допустимых значений изменения КПД и КН.
Создано программное обеспечение для оптимизации параметров СПД различных видов и назначения.
Детально верифицирован метод математического моделирования динамического состояния СПД путём проведения модельных и тестовых расчётов и сопоставления их результатов с данными натурных наблюдений.
На базе проведенных расчетов выполнены производственные работы и созданы оптимальные образцы разрабатываемых конструкций СПД.
Методы исследования
При выполнении работы использовались методы математического моделирования, аналитической и дифференциальной геометрии, теоретической механики, методики вычислительного эксперимента.
Научная новизна заключается:
В разработке нового метода моделирования динамического состояния СПД, заключающегося в применении методов аналитической и дифференциальной геометрии для получения точных и приближенных уравнений кривых и поверхностей, аппроксимирующих профили деталей СПД, отличающегося от известных методов общностью подхода к решению динамических задач и позволяющего отвлечься от особенностей конкретного вида зацепления и рассматривать комбинированные схемы СПД.
В найденных аналитически уравнениях движения контактирующих деталей в виде семейств кривых и семейств поверхностей с физическим временем в качестве параметра семейства; полученные уравнения использованы для анализа стационарных и переходных режимов работы СПД.
В создании комплексной математической модели ЭЦ-зацепления, позволяющей определять зоны нагружения, силовые характеристики и КПД, а также проводить оптимизацию рассматриваемых систем по разным критериям.
Во впервые проведённом теоретическом обосновании синусоидального закона распределения входного момента вращения, а также закона локального равновесия на промежуточных телах качения.
В разработке алгоритма определения фрагментов контактирующих деталей СПД, испытывающих силовую нагрузку в данный момент времени, и расчёта усилий в точках контакта.
Теоретическая значимость исследования Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:
Разработан метод геометрического построения пространственных фигур, обладающих свойствами инвариантности относительно заданных комбинаций перемещений и вращений. Метод предполагает использование циклоидальных кривых в качестве образующих и построение на их основе семейств кривых (самих поверхностей) с параметрами семейств в виде длин дуг винтовых линий, выполняющих в конструктивном плане роли направляющих моделируемых поверхностей. Метод отличает значительная общность подхода к решению динамических задач систем передачи движения. Он открывает широкие возможности для компьютерного проектирования редукторов самого различного назначения. Наряду с конструкторским машиностроением метод движения базисных кривых, применяемый для моделирования функциональных поверхностей, может найти применение в бионике, строительстве, архитектуре и других отраслях.
Теоретически обоснован синусоидальный закон распределения входного момента вращения, а также закон локального равновесия на промежуточных телах качения. Эти законы адаптируют принцип Даламбера-Лагранжа к применению в сфере машиностроительного проектирования и позволяют производить силовой расчёт любых механических систем, содержащих элементы передачи усилий и движений.
Практическая ценность исследования
Практическая ценность исследования обусловлена
Созданием оригинального программного обеспечения, позволяющего конструировать рабочие поверхности СПД различного назначения.
Возможностью получения оптимальных характеристик СПД различных видов в широком диапазоне физически обоснованных входных параметров.
Разработкой системы эффективной поддержки интерпретации результатов исследований с помощью специального блока визуализации.
Кроме того, полученные результаты могут быть применены и уже применяются при конструировании СПД, использующих различные виды зацепления. Разработанные в рамках этого исследования алгоритмические решения носят общий характер и могут быть полезны при решении и других прикладных задач. Целесообразность практического использования алгоритмов расчёта силовых характеристик подтверждена при помощи тестирования опытных образцов СПД на основе ЭЦ-зацепления, доказавшие их эффективность, а в ряде случаев - превосходство над имеющимися аналогами.
Научные положения, выносимые на защиту:
Метод моделирования динамического состояния СПД, заключающийся в применении методов аналитической и дифференциальной геометрии для получения точных и приближенных уравнений кривых и поверхностей, аппроксимирующих профили деталей СПД.
Найденные аналитически уравнения движения контактирующих деталей в виде семейств кривых и семейств поверхностей с физическим временем в качестве параметра семейства.
Комплексная математическая модель ЭЦ-зацепления, позволяющая определять зоны нагружения, силовые характеристики и КПД, а также проводить оптимизацию рассматриваемых систем по разным критериям.
Теоретическое обоснование синусоидального закона распределения входного момента вращения, а также закона локального равновесия на промежуточных телах качения.
Алгоритмы определения фрагментов контактирующих деталей СПД, испытывающих силовую нагрузку в данный момент времени, и технология расчёта усилий в точках контакта.
Компьютерная программа и алгоритм, дающие возможность определять оптимальные характеристики СПД различных видов в широком диапазоне физически обоснованных входных параметров.
Реализация и апробация результатов исследования
В период с 2003 г. по настоящее время автор диссертации и его научный консультант в составе коллектива ЗАО «Технология маркет» (г. Томск) занимаются исследованиями в области математического моделирования передаточных механизмов. В команде высококвалифицированные конструкторы, техно-
логи и организаторы производства, патентный поверенный РФ. Сотрудники коллектива являются авторами 53 заявок (диссертант - соавтор двух из них) и патентов, в том числе и зарубежных (патенты США, Китая, Белоруссии, а также патенты Европейского патентного ведомства).
Для заказчиков разработано несколько инновационных ЭЦ редукторов, как для гражданской, так и специальной техники. При этом была апробирована методика автора диссертации для математического и компьютерного моделирования динамики механизмов - получено 5 актов апробации методики на различных машиностроительных предприятия Томска и Новосибирска. В результате апробации были успешно спрогнозированы оптимальные значения исходных параметров при конструировании и изготовлении ЭЦ-редукторов.
Найдены новые эффективные решения приводов запорной трубопроводной арматуры, станков-качалок, грузоподъёмных и других механизмов, например, редукторного усилителя руля автомобиля. Инновационное направление уже имеет подготовленную рыночную конфигурацию, характеризуемую наличием специалистов, документации, технологии, ноу-хау, патентов, технологическим опытом изготовления продукции и формирующимся спросом на неё.
Результаты представленных в работе исследований опубликованы в трудах российских и международных научных и научно-практических конференций:
Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007 г.)
Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Алматы, 10-14 сентября 2008 г.)
Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 130-летию ТГУ и 60-летию ММФ (Томск, 22-25 сентября 2008 г.)
Международная конференция «Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры», посвященная 100-летию со дня рождения проф. В.В. Вагнера (Саратов 5-7 ноября 2008 г.)
Научно-техническая конференция «Теория и практика зубчатых передач и редукторостроения» (Ижевск 3-5 декабря 2008 г.)
Публикации
По теме диссертации опубликовано 19 работ, из них 7 статей в научных журналах, рекомендованных ВАК по управлению, вычислительной технике и информатике.
Структура работы
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и шести приложений. Общий объём 213 стр., 72 рисунка. Библиографический список содержит 55 наименований.
Этапы математического моделирования динамического состояния передаточных механизмов
Исходя из изложенного в 1.1, построение математических моделей динамического состояния передаточных механизмов можно разбить на следующие этапы: 1. геометрия зацепления a) Вывод уравнений кривых, ограничивающих плоские фигуры, которые поучаются в сечениях передаточного механизма, перпендикулярных оси вращения ведущего вала. b) Получение уравнений семейств кривых, для которых параметром семейства является угол поворота 8 ведущего вала, с условием кинематической согласованности движения плоских фигур из а). c) Получение уравнений контактирующих поверхностей, ограничивающих детали механизма, и семейств этих поверхностей с параметром семейства 8. d) Нахождение точек и линий контакта. 2. визуализация динамического состояния частей механизма a) Создание анимационных файлов, иллюстрирующих работу механизма b) Тестирование с помощью этих файлов кинематической согласованности движения деталей механизма при полном цикле поворота ведущего вала. 3. нахождение силовых характеристик a) Определение деталей механизма, испытывающих реальную силовую нагрузку в каждый момент времени. b) Нахождение векторных и скалярных величин усилий и скоростей в точках контакта. c) Определение коэффициента полезного действия. d) Нахождение величин контактных напряжений. 4. оптимизация параметров a) Определение параметров, подлежащих оптимизации. b) Вычисление значений КПД и контактных напряжений как функций оптимизируемых параметров. c) Нахождение тех значений оптимизируемых параметров, при которых достигается максимальное КПД и минимальные контактные напряжения. Построение математических моделей процесса движения деталей механизма начинается- с задания кривых, получающихся в плоских сечения этих деталей, и ограничивающих их поверхностей. Как известно, эти геометрические объекты могут быть заданы явными, неявными и параметрическими уравнениями, связывающими координаты точки на плоскости или в пространстве. Параметрическое задание естественно приводит к широко применяемому геометрами понятию «вектор-функции» одного и двух аргументов [28], годографом которой (геометрическим местом концов радиус-векторов — значений вектор-функции для всех аргументов) является, соответственно, кривая или поверхность. Использование этого понятия приводит к существенному сокращению записи математических выкладок, а при компьютерном построении графиков именно задание изображаемых объектов с помощью вектор-функций приводит к скорейшему достижению результата.
Кроме того, современные пакеты прикладных математических программ позволяют производить символьные преобразования с объектами, заданными в векторной форме. Поэтому представляется уместным привести определения, сформулированные на «языке вектор-функций», основных геометрических объектов, рассматриваемых в данной работе. Определение 1. Будем говорить, что дана вектор-функция одного скалярного аргумента / (/) если каждому значению аргумента t в некоторой области его.изменения отвечает вполне определённое значение вектора г. Задание вектор-функции r(t) эквивалентно заданию трёх скалярных функций — координат вектора r(t)B некотором (декартовом) базисе: x(t), y(t), z(t). Поэтому кривую в пространстве мы будем задавать в виде матрицы-столбца: В случае плоской кривой столбец в правой части (1.3.1) будет иметь две строки. Производная вектор-функции - это вектор с координатами -производными скалярных функций, определяющий направление касательной к кривой: Соответственно, поверхность в пространстве будем задавать с помощью вектор-функции двух скалярных аргументов: Вектор направления произведению: нормали к поверхности равен векторному При моделировании динамического состояния деталей механизма приходится иметь дело семейством кривых (поверхностей), получающимся при изменении параметра — угла поворота ведущего вала 5. Фактически запись уравнений соответствующего семейства — это уравнения движения рассматриваемого объекта. Семейство плоских кривых мы будем задавать в виде вектор-функции двух аргументов: Определение 2. Огибающей семейства кривых называется кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства. Из определения ясно, что в наших рассмотрениях именно теория нахождения огибающих, изложенная, например, в [28], [37], может быть применена для нахождения так называемых сопряжённых профилей деталей (см 2.1). На рис 1.3.1 изображена огибающая семейства циклоидальных кривых - профилей сателлитов в планетарной передаче. Семейство образовано вращением кривой вокруг своего центра, который, в свою очередь, совершает круговое движение вокруг неподвижной оси.
Принципиальная схема ЭЦ-зацепления
В качестве альтернативы эвольвентному зацеплению предлагается новый вид зацепления зубчатых колес, получивший название эксцентриково-циклоидальное (ЭЦ-зацепление) [27, 30]. Это зацепление может быть реализовано как с помощью составных колес, образованных повернутыми друг относительно друга прямозубыми венцами (рис.2.2.1), так и в виде непрерывного винтового эксцентрика и сопряжённого с ним винтового циклоидального колеса (рис.2.2.2). Причём зацепление криволинейных винтовых зубьев можно рассматривать как зацепление составных колес с бесконечно большим числом венцов и бесконечно малым углом поворота между ними.
Механизм с зацеплением, представленным на рис.2.2.1, проще в изготовлении. Криволинейные зубья второго варианта механизма (рис.2.2.2) имеют большой приведенный радиус кривизны, что увеличивает контактную прочность зацепления, а форма зуба обеспечивает большую изгибную прочность. И в том и в другом случае сечение, перпендикулярное осям вращения колёс при угле поворота генератора (винтового эксцентрика) 8 = 0 имеет вид (рис.2.2.3):
Ось вращения большого колеса совпадает с осью OZ. Профиль меньшего колеса (колесо 1) в торцовом сечении представляет собой окружность D диаметра d — 2г, эксцентрично смещенную на расстояние є относительно точки пересечения 01(а, 0) оси вращения колеса с плоскостью сечения. Криволинейный профиль колеса 1 (рис.2.2.2) образован последовательным и непрерывным смещением этой окружности вдоль оси колеса, с одновременным поворотом её вокруг этой же оси, т.е. центр окружности D (точка S) описывает винтовую линию. Таким образом, колесо 1 имеет один зуб в виде винтового эксцентрика.
Профиль зуба большего колеса 2 в торцовом сечении сопрягается с эксцентрично смещенной окружностью D колеса 1 и представляет собой циклоидальную кривую G, являющуюся эквидистантой эпитрохоиды [29].
Винтовая криволинейная поверхность зубьев колеса 2 образуется аналогично поверхности зуба колеса 1 последовательным и непрерывным поворотом циклоидальных торцовых сечений колеса 2 вокруг его оси. Винтовые поверхности колес 1 и 2 имеют противоположное направление вращения.
В случае составных колёс (рис.2.2.1) меньшее колесо 1 составлено из к венцов повернутых друг относительно друга на угол 3601k. На рис.2.2.1 число венцов равно 5, следовательно, угол поворота венцов друг относительно друга составляет 72 угловых градуса. Большее колесо 2 состоит также из к повернутых друг относительно друга венцов, каждый из которых сопрягается с к венцами колеса 1. Профиль каждого представляет собой циклоидальную кривую G. Циклоидальные венцы колеса 2 повернуты друг относительно друга на угол, равный угловому шагу венца, деленному на число венцов в составном колесе. На рис.2.2.1 поворот венцов составляет 8 угловых градусов.
Шнековая коническая косозубая передача с ЭЦ-зацеплением
Оба колеса зацепления имеют коническую форму и пересекающиеся оси. Малое колесо (будем называть его также «червячок») образовано последовательным и непрерывным поворотом вокруг оси эксцентрично смещённых окружностей торцовых сечениях конуса, определяющего форму конического колеса. Конический «червячок» отличается, от цилиндрического только уменьшающимися размерами окружностей в последовательных торцовых сечениях. Соответственно зубчатая поверхность большего конического колеса имеет в торцовых сечениях форму циклоидальной кривой. Торцовые сечения конического колеса — это сечения его цилиндрами с той же осью и с уменьшающимся радиусами. Зубья большого колеса.имеют винтовую форму и образованы последовательным поворотом циклоидальных кривых (торцевых сечений) вокруг оси колеса. При таком построении поверхностей колёс они в каждом торцовом сечении будут иметь точку контакта, причем в контакте будет находиться окружность и циклоидальная кривая, которые в зацеплении имеют минимальные потери на трение скольжения. Все остальные описанные выше преимущества для зацепления цилиндрических колес справедливы и для конических колес. Математическая модель работы механизма Обозначим через R радиус большого колеса, через р - радиус наибольшего торцевого сечения червяка, через 1г — длину червяка, а через п — количество циклов торцевого сечения большого колеса. Пусть ось вращения большого колеса совпадает с осью OZ, а ось вращения червяка — параллельна п оси OY, пересекает ось OZ и поднята над осью OY на радиус г = — п производящего круга исходной циклоиды. Тогда радиус-вектор точки пересечения оси червяка с наибольшим торцевым сечением имеет вид: Проекции центров торцевых сечений червяка в плоскость, проходящую через точку Со перпендикулярно оси червяка можно записать в виде: — радиус окружности, образующей исходную циклоиду этого сечения. Параметрические уравнения исходной трохоиды для каждого торцевого сечения этого колеса запишем, как и в 3.1, в виде: а уравнения эквидистанты этой трохоиды - в виде: где «j, и2 — координаты единичного вектора нормали в точке трохоиды. Тогда поверхность большого колеса, контактирующую с поверхностью червяка (3.2.1), можно записать как вектор-функцию двух аргументов: Если теперь в (3.2.3) вместо т подставить (-D), ТО получится линия контакта червяка с большим колесом, а если в (3.2.4) вместо т подставить выражение (-8-і)), то будем иметь запись семейства линий контакта при всех значениях угла поворота генератора 8. Расчёт усилий, потерь мощности на трение, нахождение радиусов кривизны в точках контакта производятся по тем же формулам, что и в 2.6. Рабочая программа позволяет находить КПД и величины контактных напряжений, а также оптимизировать их значения. Формулы (3.2.2) и (3.2.4) позволяют создать 3-х мерные графические изображения контактирующих деталей механизма в любой момент времени, что позволяет изобразить динамическое состояние всей системы в виде анимационных файлов.
Самотормозящий эксцентриковый редуктор с промежуточными телами качения
На рис.4.2.1 изображён общий вид эксцентрикового редуктора, с зацеплением при помощи промежуточных тел качения - шариков, разработанного конструкторами ЗАО «Технология маркет» (г. Томск). На эту разработку получен патент 2341710 РФ. Эксцентриковая шариковая передача (варианты) / Становской В. В., Казакявичюс СМ., Ремнёва Т.А., Кузнецов В.М - № 2007126016/11; заявлено 2007.07.09; опубликовано 2008.12.20, Бюлл. №35 (описание см. в Приложении 3). Рабочая поверхность ведущего диска является частью боковой поверхности конуса К, ось вращения которого смещена параллельно оси OZ на эксцентриситет є. Шарики (на рис.4.2.2 изображены только 4 из Z2 = 37), касаясь поверхности конуса К, находятся в вертикальных цилиндрических прорезях выходного диска - сепаратора на равных расстояниях друг от друга и касаются неподвижной дорожки качения - торцевого профиля зубчатого венца. Синусоидальная кривая Ее с Z\ = Z2-1 циклами на рис.4.4.2 - линия контакта шаров с венцом. При вращении ведущего вала диск с конической боковой поверхностью, посаженный с помощью подшипника на эксцентрике, совершает плоскопараллельное планетарное движение - вершина конуса описывает в плоскости, перпендикулярной OZ, окружность радиуса є. В результате шарики, обкатываясь по торцевому профилю зубчатого венца и совершая осевые перемещения в прорезях сепаратора, поворачивают а сепаратор на угол — при повороте ведущего вала на угол а. Для построения кинематически согласованной модели работы механизма будем считать, что в каждый момент времени центры шаров лежат в одной плоскости и находятся на эллипсе el сечения цилиндра радиуса R этой плоскостью (R — радиус окружности, на которой лежат центры цилиндрических прорезей сепаратора). Тогда можно получить точное уравнение синусоидальной кривой Sk на цилиндре радиуса R, которую опишет центр одного шара при работе механизма, а центры всех шаров в каждый момент времени определятся как точки пересечения этой кривой с эллипсом el (рис.4.3.3).
При работе механизма нормаль к плоскости эллипса el поворачивается вокруг оси вращения ведущего вала (ось OZ) составляя с ней постоянный угол 0. Для нахождения этого угла рассмотрим сечение механизма в начальный момент времени плоскостью, проходящей через OZ и большую ось эллипса el (рис.4.3.4). Требуя, чтобы концы большой оси эллипса el были равноудалены на радиус шара р от образующих конуса, лежащих в плоскости сечения, получаем: где Р - угол между образующими конуса и плоскостью, перпендикулярной его оси. Вектор нормали к плоскости эллипса el в начальный момент времени имеет вид: где 0 находится из (4.3.1). Обозначим матрицу поворота вектора вокруг оси OZ на угол а через Тогда при повороте вектора нормали вокруг оси OZ в силу (4.3.2) и (4.3.3) получаем: Центр эллипса el при работе механизма остается неподвижным и находится в точке Се{0, 0, Ь}, где Здесь ri — радиус окружности сечения конуса, ограничивающего рабочую поверхность снизу. Таким образом, эллипс el получается как сечение прямого кругового цилиндра радиуса R плоскостью, проходящей через точку Се, с нормалью N(a). Записывая уравнение этой плоскости в виде: параметрические уравнения эллипса el для каждого значения а: Фиксированная точка этого эллипса (например, при а = 0 - центр первого шара) при работе механизма будет поворачиваться вокруг оси OZ на угол ф(а) = —. Умножая матрицу этого поворота (4.3.3) слева на вектор столбец координат фиксированной точки эллипса (4.3.7) при и = 0, получаем параметрические уравнения синусоидальной кривой Sk: Дорожка качения (внутренний профиль зубчатого венца) должна представлять собой поверхность — часть огибающей семейства сфер радиуса р, центры которых находятся на кривой Sk (см. (1.3.5) в 1.3). Будем считать, что искомая линия контакта является пересечением этой поверхности с цилиндром радиуса R, на котором лежит кривая Sk. Точки искомой линии должны лежать на цилиндре (4.3.6) и в нормальной плоскости к линии Sk. Уравнение этой плоскости запишем в виде: где нижний индекс і означает (г +1)-ю координату вектор-функции с координатами (4.3.8). Выражая отсюда z, и подставляя в (4.3.6), получим параметрические уравнения линии Ее: где зависимость и от t находится из условия удалённости точки линии Ec{t) от соответствующей точки линии Sk(i) на радиус шара р и имеет вид: Решения этого тригонометрического уравнения находятся при помощи символьных вычислений в пакете MathCad, при этом необходимо отобрать только те решения, которые приводят к точкам, расположенным ниже линии Sk, для чего создана специальная подпрограмма. Из (4.4.1) при tk (2%k+a) получаются координаты точек контакта к-го шара (к = 0,1,.., Z2 — 1) с дорожкой качения для любого значения а.
