Введение к работе
Актуальность работы
В последние годы внимание исследователей привлекают проблемы естествознания, связанные с развитием физико-химической технологии, внедрением в практику оптимизации производственных процессов, созданием энерго и ресурсосберегающих технологий, поиском новых материалов с заданными свойствами, созданием элементной базы для нового поколения устройств и систем микроэлектроники. Наконец, широкий спектр био-физико-химических и экологических задач требует систематизации физико-химических исследований и создания единого подхода к анализу разнообразной информации о строении и физико-химических свойствах различных веществ на основе современных методов прикладной математики и теории математического моделирования. Для этой цели, в частности, необходимо создание программных комплексов решения квантовомеханических задач для систем многих частиц, использующих алгоритмы, применимые к достаточно широкому классу квантовомеханических систем.
Кинетические явления в разреженных газах являются предметом исследования еще со времен Максвелла и Больцмана. При этом большая часть работ по данной тематике посвящена изучению поведения классических газов. Квантовые газы изучались главным образом в рамках рассмотрения кинетики электронов в полупроводниках и металлах, а также кинетики фотонов в конденсированных средах.
Однако, и электроны в твердых телах, и фотоны относятся к квазичастицам, поведение которых в ряде важных деталей отличается от поведения свободных частиц, а электроны, кроме того, обладают зарядом и спином, так что мы имеем дело с кинетикой плазмы.
В последнее время наблюдается растущий интерес к задачам, связанным с поведением газов в режимах, когда их квантовыми свойствами пренебречь нельзя. Большой интерес вызывает также вопрос о поведении смесей этих газов. Наиболее часто рассматриваемыми «квантовыми» газами являются 3Не и 4Не. Отметим, что 3Не —это ферми-газ, а 4Не —бозе-газ. Такое сочетание различных квантовых статистик вызывает особый интерес к их смесям. Много работ посвящено свойствам растворов этих газов. В то же время граничные задачи для таких смесей остаются малоисследованными. К таким задачам относится задача о поведении смеси квантовых газов вблизи границы испарения. Другой актуальной задачей является задача об изотермическом скольжении одноатомного ферми-газа вдоль плоской поверхности. Эти задачи являются привлекательными как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений. Они возникают в различных областях науки и техники, связанных с авиацией, космическими исследованиями, с получением сверхчистых веществ в космосе, в химической технологии, в частности, при математическом описании и моделировании процессов, происходящих в псевдо-сжиженном слое, и т. п.
Работа посвящена разработке новых математических моделей для изучения кинетических явлений разреженных квантовых ферми-газов при достаточно общих граничных условиях. Рассматриваются: задача об испарении бинарной газовой смеси, когда испаряющейся компонентой является квантовый ферми-газ, и
задача об изотермическом скольжении одноатомного квантового ферми-газа вдоль плоской поверхности. Исследована зависимость коэффициента скачка химического потенциала от коэффициента испарения. Проведены численные эксперименты и построены зависимости коэффициента скачка безразмерного химического потенциала от величины коэффициента аккомодации в широком диапазоне значений коэффициента аккомодации. Коэффициент изотермического скольжения найден как функция коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул и безразмерного химического потенциала. Выполнено сравнение модельных результатов с известными результатами, когда квантовый ферми-газ переходит в классический.
Цель и задачи исследования
Целью настоящей работы является разработка нового эффективного метода решения граничных задач кинетической теории, в основе которого лежит метод решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. На пути к поставленной цели основными задачами исследования были следующие:
Создание математической модели, описывающей поведение квантовых газов вблизи границы раздела газ — конденсированная фаза, для изучения влияния квантовых эффектов на макропараметры исследуемой системы. Для описания кинетических процессов вблизи поверхности используется кинетическое уравнение Больцмана с модельным интегралом столкновений.
Разработка численного метода, который вычисляет функцию распределения частиц по скоростям на основании сформулированной системы интегро-диф-ференциальных уравнений, описывающих поведение квантового ферми-газа.
Создание комплекса программ для проведения исследований решений кинетических уравнений в задачах испарения и скольжения квантовых ферми-газов.
Научные положения, выносимые на защиту
Созданная в работе физико-математическая модель кинетических уравнений Больцмана для решения граничных задач испарения и скольжения квантовых ферми-газов, представленная в форме замкнутой системы интегро-дифферен-циальных уравнений, обладает параметрической полнотой (учитывает актуальные параметры газов — коэффициент диффузии, массовую скорость, концентрацию, вязкость), в силу чего информационно достаточна для построения прогнозных течений.
Построенный метод решения граничных задач кинетической теории обеспечивает нахождение аналитического решения кинетических уравнений Больцмана в задаче испарения квантового ферми-газа в бинарную газовую смесь.
Разработанный метод решения граничных задач кинетической теории обеспечивает нахождение аналитического решения в задаче Крамерса об изотермическом скольжении квантового ферми-газа вдоль плоской поверхности.
4. Разработанный программный комплекс и проведение численного эксперимента на основе созданной модели кинетических уравнений Больцмана является необходимым условием для обоснованного подтверждения как самой модели, так и метода решения граничных задач кинетической теории, которые соответствуют особенностям поведения квантовых ферми-газов.
Методы исследования
В ходе исследования применяются следующие математические методы. Рассматривается линеаризованное относительно абсолютного максвеллиана кинетическое уравнение Больцмана. Методом разделения переменных это уравнение сводится к задаче на собственные значения (в данной работе это решение дисперсионного уравнения). При исследовании моделей кинетических уравнений применяется техника методов теории функций комплексного переменного, в частности, метод краевых задач Римана—Гильберта. В работе используются методы теории обобщенных функций, методы теории возмущений, асимптотические методы. В программной реализации численных экспериментов используется ряд алгоритмов, которые реализованы на языке C++. Вычисления проводились в среде программирования MS Visual Studio, построение графиков функций в ряде задач осуществлялось с помощью среды Mat head.
Достоверность
Достоверность полученных в работе результатов обусловлена адекватностью построенных моделей классическим представлениям в теоретической физике, строгостью математических постановок задач, методов решения краевых и начально-краевых задач, тестирования известными точными решениями и подтверждается сопоставлением аналитических результатов с результатами численных расчетов, а также хорошего согласования с данными, полученными другими авторами.
Научная новизна
Новизна проведенного исследования состоит в том, что в диссертации впервые получены точные аналитические решения полупространственных задач об испарении бинарной газовой смеси, когда испаряющейся компонентой является квантовый ферми-газ, и об изотермическом скольжении одноатомного квантового феми-газа вдоль плоской поверхности при аккомодационных условиях отражения частиц. Разработаны численные методы для эффективного решения этих задач.
Практическая значимость
Полученные в работе теоретические результаты могут послужить отправной точкой дальнейших исследований по данной проблематике, расширив тем самым область применения разработанного метода. Представленная методика решения задач испарения бинарных квантовых ферми-газов и скольжения одноатомных квантовых ферми-газов позволяет оценить влияние различных параметров (размер частиц, концентрации частиц, вязкости) на распределение поглощенной энергии внутри частиц. Путем варьирования этих параметров представляется возможным изменять распределение температуры в газовой среде, что создает определенные возможности
для управления различными физико-химическими процессами (фазовые переходы, химические превращения, изменения агрегатных состояний и др.).
Использованные методы решения кинетических уравнений могут найти применение в различных областях техники для задач, связанных с авиацией и космическими исследованиями, получением сверхчистых веществ в космосе, в химической технологии, в частности, при математическом описании и моделировании процессов, происходящих в псевдосжиженном слое и т. п.
Личный вклад автора
В совместных работах автору принадлежат результаты в равных долях. Из совместных публикаций в диссертацию включены лишь те результаты, которые получены лично автором.
Апробация работы
Результаты, представленные в работе, методы и алгоритмы исследований докладывались и обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах:
Международная конференция молодых ученых MAKS 2007, г. Жуковский, М.О.
IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Краснодар, 2007 г.).
Международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения» (г. Москва, 2006-2009 гг.).
Научные семинары отдела сложных систем ВЦ РАН им. А. А. Дороницина (2006-2009 гг.).
Научные семинары кафедры «Прикладная математика» «МАТИ»—РГТУ им. К.Э. Циолковского (2004-2008 г.).
Реализация и внедрение результатов работы
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №09-01-00678-а). Результаты диссертационной работы использованы ООО «Вызов» при расчете коэффициентов вязкости и массовой скорости в задаче об испарении квантового ферми-газа с плоской поверхности в полупространство насыщенного газа. С помощью пакета программ получены зависимости коэффициентов скачка безразмерного химического потенциала от величины коэффициента аккомодации.
Кроме того, программная реализация в среде Matlab позволила найти зависимость коэффициента изотермического скольжения от величины химического потенциала и от величины коэффициента аккомодации в задаче об изотермическом скольжении квантового ферми-газа вдоль плоской поверхности.
Применение указанных материалов позволило сократить время расчетов на порядок и уменьшить затраты аппаратных ресурсов на реализацию (акт внедрения №1/53-71).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, в числе которых 4 публикации в журналах, рекомендованных ВАК, 2 —в трудах Всероссийских и Международных конференций.
Структура и объем диссертации
