Введение к работе
Актуальность темы. Изучение многих процессов, происходящих в различных природных и технических системах, сводится к анализу их математических моделей Часто такая модель является системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), разрешенной относительно старших производных искомой вектор-функции, описывающей изменение во времени (пространстве) тех или иных характеристик исследуемого процесса Такие системы принято называть системами, приведенными к нормальной форме (форме Коши). При попытке учесть в модели балансовые соотношения, в частности, законы сохранения, системы ОДУ дополняются алгебраическими уравнениями и такие системы принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ) Если процесс обладает последействием, то математическая модель может включать в себя и интегральные уравнения. В этом случае мы получаем систему взаимосвязанных дифференциальных, алгебраических и интегральных уравнений типа Вольтерра, которую можно записать в виде системы интегро-дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей перед старшей производной искомой вектор-функции Такие системы называют вырожденными интегро-дифференциальными системами или системами интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) с тождественно вырожденной главной частью Исследования подобных систем стимулированы прежде всего наличием прикладных задач, сводящихся к ним. 1>2 В частности, наряду с хорошо изученными стационарными гидравлическими цепями, в последнее десятилетие большое значение приобретает моделирование нестационарных гидравлических цепей 3
'Серов Е П , Корольков Б П Динамика парогенераторов - М Энергоиздат, 1981 - 408 с 2Ушаков Е И Статическая устойчивость электрических систем - Новосибирск Наука, 1988 - 273 с 3Балыпшв О А, Таиров Э А Анализ переходных и етащюнрных процессов в трубопроводных системах (теоретические и экспериментальные аспекты)-Новосибирск Наука Сиб предприятие РАН,1998 - 164 с
Диссертационная работа посвящена разработке качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей, возникающих в теории нестационарных нелинейных гидравлических и электрических цепей, построению и обоснованию эффективных численных методов их решения с применением ЭВМ
В общем случае исследуемые уравнения могут быть записаны в виде соотношения
A(t,x,Vx,v)x + B(t,x,Vx,v)=0, t Є [0,1] = Т, (1)
с начальными данными
х(0) = хо, (2)
где A(t, х, у, и) - (п х та)-матрица, B(t, х, у, и) - n-мерная вектор-функция, х = d/dt, х = x(t) - искомая вектор-функция, Vx = fK(t,s,x(s))ds - оператор Вольтерра, K(t,s,x) - n-мерная вектор функция, v Є N = (—щ, щ) - числовой параметр, xq - заданный вектор из Rn Здесь
х Є Q = {х \\х-Хо\\ < Pi}, уеЫ = {у \\у\\ < р2}, Pi,p2 R1
Предполагается, что входные данные достаточно гладкие в соответствующих областях определения и выполнено условие
detA(t,x,y,i>) = 0 V (t,x,y,v)eTxQxUxN', (3)
В частности, допускается, что матрица A(t, х, у, и) может быть нулевой Под решением системы (1) мы будем понимать любую вектор-функцию x{t) Є С^Т), которая обращает исходное уравнение в тождество
Наряду с общим уравнением (1) в работе рассматриваются его частные случаи
A(t)x(t) + B(t,x>Vx) = Q (4)
A{t)x(t) + B(t)x(t) + F{t, x, Vx) = 0, (5)
а также случай, когда ядро оператора Вольтерра содержит слабую особенность, т е
t Vax = /(* - s)~aK{t, s)x(s)ds, 0 < a < 1 о
Теория вырожденных задач вида (1) и построение численных методов их решения в настоящее время интенсивно развиваются в Германии, США, Швейцарии, Украине, Казахстане и в нашей стране (А А Абрамов, Е Б Кузнецов, Ю Е Бояринцев, М.В Булатов, В Ф Чистяков, В К Горбунов, Г Ю Куликов, Г А Курина и др) В подавляющем числе статей и монографий рассматривается частный случай систем (1) A(x,t)x + B{x,t) = 0, называемых дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ) Вырожденные ИДС исследованы значительно слабее.
Глубокие результаты получены в аналитической теории дифференциально-операторных уравнений с необратимым оператором в главной части (Н.А. Сидоров, М В Фалалеев, Г А Свирй-дюк, В Е Федоров, И В Мельникова, С Г Крейн и др ) с приложениями к уравнениям в частных производных 4'5,6 Для таких уравнений доказаны теоремы существования, разработаны асимптотические методы, построена теория обобщенных решений, изучены вопросы конвергентности и бифуркаций Андронова-Хопфа, в том числе в условиях групповой симметрии Также изучены проблемы корректности, ветвления решения и регуляризации
4С&ярида>к Г А Квазисталион&рвые траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Изв РАН, сер матем - 1993 - Т 57, N 3 - С 192-202
5Сидоров Н А Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией Математические заметки - М Наука, 1984 - Т 35 Выл 4 - С 569-678.
6Sidorov N, Logmov В , Simtsyn A, Falaleev М Lyapunov-Sehmidt methods in nonlinear analysis and applications Kluwer Academic Publishers, 2002
В предыдущих работах по данной тематике было показано, что исследуемые задачи относятся к классу некорректных задач, в частности, сколько угодно малые возмущения входных данных могут приводить к сколь угодно большим возмущениям решения или к его отсутствию Эту особенность ДАУ и вырожденных ИДС следует учитывать при построении численных методов Для подавления влияния возмущений входных данных разработаны различные методы регуляризации, связанные с именами А.Н Тихонова, В К Иванова, М М Лаврентьева, В А Морозова, В В Васина, А В Бакушинского Большой класс методов регуляризации основан на параметризации исходной задачи, что делает ее корректной Для исследуемого в диссертации класса задач таким параметром является шаг дискретизации
Цель работы. В диссертации ставились следующие задачи.
Получить условия существования единственного решения различных классов задач (1),(2) на всем отрезке Т или на всей числовой оси (полуоси)
Разработать и обосновать эффективные (в том числе и бези-терационные) численные методы решения различных классов задач (1),(2) Исследовать влияние возмущений входных данных на сходимость предлагаемых численных алгоритмов
Данные исследования применить для конкретных практических задач, а именно для уравнений возникающих при моделировании нелинейных нестационарных электрических и гидравлических цепей
Методы исследования. В работе использованы результаты из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений типа Вольтерра, теории устойчивости, матричного анализа, теории конечно-разностных схем, некоторые варианты теоремы о неподвижной точке (метод Пикара) и сведения
из теории нестационарных нелинейных электрических и гидравлических цепей
Научная новизна. Основные результаты диссертационной работы, полученные автором, являются новыми
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер Полученные достаточные условия нелокальной разрешимости и построенные численные методы решения позволяют провести детальное исследование ряда задач из энергетики и электрических систем, которые, как правило, не приводимы к уравнениям, разрешенным относительно старшей производной искомой вектор-функции
Апробация. Результаты, излагаемые в диссертации, докладывались на следующих конференциях
III Школа-семинар молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программирования", Иркутск - Ангасолка, 2003
IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, 2003
III Всероссийская конференция (с международным участием и молодежной секцией) "Математика, информатика, управление", Иркутск, 2004
Международная конференция "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" ВИТ-2004, Алматы - Новосибирск, 2004
V Школа-семинар молодых ученых "Математическое моде-
лирование и информационные технологии управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программирования", Иркутск - Ангасолка, 2004
XLIII Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 2005.
XIII Байкальская международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения", Северобайкальск, 2005
VII Школа-семинар молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программирования", Иркутск, 2005.
Кроме того, диссертация докладывалась на лабораторных семинарах в Институте динамики систем и теории управления СО РАН, Институте систем энергетики им Л А Мелентьева СО РАН под руководством дф-мн АС Апарцина, на объединенном семинаре в Институте прикладной математики ДВО РАН (г Владивосток) под руководством профессора Л Т Ащепкова и на объединенном семинаре кафедры математического анализа и кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Иркутского государственного университета под руководством профессора Н А. Сидорова.
Работа поддержана грантами РФФИ проекты № 04-01-00857, № 06-01-81013-Бел_а и № 07-01-90000-Вьет_а
Сведения о личном вкладе автора. Постановка задач принадлежит научному руководителю 'Формулировка и доказательство основных результатов работы выполнены лично автором.
Публикации по работе. По материалам диссертации опубликовано 13 работ Основное содержание диссертации отражено в [1-8] В число указанных работ входят 2 статьи [1,3] из "Перечня
ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ 2007г", 1 статья [2] из "Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ 2001-2006г ", 1 статья в рецензируемом журнале [4], 4 полных текста докладов [5-8] в материалах международных и российских конференций Из совместных работ в диссертацию включены результаты, полученные автором самостоятельно и не затрагивающие интересы других соавторов
Тезисы докладов в числе основных публикаций в автореферате не указываются
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы Список использованной литературы содержит 98 наименований Объем диссертации составляет 113 страниц, включая 13 таблиц и 8 рисунков
