Введение к работе
Актуальность темы. Необходимость численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с начальными данными -возникает при изучении процессов химической кинетики, в теории электрических цепей и электронике, в микробиологии, задачах управления и автоматического регулирования. Кроме того, в настоящее время широкое применение для решения обширного круга сложных эволюционных задач, описываемых дифференциальными уравнениями а частных производных (ДУЧП), получили, так называемые, полудискретные методы, сводящие их путем дискретизации по пространству к системе ОДУ. Последняя как правило оказывается жесткой. Это дало дополнительный стимул для исследования подобных систем. Специализированные численные методы для нахождения решения жестких ОДУ активно разрабатывались за последние тридцать лет и в настоящее бремя являются достаточно развитой областью прикладной математики. Наиболее эффективными и надежными признаны такие методы, как формулы дифференцирования назад, методы типа Розекброка, W-методы, а также' ряд классов методов Рунге-Кутты. Этой теме посвяшены работы широкого круга отечественных н зарубежных математиков: Дж.Бутчера, Г.Ваннера, Дж.Вервера, К-Гнра, Г.Далквиста, КДеккера, П.Капса, СНерсетта, А.Остермана, КіШтремеля, E.Xaflpepa, А.Ю.Захарова, Н.Н.Калиткина, В.И.Лебедева, Е. А. Новикова, Ю.В.Ра ките кого, СМ. Устинова, Р.П.Федоренко, С. С Филиппова, П.Д.Ширкова и других авторов.
Среди численных схем для решения жестких'ОДУ большой интерес продолжают привлекать методы типа Рунге-Кутты, обладающие высоким
порядком сходимости и хорошими свойствами устойчивости. Однако следует отметить, что трудности численной реализации этих методов зачастую нивелируют их теоретические преимущества перед альтернативными ' схемами. Диссертация является результатом исследований автора по проблемам снижения вычислительных затрат при практическом использовании методов Рунге-Кутты, при сохранении ими хороших свойств устойчивости и высокого порядка точности.
Цель работы состоит в построении и исследовании свойств нового класса методов типа Рунге-Кутты (методов с плавающими абсциссами), позволяющих избежать ряда сложностей, обычно появляющихся при численной реализации классических неявных методов Рунге-Кутты. Основное внимание уделяется изучению алгебраических систем, возникающих при применении численного метода для решения ОДУ.
Научная новизна работы заключается в самом подходе к построению методов Рунге-Кутты с точки зрения снижения затрат при решении возникающих при применении численного метода систем алгебраических уравнений. -Разработан способ преодоления некоторых проблем при решении последних - параметризация коэффициентов численной схемы. Кроме того, ряд новых результатов получен автором при исследовании свойств методов типа Рунге-Кутты.
Практическая ценность. В работе построены алгоритмы численной реализации предложенных методов, на их основе созданы программы для решения жестких ОДУ. Были посчитаны тестовые задачи: из набора STIFFDErEST, а также уравнение Бюргерса (после применения полудискретного метода Галеркина). Сравнение с известными программами для решения жестких задач Коши показало надежность и достаточную эффективность алгоритмов, реализующих методы с
плавающими абсциссами. Созданные на их основе программы были использованы для решения задачи из практики - модели, описывающей образование окислов азота при горении метана в воздухе.
Структура диссертации. Данная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитированной литературы, приложений и имеет объем 144 страницы. Библиография содержит 57 наименований.
