Введение к работе
Актуальность темы
Задача предсказания поведения объекта во времени и пространстве на основе знания определенных начальных условий является одной из наиболее важных задач естествознания. Объект, в зависимости от своей сложности, может описываться как детерминистическими, так и вероятностными законами, либо задаваться законом пространственно-временной эволюции. Примером таких объектов являются динамические системы. В зависимости от выбора способа описания динамической системы (дифференциальные уравнения, дискретные отображения, графы и т.д.) задается конкретный вид математической модели. Модели на основе дискретных отображений и дифференциальных уравнений чаще всего являются объектом исследований нелинейной динамики, изучающей хаотическое поведение различных динамических систем. Переход системы в хаотический режим удобно рассматривать на моделях, задаваемых дискретными отображениями, т.к. для систем дифференциальных уравнений хаос возможен только в трехмерном фазовом пространстве, а для дискретных отображений достаточно двух измерений. Существует универсальный подход, предложенный французским математиком Анри Пуанкаре, который позволяет поставить в соответствие дифференциальной динамической системе дискретное отображение. Значительный вклад в развитие нелинейной динамики и теории хаоса внесли: Г. Шустер, М. Фейгенбаум, Г. Г. Малинецкий, С. П. Кузнецов, Е. Б. Вул, Я. Г. Синай. Принципы математического моделирования доступно изложены в работах А. А. Самарского, А. П. Михайлова, Б. Н. Четверушкина.
В настоящее время, в период бурного развития электронных информационных ресурсов, актуальным становится вопрос противодействия распространению вредоносного программного обеспечения. Массовая рассылка («спам») и другие подобные методы информационного воздействия на пользователей Всемирной паутины используют вредоносные программы, превращающие компьютер в инструмент распространения рекламы, «раскрутки» и увеличения посещаемости вредоносных сайтов, других нелегальных методов. Процесс распространения компьютерных вирусов в сети можно рассматривать как динамическую систему. Моделирование данного процесса, изучение свойств модели и их зависимости от различных факторов позволяет
выявить и устранить недостатки в системе безопасности.
Важность и актуальность исследований, проводимых в рамках диссертационной работы, обоснована решением актуальной задачи поиска новых свойств и закономерностей дискретных отображений, разработки методов противодействия вредоносным программам на основе математического моделирования, а также разработкой соответствующего этим задачам прикладного программного обеспечения.
Объект и предмет исследования
Объектом исследования являются модели нелинейных
динамических систем. Предметом - проявляющиеся в них свойства и характерные закономерности теоретического и прикладного характера.
Целью работы является выявление новых свойств моделей нелинейных динамических систем, построение новых моделей на основе дискретных отображений, разработка математической модели распространения компьютерных вирусов в сети и комплекса программ для исследования свойств данной модели и проведения экспериментов, разработка и практическое применение новых алгоритмов обработки информации на основе моделей динамических систем.
Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих задач:
исследование дискретных отображений и моделей нелинейных динамических систем, выявление новых свойств и закономерностей при помощи существующих и разработанных автором оригинальных программных продуктов;
разработка математической модели распространения вредоносных программ в компьютерной сети, учитывающей особенности участия конечных пользователей в процессе, программная реализация модели;
разработка комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов и анализа получаемых данных;
сравнение экспериментальных данных с модельными расчетами, выявление соответствий в полученных результатах;
разработка алгоритмов и программного обеспечения, методик их практического использования.
Научная новизна:
- получены новые свойства дискретных отображений, связанные с бифуркационными значениями параметров и теорией числовых последовательностей;
приведен способ параметрического кинематико-геометрического представления логистического отображения;
разработана новая математическая модель распространения вредоносного программного обеспечения в компьютерной сети и комплекс программ для проведения экспериментов, изучения свойств полученной модели и других моделей динамических систем, задаваемых дискретными отображениями;
предложены новые алгоритмы обработки информации на основе дискретной модели математического бильярда.
На защиту выносятся следующие основные положения:
Новые свойства дискретных отображений, связанные с бифуркационными значениями параметров и теорией числовых последовательностей; предложено отображение хп+\ = a cos(7UC„), обобщающее логистическое отображение, которое является частным случаем предложенного.
Математическая модель распространения вредоносного программного обеспечения в компьютерной сети и комплекс программ для проведения экспериментов, изучения свойств полученной модели и других моделей динамических систем.
Алгоритмы обработки информации на основе дискретной модели математического бильярда и их реализация.
Достоверность основных положений и результатов
Научные результаты диссертационной работы получены на
основании достоверных знаний в области моделирования нелинейных
динамических систем и использования строгого математического
аппарата. Полученные результаты подтверждены вычислительными
экспериментами, практическим применением разработанных
математических моделей и программных продуктов, а также проверены сравнением с результатами расчетов для некоторых моделей, приведенными в научных работах других авторов.
Практическая ценность результатов работы
Разработанная модель и программное обеспечение позволяют произвести тестирование локальной сети на предмет антивирусной безопасности, а также выявить особенности и получить приближенные значения параметров различных динамических систем, задаваемых дискретными отображениями, на этапе предварительного графического построения, что позволяет сэкономить время работы алгоритмов,
зависящих от выбора начальных условий в более точных численных расчетах.
Внедрение научных результатов
Предложенные модели и алгоритмы были внедрены в производственный процесс филиала ООО «Аптека-Холдинг 1» в г. Воронеже, что подтверждается соответствующим актом внедрения.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих всероссийских и международных конференциях:
«Международная школа-семинар «Современные проблемы механики и
прикладной математики»», Московский государственный университет,
Воронежский государственный университет, Воронежская
государственная технологическая академия, 2005 год;
«Ежегодная научно-практическая конференция докторантов, аспирантов и преподавателей межфакультетских кафедр», Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2008 год;
«Международная научно-практическая конференция», Российский университет дружбы народов, инжиниринговая компания «Тесис», 2009 год;
«XLV юбилейная Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии», Российский университет дружбы народов, 2009 год.
«Научная сессия Воронежского государственного университета», 2009 год.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 10 научных работ и 5 тезисов докладов конференций.
Объем и структура диссертационной работы
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа содержит 108 страниц основного текста, 33 рисунка, 5 таблиц, 42 страницы приложений. Список литературы включает 112 наименований.
