Содержание к диссертации
Введение
1. Пристенные газодинамические высоко температурные течения 19
1.1. Моделирование пристенного высокотемпературного градиентного газодинамического течения на
неизотермической стенке 19
1.1.1. Физико-математическая модель 19
1.1.2. Определение газодинамических характеристик на внешней границе 24
1.1.3. Определение газодинамических характеристик вдоль линии полного торможения 25
1.2. Численное решение задачи о пристенном течении на неизотермической стенке 28
1.3. Результаты решения задачи о пристенном течении 31
Выводы к главе 1 38
2. Теплоперенос в анизотропных областях с разрывными характеристиками 40
2.1. Моделирование теплопереноса в анизотропных областях с разрывными характеристиками 40
2.2. Метод численного решения 45
2.3. Анализ численных результатов 51
2.4. Апробация аналитического решения второй начально-краевой задачи анизотропной теплопроводности и метода переменных направлений с экстраполяцией 53
Выводы к главе 2 57
3. Моделирование сопряженного теплообмена между пристенным течением и анизотропными составными телами 58
3.1. Математическая постановка 59
3.2. Метод численного решения 63
3.3. Анализ полученных результатов 67
Выводы к главе 3 79
4. Моделирование сопряженного тепло обмена на границах анизотропных тел с использованием аналитических решений 85
4.1. Аналитическое решение второй начально-краевой задачи в анизотропном полупространстве 85
4.1.1. Математическая постановка 85
4.1.2. Метод решения задачи 87
4.1.3. Анализ результатов 90
4.2. Аналитическое решение второй начально-краевой задачи в анизотропной пластине 93
4.2.1. Математическая постановка задачи 93
4.2.2. Метод решения 94
4.2.3. Анализ результатов 96
4.3. Аналитическое исследование сопряженного теплообмена между пограничным слоем и анизотропными телами ...98
4.3.1. Постановка задачи сопряженного теплообмена между пограничным слоем и анизотропной пластиной 98
4.3.2. Упрощение системы уравнений пограничного слоя и получение аналитического решения задачи пограничного слоя 101
4.3.3. Свойства аналитических решений второй начально-краевой задачи анизотропной теплопроводности 104
4.3.4, Анализ полученных результатов 109
Выводы к главе 4 112
Заключение 113
Список использованной литературы
- Определение газодинамических характеристик на внешней границе
- Апробация аналитического решения второй начально-краевой задачи анизотропной теплопроводности и метода переменных направлений с экстраполяцией
- Анализ полученных результатов
- Аналитическое исследование сопряженного теплообмена между пограничным слоем и анизотропными телами
Введение к работе
При определении теплового состояния тел в условиях конвективно-кондуктивного теплообмена, и в частности, при сверх- и гиперзвуковом обтекании летательных аппаратов (ЛА) сформировалось два подхода.
Первый подход называют традиционным. При его использовании задачи теплообмена в пристенных вязких газодинамических течениях и теплопереноса в теле ставятся и решаются отдельно, а именно, найденные тепловые потоки из решения систем уравнений высокотемпературных пристенных течений, используются затем в качестве краевых условий в задачах теплопереноса в обтекаемых телах. Достоинством такого подхода является сравнительная простота решения задач о тепловом состоянии тел. Однако он обладает рядом существенных недостатков, главным из которых являются следующие: во-первых при постановке и решении задач тепло-массопереноса в пристенных течениях не учитывается тепловое состояние тела и краевое условие для уравнения энергии задается не из теплового состояния тела, а приближенно из некоторых соображений, не имеющих никакого отношения к тепловому состоянию тела, т.е. тепловое состояние тела не влияет на динамическое и тепловое состояние пристенного течения; во-вторых, тепловой поток, входящий в тело и определенный вне связи с тепловым состоянием тела, не учитывает влияния пристенного течения на тепловое состояние тела.
Второй подход - моделирование сопряженных задач теплообмена в пристенных течениях и теплопроводности в обтекаемых телах, стыкуемых на границах "газ - твердое тело", называемых границами сопряжения. Решение подобных задач устраняет недостатки, присущие традиционному подходу, однако сложность постановки и решения подобных задач неизмеримо возрастает по сравнению с традиционными, поскольку приходится моделировать и стыковать тепломассоперенос в различных средах, на которых кроме непрерывности тепловых потоков и температур (краевых условий четвертого рода) необходимо формировать краевые условия для каждого уравнения математических моделей, описывающих тот или иной физический процесс в газе и в теле.
Большинство материалов, из которых изготовлены обтекаемые тела, являются анизотропными материалами со степенью анизотропии, изменяющейся в пределах от 1,1 до 200. В сопряженных задачах теплообмена между газодинамическими течениями и анизотропными телами необходимо учитывать существенные перетоки тепла в продольном направлении, как в теле, так и в газе, в результате чего газодинамические течения на таких телах описываются уравнениями эллиптического типа, т.е. моделирование течения и теплообмена в приближении пограничного слоя не приемлемо и приходится рассматривать пристенные течения, учитывающие в уравнениях сохранения импульса и энергии вторые производные от искомых, газодинамических функций по продольной пространственной переменной.
В этой связи тема диссертационной работы по моделированию и исследованию сопряженного теплообмена между пристенными газодинамическими течениями и анизотропными телами является актуальной.
Математическое моделирование теплового состояния обтекаемого тела, таким образом, является комплексной проблемой, включающей в себя следующие составные части, каждая из которых имеет самостоятельное значение: пристенное невязкое течение, содержащее производные по продольной переменной, причем характеристики этого течения на стенке затем используются в краевых условиях для пристенных вязких течений; пристенное вязкое течение, также содержащее вторые производные газодинамических характеристик по продольной переменной;
7 многомерный теплообмен внутри анизотропных телу когда характеристики переноса являются не скалярными, а тензорными характеристиками, в том числе при наличии разрывов этих характеристик; сопряженный теплообмен между пристенным газодинамическим течением и анизотропным телом.
В диссертационной работе численно и аналитически моделируется весь комплекс перечисленных проблем. Особое внимание уделено разработке программных комплексов по расчету теплогазодинамических характеристик вязкого и невязкого пристенных течений, многомерных нестационарных температурных полей в составных анизотропных телах, в том числе с разрывными теплофизическими характеристиками (ТФХ), сопряженного теплообмена между пристенными течениями и анизотропными телами. Эти программные комплексы используются в качестве инструмента по исследованию взаимного влияния многочисленных теплогазодинамических и теплофизических характеристик.
Основная трудность в проблемах сопряженного теплообмена заключается в том, что для решения полных уравнений пристенного течения необходимо в качестве краевого условия для уравнения энергии задать температуру границы сопряжения, для определения которой необходимо полностью решить задачу теплопроводности в теле. Для решения задачи теплопроводности в теле должны быть заданы на границе сопряжения тепловые потоки от пристенного течения, которые определяются из решения полной системы уравнений пристенного течения. Чаще всего выход из этого круга находился в виде итерационных процедур. А именно, если задача теплопроводности ставится в нестационарной постановке, а задача пристенного течения - в квазистационарной (характерное время в виде отношения размера тела к скорости невязкого потока много меньше характерного времени нагрева тела), то в качестве начального приближения температуры границы сопряжения в задаче пограничного слоя принимается распределение температуры из предыдущего временного слоя. Далее
8 итерационный процесс очевиден. Этот метод не годится в сопряженных стационарных задачах пограничного слоя и теплопроводности.
По исследованию сопряженного теплообмена на границах изотропных тел известны классические работы Лыкова А.В. и его школы [59-65] , в которых рассматривались простейшие сопряженные задачи в локально-одномерных постановках. В тех же работах высказаны основные идеи и методы решения сопряженных задач теплообмена, основными из которых являются следующие: -итерационные методы, которые сложно применить к стационарным сопряженным задачам; -метод объединения расчетных областей в одну расчетную область, этот метод обладает существенным недостатком при реализации вычислений, поскольку шаги сетки в теле и в пристенном течении отличаются - в 10 раз и более, что существенно снижает точность вычислений, особенно в окрестности границы сопряжения; -метод введения параметра, в качестве которого можно использовать распределение температуры на границе сопряжения; этот метод в многомерных задачах не был реализован из-за его сложности, поскольку значение температуры в каждом узле пограничного слоя и тела зависит от температуры границы сопряжения; в работе Формалева В.Ф., Голованова В.А. [117] описан безытерационный метод введения параметра для эффективного решения сопряженных задач пограничного слоя и анизотропной теплопроводности.
Основные теоретические и практические аспекты проблемы математического моделирования процессов теплообмена при обтекании тел газодинамическими потоками отражены в ряде известных монографий [77,78,103,83]. Существенный вклад в исследование сопряженного теплообмена внесен работами Ревизникова Д.Л. [91-96].
Сопряженный теплообмен полого эллиптического цилиндра в ламинарном потоке рассматривался в работе [27]. В работах [34-36] численно
9 решались неавтомодельные задачи пограничного слоя с учетом сопряженного теплообмена, когда невозможно применить переменные
Дородницына-Лиза из-за наличия производных второго порядка от газодинамических функций по продольной переменной.
По исследованию сопряженного теплообмена на границах анизотропных тел публикации практически отсутствуют. В сопряженных задачах пристенного течения и анизотропной теплопроводности трудности постановки и решения существенно возрастают в силу того, что, во-первых, приходится ставить и решать многомерные по пространству сопряженные задачи, во-вторых, все направления в точках, принадлежащих границе сопряжения, равнозначны в том смысле что нельзя пренебречь продольными перетоками тепла, в-третьих, решение подобных задач зачастую сводится не к трансцендентному уравнению, как в изотропном случае, а к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка относительно температуры границы сопряжения в двумерном случае и для уравнения первого порядка в частных производных - в трехмерном случае.
Вопросы пристенных градиентных газодинамических течений в приближении пограничного слоя исследовались во многих работах, например, в [19, 28, 29, 34-36, 54, 55, 63-65, 79, 86, 93, 107, 114, 141, 146]. Имеются прекрасные монографии Шлихтинга Г. [141], Лапина Ю.В. [57], Пасконова В.М. и Полежаева В.И. [80]. Численное исследование пристенных течений описываемых уравнениями эллиптического типа, на неизотермических стенках рассматривалось в работах [29, 34-36, 79, 146]. При этом работы по численному моделированию пристенных течений на неизотермических стенках, температура которых определяется по тепловым потокам от пристенных течений, автору неизвестны.
По теории теплопроводности опубликовано значительное число работ, среди которых необходимо отметить замечательные монографии и учебники [19, 25, 31, 32, 38, 40, 47, 60, 73, 81, 85, 109, 140]. Однако этого нельзя сказать о работах по теплопроводности анизотропных тел. Некоторое
10 систематизированное изложение представлено единственной главой в единственной монографии [40]. Публикации в статьях [50, 48, 87-90, 139,
140] касаются аналитических решений задач анизотропной теплопроводности в простейших областях с граничными условиями первого рода. В работах [46, 47, 135] численно решались задачи теплопроводности в телах различной формы в различных постановках.
Дальнейшее развитие теории теплопроводности анизотропных тел получило в работах [112-121] научного руководителя соискателя, в которых получены новые аналитические решения и численные методы решения задач анизотропной теплопроводности.
В совместных работах научного руководителя и соискателя [122-134] получены новые аналитические решения задач анизотропной теплопроводности с граничными условиями второго рода, в том числе и сопряженных задач. Получен ряд численных результатов, позволяющих сделать вывод о возможности управления тепловыми потоками и температурами путем изменения характеристик тензора теплопроводности.
Таким образом, работы по анизотропной теории теплопроводности практически отсутствуют, не говоря о сопряженном теплообмене на границах анизотропных тел.
На основе изложенного, формулируются следующие цели и задачи диссертации:
1. Разработка математических моделей, методов и программных комплексов по расчету: характеристик пристенных градиентных газодинамических течений, учитывающих вторые производные по продольной пространственной переменной; многомерных нестационарных температурных полей в анизотропных составных телах; параметров сопряженного теплообмена между пристенными течениями и анизотропными телами.
Модификация существующих методов численного решения задач теплопроводности и пристенных течений.
Нахождение аналитических решений второй начально-краевой задачи анизотропной теплопроводности в полупространстве и пластине.
Разработка численно-аналитического метода решения сопряженной задачи пограничного слоя и анизотропной теплопроводности на основе аналитических решений.
Исследование многомерных температурных полей в зависимости от величин главных коэффициентов теплопроводности и ориентации главных осей тензора теплопроводности.
Исследование температуры и величины теплового потока на границе сопряжения в зависимости от величин главных коэффициентов теплопроводности и ориентации главных осей тензора теплопроводности в теплозащитном слое.
Для численной реализации комплексов задач, перечисленных в этих целях, необходимо выбрать численный метод, удовлетворяющий следующим требованиям: экономичности, абсолютной устойчивости, простоте алгоритмизации, К настоящему времени существует огромное число работ, посвященных численному решению параболических задач. Среди экономичных численных схем необходимо отметить следующие: метод дробных шагов (МДШ) Яненко Н.Н. [143, 143], метод переменных направлений (МПН) Писмена-Рэчфорда [155], центрально-симметричный интегро-интерполяционный метод Самарского А. А. [99-101], метод переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ) Формалёва В.Ф. [116].
Все эти методы являются экономичными, поскольку сводятся к скалярным прогонкам по координатным направлениям и абсолютно устойчивыми, если дифференциальные уравнения не содержат смешанных дифференциальных операторов. При наличии смешанных производных все перечисленные методы, за исключением метода [119], являются условно устойчивыми, даже такой метод, как метод дробных шагов Яненко Н.Н.
12 Поэтому для программной реализации использован экономичный, абсолютно устойчивый метод переменных направлений с экстраполяцией, разработанный научным руководителем. По точности и порядку аппроксимации он уступает таким методам, как МПН, метод стабилизирующей поправки, но по запасу устойчивости он не имеет себе аналогов. Кроме этого, МПНЭ обладает полной аппроксимацией на каждом временном полуслое.
Ниже изложено краткое содержание диссертации. Она состоит из введения, четырёх глав с выводами, заключения и списка литературы.
В первой главе моделируется и численно решается задача о высокотемпературном газодинамическом течении около неизотермической стенки ограничивающей анизотропное тело, в условиях гиперзвукового обтекания (число Маха более 5). Главным отличием моделируемого течения от пограничного слоя является наличие вторых производных по продольной переменной от функции скорости и температуры соответственно в уравнениях сохранения импульса и энергии. Предложен новый метод численного решения всей задачи с учетом вторых производных по продольной переменной. Получены и проанализированы результаты численного решения предложенной модели.
В параграфе 1.1 дана математическая формулировка задачи, учитывающая вторые производные по продольной переменной. Решена задача невязкого течения для задания краевых условий для компонентов скорости, температуры и плотности. Определены все газодинамические параметры вдоль линии полного торможения между прямым участком ударной волны и телом, поскольку пристенные течения вдоль тела формируются именно в окрестности линии полного торможения.
В параграфе 1.2 осуществлена конечно-разностная аппроксимация на сетке для решения задачи неявным методом переменных направлений с экстраполяцией. Неизвестные значения функций температуры и продольного
13 компонента вектора скорости экстраполируются по двум предыдущим узлам.
Описан общий алгоритм решения задачи пристенного течения.
В параграфе 1.3 исследуется температурные и скоростные поля в пристенном течении для изотермической и неизотермической стенки обтекаемого тела. Исследуются также тепловые потоки к стенке в зависимости от температуры стенки. Установлено, что при увеличении температуры стенки вдоль по течению тепловые потоки уменьшаются.
Во второй главе моделируется теплоперенос в многослойных областях с анизотропией характеристик переноса, причем теплопроводность каждого слоя описывается тензором теплопроводности так, что на границах сопряжения слоев разрываются не только компоненты, но и главные оси тензоров теплопроводности. Установлено, что на этих границах нормальные составляющие вектора плотности теплового потока непрерывны вместе с температурой, а касательные составляющие могут быть разрывны, то есть вектор плотности тепловых потоков разрывен на границах, разделяющих слои. Установление этого факта крайне необходимо для правильной постановки краевых условий на этих границах.
В параграфе 2.1 получена форма нормальной составляющей вектора плотности теплового потока для свободной криволинейной границы анизотропной области, пригодная для применения экономичных численных методов. Построена математическая модель задачи анизотропной теплопроводности в составном теле с разрывными характеристиками теплопереноса.
В параграфе 2.2 предложена конечно-разностная аппроксимация модели, которая осуществляется тем же методом переменных направлений, что и задача пристенного течения, что позволяет совместить соответствующие алгоритмы в единый программный комплекс. Неизвестные значения функций температуры экстраполируются по двум предыдущим временным слоям. На основе интегро-интерполяционного метода Самарского А.А. предложена аппроксимация второго порядка точности на границах тела,
14 а так же на границе разрыва теплофизических характеристик, то есть краевых условий, содержащих производные. Описан общий алгоритм решения задачи анизотропной теплопроводности в составном теле.
В параграфе 2.3 с помощью разработанного программного комплекса, численно реализующего математическую модель изложенную в параграфах 2.1 и 2.2, представлены и проанализированы результаты расчетов температурных полей и компонентов вектора плотности теплового потока на границах разрыва теплофизических характеристик. Подтверждено предположение о непрерывности нормальных составляющих вектора плотности теплового потока на границах разрыва ТФХ и о разрыве первого рода касательных составляющих.
В параграфе 2.4. проведено сравнение численного и аналитического решения. Показано, что численное решение задачи проведено правильно.
В третьей главе предложена математическая модель комплексной задачи сопряженного теплообмена и анизотропной теплопроводности. Исследуется сопряженный теплообмен между пристенным течением, подробно описанным в 1-й главе и анизотропной двухслойной пластиной с разрывными характеристиками теплопереноса, описанной во 2-й главе. Предложен и реализован метод численного решения, основанный на безытерационном методе определения температуры границы сопряжения. Исследуются температурное поле и тепловые потоки от пристенного течения к телу в зависимости от компонентов тензора теплопроводности наружного слоя пластины и толщины.
В параграфе 3.1 сформулирована физико-математическая модель всей комплексной проблемы сопряженного теплообмена между пристенным течением и анизотропным телом.
В параграфе 3.2 изложен метод с использованием параметра, в качестве которого принимается температура границы сопряжения. Идея этого метода для изотропных тел была предложена А.В. Лыковым [65], а его реализация со
15 вторым порядком точности для анизотропных тел предложена В.Ф.
Формалевым в работе [117] .
В параграфе 3.3 приводятся различные результаты, полученные с помощью численной реализации комплексной сопряженной задачи между пристенным течением и анизотропным телом. Показано, что при изменении главных компонентов и ориентации главных осей тензора теплопроводности возможно снижение тепловых потоков на границе сопряжения.
В четвёртой главе описаны впервые полученные аналитические решения второй начально-краевой задачи теплопроводности в анизотропном полупространстве и анизотропной пластине. Решения получены методом последовательного применения интегральных преобразований Фурье по продольной переменной и Лапласа по времени. Эти результаты использованы для аналитического решения простейшей сопряженной задачи пограничного слоя и анизотропной теплопроводности. Полученные аналитические решения позволяют сделать важный вывод об уменьшении тепловых потоков от температурного пограничного слоя к анизотропному телу, если главную ось тензора теплопроводности тела с большим коэффициентом ориентировать вдоль тела.
В параграфе 4.1 впервые получено и исследовано аналитическое решение второй начально-краевой задачи теплопроводности в анизотропном полупространстве, а в параграфе 4.2 — аналитическое решение второй начально-краевой задачи теплопроводности в анизотропной полосе.
В параграфе 4.3 аналитически решается простейшая система уравнений пограничного слоя. Результатом этого решения является функция теплового потока, которая используется в краевом условии для задачи анизотропной теплопроводности. Решение полной системы пограничного слоя и анизотропной теплопроводности свелось к совмещению двух независимо полученных решений. Сложность такого совмещения заключается в том, что аналитическое решение анизотропной теплопроводности получено для конкретной функции Хэвисайда, а функция теплового потока является сложной нелинейной функцией, и к тому же зависящей от температуры границы. В этом параграфе автором предложен численно-аналитический метод решения задачи анизотропной теплопроводности для произвольной функции теплового потока с конечным носителем на основе сформулированных свойств полученного в параграфе 4.1 аналитического решения. Благодаря этому методу стало возможным решить сопряженную задачу анизотропной теплопроводности и простейшего пограничного слоя.
Анализ температурных полей показал, что за счет увеличения продольного компонента тензора теплопроводности возможно снижение тепловых потоков к телу на боковой поверхности обтекаемого тела. А при определенной ориентации возможно снизить тепловой поток и в области затупления.
Таким образом, на защиту выносится:
Математическая модель, метод и программный комплекс по расчету пристенного течения, содержащего вторые производные вдоль продольной переменной. Метод численного решения этой модели основан на методе переменных направлений с экстраполяцией.
Математическая модель, метод и программный комплекс по расчету анизотропной теплопроводности в составных телах с разрывными теплофизическими характеристиками. Метод численного решения этой модели так же основан на методе переменных направлений с экстраполяцией.
Математическая модель, методология и программный комплекс по расчету сопряженной задачи анизотропной теплопроводности в составном теле с разрывными характеристиками теплопереноса и пристенного течения. Численное решение этой модели основано на безытерационном методе определения температуры границы сопряжения, а так же методе переменных направлений с экстраполяцией.
4. Результаты численного исследований температурных полей и тепловых потоков на границе сопряжения.
Аналитическое решение второй начально-краевой задачи теплопроводности в анизотропном полупространстве.
Аналитическое решение второй начально-краевой задачи теплопроводности в анизотропной полосе.
Численно-аналитический метод решения задачи сопряженного теплообмена между пограничным слоем и анизотропной теплопроводностью, основанный на аналитических решениях второй начально-краевой задачи анизотропной теплопроводности и простейшей задачи пограничного слоя.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [122 - 134]. Степень участия автора в работах: разработка метода, алгоритма, программ и анализ результатов. Основные результаты диссертации докладывались: на семинаре кафедры «Вычислительная математика и программирование» под руководством чл.-корр. РАН, профессора Пирумова У .Г.; на XI международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСГШС'2001). 2-6 июля 2001 г, Москва-Истра, Россия; на IV международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ - 2002). 24-28 июня 2002 г, Санкт-Петербург, Россия; на XII международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС2003), 30 июня - 5 июля 2003 г, Владимир, Россия; на 4-й международной конференции по обратным задачам. 2-6 июля 2003 г., Москва, Россия;
18 на 3-й Международной конференции «Математические модели физических процессов», г. Таганрог, 27-28 июня 2003 г.
Диссертационная работа выполнялась при поддержке грантов:
РФФИ, № 01-01-00110-а;
РФФИ,№02-05-81003-Бел2002_а;
РФФИ,№ 04-01-81012-Бел2004_а;
Министерства образования РФ №ТО2-14.0-1812;
Президента РФ МК-1576.2003.01.
По результатам диссертационной работы в 2004 году соискатель стал лауреатом конкурса "Грант Москвы" в области наук и технологий в сфере образования.
Определение газодинамических характеристик на внешней границе
Поскольку газодинамические характеристики в окрестности линии полного торможения формируют затем характеристики вниз по течению, то в окрестности этой линии газодинамические характеристики должны быть определены с высокой точностью. Сложность здесь заключается в том, что начальное распределение этих характеристик взять неоткуда. Для сечений вниз по потоку в первом приближении эти характеристики можно взять из предыдущего сечения. Поэтому для определения газодинамических характеристик на линии полного торможения разработан следующий подход.
Пусть затупленное тело обтекается газодинамическим потоком с характеристиками набегающего потока: VH -скорость набегающего потока, рн - плотность набегающего потока, Тн -температура набегающего потока, рн -давление набегающего потока, а,( - скорость звука набегающего потока.
Тогда можно определить К0, р$, Т0, р0- параметры за прямой частью ударной волны, определяемые с помощью соотношений [161, 162]: Г 2 2 \ cl J, (1-26) к-\ 2Мгнк к-1Л Р0=Рн к+\ к+\ J (1.27) Po = P„ , (1.28) " Jfc-1 Т0=ТНЩ . (1.29) Л)/Р«
Используя соотношения (1.26)-(1.29) в выражениях (1.23) - (1.25), можно получить газодинамические параметры на внешней границе пристенного течения, на линии полного торможения.
При задании закона изменения давления ре{х) в невязком потоке будем требовать, чтобы давление ре{0) было равно давлению торможения Ре() = Ро Будем полагать в первом приближении, что вдоль линии полного торможения плотность, вязкость и теплопроводность постоянны по переменной у: р{ у)=Ро A(r) = A(r0) = Ao, р(г)=р(Г0) = /і0.
Тогда, если в окрестности линии д- = 0 (рис. 1.1) составляющие скорости потенциального течения принять линейными по переменной х и у [141]: U = axtV = -qy, (1.30) где а -постоянная, определяемая из соотношения а = -, (1.31) то давление в окрестности критического сечения будет иметь вид: P0 P = fiy2+r2)=fa2{x2+y2). (1.32)
Для получения компонентов скорости и давления на линии торможения воспользуемся выражениями (1Л0), которые подставляя в (1.32), получим; P0-P = ±a2(x2+F(y)) (1.33) Распределение скоростей (1 10) тождественно удовлетворяют уравнению неразрывности, и для определения функций /(у) и F(y) остаются два уравнения Навье-Стокса плоской задачи. Подставив в них значения u,v, р из равенств (1.10),(1.33), получим для определения f{y) и F{y) два обыкновенных дифференциальных уравнения (1.15),(1.16). На стенке, т.е. при у = 0, обе составляющие скорости и и v должны быть равны нулю; на большом расстоянии от стенки, при у — «э, составляющая и должна быть равна u = U = ax. Кроме того, давление в критической точке равно давлению торможения р- р. Таким образом, получаем граничные условия (1.17), (1.18). Решение задачи (1.15)-(1.18) на линии полного торможения определяется в [141].
Распределение температуры в критическом сечении можно получить, из решения дифференциального уравнения (1.11), с краевыми условиями: 1(0,0)= (0),7(0,) . (1.34)
Если использовать линейное распределение вертикальной составляющей скорости v = —ay для этой задачи, можно получить аналитическое решение в виде: erf T(0,y) = Tw(0) + (Tow(O)) у \2ecppQ (1.35) erf h \2acpPo 2 и Я0
Распределение плотности в критическом сечении, можно получить, если воспользоваться уравнением состояния, в котором распределение температуры и давления известны. После этого можно численно уточнить распределение температуры, решив конечно-разностным методом краевую задачу (1.11),(1.34).
Таким образом, в критическом сечении определены все газодинамические параметры. Затем они используются в качестве краевых условий на левой границе пристенного течения.
Апробация аналитического решения второй начально-краевой задачи анизотропной теплопроводности и метода переменных направлений с экстраполяцией
При сравнении распределения температур полученных с помощью метода переменных направлений с экстраполяцией и аналитического решения возникает трудность: численное решение ищется на конечной области, а аналитическое - бесконечной. Поэтому при сравнении численного и аналитического решений необходимо учесть влияние границ на численное решение и отсутствие такового в аналитическом.
В связи с вышеизложенным необходимо сформулировать входные данные для программы численного решения, таким образом, чтобы как можно точнее приблизить численное решение к аналитическому.
При сравнении будем рассматривать однослойную область, которая будет достаточно большой по размерам относительно носителя функции теплового потока.
Пусть расчетная область имеет следующие параметры: /( =/2 =0.4JK, = 0.2 л , ср = 1000—-—, функция теплового потока имеет вид C(x) = //(o.01-x). Таким образом, носитель функции теплового потока в 40 раз меньше длины пластины.
При больших временах нагрева даже при таких условиях может иметь место влияние границ, поэтому время тоже должно быть минимально, например 1с.
На обоих рисунках видно, что область, где разница минимальна расположена в окрестности 0, а в углах расчетной области разница максимальна, это объясняется влиянием границ поэтому для сравнения с аналитическим решением корректно рассматривать область в окрестности О, такие области представлены на рис.2.6.
Таким образом, в окрестности точки (0,0) абсолютная разница не превышает 5-6%, а в самой точке - 0.01%.
Так же по рис. 2.5-2.6 можно сделать вывод что математические модели задач как при численном решении, так и при аналитическом верны, а следовательно верны и сами решения.
Проанализируем теперь аналитическое и численные решения в конкретных точках на рис.2.7. а) лг = 0, - = 0; б) л: = 0;_у = 0.02; е)х= 0.02; 7=0; г) х = 0.02;у = 0.02.
Из рисунка 2.6 видно, что температура растет со временем, причем разница между численным и аналитическим решениями постоянна на всем промежутке времени в любой из рассматриваемых точках. Так же из рисунка видно, что температура численного решения превышает температуру полученную аналитическим путем, это объясняется тем, что схема выбранного метода для численного решения является неявной. Все неявные методы дают решение больше, по сравнению с аналитическим, при возрастании функции и меньшее при убывании.
1. Поставлена и численно решена задача теплопереноса в анизотропных пластинах с разрывными ТФХ.
2. Выведено выражение для теплопроводности в нормальном к границе направлении.
3. Разработан метод численного решения задач теплопереноса в анизотропных телах с разрывными ТФХ на основе метода переменных направлений с экстраполяцией и интегро-интерполяционного метода Самарского А.А.
4. Подтверждено предположение о непрерывности нормальных составляющих вектора плотности теплового потока на границах разрыва ТФХ и о разрыве первого рода касательных составляющих, то есть о разрыве на этих границах вектора плотности теплового потока.
Анализ полученных результатов
При решении сопряженных задач теплообмена в пристенных течениях и многомерной теплопроводности в телах возникают трудности, и, прежде всего, из-за необходимости соблюдения на границах "газ-тело" непрерывности тепловых потоков и температур [64, 65, 120]. Сложность возрастает для случаев, когда обтекаемые тела являются анизотропными и коэффициент теплопроводность в них описывается не скалярной величиной, а тензором второго ранга. При исследовании сопряженного теплообмена на таких телах оказалось, что в проекции вектора теплового потока на направление нормали- присутствуют все компоненты вектора градиента температур со своими коэффициентами теплопроводности.
Таким образом, в двумерных задачах сопряженного теплообмена для анизотропных тел выполнение условия равенства тепловых потоков и температур на границе сопряжения приводит не к определению температуры границы сопряжения, а к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка относительно границы сопряжения [117], причем независимой переменной является продольная переменная вдоль границы сопряжения.
Известно также, что величина и направление вектора теплового потока от пристенного течения к анизотропному телу на границе сопряжения в значительной степени определяется характеристиками тензора теплопроводности, а именно значениями главных компонентов и направляющими косинусами главных осей тензора теплопроводности, Если главную ось с большим компонентом тензора теплопроводности направить вдоль тела, граница сопряжения будет иметь больший уровень температур по сравнению со случаем, когда эта ось наклонена под углом к границе сопряжения. В этом случае за счет увеличения динамической вязкости и уменьшения плотности в пристенной области слоя следует ожидать увеличения протяженности ламинарного режима течения, что существенно должно снизить тепловые потоки к телу. Кроме этого тепловой поток должен уменьшится за счет уменьшения разности температур между телом и пристенным течением. Появляется возможность только за счет характеристик тензора теплопроводности ламинаризовать режим обтекания тела.
В данной главе исследуется сопряженный теплообмен между пристенным течением, математическая модель которого подробно описана в главе 1, и анизотропной двухслойной пластиной с разрывными характеристиками теплопереноса,-математическая модель которой описана во второй главе. Сформулирована физико-математическая модель всей комплексной задачи. Предложен метод численного решения, основанный на безытерационном методе определения температуры границы сопряжения [117]. Исследуются температура и тепловые потоки от течения к телу в зависимости от компонентов тензора теплопроводности наружной пластины и толщины наружной пластины.
Математическая постановка
Для расчетной схемы, представленной на рис. 3.1, решается сопряженная задача пристенного течения и анизотропной теплопроводностью в составном теле с разрывными характеристиками теплопереноса. Математическая модель комплексной задачи имеет вид:
Задача (3.1)-(3.8) решается в квазистационарной постановке, то есть она решается на каждом промежутке времени при решении нестационарной задачи теплопроводности (3.9)-(3.18). Соотношения (3.19)-(3.20) определяют равенство проекции векторов тепловых потоков на направления нормалей, совпадающих с ортами координатных осей _уг, уг и температур на границе сопряжения w.
Метод численного решения
Сложность решения сопряженных задач заключается в том, что для определения тепловых потоков от пристенного течения к телу необходимо решить задачу пристенного течения (3.1)-(3.8), для чего должно быть известно распределение температуры Tw(x) на границе сопряжения, которая, в" "свою очередь, "определяется из решения задачи теплопроводности (3.9)-(3.18) по тепловым потокам от пограничного слоя. Попытка решить "сквозным" образом сопряженную задачу, как правило оказывается неудачной вследствие существенной разницы шагов сетки в задачи пристенного течения и теплопроводности (до нескольких порядков), а также в существенном различии физико-математических моделей, описывающих эти задачи. Получить решение можно, используя как локальные, так и глобальные итерационные процедуры. Применение итерационных процедур при решении сопряженной задачи требует значительного времени ЭВМ, что может быть неприемлемо для инженерных задач проектирования объектов авиационной и ракетно-космической техники.
Аналитическое исследование сопряженного теплообмена между пограничным слоем и анизотропными телами
В данном разделе система уравнений пограничного слоя решается аналитически с рядом упрощений. Результатом является функция теплового потока, которую необходимо использовать в краевом условии для задачи анизотропной теплопроводности. В разделе 4.2 данной работы получено аналитическое решение второй начально-краевой задачи анизотропной теплопроводности. Решение полной системы пограничного слоя и анизотропной теплопроводности свелось к совмещению двух независимо полученных решений. Сложность такого совмещения заключается в том, что аналитическое решение анизотропной теплопроводности получено для конкретной функции Хэвисайда, а функция теплового потока является сложной нелинейной, и ко всему прочему зависящей от температуры границы. В этом разделе предложен численно-аналитический метод решения задачи анизотропной теплопроводности для произвольной функции теплового потока с конечным носителем на основе сформулированных свойств полученного в разделе 4.1 аналитического решения. Благодаря этому методу стало возможным получить решение третьей краевой задачи, а так же решить сопряженную задачу анизотропной теплопроводности и пограничного слоя.
Для анализа всех особенностей моделирования сопряженных задач теплообмена в пограничных слоях и анизотропной теплопроводности рассмотрим простейшую задачу о нагреве двухмерной анизотропной пластины от газодинамического пограничного слоя (рис. 4.6).
Здесь w-граница сопряжения; е — наружная граница пограничного слоя; р - угол, ориентирующий главные оси O Orj относительно декартовой системы координат (х,ут) для тела; (х,у) декартова система координат для пограничного слоя; г,т - индексы соответственно для газа и тела.
В математической модели (4.22)-(4.34) система (4.22)-(4.29)- система уравнений пограничного слоя, a (4.29)-(4.34) -система, описывающая задачу анизотропной теплопроводности.
В задаче теплопроводности (4.29)-(4.34) дифференциальное уравнение (4.29) содержит смешанные производные и производные второго порядка по переменным х и у. Поэтому на границах тела х = 0 и х = Ц должны быть заданы граничные условия. Однако эти граничные условия являются следствием действия тепловых потоков от пограничного слоя. Вместе с этим для получения газодинамических параметров в сечении х = Ly необходимо решить совместные задачи пограничного слоя и анизотропной теплопроводности.
Выход из этой ситуации (имеющей место не только для анизотропных, но и многомерных изотропных сопряженных задач) может быть найден из согласования условий в сечении = І в пограничном слое и в теле. То есть, если в пограничном слое в сечении х = Lj распределение газодинамических функций формируется в процессе решения в направлении от д: = 0 к х Ц то и в теле распределение температур в сечении х = L\ должно быть получено в процессе решения задачи теплопроводности в том же направлении.
Таким образом, для соблюдения условий сопряжения (4.30), (4.31) на границе х - L\ краевое условие не задается. Однако для замыкания задачи теплопроводности в анизотропном теле на границе w2 (х = 0) необходимо задать не только распределение температур, но и распределение тепловых потоков
Таким образом, можно аппроксимировать достаточно точно функцию F(x) И В общем виде можно эту аппроксимацию записать в виде; л-1 F(x) =lim iFfcX ti -\x\)-rj(h "И (4:67)
Таким образом, использовав теорему 1 придем к решению (4.66). Теорема доказана Аналогично можно показать, что такими же свойствами обладает решение задачи (4.13)-(4.17). Сложность заключается в том, что полученная при аналитическом решении системы уравнений пограничного слоя функция теплового потока ко всему прочему содержит температуру границы. Ниже предложен метод решения задачи с использованием функции теплового потока (4.51).
