Введение к работе
Актуальность темы диссертации обусловлена важностью технических приложений теории контактных взаимодействий, которая находит широкое применение в машиностроении, строительстве, электронике и других отраслях деятельности Несмотря на значительный прогресс в этой фундаментальной области знаний, на практике изучение реальной картины напряженно-деформируемого состояния в зоне контакта взаимодействующих тел потребовало провести исследования новых контактных задач и разработать новые методы расчета. Это, прежде всего, относится к контактным задачам с учетом сил трения в области контакта, в том числе с заранее неизвестной областью контакта
Математическая модель контактных краевых задач является достаточно сложной вследствие того, что граничные условия задаются разрывными и граница контакта заранее неизвестна Применение численных методов для решения подобных задач затрудняется тем, что проблематично расположить все центральные расчетные точки на границе тела. При этом возникает большая погрешность в окрестности точки разрыва граничных условий, которая влияет на всю расчетную схему Из аналитических методов решения краевых задач для ограниченных областей можно отметить методы Ритца, Бубнова-Галеркина, Рвачева (метод R-функций), метод фундаментальных функций, метод теории функций комплексной переменной и др Однако, эти методы недостаточно приспособлены для решения подобных контактных задач и поэтому их не применяют В связи с этим в данной работе был использован метод угловых суперпозиций, разработанный профессором А Д Чернышевым и опубликованный в многочисленных статьях центральной печати Применение этого метода связано с выполнением некоторых простых математических вспомогательных действий В случае задач с гладкими граничными условиями для выпуклых криволинейных областей данным методом при небольшом объеме вычислительных затрат погрешность оказалась достаточно малой, порядка Ю-40, что существенно отличает этот метод от других известных методов Если же область в данной краевой задаче имеет вогнутые участки, то точность приближенного решения меньше, но остается сущест-
\ -
венно высокой По указанной причине при решении контактных задач был выбран метод угловых суперпозиций.
Для уменьшения погрешности в некоторых работах разрывные граничные условия заменяются на непрерывные с соответственной неизвестной функцией на границе. В случае контактных задач этой функцией является неизвестное распределение нормального напряжения на площадке контакта Данный подход был использован в настоящей работе, что позволило получить новые решения и дать глубокий анализ свойств при контактном взаимодействии тел На этом основании можно считать, что результаты являются важными и актуальными.
Работа выполнена в соответствии с планом госбюджетных НИР ВГТА «Дифференциальные и интегральные уравнения математических моделей естественных и прикладных наук» (№ г р 01 200 604099)
Цель работы. Развитие численно-аналитичекого метода угловых суперпозиций для решения контактных задач на примере задачи о сдавливании упругого стержня жесткими плитами, разработка математической модели предложенной задачи, которая позволит найти решение во всей области поперечного сечения рассматриваемого тела
Для достижения цели были поставлены следующие задачи;
получить новые точные граничные условия для перемещений на площадке контакта,
разработать математическую модель сдавливания упругого стержня без учета и с учетом сил трения для возможности применения метода угловых суперпозиций;
провести анализ погрешности при применении метода угловых суперпозиций;
проанализировать изменения формы сдавливаемого стержня, полей напряжений и деформаций.
Методы исследования. Для достижения поставленной цели в работе использованы, метод угловых суперпозиций, методы математической физики и вычислительной математики, современные методы и технологии программирования
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем
получено новое точное граничное условие, используемое в математической модели поставленных краевых задач;
показана эффективность метода угловых суперпозиций при решении контактных задач,
предложен двупараметрический закон распределения нормального напряжения на площадке контакта, коэффициенты которого находятся при выполнении граничных условий задачи;
уточнен закон изменения максимального касательного напряжения при заглублении внутрь тела от площадки контакта,
установлено, что при сдавливании цилиндра двумя жесткими плитами область цилиндра, примыкающая к площадке контакта - сжимаеіся, а область цилиндра в окрестности его экватора — расширяется Эти области разделены определенным критическим углом
Практическое значение. Полученные результаты позволяют показать эффективность метода угловых суперпозиций, который может быть применен для решения упругих задач со сложными границами и граничными условиями Методом угловых суперпозиций можно решать контактные задачи с высокой точностью Полученные результаты позволяют определять поле напряжений и перемещений всюду в поперечном сечении стержня, а также размер площадки контакта сдавливаемого стержня (круглого и эллиптического сечения) Результаты по сдавливанию упругих стержней с учетом и без учета сил трения могут быть использованы в инженерной практики при рассмотрении стержневых конструкций
Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на отчетных научных конференциях Воронежской Государственной Технологической Академии (ВГТА) (г Воронеж, 2006, 2007 г.); Межвузовской научно-практической конференции «Современная Россия, исследование социально-экономических отношений» (г Воронеж, 2006 г), на семинарах кафедры высшей математики ВГТА в 2005-2007 гг, на Международной школе - семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г Воронеж, 2007 г)
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 5 печатных работ, из которых 3 статьи написаны лично автором. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5], список которых приведен в конце автореферата (из них работа [1] в периодическом издании, рекомендуемом ВАК РФ)
В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит" [1] - разработка математической модели задачи о сдавливании упругого цилиндра двумя жесткими плитами с учетом сил трения[3] - решение уравнений модели и результаты вычислительного эксперимента.
Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 94 страницах, содержит 20 рисунков. Работа состоит из введения, трех глав (9 параграфов), заключения, списка литературы и приложений Библиография включает 126 наименований.
