Введение к работе
Актуальность темы. Системы аналитических вычислений находят широкое применение в самых различных областях науки. Как правило, в эти системы входят процедуры для численных и аналитических расчетов, средства для визуализации, программирования и представления результатов. Таким образом, системы компьютерной математики совмещают в одной оболочке обширный набор инструментов, позволяющий решать научные задачи.
В настоящее время повсеместно используются такие популярные системы как Maple, Mathumatica, , MatLab, Derive. Они обладают универсальными математическими возможностями, постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы, имеют возможность взаимной интеграции.
Современная геометрия, также как и другие области математики, привлекает новейшие компьютерные технологии для решения своих задач. Сегодня применение систем символьной математики не ограничивается численными расчетами. Все чаще они используются в образовательном процессе для решения задач аналитической [1, 12] и дифференциальной [4. 6| геометрии. Кроме того, существует множество примеров, доказывающих эффективность математических систем при доказательстве теорем. Например, хорошо известно доказательство знаменитой проблемы топологии о четырех красках, осуществленное К. Аипелсм (К. Appel) и В. Хакеном (W. Haknn) в [1G, 17]. Также основываясь на вычислениях, сделанных с помощью пакета Марк. О.Г. Вагина и М.И. Кабенюк дали повое более короткое доказательство теоремы Хаиты-Хирчхорна о покрытии евклидовой плоскости выпуклыми равносторонними пятиугольниками [2]. Следует упомянуть работы Ю.В. Никоиоровой [10, И] п области комбинаторной геометрии, использующие пакеты символьных вычислений для решения задачи о внутреннем расстоянии на поверхности параллелепипеда, обобщенной задачи Поповичи, задачи Фике, подтверждения гипотезы Ионина. Можно отметить работу В.В. Джепко [3] в области дифференциальной геометрии и работу Е.С. Корнева [5], посвященную изучению специальных классов почти комплексных структур на четырехмерных группах
Ли и связанных с этими почти комплексными структурами левоиивариантных метрик.
Системы компьютерной математики широко применяются в задачах классификации. Так М. Hlavova в [20] удалось классифицировать дву-параметрические движения плоскости Лобачевского. Т. Arias-Marco и О. Kowalski внесли вклад в проблему классификации 4-мерных однородных D'Atri пространств [19]. Известны результаты, полученные Е.Д. Родионовым и В.В. Славским при классификации локально конформно однородных многообразий [13, 22] и результаты Ю.Г. Нико-норова но классификации однородных эйнштейновых многообразий, полученные в работах [7, 8]. Задачи классификации левоиивариантных лоренцевых метрик на трехмерных группах Ли с применением системы аналитических расчетов Марк решались также Л.Н. Чибриковой в [14].
Пакеты прикладных программ используются для исследования однородных римановых пространств [9], определения инвариантных свойств петель [21], для изучения свойств флаговых многообразий [18].
Данная работа посвящена применению математических пакетов для нахождения некоторых инвариантных тензорных полей на однородных пространствах: в частности, исследованию свойства гармоничности тензора Схоутена-Вейля левоиивариантных (псевдо)римановых метрик на трехмерных группах Ли; изучению вопроса гармоничности свертки тензора Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли с левоин-вариантными (псевдо)римановыми метриками.
Целями диссертационной работы являются:
Создание новых алгоритмов и программ в среде пакета Maple для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах.
Классификация трехмерных групп Ли с левоинпариантными (псев-до)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля или гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.
Основные задачи работы включают:
Разработка алгоритмов для вычисления компонент тензоров секционной, одномерной кривизн и кривизны Риччи, а также компонент тензора Схоутсна-Вейля, его ротора и дивергенции і типа (г = 1,2) левоинвариантных (псевдо)римановых метрик на группах Ли.
Исследование и классификация трехмерных групп Ли с левоиивариантпыми (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля.
Разработка алгоритмов для определения компонент свертки тензора Схоутсна-Вейля по направлению произвольного вектора, компонент ее ротора и дивергенции левоинвариантных (псев-до)римановых метрик па группах Ли.
Изучение и классификация трехмерных групп Ли с левоиивариантпыми (псевдо)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.
Исследование каждой классификационной задачи, представленной в диссертации, проводилось по следующему плану. Первоначально строилась удобная для вычислительной работы модель исследуемого объекта. Далее создавалась программа для реализации в системе аналитических расчетов Maple. Следующий этап был посвящен анализу и истолкованию полученных результатов. После чего делался вывод о структуре изучаемого объекта и о возможности уточнения модели.
Объект исследования - трехмерные группы Ли с левоиивариантпыми (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля. а также трехмерные группы Ли с левоиивариантпыми (псевдо)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.
Предмет исследования - компьютерные модели, алгоритмы, программы для изучения трехмерных групп Ли с левоиивариантпыми (псевдо)римановыми метриками и (почти)гармопическими инвариантными тензорами.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы компьютерной алгебры, математического анализа, те-
ории груші и алгебр Ли, (псевдо)римановой геометрии, тензорного анализа.
Основные положения, выносимые на защиту:
Пакет программ, написанных в среде Maple, для вычисления основных характеристик однородных (псевдо)римановых многообразий, исследуемых в диссертации.
Классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля.
Классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.
Научная новизна работы. В данной диссертационной работе разработаны алгоритмы и программы в системе аналитических вычислений Maple для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах (в частности, на группах Ли) с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками.
Применяя разработанные алгоритмы, получены новые результаты в теории инвариантных тензорных полей на однородных пространствах. Впервые получена классификация трехмерных групп и алгебр Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим, т.е. с нулевым ротором и дивергенцией, тензором Схоутена-Вейля. С помощью операции свертки тензора Схоутсна-Всйля по направлению произвольного вектора, определен кососимметрический 2-тензор. Исследовано строение трехмерных групп и алгебр Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метрикой, для которых данный тензор является гармоническим.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях инвариантных тензорных полей на однородных (псевдо)римановых пространствах. С помощью пакета символьных вычислений Maple решены задачи классификации трехмерных алгебр Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми
метриками и (почти)гармоническими тензорами Схоутена-Вейля и его свертки по направлению произвольного вектора. Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, могут применяться для решения аналогичных задач однородной (псев-до)римановой геометрии. Построенные компьютерные модели позволяют вычислять компоненты связности, тензоров кривизны Римапа. Риччи, одномерной кривизны, скалярной кривизны, тензора Схоутена-Вейля, его ротора и дивергенции; находить компоненты свертки тензора Схоутена-Вейля. ее ротора и дивергенции левоинпариантных (псев-до)римановых метрик на конечномерных группах Ли.
Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Региональной конференции по математическому образованию на Алтае (Барнаул, 24 ноября 2006 г.); Десятой региональной конференции по математике "МАК-2007"(Барнаул. июнь, 2007 г.); Third Russian-German Geometry Meeting dedicated to 95th birthday of A.D. Alexandrov (Санкт-Петербург, 18 23 июня 2007 г.); Международной конференции "Геометрия в Астрахани-2007" (Астрахань. 17—21 сентября 2007); Международной научно-практической конференции но математическому образованию в регионах России (Барнаул, 26 октября 2007 г.): Одиннадцатой региональной конференции но математике "МАК-2008"(Барнаул. июнь, 2008 г.); Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 9 15 сентября 2008 г.); Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск, 5 -12 октября 2008 г.).
Кроме того, все результаты диссертации в разнос время докладывались па краевом геометрическом семинаре (Барнаул, АлтГТУ, АлтГУ, БарГПУ).
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 06-01-81002-Бел_а. 08-01-98001) и Совета по ведущим научным школам РФ (коды проектов НШ-8526.2006.1, НШ-5682.2008.1).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ. Одна из работ опубликована в ведущем рецензируемом журнале, определенном Высшей аттестационной комиссией. Некоторые результаты получены в соавторстве с В.В. Балащенко, Е.Д. Родионовым и В.В. Славским.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, трех приложений и списка литературы, включающего 48 наименований. Общий объем диссертации составляет 184 страницы, содержит 12 таблиц.
