Введение к работе
Актуальность работы. Необходимость оценивания производных и интерполяции некоторого сигнала по имеющимся его дискретным отсчётам часто возникает при решении различных задач науки и техники. В качестве примеров можно привести проблемы восстановления промежуточных значений сигналов и их производных в связи и управлении, формирование канальных сигналов при передаче в режиме частотного уплотнения, анализ и синтез речевых сигналов, увеличение размеров (масштабирование) изображений, повышение четкости изображений на основе градиентных методов и т.д.
Проблема численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретизованным данным исследовалась в работах многих авторов. В результате этих исследований предложено достаточно много методов интерполяции: полиномиальная, сплайн-интерполяция, метод Уттикера-Котельникова-Шеннона. При этом, как правило, в качестве оценок производных предлагается использовать соответствующие производные интерполирующих функций.
В тех случаях, когда анализируемые отсчеты порождены сигналом с
финитным спектром, а интервалы дискретизации согласованы определенным
образом с шириной области определения последнего, интерполирующая функция
позволяет адекватно, в смысле имеющейся информации, вычислять значения
сигнала в пределах интервала его регистрации. Это составляет основное
преимущество формулы Уттикера-Котельникова-Шеннона перед
полиномиальной или сплайн-интерполяцией.
Существенным недостатком существующих подходов к численному дифференцированию по эмпирическим данным является неустойчивость получаемых оценок производных.
Таким образом, проблема построения алгоритмов численного дифференцирования и интерполяции сигналов по эмпирическим данным, позволяющих получать устойчивые оценки производных и осуществлять восстановление значений сигналов в интервалах между отсчетами, является актуальной.
Устойчивость оценок производных можно повысить, если использовать вариационный принцип минимизации квадрата евклидовой нормы
\\/\\г=[/2(х)<±с оценки первой производной аппроксимирующей функции
(модели) /(0 = dH(t)/dt при выполнении интерполяционных условий
u,=u(iAt) = u,,i = OX...,N. (1)
Д/ - интервал дискретизации.
При этом сама интерполяция легко осуществляется на основе численной реализации формулы Ньютона-Лейбница
"(<) = "„ + |/«Л.
С позиций повышения устойчивости оценок производных предлагается также использовать класс аппроксимирующих функций с финитными областями определения трансформант Фурье (с финитными спектрами Фурье), что вместе с тем позволяет получать устойчивые оценки производных высших порядков как результат дифференцирования частотного представления для первой производной
/(')= | F(ai)exp(jat)da>/27r,Ci = [-Ci2-n,)vini,Ci1);0
где предполагается, что соотношение для трансформанты Фурье первой производной F((o) получается в результате минимизации её нормы с учётом интерполяционных условий (1). Ясно, что правая часть последнего соотношения является дифференцируемой произвольное количество раз.
Представляется естественным построенные на такой основе алгоритмы называть вариационными и устойчивыми.
Разработка и реализация такого подхода и составляет основное содержание данных диссертационных исследований.
Целью работы является разработка и исследование вариационных алгоритмов интерполяции и численного оценивания производных сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе частотных представлений с использованием моделей функций с финитными областями определений трансформант Фурье (финитными спектрами Фурье).
Для достижения этой цели на основе анализа состояния вопроса были сформулированы и решены следующие задачи:
-
Разработка и исследование алгоритмов численного дифференцирования сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе частотных представлений и минимизации евклидовых норм получаемых оценок производных с финитными спектрами Фурье;
-
Разработка и исследование алгоритмов интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным на основе частотных представлений и интегрирования оценки производной с минимальной евклидовой нормой и финитным спектром Фурье.
-
Сравнительные исследования погрешностей оценивания производных и интерполяции сигналов с помощью предложенных и наиболее распространенных алгоритмов на основе вычислительных экспериментов,
-
Создание программной реализации вариационных алгоритмов интерполяции и оценивания производных сигналов и её апробация при обработке реальных эмпирических данных.
Методы исследований:
Методы анализа и синтеза сигналов на основе частотных представлений и использования вариационных принципов;
Численные методы высшей математики;
- Вычислительный эксперимент.
Научно-практическая значимость работы.
Научную новизну работы составляют:
подход к решению проблемы численного дифференцирования и интерполяции сигналов по эмпирическим данным на основе формулирования изначальных требований непосредственно к характеристикам первой производной аппроксимирующих функций и применение для этих целей частотных представлений;
использование вариационного принципа минимизации евклидовой нормы оценки первой производной для отбора моделирующих функций из класса целых при интерполяции и оценивании производных сигналов по дискретным эмпирическим данным, что позволяет повысить устойчивость к влиянию погрешностей измерений оценок производных всех порядков, включая процедуру интерполяции;
математические представления для оценок первой и второй
производных, интерполирующей функции и определенных интегралов от
неё и разработанные на этой основе соответствующие устойчивые
сходящиеся вычислительные алгоритмы.
Практическая значимость диссертационной работы заключается в разработке устойчивых и сходящихся вариационных алгоритмов численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным.
Отдельные положения диссертации используются при подготовке специалистов по направлениям «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и «Сети связи, системы коммутации».
Практическую полезность представляет программная реализация разработанных алгоритмов интерполяции, численного оценивания определенных интегралов и дифференцирования сигналов по дискретным эмпирическим данным.
Достоверность полученных результатов и выводов обусловлена корректностью математических преобразований, отсутствием противоречий с известными теоретическими положениями и выводами и подтверждается результатами большого количества вычислительных экспериментов по обработке модельных и реальных эмпирических данных.
Личный вклад соискателя
Все разделы диссертационной работы выполнены лично автором. Все изложенные в диссертационной работе результаты исследований получены либо соискателем лично, либо при его непосредственном участии.
Апробация работы
Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:
Международная конференция «Тихонов и современная математика: Вычислительная математика и информатика», Москва, 2006 г.
Седьмая международная конференция «Проблемы информатики и моделирования - 2007», Харьков, 2007 г.
- Десятая международная конференция и выставка «Цифровая обработка
сигналов и ее применение», Москва, 2008 г.
Связь с научно техническими программами
Исследования по проблеме численного дифференцирования и интерполяции сигналов по дискретным эмпирическим данным проводились в рамках следующих проектов:
- проект РНП.2.1.2.4974 «Разработка и исследование вариационных
методов анализа и восстановления сигналов в линейных системах по дискретным
эмпирическим данным ограниченной длительности» аналитической
ведомственной целевой программы федерального агентства по образованию РФ
«Развитие научного потенциала высшей школы в 2006 - 2008 гг.»;
- проект «Разработка и исследование методов и алгоритмов обработки
речевых данных для создания информационных технологий их сжатия при
хранении, передаче и обеспечении скрытности в информационно-
телекоммуникационных системах» федеральной целевой программы
«Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-
технологического комплекса России 2007 - 2012 гг.», государственный контракт
№02514114010 от 26.02.2007 г.
Публикации
Основные положения диссертационной работы изложены в 9 печатных работах, из них 7 статей, 3 из которых в журналах из списка ВАК, и 2 свидетельства Роспатента РФ об официальной регистрации программ для ЭВМ.
Объем и структура работы
