Содержание к диссертации
Введение
1. Математические модели процессов переноса тепла и влаги при промерзании грунтов 14
1.1 Математические модели процесса теплопереноса в средах с фазовыми переходами 14
1.1.1 Модель с образованием границы раздела фаз (задача типа стефана) 14
1.1.2 Модель с образованием зоны фазовых переходов 16
1.2 Математические модели тепломассопереноса в грунтах 20
1.2.1 Модель, описывающая тепломассоперенос при движении влаги в талой зоне 20
1.2.2 Модели, описывающие тепломассоперенос при движении влаги в талой и мерзлой зонах 24
1.2.3 Математические модели, основанные на методах механики многофазных сред 25
1.3 формулировка задачи тепловлагопереноса при промерзании в виде нелинейной задачи тепломассопереноса 28
2. Численное моделирование тепло- и влагопереноса при промерзании грунта 35
2.1 Разностная схема для системы уравнений тепломассопереноса 35
2.1.1 Численные методы решения задач теплопереноса с фазовыми переходами 35
2.1.2 Разностная схема для системы уравнений тепломассопереноса 37
2.2 Итерационная схема решения разностной задачи 41
2.2.1 Алгоритм решения итерационной разностной задачи тепломассопереноса 41
2.2.2 Исследование сходимости 44
2.3 численные эксперименты 51
3. Численное исследование морозного пучения грунтов 58
3.1 Закономерности и прогноз морозного пучепия грунтов 58
3.1.1 Основные закономерности процесса морозного пучения грунтов 58
3.1.2 формулы расчета морозного пучения грунтов 68
3.2 Алгоритм определения морозного пучения 75
3.3 Численные эксперименты 79
Заключение 85
Литература 87
- Математические модели тепломассопереноса в грунтах
- формулировка задачи тепловлагопереноса при промерзании в виде нелинейной задачи тепломассопереноса
- Итерационная схема решения разностной задачи
- Основные закономерности процесса морозного пучения грунтов
Введение к работе
Актуальность темы. Строительство в районах Севера, Сибири и Дальнего Востока требуют решения ряда проблем, связанных с необходимостью повышения устойчивости, прочности и долговечности зданий и сооружений, возводимых на вечномерзлых и сезоннопромерзающих грунтах. Одной из таких проблем, имеющей важное научно-теоретическое и прикладное значение, является проблема морозного пучения сезоннопромерзающих грунтов.
Напряженно-деформированное состояние грунта при морозном пучении обуславливает недопустимые неравномерные перемещения и серьезные повреждения промышленпо-гражданских зданий, гидротехнических, мелиоративных и других сооружений (автомобильных и железных дорог, аэродромов, мостов, трубопроводов и др.). Недостаточная его изученность и недоучет приводят к огромному ущербу материальных, финансовых средств, ухудшают условия и снижают сроки эксплуатации сооружений [61]. Существующие модели морозного пучения либо содержат много трудноопределяемых эмпирических параметров, либо не доведены до окончательного решения, либо не учитывают основных особенностей промерзания грунтовых систем и поэтому недостаточно адекватно и полно отражают рассматриваемый процесс [102].
В изучении природы морозного пучения грунтов при промерзании, в разработке и совершенствовании методов его расчета, а также в применении численных методов при решении задач тепломассообмена с фазовыми переходами большой вклад сделали М.И. Сумгин, Н.А. Цытович, Б.И. Далматов, С.С. Вялов, В.О. Орлов, И.А. Тютюнов, А.В. Лыков, М.Н. Гольдштейн, А.В. Павлов, Н.С. Иванов, Г.М. Фельдман, В.Я. Хаин, Д.В. Редозубов, Н.А. Пуза-ков, И.А. Золотарь, И.А. Комаров, В.А. Кудрявцев, Л.Т. Роман, Э.Д. Ершов, СЕ. Гречищсв, Л.В. Чистотинов, Ю.А. Хохолов, С.А. Кудрявцев и другие
исследователи.
Впервые с неблагоприятными последствиями этого явления столкнулись дорожники. Интерес к вопросам стабилизации грунтов значительно возрос в связи со строительством и эксплуатацией железных дорог, первая из которых была построена на Урале в 1834 г. [61]. Начавшееся в 1895 г. строительство Забайкальской и позднее Амурской железных дорог показали всю важность решения этой проблемы и направило инженерную мысль на изучение мерзлотных явлений и взаимодействия их с инженерными сооружениями. Предпосылками этому послужили работы И.А. Лопатина, В.И. Штукенберга и С.Г. Войслова, заложивших в 1870-1880 г.г. основу изучения физической сущности процессов пучения и миграции влаги в промерзающих грунтах [59, 61].
Работы зарубежных исследователей о пучении грунтов появились в Швеции и США в 10-е годы XX столетия [61]. Среди них наибольший интерес представляют работы шведа С. Иогапссона, первого исследователя за рубежом, обратившего внимание на перемещение влаги к промерзающему грунту, норвежца Ф. Нансена, американцев С. Тэбера и Д. Буюкоса.
Изучению движения влаги в почвах и грунтах большое внимание уделяли русские почвоведы и агрофизики В.В. Докучаев, Г.Я. Близнин, А.Ф. Лебедев и др.
Существенное значение для разработки научных основ и расчета устойчивости сооружений на пучинистых грунтах, имели работы 30-х годов XX в. Это работы М.И. Сумгина, Н.А. Цытовича, А.Е. Федосова, П.И. Андрианова, Н.И. Быкова, П.Н. Каптерева, Б.В. Дерягина и др. Исследования этого периода главным образом и послужили той экспериментально-теоретической базой, которая была положена Н.А. Цытовичем.и М.И. Сумгиным [101] в
основу новой научной дисциплины - механики мерзлых грунтов.
Широкая перспектива в разработке и познании природы физических процессов и свойств мерзлых грунтов открылась в связи с выдвинутой и экспериментально доказанной Н.А. Цытовичем [101] теорией динамического равновесия твердой и жидкой фаз воды в мерзлых грунтах, нашедшей подтверждение и развитие во всех направлениях геокриологии [59], в том числе в решении задач о пучении, влагопакопления и льдовыделения [14, 15, 20, 24, 56, 60, 90, 97, 100 и др.].
Экспериментальными работами отечественные и зарубежные исследователи качественно доказали влияние на пучение комплекса многочисленных факторов [14, 20, 24, 44, 60, 84, 90, 98, 100, 114 и др.]. Дальнейшее развитие имели разработки связанные с условиями моделирования процесса пучения [14, 24], разработка и совершенствование методов расчета влагонакоплеиия и пучения грунтов [3, 14, 18, 20, 21, 22, 33, 35, 43, 50, 52, 55, 60, 73, 90, 93, 94, 96, 97, 114, 115 и др.], а также лабораторными и полевыми [15, 24, 60 и др.] методами определения сил пучения.
Одной из основных причин морозного пучения грунтов является увеличение объема замерзающей влаги с учетом ее миграции к фронту промерзания. Количественная оценка этих процессов аналитическими способами затруднена из-за нелинейности определяющих уравнений [50].
Во многих областях науки широко применяется метод математического моделирования с применением вычислительных средств - вычислительный эксперимент [11], созданный в основном усилиями отечественных ученых -научными школами академиков А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, Н.Н. Янен-ко, Г.И. Марчука и Н.Н. Моисеева. Суть этого мощного средства научного познания состоит из трех неразрывных этапов исследования: модель - алго-
ритм - программа.
Исследование широкого круга проблем освоения Севера основано на изучении процессов тепло- и массопереноса в промерзающих - протаивающих средах. Математические модели тепло- и массопереноса в промерзающих (протаивающих) дисперсных средах строятся в рамках механики сплошных сред на основе законов сохранения массы, импульса, энергии, а также законов термодинамики. Их можно разделить на две группы. Первая, представленная в основном системой уравнений А.В. Лыкова и их модификациями, получена применением указанных законов к единице объема пористой среды, насыщенной жидкостью. Другая группа моделей исходит из структуры пористой среды и применения законов сохранения к каждой фазе в отдельности - скелету, жидкости и льду - с учетом их объемной доли в единице объема смеси.
Количественное исследование процессов теплопереноса в дисперсных средах, проводится на основе двух математических моделей: задача типа Стефана и задача в спектре температур. Они основаны на двух различных физических интерпретациях процесса промерзания. В соответствие с одной из них, фронт фазового перехода представляет собой резкую границу раздела между двумя фазами одного материала, что соответствует фазовому переходу при определенной постоянной температуре. По другой интерпретации фронт фазового перехода представляет протяженную границу раздела фаз, что соответствует фазовому переходу в спектре температур.
Резкая граница раздела имеет место, например, при промерзании крупнодисперсных сред - песков средних и крупных фракций, при плавлении и кристаллизации металлических материалов. Протяженная граница раздела образуется при промерзании мелкозернистых материалов со значительным содержанием связанной воды.
Промерзание капиллярно-пористых водонасыщенных материалов сопровождается образованием льда в порах и капиллярах. Фазовый состав влаги (вода - лед) определяется температурой, и его характеристикой служит уравнение фазового состава влаги - функция количества незамершей воды. При промерзании водонасыщенных материалов одновременно с теплопереио-сом происходит массоперенос, связанный с миграцией и фильтрацией влаги к фронту промерзания, где выделяется теплота фазовых переходов влаги. Влияние этих факторов на температурное поле может быть существенным, а следовательно, исследование промерзания в рамках кондуктивнои задачи может оказаться недостаточным для полного описания процесса. В связи с этим наряду с теплопереносом в таких ситуациях необходимо рассматривать и массоперенос.
В процессе промерзания влагонасыщенпых грунтов происходит их морозное пучение, которое является частой причиной деформаций инженерных сооружений, построенных на таких грунтах.
Необходимость совершенствования методов прогноза надежности и долговечности инженерных сооружений требует изучения закономерностей процессов тепломассопереноса во влажных грунтах и их морозного пучения в процессе промерзания.
Цель работы заключается в разработке методики численного прогнозирования теплового и влажностного режимов и морозного пучения в промерзающих грунтах.
В сооответствии с целью работы были поставлены следующие задачи:
Построение математической модели задачи тепломассопереноса при промерзании грунтов.
Разработка алгоритма численной реализации математической модели
тепломассопереноса и морозного пучения при промерзании грунтов.
3. Исследование закономерностей развития динамики температурного и влажностного полей, а также возникающего при этом пучения.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования является процесс тепломассопереноса и морозного пучения грунтов при их промерзании.
Предмет исследований — закономерности процесса морозного пучения влажных грунтов различного минералогического состава.
Методы исследования. В работе используется метод численного моделирования. На основе анализа современного состояния вопроса тепломассопереноса и морозного пучения в дисперсных средах и существующих методов расчета, предложена математическая модель переноса влаги, тепла и морозного пучения при промерзании грунтов. Разработана методика расчета динамики режимов влаги, тепла и морозного пучения.
Научная новизна работы.
Построена математическая модель тепломассопереноса с фазовыми переходами поровой влаги, представляющая модификацию известной системы уравнений тепломассопереноса, позволяющая использовать при ее численной реализации разностные схемы сквозного счета.
Разработан алгоритм численного решения задач тепломассопереноса в одномерной постановке и методом вычислительного эксперимента исследованы закономерности промерзания влажных грунтов. Доказана сходимость решений построенной итерационно-разностной схемы к решениям исходных задач тепломассопереноса с фазовыми переходами.
Предложен программный продукт для исследования морозного пучения грунтов на основе численного решения задачи тепломассопереноса с фазовым
переходом.
Теоретическая и практическая ценность. Проведенные исследования предназначены для совершенствования расчетных моделей промерзания и морозного пучения грунтов. Разработанные программные продукты могут быть использованы в моделировании различных задач геокриологии.
Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов работы в рамках принятых математических моделей обеспечивается применением теоретически обоснованных численных методов, проверкой работоспособности разработанных алгоритмов на тестовых задачах и сопоставлением в отдельных случаях с известными аналитическими решениями.
Научные положения, выносимые на защиту:
Сформулирована задача тепловлагопереноса при промерзании в виде нелинейной задачи тсшюмассопереноса относительно функции, tie имеющей скачка на границе фазового перехода. Предложен новый способ учета льда, образующегося на фронте промерзания в виде дополнительного слагаемого в уравнении для влажности в математической модели тепломассопереноса с фазовым переходом поровой влаги.
Разработана методика исследования морозного пучения грунтов на основе численного решения задачи тепломассопереноса с фазовым переходом.
Перейдем к изложению результатов диссертации.
Первая глава состоит из трех параграфов. В параграфах 1.1 и 1.2 дан краткий обзор литературы по математическому моделированию для задачи теплопереноса и тепломассопереноса в промерзающих дисперсных средах, а в параграфе 1.3 сформулирована постановка задачи тепломассопереноса при промерзании грунта в одномерном случае, основанный на модификации системы уравнений тепломассопереноса А.В. Лыкова [52]. Промерзающая об-
ласть состоит из двух зон - талой и мерзлой, и в каждой из них распределения температуры и влажности удовлетворяют уравнениям теплопроводности и влагопроводности. Когда интересуются только распределением температуры, уравнения теплопроводности, написанные в каждой зоне, и условие на границе фазового перехода, заменяются одним нелинейным уравнением теплопроводности, заданным во всей области изменения температуры. Распределение температуры затем находится из решения краевой задачи для этого уравнения. В этой работе указанный прием распространяется на случай системы уравнений тепловлагопереноса, при этом уравнение влажности содержит сосредоточенный источник на границе фазового перехода, наличие которого создает определенные трудности при построении разностной схемы. Для их преодоления предлагается заменить сосредоточенный источник распределенным в окрестности фазовой границы. Показано, что решение уравнения с распределенным источником, когда длина интервала, на котором он определен, неограниченно уменьшается, совпадает с решением уравнения с сосредоточенным источником.
Вторая глава включает три параграфа. В параграфе 2.1 дан краткий обзор литературы по построению разностных схем для решения задач тепло- и массоиереноса в промерзающих (протаивающих) дисперсных средах, а также построена интегро-интерполяционным методом разностная схема для сформулированной задачи тепломассопереноса при промерзании грунта, которая решается итерационным методом с применением метода прогонки на каждой итерации. В параграфе 2.2 изложено обоснование построенной итерационно-разностной схемы, доказанная ее сходимость сформулирована в виде теорем. Разработан алгоритм численного исследования задачи тепломассопереноса с фазовыми переходами. В параграфе три представлены результаты численной
реализации задачи тепломассопереноса в промерзающих грунтах.
Третья глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе дано понятие морозного пучения грунтов и обзор литературы для определения величины морозного пучения грунта. В параграфе 3.2 на основе численного решения задачи тепломассопереноса в промерзающих грунтах разработан алгоритм определения величины морозного пучения. Вывод формулы для расчета величины пучения основан на предположении, что увеличение объема грунта происходит вследствие увеличения объема порового вещества за счет перехода воды в лед и расширение объема происходит по высоте (по направлению к дневной поверхности грунта) без возможности бокового расширения, как это принимается в задаче о компрессионном уплотнении грунтов [100]. В третьем параграфе приведены части результатов численных расчетов по построенному алгоритму для определения величины пучения, температуры и влажности.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на XL Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2002), на IV, V Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2004, 2007), на Республиканской научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)" (Якутск, 2002, 2007), на Всероссийской научной конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2001, 2003, 2007, 2008), на Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий РФ" (Якутск, 2004, 2007), на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование развития Северных территорий РФ" (Якутск, 2008), на I, IV Евразийских симпозиумах по проблемам
прочности материалов и машин для регионов холодного климата (Якутск, 2002, 2008), на научном семинаре кафедры "прикладной математики" института математики и информатики ЯГУ (Якутск, 2008).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах (тезисы 9 докладов и 7 статей) [117] - [132].
Работа поддержана грантом имени академика В.П. Ларионова для молодых ученых, специалистов и студентов по физико-техническим наукам (№07-05/28 от 22.01.2008 г).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 102 страницы. Каждая из трех глав состоит из трех параграфов. Список литературы содержит 132 наименований. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер параграфа, третье - номер формулы в параграфе. В работе 11 рисунков и 4 таблиц, нумерация их сквозная.
Математические модели тепломассопереноса в грунтах
Математические модели, описанные выше, основаны на уравнении теплопроводности, и они недостаточно полно описывают процесс промерзания-протаивания дисперсных сред. При исследовании процесса промерзания-протаивания дисперсных сред необходимо одновременно с теплопереносом рассматривать массоперепос, так как происходит миграция влаги к фронту промерзания. Количественное исследование тепломассопереноса в дисперсных средах проводится на основе двух математических моделей: в первой модели принимается наиболее простое допущение, что перенос влаги происходит только в талой области [37, 55], и вторая модель, описывающая тепломассоперенос в талой и мерзлой областях.
При построении модели в первом подходе учитывают совместный тепломассоперенос в талой области, то есть кроме уравнения теплопереноса вводится уравнение диффузии, а в мерзлой области происходит только теплопе-ренос. Тогда математическое описание процесса промерзания (протаивания) дается следующей системой уравнений
Кроме начальных и граничных условий на внешней поверхности области для полного определения данной системы уравнений должны быть заданы дополнительные условия на неизвестной границе раздела фаз, так как самой постановкой задачи выделяется граница фазового перехода.
В работе [18] дано обобщенное условие Стефана, учитывающее дополнительное количество тепла, выделяющееся на фронте фазового перехода, за счет кристаллизации мигрирующей к фронту влаги. Для одномерного случая оно имеет вид здесь x = () - положение границы раздела фаз в момент времени t; W -влажность на границе промерзания со стороны талой зоны.
Спорным моментом является определение значения влажности W . Например, в работах [18, 59] принимают ее постоянной, равной критической массоемкости материала. А в других работах [35, 96] значения W полагают равным значению функции количества незамерзшей воды W\{T) при температуре Т = Т$, где температура Тф выбирается близкой к температуре фазового перехода Тф, несколько смещенной в сторону отрицательных температур. По поводу выбора Т нет общих указаний и в работах, где она используется, и Т$ выбирается из соображений близости расчетных и экспериментальных значений полей температуры и влажности. Поэтому для каждого материала выбирается своя температура Т.
Так как W в основном зависит от темпа промерзания, предположение о постоянстве W справедливо не для всех условий промерзания [94, 103, 104].
Из [104] следует, что W можно принять постоянным в случае монотонного хода промерзания, во всех других случаях оно будет переменным. В работах [65, 66] показана переменность W и предлагается другой вид условия (1.2.4), отличающийся способом учета тепловыделения на фронте фазового перехода. Установлено, что значение W непрерывно убывает в процессе промерзания [94, 103, 104] . Из результатов работы [115] следует, что третье слагаемое левой части (1.2.4), выражающее количество теплоты, переносимой мигрирующей к фронту фазового перехода влагой, на два - три порядка меньше, чем количество теплоты, переносимого теплопроводностью. Пренебрегая третьим слагаемым, условие (1.2.4) можно представить в виде обычного условия типа Стефана При такой форме записи условия (1.2.4) можно применить традиционные методы решения задачи типа Стефана. На поверхности фазового перехода для температуры задается условие непрерывности и равенства ее температуре фазового перехода Влажность W в случае наличия свободной воды имеет конечный скачок на фронте, и ее значение со стороны талой зоны удовлетворяет условию В промерзающей зоне влага находится в виде льда И (Т) и воды W\(T). Так как в этой зоне отсутствует движение влаги, то суммарная влажность в любой точке остается постоянной во времени, т.е. При исследовании конкретных процессов промерзания (протаивания) к уравнениям (1.2.1)-(1.2.3) ставятся начальные и граничные условия. Рассмотрим граничные условия для влажностной задачи. 1. Первого рода, когда на поверхности тела влажность поддерживается равной известной величине Для мерзлого состояния это условие записывается в виде 2. Второго рода, когда поверхность тела непроницаема для потока влаги Для мерзлого состояния 3. Третьего рода, когда поверхность тела находится в условиях влагооб-мена с окружающей средой где ф() - равновесная с окружающей средой влажность тела, п - внешняя нормаль к поверхности тела, а - коэффициент влагопередачи. Для мерзлого состояния Достаточно полно описывает процессы тепло- и массопереноса в промерзающих и протаивающих дисперсных грунтах система уравнений тепломассо-переноса предложенная А.В. Лыковым [52], на основе понятия потенциала влагопереноса и движущих сил массопереноса как его градиентов. Описание массообмена допускает миграцию влаги в мерзлой области Or, Qw - векторы плотности удельного теплового и влажностного потоков. Данная система уравнений мало используется ввиду сложности, она скорее представляет теоретический интерес для исследования механизмов тепломас-сопереноса. На практике пользуются различными модификациями системы уравнений (1.2.9), (1.2.10) [1, 115]. В работе [115] численное исследование процесса промерзания почвы проводится на основе решения уравнений заданных во всей области, где v, Ф - объемное содержание воды и льда соответственно, pi, р2 - плотность воды и льда, D - коэффициент диффузии. Следующая модификация системы уравнений (1.2.9), (1.2.10) имеет вид где i(T) - коэффициент льдистости, который через весовую влажность выражается в виде Во втором уравнении (1.2.14) переносом влаги под влиянием градиента температур и интенсивностью фазовых переходов за счет испарения и конденсации пренебрегают и перенос влаги осуществляется только в жидкой фазе под воздействием градиента потенциала влаги. Обе системы (1.2.11), (1.2.12) и (1.2.13), (1.2.14) эквивалентны, они отличаются тем, что первая написана для одномерного случая и объемного содержания влаги, а во второй фигурирует весовая влажность. 1.2.3 Математические модели, основанные на методах механики многофазных сред Такие математические модели процесса тепломассопереноса в промерзающих (протаивающих) дисперсных средах строятся на основе законов сохранения массы, энергии и импульса, а также уравнений состояния [13, 71]. При выводе основных дифференциальных уравнений, описывающих процессы фазовых переходов в насыщенных грунтах учитывают [13, 71]:
формулировка задачи тепловлагопереноса при промерзании в виде нелинейной задачи тепломассопереноса
В уравнениях (1.3.1) - (1.3.6) приняты следующие обозначения: с\ (сг), р\ (/), 1 (Аг) - удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности талой (мерзлой) зоны соответственно; р - плотность скелета (сухого) грунта; L - удельная теплота кристаллизации воды (плавления льда); W -влажность в талой зоне; W\, Wo - влажности по жидкой и твердой фазам в мерзлой зоне соответственно; W+ = \(Тф) - значение влажности на фронте со стороны талой зоны; W\{T$) - такая же величина со стороны мерзлой зоны; Тф - температура фазового перехода; а - коэффициент теплопередачи; Тс - температура среды; х = () - уравнение фронта фазового перехода. Влажиостная задача ставится с учетом миграции влаги как в талой, так и мерзлой областях Уравнение баланса массы на фазовой границе можно записать в виде Граничные условия влажности записываются в зависимости от фазового состояния границы. В талом состоянии всей толщи грунта задаются условия Для мерзлых границ указанные условия принимают следующий вид Начальное распределение влаги во всей области известно В уравнениях (1.3.7) - (1.3.14) приняты следующие обозначения: W- влажность в талой зоне; W\(T) - известная функция, выражающая количество незамерзшей воды при температуре Т; W2(T) - льдосодержание (количество льда); W — W\ + W2 - суммарная влажность в мерзлой зоне; И О Ф) = W — \У\(Тф) - свободная влага (вода), которая замерзает скачком на фронте фазового перехода; /, / - коэффициенты диффузии влаги соответственно в талой и мерзлой зонах; ф(х) - равновесная с окружающей средой влажность материала; а - коэффициент влагообмена. Обычно каждую систему уравнений температурной и влажностной задачи принято записывать, соответственно, в виде одного уравнения.
А решение влажностной задачи по жидкой фазе терпит разрыв первого рода на фронте, где скачком замерзает свободная вода. Заметим, что Г(ж,) в температурной задаче является непрерывной монотонно возрастающей (убывающей) функцией. Для того чтобы написать уравнение влажности относительно непрерывной функции переменной Г введем новые функции Ф и И Г), где Функция Ф(Г) при Г —» Тф-0 принимает значение Ф(Г) = W = \і(ТФ) + И/2(ГФ), а при Г - ГФ + 0 - Ф(Г) = \(ТФ + 0) = W . По определению \У2(Тф) = W - И і(Тф), т.е. в точке Г = Гф функция Ф(Т) непрерывна. А функция W2(T) должна удовлетворять следующим свойствам: 1. И (Т) непрерывна и отлична от нуля в промежутке (Гф — А,Гф], а вне ее тождественно равняется нулю. 2. При Г = Гф принимает значение равное И Гф) = И Гф). Для влажностной задачи (1.3.7), (1.3.8) с условием (1.3.9) справедливо утверждение: Утверждение 1. Уравнения (1.3.7) - (1.3.9) можно записать в виде одного уравнения определенного во всей области 0 х I, где Доказательство. Справедливость утверждения при Т Тф — Л и Т Тф очевидна. Для доказательства того, что уравнение (1.3.15) включает и условие (1.3.9), воспользуемся методикой работ [19, 48]. Выберем область G на плоскости xot, представляющую достаточно малую окрестность границы фазового перехода с контуром ABCDA с шириной 2Д, внутри которой находится фронт фазового перехода EF (рис.1) Пусть слева от линии EF (х — ()) находится мерзлая область, справа -талая. Проинтегрируем уравнение (1.3.15) по данной области и воспользуемся формулой Грина где Г - контур ABCDA. Пусть отрезки ВС и DA стягиваются к точкам F и Е соответственно, тогда интегралы по ним обращаются в нуль и получится равенство На линии EF выполняются равенства W = W\+W2, W = W\(T p) + W2(T$ ), и меняя направление интегрирования в первом интеграле, получим Ввиду произвольности области G отсюда следует условие (1.3.9). Что и требовалось доказать. Утверждение 2. Уравнения (1.3.1) - (1.3.3) можно записать в виде одного уравнения определенного во всей области 0 х I, где Доказательство. Тот факт, что уравнение (1.3.16) при Т Г$ и Г Тф — Л совпадает соответственно с уравнениями (1.3.1) и (1.3.2) очевидно. Покажем, что оно включает и уравнение (1.3.3). Для этого проинтегрируем (1.3.16) по области, выбранной выше и проделаем все преобразования, которые были выполнены для случая влажностной задачи.
Опуская промежуточные выкладки, получим Отсюда повторяя предыдущие преобразования придем к соотношению по кривой EF, где интеграл от функции СТ по физическому смыслу объемной теплоемкости равен нулю Меняя в первом интеграле направление интегрирования убеждаемся, в том, что из последнего выражения получается условие (1.3.3). Что и требовалось доказать. В силу утверждений 1 и 2 граничные и начальные условия для функции Ф получаются из заданных условий (1.3.10) - (1.3.14) Дан краткий обзор литературы по численным методам решения задач теп-лопереноса и системы уравнений тепломассопереноса с фазовыми переходами. Для сформулированной задачи тепломассопереноса (см. глава 1, 1.3) построена итерационно-разностная задача, где на каждой итерации разностные схемы для температурной и влажностной задач решаются методом прогонки. Доказана сходимость решений итерационно-разностной схемы к решениям исходных задач тепломассопереноса с фазовым переходом. По построенному алгоритму проведены численные расчеты.
Итерационная схема решения разностной задачи
Название рассматриваемого класса краевых задач утвердилось в честь австрийского физика Йозефа Стефана, который, поставил и решил задачу о промерзании грунта, о нейтрализации при диффузионном переносе вещества к зоне реакции, об испарении и растворении соли в воде, о плавлении слоя льда. Характерной особенностью задач типа Стефана является равенство искомой функции вдоль неизвестных границ заданным постоянным величинам. Кроме того в них задается линейная связь между скоростью движения неизвестной поверхности со скачком теплового потока. В тешюфизической интерпретации коэффициент пропорциональности носит название скрытой теплоты фазового перехода. Параллельно с развитием модельных представлений развивались численные методы расчета. Из выше сказанного следует, что задачи типа Стефана относятся к классу нелинейных краевых задач даже в случае кусочно-постоянных коэффициентов, поэтому наиболее эффективным способом их решения являются конечно-разностные методы, которые можно разделить на два класса: методы с явным выделением положения неизвестной поверхности фазового перехода; разностные методы сквозного счета.
Первые публикации по разностным методам решения задач типа Стефана были опубликованы в работе Д. Дугласа и Г. Гелли [110]. В данной работе была предложена и обоснована неявная итерационно-разностная схема с ловлей фронта в узел сетки. В дальнейшем метод ловли фронта в узел сетки получил свое развитие и обобщение в работах Б.М. Будака и его учеников [6, 10]. Метод успешно применяется для одномерных и однофронтовых задач. Недостатком этого метода является невозможность распространить его на многофронтовые и многомерные задачи.
Для реализации многофронтовых задач Б.М. Будаком, Н.Л. Гольдманом, А.Б. Успенским [8, 9] предложен метод выпрямления фронтов. Разностные схемы метода выпрямления фронтов для решения задачи типа Стефана алгоритмически сложны и не экономичны при численной реализации [65].
Первые разностные схемы сквозного счета были построены А.А. Самарским и Б.Д. Моисеенко [81] и Б.М. Будаком, Е.Н. Соловьевым, А.Б. Успенским [10], которые получили широкое распространение при численном решении прикладных задач. Метод сквозного счета применяется и для доказательства существования решения двухфазной задачи типа Стефана [41, 58].
Для численного решения конкретных задач типа Стефана предложены различные модификации способов построения разностных схем сквозного счета. Трехслойная линейная разностная схема сквозного счета построена в работе М. Лиза [113]. В работах [12, 111, 112] для решения однофазной задачи типа Стефана предлагается метод фиктивных областей. Для численного решения двухфазной задачи Стефана Р.П. Федоренко [91] предложил явную и неявную разностные схемы сквозного счета, где при построении разностных схем учитывается зависимость температуры от энергии в виде однозначной непрерывной функции и в качестве искомой функции берется тепловая энергия. В.П. Ильиным и его сотрудниками В.И. Дробышевичем, Л.В. Яушевой в работах [26, 27, 39] построены балансовые разностные схемы, пригодные для численного решения двухфазной задачи типа Стефана, с помощью которых численно исследованы процессы тепло- и массопереноса в каталитических реакторах и в других технических устройствах. Конечно-разностный метод с фиксированной сеткой рассмотрен в [108]. Численное моделирование процессов тепло- и массопереноса в геодинамике с учетом фазового перехода разностным методом рассмотрен в [49]. Задачи тепло- и массопереноса с фазовыми переходами принадлежат к классу задач, имеющих особенности в узких внутренних зонах [42].
Исследования по корректности задач типа Стефана обобщены в монографиях Л.И. Рубинштейна [76], A.M. Мейрманова [54].
Обобщающим анализом разностных методов, применяемых для численного исследования тепло- и массоперноса с фазовыми переходами, можно ознакомится в работах академика А.А. Самарского и его учеников [78, 80, 81, 82], В. Воллера [116], монографии Дж. Крайка [109].
Основные закономерности процесса морозного пучения грунтов
В литературе существует множество определений, но нет общепринятого определения морозного пучения [21, 44]. Например, в работе [88] М.И. Сумгин дает следующее определение: "Пучением грунтов мы называем в обобщенном понимании деформации поверхности почвы, заключающиеся в поднятии, а затем опускании этой поверхности". Здесь преобладает внешний фактор: пучение и оседание. А в работе 101] Н.А. Цытович дал следующее определение пучения грунтов: "Пучение грунтов при замерзании вызывается увеличением объема воды при переходе из жидкого состояния в твердое и образованием ледяных прослоек и линз". Он указывает на причину возникновения пучения грунта за счет изменения объема грунта при замерзании. М.Ф. Киселев [44] предложил следующую формулировку этого процесса: "Под морозным пучением грунтов подразумевается их свойство при определенном сочетании гидротермических условий в пределах сезонного промерзания увеличиваться в объеме под действием сил кристаллизации льда при фазовых превращениях содержащейся в грунте и подтягиваемой дополнительно воды к кристаллам льда. Внешнее проявление этого свойства грунтов заключается в неравномерном поднятии дневной поверхности за счет образования ледяных включений". Данное определение ближе к физической сущности пучения грунтов в природных условиях. В.О. Орлов [61] дает несколько отличающееся определение следующего содержания: "Под морозным (криогенным) пучением понимается внутриобъемное деформирование промерзающих влажных почв, нескальных пород и грунтов, приводящее к увеличению их объема вследствие кристаллизации в них воды и образования ледяных включений в виде прослойков, линз, поликристаллов и т.н. Внешним проявлением морозного пучения служат местные, как правило, неравномерные поднятия поверхности слоя промерзающего грунта, сменяющиеся осадкой последнего при оттаивании". В данном определении дано более широкое понятие объемного деформирования, охватывающее структурные изменения в грунте в результате пучения и уточняются пределы геологических образований, в которых наблюдается морозное пучение. Рассмотрим определение данное Б.И. Далматовым [24]: "Морозным пучением называется увеличение объема грунта при промерзании в результате перехода воды в лед и миграции влаги к фронту промерзания. Пучииистыми обычно называют грунты, которые при промерзании в условиях естественного залегания способны увеличиваться в объеме". Он дает дополнение к определению пучинистых грунтов, которое применяется к практике строительства. В руководстве по проектированию оснований и фундаментов на пучинистых грунтах [77] дано следующее: "Пучинистыми (морозоопасными) грунтами называются такие грунты, которые при промерзании обладают свойством увеличивать свой объем при переходе их в мерзлое состояние. Изменение объема грунта обнаруживается в природных условиях в поднятии дневной поверхности в процессе промерзания и опускания ее при оттаивании. В результате этих объемных изменений происходят объемные деформации, что и наносит повреждения основаниям, фундаментам и над фундаментному строению зданий и сооружений". Исчерпывающее определение процесса морозного пучения изложено в приложении СНиП II-15-74 [86].
Из вышесказанного следует, что в основном пучение грунтов зависит от их состава и сложения, водных свойств, влажностного и температурного режимов, а также условий промерзания, то есть от системы, в которой идет промерзание (открытая или закрытая), фронт промерзания и темп, скорость промерзания. В открытой системе промерзание грунта сопровождается подтоком влаги извне к фронту промерзания на нижележащих талых или немерзлых слоев; в закрытой - промерзание идет без подтоков влаги извне к фронту промерзания, т. е. происходит перераспределение имеющейся влаги.
Процесс пучения в песчаных и суглинистых грунтах идет в совершенно различных условиях. Если в закрытой системе влажность песка равна или близка к полной влагоемкости, то она является пучинистой. Следовательно, пески в открытой системе являются иепучинистыми. Величина пучения песков определяется мощностью промерзания слоя влагонасыщеиного песка. Величина пучения зависит от темпа промерзания и она определяется влиянием скорости промерзания на глубину промерзания.
При промерзании суглинистых грунтов в открытой системе пучение в соответствующих условиях достигает максимальной величины. В закрытой системе вспучиваются только суглинки с малой величиной набухания, если их влажность больше влажности порога пучения [18]. Влажность порога пучения определяет тот минимум кристаллов льда, образующихся у фронта при данном темпе промерзания, который необходим для нарушения исходной плотности скелета грунта. Следовательно она определяется водными свойствами пород и температурными условиями на поверхности почвы.
Различают три основных механизма образования бугров пучения: 1) инъекционный; 2) сегрегационный; 3) инъекционно-сегрегационный.
Инъекционный механизм роста связан с внедрением воды под напором в полости, которые создаются в ходе процесса самой внедряющейся массой. В результате этого на поверхности грунта возникают взбугривания, которые при повторяющихся или непрерывно происходящих процессах замерзания и поступления новых порций инъекции приводят к образованию бугра пучения. В частном случае инъекция может быть однократной.
Сегрегационный (миграционный) механизм роста - это, когда льды образуются в осадочных породах за счет подтягивания воды к подвижной границе промерзания грунта. Пучение в этом случае обусловлено избыточным макроскопическим льдовыделением в результате дополнительного поступления мигрирующей влаги.
В мелкозернистых песках и легких супесях сегрегационное льдообразование существенно менее интенсивно, но в слое сезонного промерзания при больших влажностях возрастает роль инъекционного льдообразования, и величина пучения оказывается сопоставимой с той же характеристикой при сегрегации льда в суглинках. Неравномерность пучения при инъекционном образовании льда возрастает, и оно может проявляться в средне- и крупнозернистых песках.
