Введение к работе
Актуальность темы обусловлена необходимостью выявления количественных закономерностей, складывающихся в макроэкономике регионов РФ в современных условиях переходного периода; необходимостью разработки новых математических моделей региональной макроэкономики, исследования условий корректности этих моделей, разработки алгоритмов оптимального управления экономической системой на региональном уровне, численных расчетах оптимальных траекторий развития.
Классическими среди макромоделей стали модель Рамсея (1928 г.) и Солоу (1956 г.). Развитие этих моделей представлено работами М. Интрилигатора, В.Л. Макарова, А.М. Рубинова, В.З. Беленького, В.А. Колемаева. Региональная макроэкономика, как наука, появилась на Западе в 50-х годах XX века; лидером ее стал У. Айзард. В России вопросами региональной макроэкономики занимается акад. А.Г. Гранберг и другие.
Одной из основных зависимостей математической модели макроэкономики региона является производственная функция (ПФ), определяющая объем выпускаемой продукции в единицу времени (год) в зависимости от объема используемых в производстве ресурсов. В данной работе для моделирования производственного процесса использовалась В-функция, предложенная в работах Булгакова В.К., Булгакова О.В.
Ряд важных вопросов экономической теории связан с необходимостью определять наилучший, оптимальный вариант решения. Математический аппарат современной теории оптимального управления включает методы вариационного исчисления, принцип максимума и метод динамического программирования.
Принцип максимума, предложенный акад. Л.С. Понтрягиным, позволяет решать ряд задач математического и прикладного характера, которые являются вариационными задачами, но не укладываются в классическую схему вариационного исчисления. Необходимые условия принципа максимума позволяют сформулировать краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Следует отметить, что в работах по математической экономике, где для решения задачи оптимального экономического роста использован принцип максимума Л. С. Понтрягина, подынтегральная функция максимизируемого функционала принималась равной функции управления. В этом случае оптимальное управление представляет собой систему релейных переключений граничных значений функции управления. В настоящей диссертации рассмотрена нелинейная подынтегральная функция – функция полезности в виде степенной зависимости от управления, где показатель степени .
Задача расчета оптимального управления с помощью необходимых условий принципа максимума сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Единственным классом дифференциальных уравнений, для которых разработаны регулярные методы решения краевых задач, являются линейные дифференциальные уравнения. Эти методы и основанные на них схемы решения краевых задач заключаются в переносе граничных условий (метод прогонки). Метод прогонки используется и для построения итерационных способов решения нелинейных краевых задач. Однако не все задачи оптимального управления могут быть сведены к краевым задачам для линейных дифференциальных уравнений.
В настоящей работе предлагается оригинальный алгоритм решения краевой задачи оптимального управления региональной макроэкономикой при конечном горизонте планирования (); исследованы задачи с фиксированным и не фиксированным временем.
Цель работы.
1. Разработка и исследование математической модели региональной макроэкономики РФ в переходный период, учитывающей особенности межбюджетных отношений.
2. Разработка алгоритмов решения краевой задачи оптимального управления динамикой региональной макроэкономики, исследование условий существования и единственности рассмотренных задач. Численные исследования алгоритмов расчета оптимального управления региональной экономикой.
3. Проведение численных исследований на ЭВМ динамики макроэкономических параметров региональной экономической системы на основе решения задачи оптимального управления (на примере Хабаровского края).
Научная новизна работы:
1. Разработана и исследована новая математическая модель региональной макроэкономики РФ на основе производственной В-функции. Модель учитывает особенности существующих в РФ межбюджетных отношений.
2. Доказана теорема о существовании и единственности стационарного решения предложенной математической модели.
3. Доказана теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой, описываемой предложенной математической моделью.
4. Разработаны и исследованы алгоритмы решения краевой задачи оптимального управления для конечного горизонта планирования заранее не заданного, а также для горизонта планирования заранее заданного.
5. На основе разработанных алгоритмов проведены численные исследования на ЭВМ динамики макроэкономических параметров, соответствующей оптимальным управлениям.
6. Теоретически обнаружен инвариант исследуемой макроэкономической
модели.
Практическая ценность.
1. Разработанные алгоритмы расчета краевых задач оптимального управления реализованы в виде комплекса программ на языке C++. Программный комплекс может быть использован при разработке стратегий социально-экономического развития регионов РФ.
2. Предложенные и исследованные алгоритмы решения краевых задач оптимального управления могут быть использованы для решения задач оптимального управления в конкретных отраслях народного хозяйства.
На защиту выносятся.
1. Алгоритмы решения краевых задач оптимального управления для предложенной математической модели региональной макроэкономики.
2. Теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой, основанной на производственной В-функции.
3. Численные исследования на ЭВМ оптимальных управлений и соответствующих траекторий макроэкономических параметров региональной макроэкономики.
Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
– XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (Хабаровск, ДВГУПС, 2005 г.);
– VIII открытый конкурс-конференция молодых ученых и аспирантов Хабаровского края (экономическая секция) (Хабаровск, ИЭИ ДВО РАН, 2006 г.);
– XXXI, XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, ИПМ ДВО РАН, 2006 - 2007 гг.);
– IX краевой конкурс-конференция молодых ученых (физико-математическая секция) (Хабаровск, ДВГУПС, 2007 г.);
– семинар "Дифференциальные уравнения" (рук. д.ф.-м.н., проф. А.Г. Зарубин) (Хабаровск, ТОГУ, 2007 г.);
– Пятая международная научная конференция творческой молодежи (Хабаровск, ДВГУПС, 2007);
– Российская конференция "Дискретная оптимизация и исследование операций" (Владивосток, ИАПУ ДВО РАН, 2007 г.).
Основные положения диссертации опубликованы в 9 работах.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 139 страниц машинописного текста, содержит 56 рисунков, 8 таблиц и список литературы из 108 наименований. Нумерация формул в диссертационной работе состоит из двух чисел: первое число соответствует номеру главы, второе – порядковому номеру формулы в этой главе.
