Введение к работе
Актуальность темы исследования
Обратные задачи восстановления структуры объектов по косвенным данным возникают в тех случаях, когда внутренняя структура объекта по тем или иным причинам недоступна прямому исследованию, в то время как косвенная информация о структуре объекта может быть получена в виде порождаемых этой структурой пространственного распределения физических полей, собственных или полученных как отклик на внешнее воздействие, и которые могут быть измерены Среди таких задач обратные задачи геофизики, разнообразные обратные задачи теплообмена, электрокардиографии, электроэнцефалографии, томографии и другие В рамках выбранных физических и математических моделей такие задачи формулируются обычно в виде обратных задач, отличительной особенностью которых, как правило, является их некорректность Методы решения некорректно поставленных задач активно развивались с начала 60-х годов ХХ-го века и, прежде всего, в трудах советских математиков А Н Тихонова, М М Лаврентьева, В К Иванова, В Н Страхова, В Я Арсенина, В Б Гласко и их учеников
В диссертационной работе в прикладном аспекте рассматривается обратная задача, связанная с проблемой обработки данных в геофизике (гравиразведке) на основе аналитического продолжения гармонического поля Анализируя поле вблизи его источников, можно получить представление об их структуре и, таким образом, продолжая поле с некоторой поверхности, на которой поле задано, в сторону исследуемых источников можно по продолженному полю восстановить структуру плотности источников поля с той или иной степенью полноты Концепция аналитического продолжения развивалась в работах А Н Тихонова, В Н Страхова, М С Жданова, В Б.Гласко, Г Я Голиздры, А В Цирульского, Г М Воскобойникова, Е А Мудрецовой, О К Литвиненко, В Р Мелихова и др Методы решения задачи
продолжения развивались в основном в двумерном случае Несмотря на то, что в трехмерном случае теория продолжения потенциального поля с неплоской неограниченной поверхности разработана, весьма актуально изучение вопросов, связанных с переходом к рядам Фурье при численной реализации методов продолжения, а также при задании поля в реальной ситуации на ограниченной поверхности Анализ методов решения позволяет говорить о том, что задача аналитического продолжения потенциального векторного поля с неплоской ограниченной поверхности в трехмерном случае остается до конца нерешенной и актуальной При этом имеется потребность в разработке эффективных и устойчивых численных алгоритмов решения такой задачи
В данной работе рассматривается векторная трехмерная задача продолжения потенциального поля с ограниченной поверхности общего вида Эта задача формулируется как смешанная краевая задача в ограниченной области с условиями Коши на поверхности Такая постановка задачи позволяет получать и точное, и приближенное решения в виде двойных рядов Фурье, что существенно для построения численного решения задачи продолжения поля и математической обработки гравиметрических данных на ограниченных площадях В математическом плане векторная задача продолжения поля сводится в диссертации к некоторой скалярной смешанной краевой задаче структурно близкой к задаче Коши для уравнения Лапласа с данными на поверхности общего вида Причем в отличии от исходной векторной задачи здесь данные Коши содержат производные компонент заданного вектора поля на поверхности Рассматриваемая задача некорректно поставлена Задачи Коши для уравнения Лапласа ранее решались в простых областях, допускающих разделение переменных Потребность в решении прикладных задач приводит к необходимости решения задач Коши для уравнения Лапласа и аналогичных ей некорректных задач с данными на произвольных поверхностях Эти данные в реальной ситуации представляют собой, как правило, результат измерений, известны с некоторой погрешностью, и это требует построения
устойчивых методов решения Таким образом, актуальна проблема развития математического аппарата для устойчивого численного решения таких некорректных краевых задач
Цель работы
Целью диссертационной работы является разработка эффективных устойчивых методов продолжения потенциальных векторных полей с поверхности общего вида для получения информации о структуре их источников и приложение полученных результатов для математической обработки данных в гравиразведке
Достижение цели осуществляется решением следующих задач-
Выбор математической модели для аналитического продолжения потенциального поля с ограниченной поверхности общего вида Обоснование модели получением оценки по параметрам области по отношению к модели во всем пространстве Сведение векторной краевой задачи продолжения потенциального поля в цилиндрической области к трем скалярным смешанным краевым задачам для уравнения Лапласа с данными Коши на ограниченной поверхности общего вида
Построение точного и приближенного устойчивого решений смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с данными Коши на ограниченной поверхности общего вида методом рядов Фурье
Построение точного и приближенного устойчивого решений векторной задачи продолжения потенциального поля с данными на ограниченной поверхности общего вида, используя способ нахождения двух неизвестных «горизонтальных» составляющих вектора поля по найденной «вертикальной» составляющей
Разработка эффективного алгоритма для решения задачи продолжения потенциального поля с ограниченной поверхности
общего вида методом дискретных рядов Фурье
Обоснование дискретизации задачи на основе получения оценок дискретизации и оценки устойчивости приближенного решения по параметрам дискретизации задачи
Проведение вычислительного эксперимента по применению разработанных алгоритмов к решению модельных задач и практических задач геофизики
Методы исследования
В работе использовались методы теории уравнений с частными производными, методы регуляризации некорректно поставленных задач, а также средства современного вычислительного эксперимента
Научная новизна работы
В диссертации впервые получено и обосновано устойчивое решение задачи продолжения потенциального поля с поверхности общего вида в рамках модели поля в ограниченной области, позволяющее построить и обосновать новые эффективные вычислительные алгоритмы решения такой задачи Проведен вычислительный эксперимент на новых модельных примерах
Практическая ценность работы
Диссертация носит теоретический и прикладной характер Разработанные алгоритмы продолжения потенциального поля могут применяться для обработки гравиметрических данных и последующей интерпретации продолженного поля с целью выявления гравитационных аномалий, оконтуривания месторождений полезных ископаемых, а также — для математической обработки данных о других потенциальных физических полях
Апробация работы
Полученные в диссертации результаты докладывались на XXXVII-XXXIX, XLI, XLII Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин, Российский университет дружбы народов (Москва, 2001-2003, 2005, 2006г.г), Первой международной конференции «Вычислительные методы в прикладной математике» (СМАМ-1) (Минск, 2003г), семинаре под руководством профессора Е П Жидкова и профессора Л А Севастьянова в РУДН, семинаре кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН, семинаре под руководством профессора Е П Жидкова в ЛИТ(ЛВТА) ОИЯИ, семинаре кафедры прикладной математики МИФИ
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата
Личный вклад автора
Все результаты диссертации получены лично автором В целом в совместных работах по теме диссертации автор участвовал в разработке методов и алгоритмов, их обосновании. Автором выполнена основная часть работ по проведению вычислительного эксперимента
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 61 рисунок, список цитированной литературы содержит 169 наименований Объем диссертации — 166 страниц машинописного текста
