Введение к работе
Актуальность работы. Значительная часть теории обыкновенных дифференциальных уравнений посвящена линейным уравнениям. Алгоритмы решения линейных уравнений с помощью рядов достаточно подробно разработаны и реализованы как численно, так и символьно. С помощью этих алгоритмов для решения в виде ряда vn(x — a)n в заданной точке а можно найти любое заданное число начальных коэффициентов v0, Vi,... Vn- Численными методами их значения находятся приближенно, символьными вычислениями — точно.
Частный случай линейного уравнения — уравнение с полиномиальными коэффициентами — изучается в компьютерной алгебре особо. Последовательность {vnв этом случае удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению с полиномиальными коэффициентами.
В работах С.А. Абрамова, М. Петковшека предложены алгоритмы построения для однородных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами решений в виде рядов с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими коэффициентами в заданной точке и алгоритмы поиска точек, где такие решения существуют. С.А. Абрамовым разработан алгоритм построения для однородного дифференциального уравнения решений в виде ш-разреженных рядов и алгоритм поиска ш-точек, то есть точек, где существуют ш-разреженные решения.
В случае неоднородного дифференциального уравнения Ly (x) = f (x) такого, что для его правой части известен аннулирующий дифференциальный оператор M с полиномиальными коэффициентами, то есть Mf (x) = 0, задача поиска решений обычно сводится к поиску решений однородной задачи MоLy(x) = 0. Однако при этом возрастает порядок уравнения, степень коэффициентов, будут получены "лишние" решения. Все это сильно сказывается на эффективности известных алгоритмов. В связи с этим необходимо разработать алгоритмы поиска решений в виде рядов, коэффициенты которых задаются явной функцией от индекса, а так же алгоритмы поиска точек, где существуют такие решения, для случая неоднородных дифференциальных уравнений, сравнимые по эффективности с алгоритмами для случая однородных уравнений.
Так же необходим эффективный по временным затратам алгоритм поиска ш-точек для однородного дифференциального уравнения, поскольку первоначальный алгоритм, основанный на вычислении наибольшего общего правого делителя линейных операторов, зависящих от параметра, сильно затратен по времени.
В особой точке дифференциального уравнения существует фундаментальная система формальных экспоненциально-логарифмических решений, которые содержат конечное число степенных рядов. Построение этих решений в системах символьных вичислений исследовано Э. Турнье, Э. 11флюгелем. Последовательности коэффициентов рядов, входящих в формальные решения, удовлетворяют системе линейных рекуррентных соотношений, с помощью которых вычисляется любое заданное число начальных коэффициентов рядов. В связи с этим возникает вопрос о построении для дифференциального уравнения экспоненциально-логарифмических решений, содержащих ряды, коэффициенты которых могут быть выписаны явно. Для этого следует изучить возникающую здесь систему рекуррентных соотношений и разработать алгоритм поиска ее решений.
Цель диссертационной работы. Целью настоящей работы является разработка новых компьютерно-алгебраических алгоритмов решения с помощью формальных степенных рядов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами, однородных и неоднородных, и реализация этих алгоритмов.
Научная новизна. В диссертационной работе получен ряд результатов, обладающих научной новизной:
Утверждение о множестве гипергеометрических точек однородного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами перенесено па случай неоднородного уравнения Ly (x) = f (x) с такой правой частью, для которой известен аннулирующий ее дифференциальный оператор M с полиномиальными коэффициентами: Mf (x) = 0. Обыкновенной точкой такого уравнения называется точка обыкновенная и LM обыкновенная точка уравнения является гипергеометрической, то и все обыкновенные точки — гипергеометрические. Этот результат является новым для случая неоднородного уравнения. Разработан и реализован алгоритм построения решения в виде ряда с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими коэффициентами в заданной точке для неоднородного уравнения.
Для поиска ш-точек разработан и реализован новый, более эффективный по времени, чем разработанный ранее, алгоритм, использующий модулярно-вероятностный подход.
отношений специального вида, возникающей при построении формальных экспоненциально-логарифмических решений дифференциального уравнения Ly(x) = 0. Разработан и реализован алгоритм построения гипергеометрических и даламберовых решений такой системы. Разработан и реализован алгоритм поиска формальных экспоненциально-логарифмических решений Ly(x) = 0, содержащих ряды с гипергеометрическими и даламберовыми коэффициентами.
процедуры построения для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами решений в виде формальных рядов и формальных экспоненциально- логарифмических решений, содержащих ряды с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими, даламберовыми коэффициентами, а также содержащих разреженные ряды;
процедуры построения множества кандидатов в полиномиальные, рациональные, гипергеометрические, даламберовые точки, а так-
Разработанные процедуры реализованы в пакете Slode для системы компьютерной алгебры MAPLE.
Практическая и теоретическая ценность. Предложенные в диссертационной работе алгоритмы и их реализация будут полезны при решении любой задачи — теоретической, либо из прикладной области, — требующей поиска решений линейного дифференциального уравнения.
Практическая ценность данной работы подтверждается тем, что представленная реализация — пакет Slode — включена в систему компьютерной алгебры MAPLE. Первый вариант пакета включен в 1999 г. в MAPLE 6; его расширения включены в последующие версии этой системы. В качестве примеров использования Slode приведем два случая.
С помощью этого пакета была решена задача разложения алгебраической функции в дробно-степенной ряд с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими и даламберовыми коэффициентами и определения точек, где такие разложения возможны.
Также Slode был использован для иллюстрации одной из возможностей систем компьютерной алгебры — проведении серии символьных экспериментов, приводящей к выдвижению гипотезы и ее доказательству. В результате такого эксперимента была выведена еще одна формула интегрирования функции Бесселя Jn(ж) для нечетных натуральных п. Показано, что для четных п аналогичной формулы не существует.
Структура пакета Slode позволяет программистам в MAPLE расширять его возможности. Если будет реализован алгоритм поиска решений нового вида для линейных рекуррентных соотношений, например, лиувиллевых решений, то в пакет можно будет добавить процедуру построения решения в виде ряда в заданной точке с такими новыми, например, лиувиллевыми, коэффициентами.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертации были представлены в докладах на
международной конференции «Computational Modeling and Computing in Physics», 1996, r. Дубна;
1998, г. Дубна;
1998, 2003, 2005, 2007, г. Дубна;
семинаре МГУ «Компьютерная алгебра», 1999, 2012, г. Москва; binatorics», 2000, г. Москва; Physics», 2001, г. Дубна;
ные вопросы», посвященной 106-летию со дня рождения И.Г. Петровского, 2007, г. Москва.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы. Общий объем работы составляет 121 страницу. Список литературы содержит 39 наименований.
