Введение к работе
Актуальность темы. Теории IX - статистик и функционалов Мизеса, начатая еще в 40-х годах работами П.Халмаша, Р.Мизеса, В.Хефцинга,- занимает важное место в современной теории вероятностей и ее многочисленных приложениях. Этот факт объясняется тем, что многие числовые характеристики генеральной совокупности ножно выразить через так называемые регулярные функционалы от функции распределения (ф.р.), а именно, функционалы вица
Qch=$---^W--. fc^dPcx^'-dPoto» (I)
где F (Эс)- ф.р. из некоторого класса Ы , а
Я: С "Х*. j , Х^) - измеримая функция, симметричная относительно QC-i_ 5 ' ' > X w
В качестве статистических оценок функционалов (I), построенных по независимой выборке X. , , ,Хц из генеральной совокупности с ф.р. f*(:x.) используют \Х,- статистики
к ^1^-1)---^-1+1). —*. х Li V
( 2-і означает суммирование по несовпадающим индексам Lj , і ^ ) или функционалы Мизеса О(г^)
( Г ^ - эмпирическая ф.р.), или их линейные комбинации.
Функцию х (Х^-- ) *-\), называют ядром функционалов
6(^-) , 6(Р|г) и U. - статистики (2), а *. - иу
степенью.
_ 4 -
При этом, как было установлено П.Халмошем, для довольно широкого класса h Ц - статистики являются единственными симметричными оценками регулярных функционалов и имеют наименьшую дисперсию.среди, всех несмещенных оценок 0 ^ р) , f Є. Vi
К настоящему времени по степени завершенности теория \Х - статистик и функционалов !,!изеса близка к современной теории суммирования независимых случайных величин.
В последние годы начала бурно развиваться асимптотическая теория так называемых обобщенных (когда ядра функционалов зависят и от индексов суммирования и от объема выборки) функционалов Мизеса и \Ц - статистик. Это развитие в значительной мере объясняется тем, что многие интегральные статистики, играющие важную роль в теории непараметрического оценивания, могут быть представлены в виде функционалов Мизеса и Ц - статистик с переменным ядром. Первые предельные теоремы для обобщенных функционалов Мизеса и обобщенных IX- статистик установлены в работах Б.Розена, В.Михайлова, В.Гирко, В.Королюк и Ю.Боровских, П.Халда, Ш.Хашимов и др. Логика развития предельных теорем для обобщенных U. - статистик требует решения следующих важных задач: а) установления закона больших чисел (з.б.ч.) и усиленного а.б.ч., б) исследования класса предельных законов и нахождения необходимых и достаточных условий сходимости распределений обобщенных Ц. - статистик к этим предельным законам и, в частности, к нормальному закону, в) получение скорости сходимости .в предельных теоремах. Решению указанных задач и посвяшена данная диссертационная работа.
Цель работы- Основной целью работы является исследование условий выполнимости ряда предельных теорем (з.. б.ч., усиленного з.б.ч..центральной предельной теоремы (ц.п.т),а также сходимости к любым безгранично делимым законам (б.д.з)) и получениеасимптотические оценки в этих теоремах.
Методи исследования'. В работе применяются современные аналитические и прямые вероятностные методы теории вероятностей. В частности, используотся метод характвристичесиїх функций (например,.получение равномерных оценок в ц.п.т. основано на идеях доказательств в ряде работ А.Тихомирова) и метод суммирования мартингал-разностей.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыш. Наиболее существенные из них - следующие:
-
Установлены з.б.ч. и усиленный з.б.ч. для обобщенных И. - статистик от независимых величин.
-
Найдено необходимое и достаточное условие сходимости распределения обобщенной Ц. - статистики к б.ц.з.
-
Впервые установлена оценка скорости сходимости к нормальному закону для невырожденной обобщенной
\Л - статистики.
4. Исследована скорость сходимости в з.б.ч. и усилен
ном з.б.ч.
Отметим, что все вышеперечисленные результаты получены для независимых величин Х^ > * > Хц_ со значениями в произвольном ' измеримом пространстве д Кроме того, эти величины, вообще говоря, могут быть различно распределенными и образовывать схему серий (по И )
Практическая ценность. В диссертации проведено систематическое исследование обобщенных IX - статистик. Полученные в ней предельные теоремы показывают, что класс предельных законов для этих статистик значительно шире, чем в случае классических Ц. - статистик (2). Результаты работы позволяют решать ряд важных задач теории непараметрического оценивания.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ТашГУ, семинаре института математики им. В.И.Романовского Ш РУз, на пятой международной Вильшоской конференции по теории вероятностей''
.-6-
и математической статистике (Вильнюс, июнь, 1989 г.), периодически докладывались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава и на теоретических семинарах кафедри высшей математики № 3 при ТашГТУ им. Бе руни.
Публикация. Основный результаты диссертации опубликованы в работах [1-10}
Структура и объем работа. Писсертпция состоит из введения и трех глав, первие две из которых содержат по три, а третья - два параграфа. Список литературы содержит 53 наименования. Общин объем диссертации 142 страницы, без списка літератури 130 страниц.
