Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию предельного поведения распределений нормированных канонических статистик Мизеса (так называемых У-статис-тик) и [/-статистик, построенных по выборкам стационарно связанных наблюдений с теми или иными условиями зависимости. Кроме того, получены экспоненциальные неравенства для вероятностей уклонений рассматриваемых статистик с ограниченными ядрами в случае, когда выборочные наблюдения удовлетворяют условию (^-перемешивания.
Исследованием предельного поведения U- и У-статистик занимались различные авторы с середины прошлого века. Первые результаты такого типа получены в классических работах Р. Мизеса [20] и В. Хёфдинга [18]. Для U- и V-статистик, построенных по независимым наблюдениям, предельная теория разработана достаточно полно (см., напри-мер, [5], [8], [15], [18], [19], [20] и др.).
В предельной теории для указанных статистик (как для независимых, так и для зависимых наблюдений) можно выделить два направления: асимптотический анализ невырожденных и вырожденных U- и У-статистик. В силу известного представления Хёфдинга главная часть любой невырожденной U- или У-статистики представляет собой сумму одного и того же детерминированного преобразования от рассматриваемых наблюдений (независимых или зависимых), что по сути позволяет сводить задачу к соответствующей проблеме классической теории суммирования. При этом следующие по порядку члены в упомянутом разложении Хёфдинга уже будут вырожденными статистиками (как, впрочем, и суммы центрированных случайных величин). Так что асимптотический анализ невырожденных U- и У-статистик нередко сводится к соответствующему анализу вырожденных стати-
стик. Именно поэтому последние и называются каноническими. Всюду в дальнейшем мы изучаем предельное поведение только таких статистик.
Говоря о зависимых наблюдениях, следует упомянуть работу И. С. Борисова и А. А. Быстрова [3], в которой найден слабый предел распределений статистик Мизеса произвольного порядка от стационарно связанных наблюдений с условием ^-перемешивания.
Отметим также работы X. Делинга и М.С. Такку [11], [12] и [13], где исследовались [/-статистики от специальных зависимых наблюдений, представимых в виде некоторого детерминированного преобразования стационарно связанных сильно зависимых гауссовских случайных величин. В статье [12] сформулирован предельный закон для статистик, ядра которых имеют ограниченную полную вариацию. В работе [13] для статистик порядка 2 это требование ослаблено до условия "локально ограниченной полной вариации" ядра.
Кроме того, в случае слабо зависимых наблюдений А. Н. Тихомировым в [6] и [7] подробно исследовалось предельное поведение одного частного случая статистик Мизеса второго порядка - скалярного квадрата нормированной суммы слабо зависимых случайных векторов в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Оценивание хвостов распределения U- и У-статистик также имеет довольно богатую историю. Одной из первых работ, в которой были получены неравенства интересующего нас типа для независимых наблюдений, является статья В. Хёф-динга [18], несмотря на то, что в ней рассматривались лишь невырожденные [/-статистики. Доказанное в [18] в качестве следствия экспоненциальное неравенство представляет собой естественное обобщения аналогичного классического результата для хвоста распределения суммы независимых одинаково распределенных ограниченных случайных величин.
В [2] получено уточнение неравенства из [18] для У-стати-стик в случае, когда ввірожденное ядро имеет мажоранту с разделяющимися переменивши. В [10] доказано близкое неравенство для канонических ядер без упомянутого условия на ядро. В статве [17] получено некоторое усиление ре-зулвтата [10] для статистик порядка 2, а в [9] этот резулвтат распространен на канонические [/-статистик произволвного порядка.
Говоря о зависимвіх наблюдениях, стоит упомянутв работу [14], где получено (как следствие) неравенство интересующего нас типа для статистик Крамера-фон-Мизеса, постро-еннвіх по слабо зависимвім наблюдениям.
Цель работы. Основной целвю работві являются пре-делвнвіе теоремві для распределений канонических U- и V-статистик, построеннвіх по стационарно связаннвім слабо зависимвім наблюдениям в случае неограниченного возрастания объёма наблюдений, а также получение экспоненциалв-НВІХ неравенств для хвостов распределений рассматриваемвіх статистик.
Научная новизна. В диссертации исполвзовался подход, основаннвій на представлении ядра статистики с зависимыми аргументами в виде специалвного кратного ряда, частич-нвіе суммві которого сходятся к ядру почти наверно. С помощью этой конструкции удалосв получитв представление пре-делвнвіх распределений канонических U- и У-статистик, построеннвіх по стационарно связаннвім наблюдениям с условиями <р- или «-перемешивания. Пределвнвіе законві при этом описвіваются в виде бесконечнвіх полилинейнвіх форм от по-следователвности центрированнвіх гауссовских случайнвіх величин с известной ковариационной матрицей. Сформулиро-ванві условия, обеспечивающие корректноств применения подобного разложения в ряд к случаю зависимвіх аргументов, построенві контрпримерві, показвівающие существенноств тех
или иных ограничений. С использованием той же схемы получены показательные неравенства для вероятностей уклонений канонических U- и У-статистик, построенных по стационарно связанным наблюдениям с условием (^-перемешивания.
Апробация работы. Все результаты докладывались на объединенном семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики СО РАН под руководством академика А. А. Боровкова. Результаты работы также докладывались на 4-ой международной конференции "Предельные теоремы теории вероятностей и их приложения"(г. Новосибирск, 2006 г.), на Всероссийской конференции "Математика в современном мире" (г. Новосибирск, 2007), на 26-ом Международном семинаре по проблемам устойчивости для стохастических моделей (г. Нахария, Израиль), на 5-ой Международной конференции по многомерным распределениям (г. Марсель, Франция, 2008), на 7-м Всемирном Конгрессе Общества им. Я. Бернулли по теории вероятностей и математической статистике (Сингапур, 2008).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21] — [24].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации - 65 страницы.
