Содержание к диссертации
Введение
1 Универсальные нормировки в законах повторного лога рифма 16
1.1 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма Хартмана - Виптнера. Формулировка результатов 16
1.2 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма Хартмана - Виптнера. Доказательства 18
1.3 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма для сумм геометрически взвешенных рядов 34
2 Некоторые обобщения теоремы Баума-Каца 41
2.1 Асимптотики в формулах Баума - Каца для мультиип-дексированных случайных величин. Введение и формулировки результатов 41
2.2 Вспомогательные утверждения 45
2.3 Асимптотики в формулах Баума - Каца для мультиин-дексированных случайных величин. Доказательства 55
2.4 Обобщение теоремы Баума - Каца для мультииидексиро-ванных случайных величин на случай неполиномиальных весов 64
Основные обозначения 79
Список литературы 81
- Универсальные нормировки в законе повторного логарифма Хартмана - Виптнера. Доказательства
- Универсальные нормировки в законе повторного логарифма для сумм геометрически взвешенных рядов
- Асимптотики в формулах Баума - Каца для мультиин-дексированных случайных величин. Доказательства
- Обобщение теоремы Баума - Каца для мультииидексиро-ванных случайных величин на случай неполиномиальных весов
Введение к работе
Исследования асимптотических свойств частичных сумм, построенных по семейству независимых случайных величин, относятся к классическому ядру современной теории вероятностей. В разное время в этом направлении работали Э.Борель, Г.Харди, Д.Литтлвуд, Г.Штейнгауз, А.Я.Хинчин, С.Н.Бернштейн, А.Н.Колмогоров, Б.В.Гнеденко, П.Леви, В.Феллср, Ю.В.Прохоров, А.А.Боровков, А.В.Скороход, В.Штрассен, И.А.Ибрагимов, В.М.Золотарев, В.В.Петров и многие другие выдающиеся ученые. Обзор результатов этой области представлен, например, в известных книгах В.В.Петрова ([20]), И.А.Ибрагимова и Ю.В.Лишшка ([16]), Д.Хошневисана ([60]).
Одним из наиболее ярких результатов, описывающих флуктуации сумм независимых слагаемых, является закон повторного логарифма, установленный А.Я.Хинчиным в 1924 году ([59]). Можно сказать, что был сделан новый шаг в уточнении усиленного закона больших чисел. Следует также отметить подход к оценке асимптотического поведения частичных сумм, основанный на изучении вероятностей, с которыми эти суммы превышают определенные уровни. Заметную роль здесь играет классическая теорема Баума - Каца ([31]), выявляющая связь между запасом абсолютных моментов слагаемых и скоростью сходимости в законе больших чисел. Эти результаты стали источником различных обобщений, в том числе на случай зависимых слагаемых и схем, более сложных, чем последовательность случайных величин. Достаточно упомянуть работы М.И.Гордина, А.Ю.Зайцева, М.Иосифеску, В.М.Круглова, В.Ю.Королева, Ю.С.Хохлова, М.Талаграна, М.Леду,
В.Филиппа, В.Стаута, Й.-Ч.Ки, М.Чёргё и других исследователей. Среди многочисленных результатов выделим работы А.В.Булинского, М.А.Лифшица, А.И.Мартикаііиепа, К.Хейде, В.А.Егорова, О.И.Клесова, А.Д.Розальского, А.Бовьера, П.Пикко, Л.Чанга, инициировавшие исследования, проведенные в диссертации. Обратимся к истории вопроса. В 1913 году, исследуя разложение чисел в промежутке от нуля до единицы в бесконечную двоичную дробь, Хаусдорф доказал, что для любого положительного є > 0 для почти всех чисел из этого промежутка
Sn - п/2 = о(п1/2+Е)
при п —» со, где Sn обозначает сумму первых п знаков после запятой в двоичном разложении числа. Позднее, в 1914 году, эта оценка была улучшена Харди и Литтлвудом, а именно, им удалось доказать, что для почти всех действительных чисел от нуля до единицы
Sn - п/2 = 0((п log п)1'2)
при п —> оо (всюду в работе log означает логарифм по основанию е). Затем, в 1922 году, исследуя уже последовательности независимых слагаемых, принимающих каждое из значений —1 и 1 с вероятностью 1/2, Штейнгауз установил, что
ІІІП SUp —; < 1/2 II.II.,
п-оо V 2п log п где Sn обозначает сумму первых п случайных величин последовательности, а "п.н." здесь и всюду в дальнейшем означает "почти наверное", то есть с вероятностью единица. После этого А.Я.Хинчин, в 1923 году, впервые получил оценку скорости роста таких частичных сумм, использующую повторный логарифм. А именно, им было установлено, что с вероятностью единица последовательность независимых слагаемых, принимающих каждое из значений —1 и 1 с вероятностью 1/2, подчиняется соотношению
Sn = 0((n log log п)1/2).
И, наконец, в 1924 году им же был получен следующий закон повторного логарифма.
Теорема 1. ([59]) С вероятностью единица последовательность независимых случайных величин, принимающих значения 1 и —1 с вероятностью 1/2, удовлетворяет соотношению
Km sup — п = = 1, п-»оо v 2n log log п
где Sn— сумма первых п элементов последовательности.
Результаты, подобные этой теореме, для различных классов случайных последовательностей получили название законов повторного логарифма.
Этот результат Хинчииа многократно обобщался, в том числе па случай последовательностей независимых случайных величин с разными законами распределения. В этой связи необходимо отметить работы А.Н.Колмогорова ([62]), Хартмана и Винтпера ([51]), В.А.Егорова ([15]), В.В.Петрова (см. ссылки в [20]).
Остановимся более подробно на работе Хартмана и Винтпера [51]. В частном случае одинаково распределенных слагаемых их результат превращается в следующую теорему, получившую название закона повторного логарифма Хартмаиа-Вннтнера. Здесь и далее полагаем для любого t > 0 :
LLt = log log t, при t > 3 и LLt = 1, при 0 < t < 3.
Теорема 2. (см. напр. [20], стр. 263) Пусть {Хп}пе^ - последовательность независимых одинаково распределенных (далее и.о.р.) случайных величин, удовлетворяющая условиям
ЕХі = 0 и ЕХі2 = 1. (1)
Тогда справедливы следующие соотношения:
lim sup —f — 1 п.н., (2)
n-»oo y2nLLn
5
liminf —7: = —1 n.n., (3)
n-юо y/2nLLn
где Sn — X\ + ... + Xn.
Эта теорема допускает следующее важное обращение, полученное Штрассеном в 1966 году.
Теорема 3. ([75]) Пусть {Хп}пе^ - последовательность и.о.р. случайных величии, для которой справедливы соотношения (2) и (3). Тогда у Х\ существует конечный второй момент и имеют место равенства (1).
Позднее были найдены другие доказательства этой теоремы ([44], [52], [72]) и, кроме того, А.И.Мартикайпеп ([19]) усилил этот результат, установив, что при условии выполнения только одного (любого) из условиіі (2) и (3) математическое ожидание этих случайных величин по - прежнему обязано быть равным нулю, а дисперсия - единице.
В 1977 году А.В.Булинский ([4]) предложил описывать флуктуации частичных сумм случайных величин с помощью некоторых функций, отличных от корня из удвоенного повторного логарифма. Им были рассмотрены последовательности случайных величии, для которых справедлив критерий Колмогорова - Петровского - Эрдёша - Феллера, о верхних и нижних функциях (см., напр., [43], [57]), и для этого класса последовательностей было установлено, что неотрицательная монотонно стремящихся к бесконечности функция (р удовлетворяет условию
lim sup —. = 1 п.и.
п-+оо y/DSn{DSn)
тогда и только тогда, когда справедливо соотношение
liminf-^L = l. (4)
Тем самым, для этого класса послсдовтсльностей было получено обобщение закона повторного логарифма. Заметим также, что класс случайных последовательностей, удовлетворяющих условиям критерия Колмогорова - Петровского - Эрдеша - Феллера включает в себя некоторые
(не все) последовательности и.о.р. случайных величин. В то же время этот критерий не предполагает одинаковой распределенности слагаемых.
Необходимо также отметить, что закон повторного логарифма был распространен с последовательностей независимых случайных величии на мультииндексировапные семейства. В этой связи отметим монографию [GO], в которой приведены соответствующие результаты и подробно изложена история вопроса.
Среди предельных теорем для случайных процессов центральное место также занимает закон повторного логарифма (функциональный), установленный Штрассеном 19G4 году в работе [76]. В ней Штрассеи для (і-мериого винеровского процесса Wd(t), t > 0 (см., напр., [3], стр. 50) рассмотрел последовательность случайных процессов
gn(t)^^M=, t [0,1], nGN (5)
н показал, что с вероятностью единица семейство его траекторий образует предкомпакт в (С[0, l])d (см., напр., [1], гл. 2). Множество предельных точек последовательностей функций из этого предкомпакта также было полностью описано и получило название "шар Штрассе-на". В той же работе был установлен функциональный закон повторного логарифма для последовательности случайных ломанных в С[0,1], построенных по частичным суммам Si = Х\+.. .+Xi (So = 0) последовательности н.о.р. случайных величин {Хп}пе^. Случайные ломаные hn(t), t Є [0,1], п Є N строились следующим образом:
m _ {l-{tn})S[tn] + {tn}S[tn]+1
где {х} и [х] обозначают дробную и целую части соответственно для любого действительного числа х. Переход от винеровского процесса к случайным ломаным был выполнен с использованием сильного принципа инвариантности, установленного в той же работе. Позднее появились другие доказательства функционального закона повторного логарифма
для случайных ломаных, а также аналогичные теоремы для зависимых случайных величин (см., напр., [30], [34], [36], [63], [67], [68] и [74]).
Позднее, А.В.Булинский ([5] и [6]) получил обобщения законов повторного логарифма Штрассена для винеровского процесса и случайных ломаных. Опишем эти результаты.
Рассмотрим класс С всех неубывающих функций /, определенных на (0, +оо) и удовлетворяющих условиям /() > 0 (t > 0) и f(t) / +00 при t —> +00. Для любой функции / Є С, г > 0 и О 1 положим
/С/,г.Є)-Е«р(^). 0)
К— 1
tf2(/) = inf{r>0:/(/,r,c)
причем если /(/, г, с) = оо для любого конечного г, будем считать, что R(f) = +00. Необходимо отметить, что в деііствительности величина R(f) не зависит от с, которое использовалось в (7).
Пусть Со [0,1] - пространство всех функций x(t) из С[0,1] таких, что х(0) — 0. Для 0 < г < +0О обозначим Кг множество таких абсолютно непрерывных функций y(t) = {yi(t),... ,yd(i)) из (Со[0, l])d, что
Положим также Kq = {0}, а К^ = (Со[0, l])f/.
А.В.Булинский установил, что если в определениях gn(t) в (5) и hn(i) в (6) заменить корень из удвоенного повторного логарифма на любую функцию / из С, то множество предельных точек получившихся последовательностеіі случаііньїх фупкциіі с вероятностью единица совпадет с Кпуу
Рассмотрим, теперь, еще один способ описать поведение флуктуации нормированных сумм независимых случайных величин. Усиленный закон больших чисел Колмогорова (см., напр., [28], стр 544) гласит, что любая последовательность н.о.р. случайных величин {Хп}пен, удовле-
творяющая условию E|Xi| < со, подчиняется соотношению
> 0 и.н.
при п —» со. Здесь, как обычно, 5„ = Х[ + ... + Хп. Можно описывать отклонение нормированных сумм от среднего значения с помощью поведения вероятностей
»ЬП — Ьоп
> є , є > О
при п —> со. В этой связи напомним понятие сходимости вполне, введенное Хсу и Роббипсом ([55]) в 1947 году.
Говорят, что последовательность случайных величин {У^}пем сходится вполне к случайной величине У, если для любого є > 0 выполнено соотношение
Р(|Уп-У|>)<оо.
71=1
В той же самой работе было установлено, что для последовательности {Хп}пе-^ н.о.р. случайных величин, таких, что EXf < со имеет место сходимость вполне последовательности
к нулю. Затем Эрдёш, в работе [41], получил обратную теорему, которая гласит, что для последовательности {Хп}пе^ интегрируемых н.о.р. случайных величин сходимость вполне последовательности
71 J neN
к нулю влечет существование конечного второго момента у этих случайных величин. Таким образом при помощи понятия "сходимость вполне" была получена оценка скорости сходимости в закон больших чисел.
Для произвольной числовой последовательности {an}nN, имеющей конечный предел а, можно описывать скорость сходимости ап к пределу, подбирая подходящие функции / : N —> К+, для которых выполняется условие J2=i f(n)\an — a| < со. Очень часто в роли /(п)
выступает nr, для какого-либо действительного г. Теорема Хсу и Роб-бинса обобщалась в этом направлении многими авторами. Достаточно упомянуть работы [11], [21], [22], [23], [29], [37], [38], [58], [64], [71]. Здесь же приведем результат Баума и Каца, полученный ими в статье [31].
Теорема 4. ([31]) Пусть дана последовательность {Хп}пе^ и.о.р. случайных величин и Sn — Х\ + ... + Хп. Пусть такэ/се заданы действительные числа а > 1/2 и q > І/а. Тогда следуюище три соотношения эквивалентны:
El^il9 <оо и, дополнительно, ЕХ\ — 0 в случае если q > 1, (9)
J2 nqa~2P{\Sn\ > sna) < со для любого є > О, (10)
У^па~2Р(тах |5fc| > na) < qq для любого є > 0, (11)
k
В случае когда q > І/а, эти условия таксисе эквивалентны следующему:
^2 кча~2р ( sup Чг -є)< для любог >- (12) к>\ ^* па '
Теорема Баума - Каца была распространена и на случай мульти-инднксироваппых семейств случайных величин ([39], [46], [47], [48], [70]). Чтобы привести результаты необходимые нам в дальнейшем, введем следующие обозначения.
Для любых векторов х = (x\,...,xj) и у = (i/i,... ,yd)i принадлежащих множеству M.d, d > 1, (в частности для m, п Є Nl) будем писать х > у (х > у), когда Х{ > у і (хі > у і) для каждого г. Также будем обозначать
ху= {xiyi,...,xdyd),
х/у = [х\/уи > Xd/Vd), когда у і ф 0 при всех г,
ху = (x\l,..., xydd) для х и у таких, что xf имеет смысл при всех г,
(х) = Х\ ... xдля х Є Rd.
Сумму векторов н умножение вектора на скаляр, как обычно, определим покомпонентно. Кроме того, для каждого действительного с обозначим с = (с, ...,с) и положим log+ = max(log:r,0) для х > 0. Эти обозначения мы будем использовать на протяжении всей работы. В 1978 году Гут доказал следующую теорему.
Теорема 5. ([46]) Пусть {Хп}пща— н.о.р. случайные величины и Sn = X]k
E|Xi|r/(log+ |Xi|)'i_1 < оо IX; дополнительно, ЕХ\ — 0 при q>l, (13)
J2 (n)'ya"2P(|5n| > є(п)а) < оо для любого є > 0, (14)
пє№*
V (n)r/ft-2P (max |5k| > e(n)a ) < оо для любого є > 0, (15)
пє№* Ч '
В случае когда q > 1/а, эти условия также эквивалентны следующему:
Vk
k W* (n)a /
В 1996 году Денг распространил этот результат на более общий случай нормирующих множителей.
Теорема 6. ([39]) Пусть наборы чисел {ai}f=1 и {Яі}І=\ таковы, что
1/2 < щ < 1 uqi> 1/ai, і = 1,...,d. (17)
Полооїсим
q = max qi ur — #{i Є N, 1 < і < d : qi = q}. (18)
\
Тогда условия
ElXxl^log+IXxir^oo, E*i = 0 (19)
эквивалентны.
neNd
Y, n\m~2... nj"1 d-2P(max |Я| > en? ... nadd) < oo, Ve > 0. (20)
Взглянем еще раз на соотношение (10), описывающее скорость сходимости нормированных сумм случайных величин к нулю. Легко видеть, что сумма этого ряда стремится к бесконечности, когда є убывает к пулю. Представляется интересной задачей найти асимптотику по є с которой происходит это возрастание. Частично ответ на этот вопрос дается в статьях [35] и [49]. Для наборов и.о.р. случайных величин с законом распределения, принадлежащим области притяжения некоторого устойчивого закона распределения, необходимо отмстить результаты полученные в [24] и [25].
Аналогичный вопрос можно ставить и в случае мультииндекстрован-ных слагаемых. Для суммы ряда в формуле (14) асимптотика возрастания но є установлена в работе [50]. А именно, доказано, что в случае q>2
qa-l
lim па~\2, . Vfo^PflSnl > є(п)а)
1 ь ' пє№
an —І
= mm (21)
(d -l)!(go-l)(o -l/2)d~1' { '
Одна из теорем диссертации обобщает этот результат. А именно, получена асимптотика возрастания по є суммы ряда
пГ~2. n'r-2P(\Sn\ > en? ... n?) < со. (22)
neNd
Как уже было отмечено, скорость сходимости нормированных сумм случайных величии к их математическому ожиданию может быть описана и в терминах иеполиномиальиых весовых коэффициентов. Для случая "умеренно возрастающих" коэффициентов аналог теоремы Баума-Каца о скорости сходимости был приведен Пио в работе [69].
Необходимо отметить, что многие из перечисленных результатов о сходимости вполне получили свое развитие в работах, посвященных предельным теоремам для случайных величин со значениями в произвольных банаховых пространствах. Следует упомянуть работы [29], [42], [56].
В данной диссертации изучается предельное поведение нормированных сумм (в том числе взвешенных) независимых случайных величин. При этом внимание уделяется как результатам, выполняющимся почти наверное, так и асимптотическим оценкам вероятностей превышения заданных уровней. Описание проводится в терминах сходимости или расходимости рядов, элементами которых являются указанные вероятности, умноженные на некоторые весовые коэффициенты. В последние годы значительные результаты, развивающие этот подход к описанию скорости сходимости в законе больших чисел, были установлены А.Гутом, А.Снатару, Л.В.Розовским, Х.Ланцингером, У.Штадтмюллером, Д.Пио, И.Фазекашем и многими другими математиками.
Новые эффекты возникают при изучении сумм мультииндексирован-ных случайных величин. Именно анализу таких массивов в диссертации уделяется основное внимание.
В основе диссертации лежат работы автора [10], [12], [13], [14], [33] и [40]. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции, посвященной 90 - летию академика Б.В.Гнеденко, Киев, июнь 2002г., на XXVI-й конференции молодых ученых механико-математического ф-та МГУ, Москва, апрель 2004г., на XIV-й Европейской конференции молодых вероятностников и статистиков, Будапешт, август 2005г., на Ломоносовских чтениях, Москва, апрель 2006г., на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механнко - математического факультета МГУ (рук. член-корр. РАН, проф. А.Н.Ширяев) в октябре 2006г. и па С.-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике (рук. акад. РАН, проф. И.А.Ибрагимов) в декабре 2006г.
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, насчитывающего 79 наименований.
В первой главе доказана теорема, являющаяся обобщением закона повторного логарифма Хартмана - Винтнера. А именно, полностью опи-
сан набор нормировок, на которые может быть заменен корень из удвоенного повторного логарифма, с тем, чтобы предельные соотношения из теоремы Хартмана - Винтнера остались справедливы.
Затем приводится результат, обобщающий теорему Штрассена, обратную к закону повторного логарифма Хартмана - Винтнера. В нем приводятся более широкие достаточные условия для существования конечного второго момента у исходных случайных величин.
В последнем параграфе исследуется вопрос об универсальных нормировках в законе повторного логарифма Бовьера и Пикко (теорема 1.3.1) для геометрически взвешенных рядов.
Тем самым перекрыты результаты работ [32], [51], [61] и [75].
Во второй главе собраны результаты, обобщающие теорему Баума -Каца в различных направлениях. Теорема 2.1.1 перекрывает результат Гута и Спатару, установленный в работе [50]. А именно, указывается асимптотика суммы ряда (22), описывающего скорость сходимости нормированных сумм мультииндексированных случайных величин к пулю, в более общем случае, чем рассматривали Гут и Спатару. Важно отметить, что в случаях не покрываемых теоремой Гута и Спатару асимтотика суммы этого ряда оказывается качественно другой.
Следующий результат второй главы, теорема 2.1.3, является продолжением на случай мультииндексированного семейства случайных величин теоремы Лаицингера и Штадтмюллера ([66]), в которой исследована скорость сходимости к нулю бесконечных взвешенных сумм случайных величин.
Наконец, в последнем параграфе распространяется на многомерный случай теорема Пио ([69]), в которой даются необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять распределение случайной величины, чтобы нормированные суммы ее независимых центрированных копий сходились к нулю со скоростью, описываемой умеренно возрастающей функцией.
Автор выражает глубокую признательность научному руководите-
лю - профессору А.В.Булинскому за большую помощь в подготовке работы и постоянное внимание.
Универсальные нормировки в законе повторного логарифма Хартмана - Виптнера. Доказательства
Как уже было отмечено, скорость сходимости нормированных сумм случайных величии к их математическому ожиданию может быть описана и в терминах иеполиномиальиых весовых коэффициентов. Для случая "умеренно возрастающих" коэффициентов аналог теоремы Баума-Каца о скорости сходимости был приведен Пио в работе [69].
Необходимо отметить, что многие из перечисленных результатов о сходимости вполне получили свое развитие в работах, посвященных предельным теоремам для случайных величин со значениями в произвольных банаховых пространствах. Следует упомянуть работы [29], [42], [56].
В данной диссертации изучается предельное поведение нормированных сумм (в том числе взвешенных) независимых случайных величин. При этом внимание уделяется как результатам, выполняющимся почти наверное, так и асимптотическим оценкам вероятностей превышения заданных уровней. Описание проводится в терминах сходимости или расходимости рядов, элементами которых являются указанные вероятности, умноженные на некоторые весовые коэффициенты. В последние годы значительные результаты, развивающие этот подход к описанию скорости сходимости в законе больших чисел, были установлены А.Гутом, А.Снатару, Л.В.Розовским, Х.Ланцингером, У.Штадтмюллером, Д.Пио, И.Фазекашем и многими другими математиками.
Новые эффекты возникают при изучении сумм мультииндексирован-ных случайных величин. Именно анализу таких массивов в диссертации уделяется основное внимание.
В основе диссертации лежат работы автора [10], [12], [13], [14], [33] и [40]. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции, посвященной 90 - летию академика Б.В.Гнеденко, Киев, июнь 2002г., на XXVI-й конференции молодых ученых механико-математического ф-та МГУ, Москва, апрель 2004г., на XIV-й Европейской конференции молодых вероятностников и статистиков, Будапешт, август 2005г., на Ломоносовских чтениях, Москва, апрель 2006г., на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механнко - математического факультета МГУ (рук. член-корр. РАН, проф. А.Н.Ширяев) в октябре 2006г. и па С.-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике (рук. акад. РАН, проф. И.А.Ибрагимов) в декабре 2006г.
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, насчитывающего 79 наименований.
В первой главе доказана теорема, являющаяся обобщением закона повторного логарифма Хартмана - Винтнера. А именно, полностью опи сан набор нормировок, на которые может быть заменен корень из удвоенного повторного логарифма, с тем, чтобы предельные соотношения из теоремы Хартмана - Винтнера остались справедливы.
Затем приводится результат, обобщающий теорему Штрассена, обратную к закону повторного логарифма Хартмана - Винтнера. В нем приводятся более широкие достаточные условия для существования конечного второго момента у исходных случайных величин.
В последнем параграфе исследуется вопрос об универсальных нормировках в законе повторного логарифма Бовьера и Пикко (теорема 1.3.1) для геометрически взвешенных рядов. Тем самым перекрыты результаты работ [32], [51], [61] и [75].
Во второй главе собраны результаты, обобщающие теорему Баума -Каца в различных направлениях. Теорема 2.1.1 перекрывает результат Гута и Спатару, установленный в работе [50]. А именно, указывается асимптотика суммы ряда (22), описывающего скорость сходимости нормированных сумм мультииндексированных случайных величин к пулю, в более общем случае, чем рассматривали Гут и Спатару. Важно отметить, что в случаях не покрываемых теоремой Гута и Спатару асимтотика суммы этого ряда оказывается качественно другой.
Следующий результат второй главы, теорема 2.1.3, является продолжением на случай мультииндексированного семейства случайных величин теоремы Лаицингера и Штадтмюллера ([66]), в которой исследована скорость сходимости к нулю бесконечных взвешенных сумм случайных величин.
Наконец, в последнем параграфе распространяется на многомерный случай теорема Пио ([69]), в которой даются необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять распределение случайной величины, чтобы нормированные суммы ее независимых центрированных копий сходились к нулю со скоростью, описываемой умеренно возрастающей функцией. Автор выражает глубокую признательность научному руководите лю - профессору А.В.Булинскому за большую помощь в подготовке работы и постоянное внимание.
Универсальные нормировки в законе повторного логарифма для сумм геометрически взвешенных рядов
Рассмотрим стандартную последовательность случайных величин {Xn}ngNU{0} (см. определение 1.1.1 ) и введем следующие обозначения. Для (З Є (О,1) положим № = о/ГХ,, (1.3.1) Несложно видеть, что с вероятностью единица ряд (1.3.1) абсолютно сходится. Пусть т{(5) = ЕШ2) = =o/?2n = Y Jr (1-3.2)
Исследования семейства случайных величин (/3), начатые в тридцатых годах ХХ-го века Винтнером (см., напр., ссылки в [32]), касались свойств распределения (/?). Затем Бовьером и Пикко был доказан следующий результат. Теорема 1.3.1. ([32]) Пусть {Хп}пЄ - стандартная последовательность случайных величин. Тогда справедливы следующие соотношения: lim sup —. = 1 п.и. (1.3.3) / i-P у/2т(Р)Щт{р)) liminf , = -1 п.н., (1.3.4) /?-i- у/2т(Р)ЬЬ(т(Р)) где, как и ранее, LLn = log log п, при п 3 и LL1 = LU1 = 1.
Позднее, в [79] был получен аналогичный результат для более широкого класса последовательностей случайных величин, причем было показано, что для всякого закона распределения LUW(XQ) такого, что EXQ = 0 И EXQ = 1, можно построить на одном вероятностном пространстве последовательность п.о.р. случайных величин Xi, Х2,... с данным законом распределения и последовательность случайных величин Y\, V2,..., имеющих стандартное гауссовское распре деление Л/"(0,1), такие, что Voo an V V RnV \ lim \K J Zh=M = 0 п.н. (1.3.5) В недавней работе [73] для случайных величин (/?) был получен функциональный закон повторного логарифма.
Необходимо также отметить, что решение простейшего уравнения авторегрессии имеет в точности такой же вид, как изучаемая нами случайная величина ((3) (см., напр., [2], часть II). Определение 1.3.3. Числовую функцию ф(х) (х 0,0 ф(х) / со) назовем универсальной нормировкой для геометрически взвешенных рядов если для всякой стандартной последовательности { n}neNu{o} выполняются соотношения lim sup —if = 1 п.н. (1.3.6) lim inf -J} = -1 п.н. (1.3.7) /?-i- у/Щф(т((3)) Замечание 1.3.4. Теорема 1.3.1 Бовьера - Пикко утверждает, что ф(х) = \J2LLx - универсальная нормировка для геометрически взвешенных рядов.
В данном разделе нами будет доказана следующая теорема. Теорема 1.3.2. Функция ф(х) (х 0,0 ф(х) / со) является универсальной нормировкой для геометрически взвешенных рядов тогда и только тогда, когда справедливо соотношение Hminf- L = 1. (1.3.8) х-+оо y/2LLx
Этот результат обобщает теорему 1.3.1 Бовьера - Пикко. Для его доказательства нам потребуется две леммы. Лемма 1.3.1. Пусть {1 }пЄми{0} п.о.р. случайные величины, имеющие стандартное гауссовское распределение N(0,1). Для (З Є (0,1) положим Щ) = W)\, где г(/3) определено в (1.3.2). Рассмотрим числовую последовательность {Pk}keN; заданную соотношением 1 - 01 = exp(-kLLk), к Є N. Пусть числовая функция ф(х), определенная и неубывающая на (О, +оо), удовлетворяет следующим условиям: 1) ф(х) V2LLx, Ух О, 2) Множество С - {к N : ф{т{рк)) = \/2LL(r(/3jfc))} таково, что kecl = оо. Тогда для каэюдых 6 є (—1,1) и 5 0 таких, что (b — 25,b + 25) С (—1,1) справедливо соотношение n=(A п е{Ь-26,Ь + 26)б.ч.\ =1, где "б.ч. "означает бесконечно часто по к. Доказательство леммы 1.3.1. Из соотношения А.9 работы [79] вытекает, что для каждого а 0 и для почти всех элементарных исходов и существует по{а,и ) Є N такое, что при iVo щ(а, со) справедливо неравенство
Асимптотики в формулах Баума - Каца для мультиин-дексированных случайных величин. Доказательства
Тогда справедливо соотношение obi е- о+ log(s)fc (n9(r+s)-s-l)p W р(пГ+8/2)) = ;r,s, и, следовательно, достаточно показать, что oh lim limsup-; rrRi = 0 (2.3.4) Л/-оо e o+ \\0gS\k для і = 1,2,3. Утверждение для случая і — 3 легко следует из утверждения для і = 2, в котором семейство {Xn}nGz полагается гауссов-ским. Действительно, в этом случае к2 тяі«(о,Ь $Ш и, следовательно, Р(ГП е(пг)) = Р l\N\ фг+8/2)т где \\ф\\ E,cZW(n )) (п9) В силу непрерывности ф немедленно получаем, что ап — 1 при (п) — оо н, таким образом, для достаточно больших (п) справедливо неравенство Р(\Тп\ е(п )) р(\Щ (п )У Следовательно, достаточно рассмотреть лишь случаи і — 1,2. Возьмем любое М 0 и оценим сумму R\. В силу леммы 2.2.5 несложно видеть, что, при 0 є 1/2 где С - число, зависящее от М, г, s и q. Теперь, воспользовавшись центральной предельной теоремой, имеем Tn(ns/2) Д ЩО, ІІ0Ц2), при (п) - оо. (2.3.5)
Далее легко видеть, что lim_o+ TwTF 1 = " Покажем, что при доказательстве утверждения (2.3.4) для случая і = 2 можно, не ограничивая общность, предположить, что распределение случайной величины XQ симметрично. Действительно, в силу соотношения (2.3.5) существует положительное число С такое, что med(Tn(ns/2)) С для всех п Є Nrf, где med обозначает медиану случайной величины. Поэтому для любых є О, М 0 и п таких, что (nr+s/2) М/є, верно соотношение \med(Tn/(пг))\ єС/М. Будем рассматривать только такие М, для которых С/М 1/2. Тогда при всех п, удовлетворяющих условию (nr+s/2) М/є, справедливы неравенства є Р -гА- - med ( -r- r nr) V(nr), є/2 2P Tn (nr) є/2 где Tn - симметризация случайной величины Тп. Напомним, что симметризацией любой случайной величины X называется случайная величина X имеющая то же распределение, что и Х\ — Х2, где Х\ и Хч - независимые копии X (всюду далее для любой случайной величины будем обозначать ее симметризацию). Отсюда немедленно следует, что в доказательстве соотношения (2.3.4) для г = 2 можно ограничиться лишь случаем симметрично распределенных слагаемых. Предположив, что распределение XQ симметрично и воспользовавшись неравенством Хоффмана-Йоргенсена ([54]) для такого j, что 2 +1 bd, имеем а положительные числа Сі и 6 зависят только от j. Утверждение limji/_ oo Hm sup_ 0+ 2 = О напрямую следует из леммы 2.2.4, если в ее условии положить v = q(r + s) — s и a = г + s/2. Установим, теперь, воспользовавшись методом математической индукции по d, что lim Ki = 0. (2.3.6) - 0+
Доказательство базы индукции (случая d = 1) практически неотличимо от доказательства индукционного перехода, и, кроме того, содержится в работе [66] на стр. 365, поэтому его опустим. Итак, пусть для (d—ї) - мерных векторов s и г , получаемых из s и г отбрасыванием произвольной (одной и той же для обоих векторов) координаты соотношение (2.3.6) выполняется (с очевидной заменой констант bd и к па константы b d_x и к , построенные по s и г ). Необходимо отметить, что либо bd b d_v либо bd = b d_vk к1 обязательно справедливо. Таким образом, при достаточно малых є 0
По ур - уьщр (2-3-7) Введем следующие обозначения. Для любых v Є Z, є 0, х 0, т Є N и п Є Nd, п 2 положим т(є,п,у) = 35ПА т(є,п) = т(є,п,0), т(є) = min т(є, п), n 2,(nr+s/2) M R(x) = #{/ є Z : ф(1) х}, рт = Р{т-1 \Х0\ т). log Положим J d К[ = n 2;(nr+e/2) M V .« X,; g(nr+s) Gl Применяя предположение индукции для d — 1 несложно видеть, что (2.3.6) будет следовать из соотношения lim К[ = 0, (2.3.8) так как можно в выражении для К\ отдельно рассмотреть индексы п у которых хотя бы одна координата равна единице и применить к ним предположение индукции и (2.3.7). Теперь имеем следующую цепочку неравенств:
В этом заключительном разделе диссертации мы рассмотрим один из способов, которым можно охарактеризовать сходимость нормированных сумм случайных величин к их математическому ожиданию в терминах исполиномиальных весов. Введем необходимые понятия и обозначения.
Определение 2.4.1. Пусть функция Ф, определенная на [0, +оо), неотрицательная и неубывающая на всей области определения, удовлетворяет следующим дополнительным условиям: 1) Нтх_+00Ф(ж) = +со, 2) 3 С 0 такое, что для любого х О справедливо неравенство Ф(2х) СФ(х).
Тогда такую функцию назовем умеренно возрастающей. Рассмотрим любое d Є N и произвольное семейство случайных величин {YnJneN - Введем случайную величину Ld.E{{Yn}neNd;x) = sup ({0} U {(n) : п Є Nd, \Yn -х\ є}). Следующее определение было использовано Пио в работе [69] для последовательностей случайных величин.
Определение 2.4.2. Пусть d Є N и "jTiJneN" произвольное семейство случайных величин. Пусть также Ф - умеренно возрастающая функция, а х - действительное число. Будем говорить, что семейство { n}nNd Ф " сходится к х, если ЕФ{ЬЛ)Є{{Уп}п ;х)) оо. В случае, когда Ф(х) = хг для х 0 и г 0, будем вместо хг -сходимости писать сокращенно г - сходимость. С4
Замечание 2.4.2. Теорема 4 (Баума - Каца) утверждает, что для последовательности {Хп}пе н.о.р. случайных величин, Sn = Х\ -\-... + Хп, и действительных чисел а 1/2 и q 1/а, семейство {5n/na}n6N является (qa — 1) - сходящимся к нулю тогда и только тогда, когда EXi? со и дополнительно EXi = 0 в случае q 1.
Приведем теперь результат, являющийся естественным обобщением теоремы Баума - Каца на случай Ф - сходимости, где Ф - произвольная умеренно возрастающая функция.
Обобщение теоремы Баума - Каца для мультииидексиро-ванных случайных величин на случай неполиномиальных весов
Лемма 2.4.5. В условиях теоремы 2.4.2 каждое из соотношений (2.4.5), (2.4.6), (2.4.7), (2.4.8) и (2.4.9) выполняется тогда и только тогда, когда оно выполняется с заменой семейства {Xn}neNd на се мейство { n}nNd и.о.р. случайных величин, где каоїсдая из случайных величин имеет распределение, являющееся симметризацией случайной величины Х\.
Доказательство леммы 2.4.5. Реализуем на одном вероятностном пространстве два семейства н.о.р. случайных величин {Хп}пе№ и {X n}ne d так, что все величины независимы в совокупности и распределение каждой из них равно Law(Xi). Для каждого п Є Nd обозначим Хп = Хп - Х п. Положим Sn = X!k n ) S n = Yjk n k п n = Z/k n Хк Рассмотрим условие (2.4.5). Предположим, что оно выполнено, и покажем, что справедливо соотношение ЕХх - Xi0og+( i - ХЖ-ЩХг - Х[\) оо. (2.4.22) В самом деле, обозначив К математическое ожидание из (2.4.22), получаем следующие неравенства: /Г Е(2тах(Х1,Х;))(1о+(2тах(Х1,Х;)))І-1Ф(2тах(Х1,Х;)) 2 (ЕХ1(1о8+(2Х1))"-1Ф(2Х1) + EXi(log+(2Xi))d- (2x;)) С (ЕМіІч+ЩХгПу-ЩХгП + Е\Х[\(Н+(2\Х[\)у-1Ф(\Х[\)), где С 0. Однако, из (2.4.5) легко вытекает, что 1 1( +(21 1)) (1 1) оо п EX;(log+(2X;)) (X;) со.
Следовательно соотношение (2.4.22) доказано. Теперь предположим, что справедливо (2.4.22) и покажем, что верно также (2.4.5). Используя теорему Фубиии легко установить, что для некоторого х Є Ш Е\Хг - z(log+(Xi --x\))d- {\X! - х\) оо. (2.4.23) Обозначим Q\ подмножество всех точек со вероятностного пространства Q, на котором определена случайная величина Х\, таких, что Xi(a;) 2х. Тогда для каждого со из Q,i \Хг(со) - z(log+(Xi(W) - хП ФШы) - А) \х )і2\ {\хм\т)й-1ч\хм\т 7G
Таким образом, учитывая то, что на І1. \ $\ случаііная величина Jfi/2(log+(A 1/2))rf-1 I (A i/2) ограничена, имеем (1 /21( +(1 1/2)) (1 1/2)) оо. Отсюда, используя тот факт, что функция Ф умеренно возрастает, получаем соотношение (2.4.5). Перейдем к соотношению (2.4.7). Предположим, что оно справедливо для некоторого є 0. Тогда, учитывая, что sn(п) 2є ) Р ( Sn(п) є\ + Р ( Sn є = 2Р (п немедленно получаем, что Ф((п», Sn Е пє№ (п) 2є ) со (2.4.24)
Пусть теперь для некоторого є 0 выполнено (2.4.24). В силу (2.4.4) можем воспользоваться усиленным законом больших чисел для мультиплексированных семейств случайных величин (см. напр. [60] стр. НО) из которого вытекает, что с вероятностью единица справедливо соотношение linin oo S n/(п) = 0. Применив усиленный закон больших чисел также и к подсемействам {X JneN, где в индексе п фиксирована одна или несколько координат, несложно видеть, что с вероятностью единица для любого 0 можно найти такое по Є Nd, что при всех п Є Nd, для которых неверно соотношение п по (то есть хотя бы одна координата п превосходит соответствующую координату no) выполнено соотношение 5п/(п) . Воспользовавшись этим фактом и теоремой Фубини, получаем, что существует семейство { n}ng d действительных чисел и по Є Nd такие, что соотношение —г\— є (п) справедливо при всех п, для которых неверно П По и (НН Ь пє№ х ч w / Отсюда немедленно следует, что . (n) ф(М), (n) neNd Sn (n) Зє oo. (2.4.26)
Таким образом утверждение леммы доказано для соотношений (2.4.6) и (2.4.7). Введем следующие обозначения: L = sup ({0} U {(n) : п Nd, \Sa\/(n) 2є}) , L = sup ({0} U {(n) : n Є Nd, 5n/(n) є}), U = sup ({0} U {(n) : n Nd, \S!n\/(n) є}). Предположим, что (2.4.8) выполнено. Тогда заметим, что ЕФ(1) ЕФ{тах(Ь,Ь )) ЕФ(Ь) + ЕФ(Ь ) оо, для некоторого С 0. Таким образом видим, что (2.4.8) справедливо и для симметризованного семейства, с заменой є на 2е.
Предположим, теперь, что ЕФ(Ь) со. Тогда, как и ранее, воспользовавшись усиленным законом больших чисел для мультииндексиро-ванных семейств случайных величии и теоремой Фубини, заключаем, что найдется семейство {xn}neNd действительных чисел и п0 Є Nd такие, что соотношение є (п справедливо при всех п, для которых неверно п По, а также выполнено Е(Ф(Ь)) оо, где I = sup ({0} U (п) : п Є Nd, I5" - " 2s Следовательно, на множестве элементарных исходов, для которых L (щ), верно неравенство W{ V n)W;0) , а значит, ЕФ(І/4зг({5п/(п)}пє№ ;0)) со. Утверждение леммы проверено для соотношений (2.4.8) и (2.4.9) и, таким образом, лемма доказана полностью. D Доказательство теоремы 2.4.2. Утверждение теоремы немедленно следует из лемм 2.4.4 и 2.4.5.
Таким образом, во второй главе получены различные обобщения теоремы Баума - Каца на случай мультиплексированных случайных величин. Для суммы ряда в теореме Дснга посчитана асимптотика убывания к нулю, для теоремы Ланцингера - Штадтмюллера о взвешенных суммах получено обобщение на случай размерности больше единицы, для теоремы Пио о сходимости нормированных сумм к нулю с непо-линомиалыюй скоростью также получено обобщение на многомерный случай.
