Введение к работе
Актуальность проблемы, интерес к изучению асимптотического поведения случайна» последовательностей со случайными индексами не ослабевает с середины сороковых годов прежде всего, по-видимому,, в связи с необходимостью рассмотрения частных случаев таких последо-ва'Ч'епьностеЯ, например, сумм случайного числа случайных величин (случайных сумм) или некоторых статистик в выборках случайного объема в прикладных задачах.
К пастояиему моменту накоплено большое число результатов о случайных последовательностях со случайными индексами. Подобные объекты были предметом исследовании многих математиков. Имеювиеся результаты можно условно разделить на две группы. К первой из них относятся утверждения, в которых непременным условием выступает независимость случайных индексов от исходных последовательностей. Вторую группу составляют результаты, в которых такое предположение не делается. При анализе результатов из второй группы прослеживается четкая взаимосвязь метода исследования и вида зависимости между случайными индексами и исходной последовательностью в квядои отдельной задаче. В связи с этим исчерпывающая систематизация результатов «з второй группы представляется весьма затруднительной, в то Бремя как в отношении результатов из первой группы она вполне осуществима.
В данной диссертации изложены результати, относящееся к первой из упомянутых групп. На первый взгляд требование независимости случайных индексов и исходных последовательностей может показаться излишне ограничительным. Однако, во-первых, на практике подобные модели успешно применяются даже чаце, чем можно было бы ожидать. В качестве подтверждения сказанного можно сослаться на примеры из теории массового обслуживания, теории надежности, математической экономики, финансовой математики, математической теории страхования (актуарной математики! , ядерной физики г. других областей, где случайные последовательности с независимыми случайными индексами играют опреаеляю«у» роль. Во-вторых, требование' независимости позволяет получать не только достаточные, но и необходимые условия сходимости случайно индексированных случайных последовательностей.
Среди исследования по асимптотической теории случайных последовательностей с независимыми случайными индексами, которые могут быть отнесены к числу основополагающих, следует отметить пионерную работу Г.Роббинса (1948), в которой приведены некоторые достаточные условия сходимости распределений "нарастающих" сумм случайного числа независимых случайных величии (св.) к сдвиговым или масштабным смесям
нормальных законов. Результаты Роббинса были обобиены Р.Л.Лобрукиным І1955), который с помощью специального выбора центрирующих и нормирующих констант продемонстрировал возможные виды связи между предельными распределениями произвольных случайно и неслучайно индексированных последовательностей.
Следующий этап развития асимптотической теории случайных последовательностей с независимыми случвивыми индексами связан с исследованиями Б.В. Гнеденкої В 1969 им и ЗЕ.Фахимом получены достаточные условия сходимости случайных сумм в схеме серий. Б.В.Гнеденко впервые поставил задачу об отыскании не только достаточных, но и необходимых условии сходимости случайных последовательностей со случайными индексами. Ему и его ученикам Д.Саасу, Б.Фрайеру, В.М.Круглову и др. принадлежат основополагающие результаты в этом направлении как для случайных сумм, так и для порядковых статистик в выборках случайно-ного объема в схеме серий. Некоторые итоги исследований в этой области подведены в монографии [5], содержащей, помимо прочего, исчерпывавшее описание предельного поведения случайных сумм в схеме Гнеденко.
Однако асимптотическую теорию случайных последовательностей со случайными индексами нельзя было считать завершенной. Причина этого в том, что предельные схемы Роббинса-Добруиина и Гнеденко не связаны так, как аналогичные схемы в предельных теоремах, скажем/ для сумм неслучайного числа св., где схема серий вбирает в себя схему нарастающих сумм. Суть этого противоречия мы поясним на примере случайных сумм независимых одинаково распределенных слагаемых с конечными дисперсиями. Схема "нарастающих" сумм с указанными свойствами приводит к предельным распределениям, имеющим вид либо чисто сдвиговых, либо чисто масштабных смесей нормальных законов. В схеме серий Гнеденко возникают предельные законы, характеристические функции которых являются показательными смесями характеристических функций безгранично делимых законов. Класс таких законов не включает в себя чисто сдвиговые смеси нормальных законов, которые могут быть предельными для "нарастающих" случайных сумм. С другой стороны, в схеме "нарастающих" случайных сумм с указанными свойствами в качестве предельных не могут возникнуть смеси нормальных законов, где смешивание происходит одновременно к по параметру сдвига, й по параметру масштаба, В схеме серия же такие смеси могут появляться. Все дело в том, что центрирование константами случайных сумм, используемое в схеме Роббкнса-Добру-яина, и центрирование константами отдельных слагаемых, используемое в схеме Гнеденко, в отличие от суммирования св. в неслучайном числе,
приводят, вооВие говоря, к различиям предельным законам.
С целью смягчить описанное противоречие между схемами Роббиясв-Добруиина и Гнеденко в диссертации предложены две предельные схемы: покоординатная и диагональная, которые применительно к случайный суммам оСоВвают схемы "нарастающих" случайных сумм и схему серия соответственно. Эти схемы различаются, прежде всего, формулировками условия сходимости неслучайно индексированных последовательностей.
Особо следует подчеркнуть, что случайность индексов .привносит в. возможные постановки задач принципиальнв новые элементы по сравнение с асимптотическими задачами, связанными со случайными последовательностями с неслучайными индексами. Из-за того, что наличие нового источника случайности - случайных индексов — может по-разному учитываться в формулировках задач покоординатной и диагональной предельных схем, ни одна из них, вооВие говоря, не сводится к другой. Это по сути разные подходи к формулировкам предельных задач. Упомянутое выше смягчение противоречия между схемами РоСОкнса-Добруиина и Гнеденко с помовью введения покоординатной и диагональной предельных схем сводится к тому, что в рассмотренном в диссертации варианте покоординатной схемы даже для сумм случайного числа независимых одинаково распределенных св. удается получить в качестве предельных законов помимо чисто сдвиговых и чисто масвтабных еве и сложные сдвкг-масвтабные смеси, а в диагональной схеме - наряду с другими еще и чисто сдвиговые смеси. При этом впервые во всей полноте рассмотрено асимптотическое поведение центрированных константами сумм случайного числа независимых случайных величин в схеме серии.
Основываясь на упомянутых выве результатах, удалось предложить единую математическую теорию роста надежности, имеюпую Большое значение для решения важной практической проблемы прогнозирования надежности сложных систем в ходе их отладочных испытании,' когда в тестируемую систему вносятся изменения.Эта задача чрезвычайно актуальна для снижения риска отказов сложных программных, программно-агрегатных , технических к организационно-технических систем, которые чреваты серьезными авариями, катастрофами и экономическими потерями. Первые работы/ описывавшие математические модели роста надежности постоянно модифицируемых систем появились в середине пятидесятых годов, и в настоявее время их число огромно. Одним только моделям роста надежности программного обеспечения посвячено Солее четырехсот работ.
Вместе с тем следует отметить, что универсального метода ревения описанной проблемы не суиествует. В связи с этим весьма актуаль-
воя является задача удобной систематизации существующих моделей роста надежности. Однако до сих пор попытки построения таких классификация были чисто описательными и практически бесполезными для облегчения выбора нужной модели в конкретной ситуации. До последнего времени отсутствовал единый математический подход к построение моделей роста надежности. По-видимому, именно поэтому модели роста надежности обходятся стороноя в канонических руководствах по математическоя теории надежности.
Дели и задачи работы. Основными целями диссертации являются соэ дание целостноя асимптотической теории случайных последовательностей с независимыми случайными индексами, исчерпывающее описание предельного поведения случайных сумм и создание на этоя основе единоя математическоя теории роста надежности.
Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с помощью методики, сочетающая элементы метода характеристических функция и метода вероятностных метрик. Также используются прямые вероятностные методы.
Научная новизна работы состоит в следующей: 1} Впервые исследованы необходимые и достаточные условия слабой
сходимости произвольных одномерных случайных последовательностей с независимыми случайными индексами, а также сходимости их моментов. Показана зависимость предельных распределения от поведения нормирующих и цевтрируюцих констант и случаяных индексов. Эти результаты позволяют считать асимптотическую теорию случаяных последовательностей с независимыми индексами в целом завершенной.
-
Впервые получены необходимые и достаточные условия слабой относи-сительноя компактности и слабой сходимости центрированных сумм случайного числа независимых произвольно распределенных случаяных величин как в схеме серий, так и в схеме "нарастающих сумм".
-
Получены уточнения оценок скорости сближения распределении случайных сумм со смесями нормальных законов.
-
Впервые предложена единая матеиатическая теория роста надежности модифицируемых систем, вбирающая в себя большинство известных ранее результатов и позволяющая строить новые классы моделей роста надежности.
Апробадия работы и публикации. Результаты диссертации докладывались на I Всемирном конгрессе общества Бернулли в Тавкенте (1986), на V Международное Вильнюсскоя конференции по теории вероятностей и
математической статистике (1989), на международных семинарах по про- ' блемам устойчивости стохастических моделей в Кириллове (1989), в Суздале (1991) и в Перми (1992), на Ломоносовских чтениях в ИГУ (1990) , на юбилейной конференции в МГУ, посвяненноя 80-летию Б.В.Гнеденко (1992), на семинарах по надежности программного обеспечения в Минске (1992) к Санкт-Петербурге (1993),а также"неоднократно на научных семинарах кафедры матемв тическои статистики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (руководитель Ю.В.Прохоров) и на семинарах по избранным вопросам теории вероятностей, математической статистики и теории массового обслуживания в МГУ (руководители В.М.Золотарев, В-В.Калаиников и В.М.Круглое).
По теме диссертации опубликовано 23 научные работы. Основные результати опубликованы в работах
-
В.Ю.Королев. Сходимость моментов сумм случайного числа независимых случайных величин . - Теория вероягн. и ее примен., 1985, т. 30. К 2, с. 361-364.
-
В.Ю.Королев. Приближение распределении сумм случайного числа независимых случайных величин смесями нормальных законов. - Теория ве-роятн. и ее примен., 1989, т. 34. N 3, с. 5S1-588.
-
В.Ю.Королев. Неравномерные оценки устойчивости нормального закона к случайным возмуиениям параметра маситаба и некоторые их применения. - в сб. "Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара", М.:ВНИУ1СИ, 1988, с. 84-92.
-
В.Ю.Королев. Асимптотика случайно индексированных случайных последовательностей . - в сб. "Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара", М.ГВНИИСИ, 1989, с. 60-72.
-
В.М.Круглов, В.Ю.Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. - М.: изд-во МГУ, 1990, 269 с.
-
В.Ю.Королев. О предельных распределениях случайно индексированных случайных последовательностей. - Теория вероятн. и ее примен., 1992, т. 37. N 3, с. 564-570.
-
В.Ю.Королев. Вероятностно-статистические методы прогнозирования надежности сложного программного обеспечения. - Вестник моек, ун-та, сер. 15 вычйсл. матем. и киберя., 1992, N 3, с. 3-21.
-
V.Yu.Korolev. The asymptotic distributions of random sums. - Lect. Notes in Math., 1989, vol. 1412, p. 110-123.
-
V.Yu.Korolev, V.M.Kruglov. Limit theorems for random sums of independent random variables. - beet. Notes in Math., 1993, vol. 1546, p. 100-120.
Структура и объем работы. Диссертацич состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 136 наименовании. Обьем диссертации - 265 страниц.
