Введение к работе
Актуальность тамц. Стохастические дифференциальные уравнения параболического типа - гаянки класс стохастических диі^бронии-алышх уравптг.'Л в бесконечномерных пространствах, изучочие которого ггредставляет интерес как в свя:*и о внутренними потребностями развития теории случайных процессов, так и в связи с при-ложеншг.и в теории управления, популяшюнной генетика, статистической гидромеханике и других областях.
Теория стохастических дийеренцнальнйх уравнений в конце сороковых - начала пятидесяти* годов была предложена независимо и в разных формах К.йто и й.И.Гихманом, а затем развита А.Б.Скороходом /19G1/ для конечномерного случая. Гюрвьш работами в направлении обобщения теории на брсконечномернгі случай были работы В.ЕЛ-акланя /10вЗ-1Р65/ и Т.Л.Чанталапзо /19c4-lfG/. В работе Кі.Л.Яалецкого /19G7/ дается инвариантное изложение теории стохастических уравнений с огракиЧйнніїми операторними коэффициентами в гильбертовом пространстве.
Уравнение йто вина
du.H) ~Alt)UtVM + Ь«|ЫЪ)«МЛ) , іі Ці) = (/<, /1/
в гильбертовом простанствв, где Л\ь) - неограниченный производящий оператор сильно непрерывного эволюционного семейства U(ti<3) і a В огрйничен и удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу, впервые было рассмотрено В.Б.Бакланом /1S64/. Точнее, и:л изучалось уравнение
без доказательства его аквивалеятности /1/., Впоследствии иептл рядом авторов было показано с использованием '/птоцое теории по*-лугрупп, что при некоторих дололнительннх условиях решение уравнения /2/ принадлежат области определения Jfc) и т»еот стохастически;! дифференциал /1/.
Г.Л.Розовский /1575/ для доказательства разрешимости задачи Коши /1/ использовал методы теории потенциала.
Г: работ? А.Генеуссана /1571/ для построение решения -ния типа /1/ в бана.товои ."ространстБв с 8 п.Г и A(t) , удовлетворявшим условии коэрпнтивнестн, испольмвался г.*етсл дискре-
тизацки по времени о последующим слабим предельным переходом. Позднее А.Репсуссан совместно с Р.Темаыом применил этот .те метод для коследования уравнения
rfU(t; - AlLult)) <М + Brt,« |{|) Jv/ft) , а Щ =и„ /3/
е банаховом пространства с неограниченным нелинейным операторо;. "сноса" Д. , уцовлеткорякцим условиям монотонности И коэрци-тиености, и 6 si.
Дальнейшее развитие метол монотонних отображении применительно к стохастическим дийоренш'.альнь'м уравнениям вида /3/ получил в работах 3.Нарду /1972,1975/, М.йю /1974,1976/, М.И.Виши-ка и А.И.Комэча /1977/, Н.Р.Крылова к У-.Л.Розовского/1979/ и ряда других авторов, В работах Э. Нарду и лІ.Вио рассмотрено стохастическое уравнение вица /3/ с неограниченными нелинейными огюраїорами "сноса'1 А и "диффузии" & . Результати Э.Парду обобшены Н,13. Крыловым и Б.Л.Розовским /І979/ на случай, когда операторы А и В зависят от случал неупрендагипм образом.
Б работах Я.И.Гелопольской" и З.И.Наголкинол /1977,1982/ получил развитие применительно к стохастическим диЭДеренциатышм уравнениям метод мультипликативных представлений решений' дифференциальных уравнений. В частности, с помощью этого метода ими доказана разрешимость задачи Копт -Еида /3/ в случае, когда А -производящий оператор нелинейного эволюционного семейства в паре плотно вложенных гильбертовых пространств, удогчзтворякиего условию Липшица в паре пространств с постоянно1.!, равнсІІ одинице, а В - оператор Гильберта-Шмидта, уцовлетворящи;» условию Липшица по второму аргументу.
Перечисленные гызе результаты для уравнений вида /3/ с нели
нейным неограниченным "скосом" не охватывают класс уравнения с
A(t,u) і- J}(i(it)u. , где при кагаом -і и и. Я(і,Ц) есть
производящий оператор сильно-непрерывной полугруппы с плотной областью определения в гильбертовом пространстве /например, эллиптический оператор второго порядка о коэффициента;, зависящими от решения/. Поэтому изучение такого класса уравнений представляется актуальном.
Наглой задачек является исследование некорректных абстрактных параболических задач в банаховых пространствах /примером такой задачи мо*:ет слукить обратная по времени задача Хоціи пя уравнения теплопроводности/. Для их изучения могут ft-гь црк.^
HdHii методи теории полугрупп /такой подход реализован С.Г.Крей-ном /1967/ /. Исследование возможности стохастической регуляризации некорректно!} абстрактной параболической задачи также представляет интерес.
Настоящая диссертационная работа посвящена изучению некоторых классов стохастических диадеренциальных уравнений параболического типа в гильбертовых и банаховых пространствах.
Цель работн. 1.Изучение класса нелинейных стохастических дифференциальных уравнение вша
) = /Ці, и(і)) и Ші і- & (Ь и Iti) dvAi), и <-M - (/. /4/
в гильбертовом пространстве при условии, что при каждом "t и
и, J?(tiuj - ограниченный справа оператор с постоянной плотной областью определения, сильно непрерывно диЭДеренциру-емий по м. на области определения, B(iiu) - опоратор Гильбер-та-Шидта, удовлетворяющий условию Липиииа по и, 2.Изучение возможности стохастической регуляризации некорректной абстрактной параболической задачи в банаховом пространстве и исследование возникающих в процессе рассмотрения линейных стохастических дифференциальных уравнений параболического типа.
Методика исследований. Б настоящей диссертации применяются метода теории стохастических уравнений в бесконечномерных пространствах, теории полугрупп операторов, другие методы теории случайных процессов и функционального анализа.
Научная новизна. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:
-
Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коли для нелинейного стохастического дифференциального уравнения вида /4/ в гильбертовом пространство; исследованы свойства случайного операторного семейства,' порожденного решением задачи Коти /4/j установлено, что решение запачи Коши / 4/ обладает марковским свойством.
-
Результаты, полученные для абстрактного уравнения в гильбертовом пространстве, применен.!' к доказательству разрешимости некоторых нелинейных стохастических диЭДяренииальнь'х уравнений с частными произгодними параболического типа в ограниченней обілити и во всем пространств!, /1>и .
-
/становлена возможность стохастической регуляризанги некоо-роктноі; абстрактно;; ііді>'і.'''о.тич9скоЯ аалччи г елнагевеч простсан-
ОТЕЄ і для oooTSOTOtEywiero линейного стохастического дИ'Мереіі-ико^ьНого уравнения, построено яркое решпіше; исплвцоваян его свойства к свойства случайного операторного семейства, порожденного ропганнем стохастического уравнение.
'еорзткчеб?сея й практическая! цонкоать; Результати диссертационно!-: работы могут быть использованы в научных исследованиях по теории сїохаетич&еких дгл^рендарльних уравнений с честны-w. производными) ігри изучении некорректных абстрактных параболических задач< Ряд результатов может бкть испольпоеэн для разработки ппоретхоЕ численного решения нєлиноінух стохастических дайеренциальннх уравнений параболического типа, воаникагаших в приложениях.
AnpodcCTfl Рй,СіотМ и гг/Олякацик. Основные результаты диссертаций докладывались в институте математики АН /крайни /рук. семинара академий АН Украины А.В.Скороход и проф.Г.Д.Далеикий/, на республиканской конференции по зволіоішотіьім стохастическим системам /КацивеЛйіі5в9/» Пятой .международной Вильнюсской конференции ho теории вероятностей и математической статистике /1989/, 1 Крымской Обеннєй математической школе /Ласпи,1990/, 22-24 Воронежских зимних математических школах /1989-1991/, Восьмой Республиканской конференции но иблшюйішм задачам математической физгійй Дон9цк,1Й91/, в Университете г.Ноттингема/рук. семинара профіРіХацсон/і Университете Уорика /рук.семинара проф.Д.Злворбй/, Рур-УниБэролтёте г.Бохума /рук.семинара нрсф. С.АльбеЕврио/ h Опубликованы в C-I3-L.S3
Структура к объем работы. Диссертация состоит из введения, двух іАлав'ї Списка литвратурьі и содержит ^^ стр. машинописного текста; В списке литературы 59 наименований.
