Введение к работе
Актуальность темы. Одним из перспективных направлений развития теории стохастических дифференциальных уравнений является исследование стохастических интегральных уравнений типа Вольтерра. Таким уравнениям был посвящен целый ряд работ. Преаде Есего, .для уравнения типа Вольтерра с ведущим винеро-вским процессом теорема существования и единственности сильного решения доказана в статье И.Ито '. для более общего класса таких уравнений, где стохастический интеграл берется по общему семимартингалу, аналогичная теорема доказана в статье Ф. Проттера . Зти идеи развивает далее в частности, статья Б.К.Тудора ' о сравнении решений уравнения в одномерном случае при разных начальных'условиях. С другой'стороны, изучались обыкновенные условия со стохастическими дифференциалами не только по семимартингалам, но и по случайным мерам. Для таких уравнений существование и единственность сильного решения получены Л.И.Гальчуком ' и А.В.Мельниковым , а существо-
I' Ito I. On the existence and uniqueness of solutions of
stochastice integral'equations of the Volterra type. Kodai.
Math.,J.I979,Vol.2fP.I58-I70. '
-
Protter P. Volterra equations driven by semimartingales. The annals of probability. 1985,Vol.13,No.2,P.519-530.
-
Tudor B.C. A comparison theorem for stochastic equations with Volterra drifts. The annals of prob.,I989,Vol.I7,No.4, P.I54I-I54-5.
'Гальчук Л.И. 0 существовании и единственности решения стохастических уравнений по полумартингалам. Теория вероятностей и ее примен. ХХШ, 4(1978), с. 782-795.
Мельников А.В. К тзсриа стохастических уравнений. Мат.сб. 1979, т.110(152), J63CII), с. 414-427.
Еание слабого решения +- В.Л.Лебедевым . Представляется актуальным получение подобных результатов и для уравнений типа Вольтерра со случайными мерами.
Целью работы и является получение этих результатов для ураЕНония вида
\ -і 4 ' '
* о а « Е /^9
где (1t)^0e^n Т, (їЛ,)ио є jUjec ,/і - опциональная целочисленная случайная мера скачков процесса Y , Y - семн-мартингал, V - предсказуемый компенсатор случайной меры// и (Wi)t0- согласованный непрерывный спрага процесс, имеющий предел слева.
Методика исследования. В диссертации предполагается, как
?) е работе Ф.Проттера ', что коэффициенты уравнения абсолютно
непрерывны по і (конечному моменту интегрирования). В работе Ф.Проттера это позволяло представить коэффициент в виде интеграла по і с последующим применением теоремы Фубини .для стохастических интегралоЕ,-зависящих от параметра, из книги Ж. йакода . В доказательстве последней теоремы, однако, имеются пробелы и можно привести контрпример, доказывающий, что в общем виде эта теорема не верна. В диссертации дается уточнение этой теоремы, применимое и к условиям работы' Ф.Проттера, а также ее аналог для стохастических интегралоЕ по случайным мерам.
5)Lehedev V.A, On the existence of weak solutions for
stochastic differential equations with driving martingals and random measures.-Stochastics., I983,No.l4-2,P.37-76.
. Jacod J. Calcul stochastique et problems de martingals. ''Springer Lecture Motes in Math. ,714, 1979,540р.
Используются также применимые в теории обыкновенных стохастических дн^зренциальных уравнений общие методы стохастического анализа и слабо-сильной сходимости вероятностных мер.
Научная новизна. Сформулированы и доказаны теоремы Фуби-ни в теории мартингалов и доказаны существование и единственность сильного решения, и существование слабого решения вышеуказанного стохастического дя^Торенцяального уравнения.
Положения. Работа носит теоретический характер. В ней
нашли дальнейшее развитие методы и результаты теории мартинга
лов и стохастических дилере шмаль них уравнения. Вывода рабо
ты могут найти дальнейшее развитие в работах математиков
СССР, КНДР я других стран. ... . .
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по теории мартингалов и управляемых случайных процессов под руководством А.Н.Ширяева и Р.Ш.Липцерз (1991г.).
Публикации. Основные результаты диссертации подготовлены к печати в работах автора tlj , І2І и [3] , список которых представлен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 137 страницах машинописного текста и состоит из введения, указателя обозначений, трех глав и списка литературы, содержащего 33 наименования.
