Введение к работе
Актуальность темы диссертации
В течение последнего десятилетия в работах Donoho D.L., Johnstone I.M., Залесского Б.A., G6tze F., Kerkuchirian G., Pickarci D., Amato V., Vuza D.T. и др. стал применяться новый подход к задаче непараметрического оценивания функций, наблюдаемых с шумом па сетке. Эта проблематика является актуальной в задачах обработки изображений и экспериментальных данных, в нелинейных экономических моделях, в математических моделях для САПР и т.д. Указанный подход основал па применении к результатам наблюдения техники вейвлетного разложения, что позволяет свести задачу оценивания функции, наблюдаемой с шумом на сетке, к задаче оценивания последовательности, априори принадлежащей эллипсоиду в 1р, по одному наблюдению.
Данная задача изучалась з работах Шшскера М.С., Donoho D.L., Johnstone I.M и для нее построены минимаксные оценки в случае гауссовского шума. Негауссокскнй случай изучен хуже и его исследование представляется актуальным. Для углубления вейвлетного подхода к пепараметрическому оцениванию функций актуальной является дальнейшая разработка вейвлетного анализа, развитие которого представляет самостоятельный научный и практический интерес.
Вейвлетный анализ сформировался в работах Coifman R.R, Chui L.K, Meyer I., Daubechies I., Feaufeau J.C, Mallat S., Jawerth В., DeVore R.A., Popov V.A., Lucier B.J., Frazier M., Lemarie D.G и др. К настоящему времени получен ряд результатов для функций одного переменного и функций многих перемеппых с частными производными по каждой переменной. Представляет интерес построение и изучение вейвлетного анализа для функций многих переменных многих переменных с ограниченной смешанной производной, аппроксимация которых тригонометрической системой изучалась в работах Галеева Э.М., Романюка А.С, Темлякова В.Н., Тихомирова В.М. и др. Как показывают полученные в работах этих авторов оценки поперечников пространств функций с ограниченной смешанной производной, построение вейвлетного анализа в
этих пространствах позволяет улучшить оценки скорости сходимости как аппроксимаций, так и непараметрического оценивания.
Связь работы с крупными научными программами, темами
Диссертационная работа выполнена в рамках Государственной программы фундаментальных исследований республики Беларусь "Методы и алгоритмы вычислительной и дискретной математики" по теме "Разработка приближенных методов стохастического анализа и функционального интегрирования", гос. номер 317, включенной в тематический план института математики на 1996-2000 гг. и по теме "Исследование многомерных вероятностных распределений и их применений в математической ста-тистике", гос. номер 580, включенной в тематический план института математики на 1991-1995 гг.
Цель и задачи исследования
Целями и задачами исследования является: получение новых оценок для задач непараметрического оценивания с использованием вейвлетов, построение вейвлетов с необходимыми для этого характеристиками, изучение связи вейвлетов со свойством самопо-добности сигналов.
Научная новизна полученных результатов
В настоящей работе дается способ построения вейвлетпых базисов для пространств функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной, получены новые факты по эквивалентности норм при разложениях по вейвлетным базисам, дано дальнейшее развитие работам по связям вейвлетных и фракталь-пых методов и описанию вейвлетов с вырожденными моментами. Доказана теорема об оптимальности оценок вида срезки для не-гауссовских шумов при оценивании над /р эллипсоидами, построены скрытая марковская модель для вейвлетно-фрактального разложения и базирующейся на ней алгоритм оценивания.
Практическая значимость полученных результатов
Работа носит теоретический характер. Многие объекты, изучае-
мые п диссертации, встречаются в математических моделях для систем обработки и храпения изображений, телекоммуникационных продуктов, систем видеоконференцсвязи и т. п. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при разработке таких систем.
Экономическая значимость полученных результатов
Экономическую значимость разработанных в диссертации методов и алгоритмов оценить в настоящее время не представляется возможным.
Основные положения, выносимые на защиту
-
Построено и изучено семейство вейвлетных базисов для пространств функций многих переменных с ограниченной смешанной производной и доказана эквивалентность (с точностью до бесконечно малой в параметрах пространств) норм функций и их.коэффициентов разложений по построенному базису. Тем самым доказана эквивалентность задач оценивания функции, наблюдаемой с шумом на сетке и априори принадлежащей пространству функций с ограниченной смешанной производной и соответствующей задачи для последовательности.
-
Для задачи непараметрического оценивания,последовательности, априори принадлежащей пространству Бесова, построен способ оценивания и получена оценка сверху его скорости сходимости.
-
Показана минимаксность оценок вида срезки для задачи пе-параметрнчсскоґо оценивания последовательности, априори принадлежащей пространству Бесова.
-
Дано полное описание семейств вейвлетов, имеющих заданное количество вырожденных моментов.
-
Доказана оценка сверху скорости сходимости вейвлет-но-фрактальяого разложения; построен алгоритм непараметрического оценивания, базирующийся на вейвлетно-фрактальном разложении.
Личный вклад соискателя
Результаты псех разделов диссертации, кроме разделов 2.1, 3.1 и 3.3 получены автором самостоятельно. В разделе 2.1 автору принадлежат все теоремы, кроме теоремы 2.1, формулировка и первоначальный вариант первого пункта доказательства которой принадлежат Б. Дуброву. Совместно с ним получены алгоритмы того раздела. Результаты раздела 3.1 получены автором самостоятельно, после чего были обобщены совместно с. Е. Блиновой на пространства /г и в таком виде опубликованы. Результаты раздела 3.3 получены совместно с В. Петровым на паритетных началах.
Апробация результатов диссертации
Результаты, представленные в диссертации, обсуждались на Республиканской научно-практической конференции, посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики БГУ, на семинаре факультета математики университета Биеле-фельд (Германия), на семинаре кафедры математического моделирования и анализа данных БГУ под руководством Ю. Харина и (неоднократно) на семинарах в отделе стохастического анализа института математики НАН Беларуси под руководством А. Егорова и Б. Залесского.
Опубликоваляоеть результатов диссертации
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [Ц-(7].
Структура и объем диссертации
