Содержание к диссертации
Введение
1. О сходимости дискретизации по времени для гауссовских процессов со стационарными приращениями 22
1.1 Введение и основные результаты 22
1.2 Доказательства 24
1.3 Доказательства вспомогательных утверждений 35
2. Об аппроксимации экстремумов фрактального броуновского движения и функционалов типа цен 46
2.1 Введение 46
2.2 Основные результаты и доказательства 47
2.3 Доказательства вспомогательных результатов 50
2.4 О численных расчетах в модели фрактального финансового рынка 55
3. Об аппроксимации цен опционов Американского типа 61
3.1 Введение 61
3.2 Основные результаты 62
3.3 Доказательства 66
Литература 75
- Доказательства вспомогательных утверждений
- Основные результаты и доказательства
- О численных расчетах в модели фрактального финансового рынка
- Доказательства
Введение к работе
Асимптотическая теория случайных процессов является одной из главных областей исследования в теории вероятностей и математической статистике как в нынешнем веке, так и в прошедших столетиях. Классические результаты относительно предельных распределений различного рода последовательностей случайных величин (такие, как, например, теорема Муавра-Лапласа, закон больших чисел, теорема Пуассона ) можно найти в любом учебнике по теории вероятностей. Канонические предельные теоремы теории случайных процессов ( Донскера, Прохорова ) обсуждаются, например, в книгах [4], [16]. Классической монографией, включающей в себя многочисленные результаты на указанную тему в контексте семимартингалов и стохастического интеграла Ито является [29]. Остановимся на новейших результатах по этой тематике, во многом стимулировавших написание данной диссертации. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение ( СДЕ ) следующего типа:
dXt = a{Xt)dWt + b{Xt)dt, t>0, X0 = x0, (1)
где a(') и 6(-) есть некоторые функции, а Wt есть стандартный ви-неровский процесс. В работах [68], [42] рассматривается возможность численного решения уравнения (1) по схеме Эйлера, то есть изучаются вопросы сходимости решения уравнения
dX? = a(Xl)dWt + KXl)dt, (2)
где t [0,2і], tn = [nt\jn при И Є N и t„ = t - T/n при [nt] . N.
Хорошо известно, что при а = 0 скорость сходимости решения (2) к решению уравнения (1) есть 1/п в случае наличия этой сходимости. В случае, когда коэффициент а(-) не исчезает, скорость сходимости есть l/i/Н, и в вышеописанных работах при допустимых функциях а(-) и &() были получены точные предельные процессы для соответствующим образом нормализованной асимптотической ошибки
s? = sup |х;|, (з)
Xf = Xt-X?. В случае, когда вместо (1) рассматривается более общее уравнение
dXt = f(XtJ)dZu t > О, Х0 = so, (4)
где Zt есть некоторый, не обязательно непрерывный, семимартингал, класс допустимых функций /(), скорости сходимости, а также точные предельные процессы устанавливаются в работах [28], [27]. В предположении непрерывной дифференцируемости функции /() в (4) для случая непрерывных семимартингалов Zt в работе [28] обсуждается равномерная сходимость нормализованного процесса ошибки X", то есть распределение функционала yfnS", в случае, когда Zt есть процесс ограниченной вариации, и слабая сходимость процесса \/пХ" для процесса Zt, являющегося локальным мартингалом, или, в некоторых случаях, просто семимартингал ом. Однако, в случае, когда Zt не является непрерывным, процесс у/пХ" может вообще не сходится к 0 в обычном смысле ( топологии Скорохода ). Поэтому, для разрывных
семимартингалов в работе [27] рассматривается так называемая интегральная ошибка
У("= Гх>, (5)
%t =Xt — X[nt\in
для данного семимартингала Xt, и устанавливаются точные предельные процессы при нормализации пУ". Процессы вида (3) и (5) обсуждаются и в данной работе.
Для гауссовских случайных процессов, не являющихся семимар-тингалами, вопросы сходимости последовательности дискретизаций и функционалов от нее в различного вида нормах изучаются в работах [2], [35], [36], [58], [62], [63], [64], [65], в том числе и в применении к задачам вычислительной математики. Заметим, что в настоящее время быстро развивается и стохастическое интегральное исчисление для несе ми мартингалов ( в этом контексте отметим работы [46], [18], в которых определяется потраекторный стохастический интеграл по фрактальному броуновскому движению Вн{і) при Я Є (1/2,1), а также [22], [31], [23], в которых стохастический интеграл для процесса Вн(і) определяется с помощью Wick-произведения, в первых двух работах рассматривается случай Я Є (1/2,1), а в последней и любого Я Є (0,1). См. также работы [20], [21] ), в связи с чем в перспективе задача о численном решении уравнений типа (1) должна, несомненно, ставиться и при замене винеровского процесса Wt = #1/2(^) на произвольное фрактальное броуновское движение BH{t), Я (ОД)- В
диссертации процессы (3) и (5) рассматриваются в том числе и для процесса Xt = BH(t), Н (0,1].
Вообще, в настоящее время в литературе большое внимание уделяется процессу фрактального броуновского движения, см., например, работы [17], [50], [51], [52], [53], [75], в первую очередь, возможно, из-за большого количества практических применений ( биология, физика, телекоммуникации, финансовая теория... ). Однако из-за немарковости и несемимартингальности этого процесса, изучение его весьма затруднено. Так, например, для фрактального броуновского движения неизвестно распределение его максимума
P{maxBH(t)>u}, w>0, (6)
исключая асимптотический случай и —У со. В связи с этим, автором доказываются предельные теоремы для вероятностей пересечения уровня типа
Р{ max BH{t) > и}, и > 0 (7)
и математических ожиданий вида
Ef(BH(T) max В*Ю,0 (8)
t=t\,t2,..,l
для некоторых функций /. Данное исследование актуально также в контексте монографий [45], [56], [1] и работ [57], [3], [33], [34], [7], в которых изучаются распределения экстремумов гауссовских случайных процессов, а также работ [61], [62], [63], [58], [35], [36], где обсуждаются вопросы сходимости последовательностей гауссовских случайных процессов.
Вопросы приближенного расчета вероятностей
Р{ max Wt> и], и>0 и математические ожидания вида
Ef{WT, max Wu-)
t[0,T\
для стандартного винеровского процесса Wt и скорости сходимости аппроксимирующих их выражений рассматриваются также в задачах финансовой математики, а именно, для расчетов цен финансовых инструментов с выплатами, зависящими от траектории цены актива -Русских, барьерных опционов, а также опционов с последействием ( см. монографию [70], а также работы [9], [10], [13], [14], [30] ). Так, используя аппроксимирующие выражения в случае стандартного броуновского движения типа (7) - (8), авторы работ [9] и [10] устанавливают точные коррекционные выражения порядка 0{Х/у/гп) с погрешностью o(l/s/m) для опционов, зависящих от траектории. В связи с развитием математических моделей финансового рынка, основанных на фрактальном броуновском движении ( см. [23], [31], [54] ), вопросы аппроксимации цен опционов данного вида рассмотрены в диссертации в указанной модели работ [23], [31], [54].
Вообще, задачи приближенного расчета различных финансовых инструментов представлены в литературе достаточно широко в случае опционов Европейского типа, то есть таких, которые предъявляются к исполнению в фиксированный момент окончания действия контарк-та. Работы по этой тематике можно разделить на две группы: те, в которых дискретизация цен активов осуществляется только по вре-
менному параметру, и те, где также дискретизируется и пространство элементарных исходов. Из первой группы можно отметить работы по расчету ошибки, возникающей при непрерывной аппроксимации дискретных опционов Европейского типа в модели Блэка и Шоулса и, фактически, связанной с несамофинансируемостью устанавливаемых стратегий в дискретном времени, [77] для опционов с регулярными функциями выплат, [24] с нерегулярными, а также[74] для d рисковых активов, и работы [9], [10], [13], [30], в которых рассматривались опционы, зависящие от траектории, в частности, барьерные опционы и опционы с последействием. Вопросы сходимости финансовых рынков в контексте полных рынков исследуются в работах [15], [25], [14], в монографии [70], а также в работах [55], [76], [11]. Здесь также рассматриваются опционы Европейского типа, а кроме того опционы, зависящие от траектории. Скорость сходимости цен устанавливается порядка т"1/2 или т"1, в зависимости от вида платежной функции, где т - количество точек разбиения интервала [0,Т].
В случае опционов Американского типа, то есть тех, которые могут быть предъявлены в любой момент действия контракта, результатов аппроксимации цен с помощью дискретных моделей известно сравнительно немного. Математически, рассматриваемая задача сводится к нахождению соотношения между функциями цен
У= sup Ef{WT + ar), (9)
rmT0
где 9Л^ есть множество всех моментов остановки, принимающих значения из множества [0, Т], a WT + at обозначает броуновское движение
со сносом, и
г/А
V(A)= sup Я/($>), - (10)
где Д = Т/т, WIq(A) есть множество всех моментов остановки, принимающих значения из множества 0,Л,...,?1, а {еі]і=\х..,т есть последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения. Как известно, решение задачи (10) находится с помощью метода индукции назад, с то время как точное решение (9) на конечном интервале [0,Г] установить не удается ( см., например, монографию [70] и ссылки в ней ). Перечислим все работы по этой тематике.
Во-первых, отметим статью-обозрение [8], немало методов численных расчетов цены (9), однако оценки ошибок аппроксимации известны лишь в редких случаях. В [12] показано, что при расчетах, использующих нормально распределенные g, границы ошибки есть 0(1/т) при малых т, т. е., фактически, константа, зависящая от т. Для биномиального приближения, аналогичного (10), в работе [43] устанавливаются границы ошибок аппроксимации для стандартного опциона-put ( продавца ) при т — оо. Обозначим цену стандартного опциона-put через VqP. В общем случае в статье [43] доказывается существование положительных констант с и С, не зависящих от т, таких, что при достаточно больших т
С
т2/3 ^ -и '0 V > - т3/4-
а при г < а2/2 - константы С > 0, не зависящей от т, такой, что для
достаточно больших та
I/O
o
\ m
В работе [44] границы ошибок улучшены до 0(\/logm/m), но в предположении о том, что выплаты / Є С2 и ограничены почти наверное. Доказательства этих утверждений используют весьма громоздкую и трудоемкую технику приближенного решения стохастических дифференциальных уравнений. В диссертации подобная задача рассматривается с использованием иного подхода, продолжающего линию монографий [69], [70], а также работ [72], [73] и [49].
Как уже отмечалось, в первой главе обсуждаются вопросы сходимости дискретизации гауссовских процессов со стационарными приращениями. Определим для процесса X(t) процесс ошибки
Xn{t) = X(t)-X{[nt]/n).
Следуя работам [42], [28], [27], автор рассматривает асимптотическое поведение соответствующим образом нормированных функционалов
Sn{t) = sup \Xn(s)\
Yn{t)= [ Xn(s)ds. Jo
В случае, когда X(t) есть фрактальное броуновское движение B}j{t) при любом фиксированном параметре Я Є (0,1], автором устанавливаются следующие теоремы.
Теорема 1.1 Пусть X(t) - фрактальное броуновское движение Bji(t),H Є
(0,1]. Тогда для произвольных х и t > О
IimP{5n(f) < n-Hbn{t) +xn-H/bn{t)} = ехр(-е-*),
rfle6n(^) = (21ogn)1/2+(2logn)-1/2(|iogiogn + log(ci2f))+o((2logn)-I/2) при п —> оо с константами с = тах{1/# — 3, —1} и а = а(Я) < со.
Теорема 1.2 Пусть Х()- фрактальное броуновское движение Вн (t), Н Є 0,1]. Тогда процесс nYn(t) слабо сходится к ^"М с тем же Я при
п -> оо.
Заметим, что для стандартного броуновского движения предельный процесс в теореме 1.2 совпадает с соответствующим предельным процессом в теореме 1.4 [27], установленным для случая семимартингалов.
Далее, пусть процесс X(t), t > 0, - непрерывный гауссовский со стационарными приращениями, Х(0) = 0, EX{t) = 0. Обозначим а\ — тахіє[о,і/п]ЕХ2(і). Верно следующее обобщение теоремы 1.1.
Теорема 1.3 Пусть (p(t — s) = E(X(t) — X(s))2, t > s, такова, что
^(А) = А*ОД(1 -f-o(l))
при A 4- 0 для некоторого a > 0 и непрерывной функции L(h), такой что L(h) > 0 при А > 0 и Щ0- -> 1 при А -4 0 для любого / > 0. Тогда для любых х > 0, > О
Hm P{5n(i) < *„(&„(*) +я/М*))} = ехр(-в-*),
п—юо
где Ьв(і) = (2 log nj^+p log п)-^2 ( log log n + log(c2i2c'))+o ((2 log n)"1'2) при /г -» оо, с константами с\ = тах{2/а — 3, —1} и сг = C2(a, (0)) <
оо.
Доказательства теорем 1.1 и 1.3 во многом опираются на результаты работы [36]. Доказательство теоремы 1.2 в основном использует свойства процесса фрактального броуновского движения.
Во второй главе устанавливаются оценки скорости сходимости дискретной аппроксимации процесса максимума фрактального броуновского движения Bjj(t), Н (О,1].
Для процесса фрактального броуновского движения Вн{Ь) с произвольным фиксированным параметром Хёрста Н Є (0,1], t < 0, обозначим
М = max В Hit)
t[Q,n
М' = mm Вя(і),
где 0 < Т < со.
Для некоторого m N положим h = Т/пг. Определим процессы дискретного максимума и минимума как
Mm~ max В Hit)
M'm = min BH{t),
где fc = 0,1,...,-.
Теорема 2.1Для любого 0 < и < со
,log5 m
Р{М >и}-Р {Mm >и}<С-
при всех достаточно больших т для некоторой константы С > 0. Соответственно, для любого —со < и < 0
„log* т
Р{М' < и} ~Р{М'т <и}<С
при всех достаточно больших т для некоторой константы С > 0.
Кроме того, рассмотрены различные функционалы от процесса максимума.
Теорема 2.2 Пусть функция /() Є СЧ[0,оо)) и E[f'(M)f < со. Тогда
\Ef{M)-Ef{Mm)\
при всех достаточно больших m для некоторой константы С > 0.
Соответственно, пусть функция /() Є С1((—со,0]) nE[f'(M)]2 < со. Тогда
^,log2 m
\Ef(M')-Ef(M'm)\
при всех достаточно больших т для некоторой константы С > 0.
Доказательства теорем 2.1-2.2 используют традиционную технику, применяемую для гауссовских процессов ( см. [56] ), а также свойства фрактального броуновского движения.
Далее, полученные результаты применяются к вопросу о соотношении между ценами дискретных и непрерывных финансовых инструментов. Нами рассматриваются опционы Европейского типа, зависящие от траектории, в модели финансового рынка с фрактальным броуновским движением. Обсуждается расширенная модель Блэка и
Шоулса, в которой безрисковый и рисковый активы задаются, соответственно, уравнениями
dRt == rRtdt, R0 = 1 (11)
dSt =iiStdt + aStodBH{t), 50 > 0, 0
для любого фиксированного Я (0,1). Базирующаяся на Wick-произведении, эта модель безарбитражная ( см. [31] теорема 5.4, [23] часть 7 ), решение уравнения (12) есть St = Soe*8'1^^?* l , и цена квадратично-интегрируемого по риск-нейтралыюй мере Р платежного обязательства /
V = e-*TE[f],
( см. также [54] теоремы 4.7, 4.9 ), где мера Р такая, что процесс ^~t + Вн{і) является фрактальным броуновским движением Вц{1) относительно нее, аналогично стандартному случаю ( см. [31] часть 5, [23] часть 7 ).
Далее, определим функции выплат для различных типов опционов. Для барьерных опционов, мы имеем для ти := inf{ > 0 : St — и] и для произвольной функции /(St) выплаты
fJ{ru
для нок-ин ( knock-in ) - и нок-аут an ( knock-out up ) ( и > So ) или - даун ( down ) ( и < Sq ) барьерных опционов, соответственно. В частности, стандартные барьерные опционы покупателя ( call ) и продавца ( put ) с ценой покупки А' имеют / = (St — К)+ и / =
(К — St)+. Для опционов с последействием функции выплат имеют форму
для опционов покупателя и продавца, где
М = max loe
*Є[0,Г|
и М' — min be
$о_
В частности, стандартные опционы с последействием покупателя и продавца имеют функции выплат / = (S0eM — ST) и / = (St - SoeM>). Наконец, мы обсуждаем Русский опцион покупателя и продавца для функций выплат (S0eM — К)+ и (К — SoeM')+, соответственно.
Положим h :— Т/т. В дискретном случае, мы имеем в определениях выплат fu := inf{&A, к = 1,2... : S&& > и} ( для опционов ап; для опционов даун ти := іпі{&/г, к = 1,2... : S^h < и} ) и ЛЙГт := maxW[0,r|log[5jfcji/5o], Л?^ := mmkbe^T\\og[Skh/$o\-
Представляются следующие результаты.
Теорема 2.3 На рынке (11)-(12), Н Є (0,1), обозначим через Vm(u) цену дискретно наблюдаемого нок-ин или иок-аут, даун или ап, колл или пут опциона с барьером и. Пусть V(u) - цена соответствующего опциона в случае непрерывного мониторинга. Тогда
Vm(u) = V(u)+o(m-H(\ozm)1^
при тп —> оо.
Теорема 2.4 На рынке (11)-(12), Я Є (0,1), обозначим через V цену непрерывно наблюдаемого опциона с последействием покупателя или продавца с функцией выплат f(M) Є С1, Ef'(M)2 < оо, в частности,
стандартного опциона с последействием покупателя или продавца, или Русского опциона с функцией выплат (50ем - К)+ и (К — S(jeM')+ в случаях опциона покупателя и продавца, соответственно. Пусть Vm ~ цена соответствующего дискретно наблюдаемого опциона. Тогда мы имеем
Ут=: У+ 0(т"я (log т)1/2) при т —» со.
Заметим, что в случае Я = 1/2 с помощью принципа отражения (см. [71] Гл 1 10 ) может быть получен более точный результат 0(1/у/т) и коррекциоиный терм для цены в случае платежных функций стан-дарных опционов ( см [9], [10] ). Однако в общем случае Я Є (0,1) мы вынуждены использовать иную технику.
Третья глава диссертации посвящена решению задачи об аппроксимации цен стандартных опционов Американского типа в модели Блэка и Шоулса ценами соответствующих опционов в дискретной биномиальной модели Кокса-Росса-Рубинштейна, Предполагается, что эволюция цен безрискового и рискового активов В — (^)оо и S — (*$*)л>о подчиняется уравнениям модели Блэка и Шоулса ( [5], [47], т. е.
dBt = rBtdt, г > 0, (13)
dSt = St(rdt + ad\Vt), а > 0.
В условиях данной модели мы обсуждаем хеджирование опционов Американского типа, т. е. таких, которые могут быть предъявлены в любой момент действия контракта. Пусть выплаты по контракту определяются набором функций f = {ft = е~ *<7(^0}'><ь гДе А > 0 и
g{Si) = (St — K)+ или (К — 5()+, в случаях опционов покупателя и продавца, соответственно.
Положим So = х. Тогда по определению ценой опциона Американского типа на интервале [0,Т] называется ( [70], гл. 6, 5а-5с )
V(x,T) = V(xtTJ) = М{у : Зтг: Х = у,Х? > /rVr Є #},
где 9Я^ есть множество всех моментов остановки со значениями в [0, Т]. Отметим, что в случае опциона на бесконечном временном интервале ( Т = оо ) рассматриваются в том числе и моменты остановки, принимающие значение оо с ненулевой вероятностью. Множество всех таких моментов, согласно сложившейся терминологии, будет обозначаться как 9Ло. Т. о., цена опциона Американского типа на бесконечном временном интервале будет определяться как
V(x) = V(xJ) = Ы{у : Зтг : Х% = у, X? > /т1{т < со} Vr є ЭД-
Как известно, в задаче о нахождении цены V(x) опциона на бесконечном временном интервале существует оптимальный момент т* Є ЯЯо, имеющий вид
T* = 'mi{t:St=x*}
( мы предполагаем inf{0} = оо ), где
х* = inf{a; : V(x) = д(х)}, и при этом ( см. [73] и [70], гл. 8, 2a-2b )
V(x) = В0Е^1{т* < оо},
т. е. задача имеет явное решение. В случае конечного временного интервала, однако, подобный результат оказывается уже невозможным в силу резкого усложнения собственно задачи об оптимальной остановке ( см. подробнее [70], гл. 8, 3а ).
В случае дискретного времени мы рассматриваем биномиальную Д-модель Кокса-Росса-Рубинштейна ( см., например, [70], гл. 6, 3d ), полагая
ВпА - (п-1)Д = гДБ(п_!)д,
S„A - 5(п_і)Д = (є" — І)5(„_і)д,
где б„,п = 1,2,.. - н. о. р. с. в., такие, что Р{є% = л/Е] = р, Р{є* = -у/Е] = 1 - р с р = ^т^—^тг, т. е. исходная мера - мар-тингальная. Мы полагаем также /пд = (1 + АД)~"^(5пд), Л > 0, и $Rq(A) = {t(w) : г = 0, Д,.., [Т/А]А]. Цены опционов на конечном и бесконечном интервалах обозначаются как V(x,T, Д) и V(x, Д), соответственно. Отметим, что в случае дискретного времени в задаче о нахождении цены V(x, Д) также существует оптимальный момент т Є ЯЯо(Д), который есть
т = mf{k : SkA > },
х = inf{# : V(x, Д) = #(#)}
( см. подробнее [72], [70], гл. 6, 5a-5b и [49] ). Сформулируем следующую теорему.
Теорема 3.1 Пусть в модели Влэка и Шоулса г < у. Тогда существуют такие положительные константы Сие, зависящие только от
параметров модели, что при Т > С log Д для всех достаточно малых Д>0
\У{х,Т)-У{х,Т,А)\<сА.
Отметим, что в существующих приближениях для цены Американского опциона па конечном временном интервале, а именно для стандартного опциона продавца в случае А = 0 ( связь стоимости стандартных опционов-put Европейского и Американского типа, см. [70], гл. 8, 3d и ссылки в нем ), размер погрешности также зависит от X, возрастая в данном случае при росте Т. У нас, вообще говоря, присутствует зависимость константы с от Т, а именно, при росте Т константа с = с(Т) убывает, оставаясь при этом больше некоторой константы Со, не зависящей от Т.
Взглянем на результат теоремы 3.1 с несколько иной точки зрения. Предположим, что наш интервал [0, Т] на m частей с шагом Д, то есть Д = —. Тогда теорема говорит о том, что существуют константы С, с, Со, такие, что при m < СТесТ
У(х,Т)-у(х,Т}^
для достаточно больших тп. Эта оценка соответствует оценке для опционов Европейского типа.
Теорема 3.2 Пусть в модели Блэка и Шоулса г = ^- Тогда для некоторых положительных констант Сие, зависящих только от параметров модели, при Т > СД-1 для всех достаточно малых Д > 0
\У(х,Т)-У{х,Т,А)\ <с&?.
Очевидно, что во втором случае мы имеем сходимость существенно более низкого порядка. Это объясняется различными методиками осуществления доказательств, учитывающими структуру оптимального момента остановки т* на бесконечном временном интервале, кото-
рый при г > у является конечным, и мы имеем
V(x) = В0е-
fT-
( см. [70], гл. 8, 2а-2Ь, и [71], гл. 8, 9 ). При этом, в случае г > ^
удается установить лучшую, чем при г = у, сходимость.
Теорема 3.3 Пусть в модели Блэка и Шоулса г > ~. Тогда для некоторых положительных констант С и с, зависящих только от параметров модели, при Т > С А"1 для всех достаточно малых Л > 0
\V(x,T)-V{x,T,A)\
Доказательства теорем 3.1-3.3 основаны на использовании разложения
У(х, Т) - V(x, Т, Л) = [V(x, Т) - V(x)] +[у(я) - V(xt Л)] + [V(xt Д) - V(x,T, А)]
и оценивания по модулю каждого из членов суммы в правой части равенства.
Структура диссертации следующая. Первая глава состоит из трех частей: первая часть является введением, кроме того, в ней сформулированы основные результаты главы; во второй части основные результаты главы доказываются; в третьей части доказываются вспомогательные утверждения. Вторая глава состоит из четырех частей:
первая часть является введением, во второй формулируются и доказываются основные результаты главы, в третьей доказываются вспомогательные утверждения и четвертая посвящена численным расчетам в модели фрактального финансового рынка. Третья глава состоит из следующих трех частей: введения, основных результатов, доказательств. В конце приведен полный список использованной литературы.
Доказательства вспомогательных утверждений
Вопросы приближенного расчета вероятностей и математические ожидания вида для стандартного винеровского процесса Wt и скорости сходимости аппроксимирующих их выражений рассматриваются также в задачах финансовой математики, а именно, для расчетов цен финансовых инструментов с выплатами, зависящими от траектории цены актива -Русских, барьерных опционов, а также опционов с последействием ( см. монографию [70], а также работы [9], [10], [13], [14], [30] ). Так, используя аппроксимирующие выражения в случае стандартного броуновского движения типа (7) - (8), авторы работ [9] и [10] устанавливают точные коррекционные выражения порядка 0{Х/у/гп) с погрешностью o(l/s/m) для опционов, зависящих от траектории. В связи с развитием математических моделей финансового рынка, основанных на фрактальном броуновском движении ( см. [23], [31], [54] ), вопросы аппроксимации цен опционов данного вида рассмотрены в диссертации в указанной модели работ [23], [31], [54].
Вообще, задачи приближенного расчета различных финансовых инструментов представлены в литературе достаточно широко в случае опционов Европейского типа, то есть таких, которые предъявляются к исполнению в фиксированный момент окончания действия контарк-та. Работы по этой тематике можно разделить на две группы: те, в которых дискретизация цен активов осуществляется только по временному параметру, и те, где также дискретизируется и пространство элементарных исходов. Из первой группы можно отметить работы по расчету ошибки, возникающей при непрерывной аппроксимации дискретных опционов Европейского типа в модели Блэка и Шоулса и, фактически, связанной с несамофинансируемостью устанавливаемых стратегий в дискретном времени, [77] для опционов с регулярными функциями выплат, [24] с нерегулярными, а также[74] для d рисковых активов, и работы [9], [10], [13], [30], в которых рассматривались опционы, зависящие от траектории, в частности, барьерные опционы и опционы с последействием. Вопросы сходимости финансовых рынков в контексте полных рынков исследуются в работах [15], [25], [14], в монографии [70], а также в работах [55], [76], [11]. Здесь также рассматриваются опционы Европейского типа, а кроме того опционы, зависящие от траектории. Скорость сходимости цен устанавливается порядка т"1/2 или т"1, в зависимости от вида платежной функции, где т - количество точек разбиения интервала [0,Т].
В случае опционов Американского типа, то есть тех, которые могут быть предъявлены в любой момент действия контракта, результатов аппроксимации цен с помощью дискретных моделей известно сравнительно немного. Математически, рассматриваемая задача сводится к нахождению соотношения между функциями цен где 9Л есть множество всех моментов остановки, принимающих значения из множества [0, Т], a WT + at обозначает броуновское движение где Д = Т/т, WIQ(A) есть множество всех моментов остановки, принимающих значения из множества 0,Л,...,?1, а {еі]і=\х..,т есть последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения. Как известно, решение задачи (10) находится с помощью метода индукции назад, с то время как точное решение (9) на конечном интервале [0,Г] установить не удается ( см., например, монографию [70] и ссылки в ней ). Перечислим все работы по этой тематике.
Во-первых, отметим статью-обозрение [8], немало методов численных расчетов цены (9), однако оценки ошибок аппроксимации известны лишь в редких случаях. В [12] показано, что при расчетах, использующих нормально распределенные g, границы ошибки есть 0(1/т) при малых т, т. е., фактически, константа, зависящая от т. Для биномиального приближения, аналогичного (10), в работе [43] устанавливаются границы ошибок аппроксимации для стандартного опциона-put ( продавца ) при т — оо. Обозначим цену стандартного опциона-put через VQP. В общем случае в статье [43] доказывается существование положительных констант с и С, не зависящих от т, таких, что при достаточно больших т
Основные результаты и доказательства
Отметим, что в существующих приближениях для цены Американского опциона па конечном временном интервале, а именно для стандартного опциона продавца в случае А = 0 ( связь стоимости стандартных опционов-put Европейского и Американского типа, см. [70], гл. 8, 3d и ссылки в нем ), размер погрешности также зависит от X, возрастая в данном случае при росте Т. У нас, вообще говоря, присутствует зависимость константы с от Т, а именно, при росте Т константа с = с(Т) убывает, оставаясь при этом больше некоторой константы Со, не зависящей от Т.
Взглянем на результат теоремы 3.1 с несколько иной точки зрения. Предположим, что наш интервал [0, Т] на m частей с шагом Д, то есть Д = —. Тогда теорема говорит о том, что существуют константы С, с, Со, такие, что при m СТесТ для достаточно больших тп. Эта оценка соответствует оценке для опционов Европейского типа. Теорема 3.2 Пусть в модели Блэка и Шоулса г = - Тогда для некоторых положительных констант Сие, зависящих только от параметров модели, при Т СД-1 для всех достаточно малых Д Очевидно, что во втором случае мы имеем сходимость существенно более низкого порядка. Это объясняется различными методиками осуществления доказательств, учитывающими структуру оптимального момента остановки т на бесконечном временном интервале, который при г у является конечным, и мы имеем удается установить лучшую, чем при г = у, сходимость. Теорема 3.3 Пусть в модели Блэка и Шоулса г . Тогда для некоторых положительных констант С и с, зависящих только от параметров модели, при Т С А"1 для всех достаточно малых Л 0 Доказательства теорем 3.1-3.3 основаны на использовании разложения и оценивания по модулю каждого из членов суммы в правой части равенства. Структура диссертации следующая. Первая глава состоит из трех частей: первая часть является введением, кроме того, в ней сформулированы основные результаты главы; во второй части основные результаты главы доказываются; в третьей части доказываются вспомогательные утверждения. Вторая глава состоит из четырех частей: первая часть является введением, во второй формулируются и доказываются основные результаты главы, в третьей доказываются вспомогательные утверждения и четвертая посвящена численным расчетам в модели фрактального финансового рынка. Третья глава состоит из следующих трех частей: введения, основных результатов, доказательств. В конце приведен полный список использованной литературы.
О численных расчетах в модели фрактального финансового рынка
Задача аппроксимации цен различного вида опционов представлена в литературе достаточно широко. Условно, все работы по этой тематике можно разделить на две части - в которых дискретизация цен активов осуществляется только по временному параметру и те, где также дискретизируется и пространство элементарных исходов и к которым принадлежит и данная работа. Из первой группы можно отметить работы по расчету ошибки, возникающей при непрерывной аппроксимации дискретных опционов Европейского типа в модели Блэка и Шоулса и, фактически, связанной с несамофинансируемостыо устанавливаемых стратегий в дискретном времени, [77] для опционов с регулярными функциями выплат, [24] с нерегулярными, а также [74] для d рисковых активов, и работы [9], [10], в которых рассматривались опционы, зависящие от траектории, в частности, барьерные опционы и опционы с последействием. Вопросы сходимости финансовых рынков в контексте полных рынков исследуются в работах [15], [25], в монографии [70], гл. 6, 3a-3d, а также у [55], [76], [11]. Здесь также рассматриваются опционы Европейского типа, а кроме того опционы, зависящие от траектории. Скорость сходимости цен устанавливается порядка т-1/2 или т-1, в зависимости от вида платежной функции, где т - количество точек разбиения интервала [0,2і].
В данной главе обсуждается сходимость цен стандартных опцио- нов Американского типа в контексте полных рынков. Рассматриваются непрерывная модель Блэка и Шоулса и дискретная Кокса-Росса-Рубинштейна. Результаты установлены как для опционов покупателя, так и для опционов продавца. Рассмотрены оба случая г - и г у в задаче об оптимальной остановке.
Предполагается, что эволюция цен безрискового и рискового активов В = [Bt)t o и5 = {St)t o подчиняется уравнениям модели Блэка и Шоулса ([5], [47] ), т. е. В условиях данной модели мы обсуждаем хеджирование опционов Американского типа, т. е. таких, которые могут быть предъявлены в любой момент действия контракта. Пусть выплаты по контракту определяются набором функций f = {ft = М9{St)}t где А 0 и g{St) — (St — К)+ или (К — 5()+, в случаях опционов покупателя и продавца, соответственно. Положим SQ = х. Тогда по определению ценой опциона Американского тина на интервале [0,Т] называется ( [70], гл. 6, 5а-5с ) где 9Л есть множество всех моментов остановки со значениями в [0, Т]. Отметим, что в случае опциона на бесконечном временном интервале ( Т = со ) рассматриваются в том числе и моменты остановки, принимающие значение оо с ненулевой вероятностью. Множество всех таких моментов, согласно сложившейся терминологии, будет обозначаться как ШТо. Т. о., цена опциона Американского типа на бесконечном временном интервале будет определяться как Как известно, в задаче о нахождении цены V(x) опциона на бесконечном временном интервале существует оптимальный момент т 0?о, имеющий вид т. е. задача имеет явное решение. В случае конечного временного интервала, однако, подобный результат оказывается уже невозможным в силу резкого усложнения собственно задачи об оптимальной остановке ( см. подробнее [70], гл. 8, 3а ). В данной работе предлагается аппроксимация цены опциона Американского типа на конечном интервале ценой соответствующего опциона в дискретном времени, которая, в свою очередь, может быть установлена, как обычно и делается на практике, методом обратной индукции ( см. [70], гл. 6, 2а). В случае дискретного времени мы рассматриваем биномиальную Л-модель Кокса-Росса-Рубинштейна ( см., например, [70], гл. 6, 3d ), полагая $пА — $(п-1)А = (еСТЄп - 1)5(п_і)д, где г,п = 1,2,.. - п. о. р. с. в., такие, что Р{е = д/ } — V- р{є% = -л/ } = 1 - р с р - [t lt-lss т- е- исходная мера - мар-тингальная. Мы полагаем также /пд = (1 + \A) ng{Sn&), А 0, и VJIQ(A) = \т{ш) \ т = О, Д,..,[Т/Д]Д}. Цепы опционов на конечном и бесконечном интервалах обозначаются как V(x,T, Д) и V(x, Д), соответственно. Отметим, что в случае дискретного времени в задаче о нахождении цены V(x, Д) также существует оптимальный момент т Є 9Яо(Д), который есть ( см. подробнее [72], [70], гл. б, 5а-5Ь и [49] ). Сформулируем следующую теорему. Теорема 3.1 Пусть в модели Блэка и Шоулса г -. Тогда существуют такие положительные константы Сие, зависящие только от параметров модели, что при Т Clog Д-1 для всех достаточно малых Д О Отметим, что в существующих приближениях для цены Американского опциона на конечном временном интервале, а именно для стан дартного опциона продавца в случае А = 0 ( связь стоимости стандартных опционов-put Европейского и Американского типа, см. [70], гл. 8, 3d и ссылки в нем ), размер погрешности также зависит от Т, возрастая в данном случае при росте Т. У нас, вообще говоря, присутствует зависимость константы с от Т, а именно, при росте Т константа с = с(Т) убывает, оставаясь при этом больше некоторой константы со ( она определяется из (81), см. следующую часть ), не зависящей от Т. Взглянем на результат теоремы 3.1 с несколько иной точки зрения. Предположим, что наш интервал [0,Т] на m частей с шагом Л, то есть Д = . Тогда теорема говорит о том, что существуют константы С, с, со, такие, что при m СТесТ
Доказательства
Далее, рассмотрим Р{Т т" со}. Фиксируем п Є N и определим последовательность н. о. р. с. в. ( "")А=І2 таких что і"Я iV f 2 " ( — Y) )2 "J, и рассмотрим задачу об оптимальной остановке для последовательности 5" = (5 2-")fc=i,2,..., где Ski-» = хеа = , и набора функций /n = (/fc2-")fc=i,2,..., где / 2-« = e-A 2-,,p(S 2-»)- Определим оператор Qn,
Тогда функция цены для этой задачи есть UmN-iooQn {о{х)) ( см- [69], гл. 2 ), и оптимальный момент остановки rV принадлежит Ш (2 п). Согласно результатам [69], гл. 3, V{x)= Hm VxmQ {g{x)), п—юо JV-400 и Г2-" — г P - п. н., а, следовательно, и по распределению. Для f2-n мы можем установить, следуя процедуре, аналогичной той, которая применялась для получения (91), что Р{Т п-п со} с (х)е с т для некоторых положительных констант с (х) и с» для всех достаточно больших п. Устремляя п —ї оо, мы получаем, что Р{Т г со} с (х)е с т. (92) Из (89), (91) и (92) следует, что \V{x,T) - V{x,T,A)\ с& + cie C2T для всех достаточно малых А 0 с некоторыми положительными константами с, сі, с2, зависящими только от параметров модели, откуда следует утверждение теоремы. Доказательство теоремы 3.2 Аналогично (89), имеем \V(x,T)-V(x,T,A)\ (93) сА + ex т&х{Р{Т т со}, Р{Т f оо}} при всех достаточно малых Д 0. В данном случае ( г — у ) оптимальный для задачи в непрерывном времени момент т является конечным, и поэтому Р{Т т со} = Р{т Т}. Поскольку = Л( -у) при Л -» 0, когда г = у, то и оптимальный момент в Л-дискретной модели г также конечен. Итак, нам необходимо оценить max{P{r T},P{f Т}}. (94) Мы имеем в обозначениях доказательства предыдущей теоремы где р = P{ef = VS} = і V нас Р = 1 - 2P{Y,t{A] 4 «} Всилу неравенства Берри-Эссеена ( см., например, [71], гл. 3, 11 ), для любого для всех достаточно малых Л 0 с некоторыми положительными константами с, сх, С2, зависящими только от параметров модели, откуда следует утверждение теоремы. Доказательство теоремы 3.3 Аналогично предыдущей теореме, мы имеем с некоторыми положительными константами с, сі, С2, сз; зависящим только от параметров модели откуда следует утверждение нашей теоремы. D Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору В. И. Питербаргу за постановку задач глав 1 и 2 и многочисленные ценные обсуждения, а также члену-корреспонденту РАН профессору А. Н. Ширяеву за важные советы по написанию главы 3.
