Введение к работе
Актуальность темы. Рассмотрим, следующую задачу: требуется изучить влияние времени работы в цехе на некоторый параметр здоровья. Пусть мы имеем выборку из т работников цеха. С к-ым работником из этой выборки связывается пара чисел (jfc,2jfc)> ГДО х* -числовая характеристика рассматриваемого параметра здоровья, a tk -число лет, проработанных работником в этом цехе. Пусть X(t), f Є R+, - случайный процесс, описывающий эволюцию этого параметра здоровья у работников цеха (X(t) - случайная величина, характеризующая параметр здоровья у людей, проработавших ровно t лет в этом цехе). Тогда числа ж* можно рассматривать как наблюдения случайного процесса X(t) в случайные моменты времени t)., 1< к <т. Теперь наша задача свелась к изучению случайного процесса X(t) по наблюдениям {хк, '*)> 1< к <гп. При этом мы будем считать, что tk - независимые наблюдения одной и той же случайной величины . Для решения этой и ей подобных задач мы предлагаем следующую вероятностную модель.
Пусть (ft,21, Р) - вероятностное пространство, (Г, ЯЗ) - измеримое пространство, X„(t), t 6 Т, п Є N, - случайные процессы, определенные на (ft, 21, Р) и измеримые относительно 58. Обозначим через Хпк, 1 < к < к„, п Є N, - независимые копии Хп. Пусть и „, л Є N, -независимые одинаково распределенные случайные величины со значением в (Т, 23), определенные ка другом вероятностном пространстве
Итак, нашей задачей является изучение асимптотическое поведения сумм или иных функций от случайных величин Xiifc(fifc(wi)) для почти всех u>j Є fti- При этом мы предполагаем что, к„ —* оо, п —+ оо. Условия сходимости последовательности сумм случайных величин Xnk((ui)), при фиксированном wi Є fti тривиально следуют
из известного критерия сходимости по распределению сумм независимых бесконечно малых случайных величин1. Однако мы доказываем сходимость последовательности сумм случайных величин -Хп*((и>і)) для почти всех w, Є Оі. Поэтому, кроме этого критерия, наши доказательства опираются на законы больших чисел, которые являются обобщениями усиленного закона больших чисел Колмогорова.
В диссертации рассмотрено обобщение этой задачи на банаховознач-ные случайные процессы Xn(t). В этом случае наша задача имеет приложения к проблеме мультипликаторов2. Напомним суть проблемы мультипликаторов. Пусть U,U{ : й —»-В, і Є N, - независимые одинаково распределенные случайные элементы г}', г)\:0.1 —> R,i Є N - независимые одинаково распределенные случайные величины, последовательности
ті Є N, &п 6R. Проблема мультипликаторов состоит в изучении сходимости по распределению последовательности H„(wi) для почти всех wi fli и последовательности Кп{ш) для почти всех иЙ. Проблеме мультипликаторов посвящено большое количество работ2. Заметим, что в случае, когда множество T=R, а банаховозначные случайные процессы имеют вид Xn(i)=~-U, t Є Т, наша задача совпадет с проблемой мультипликаторов и многие из известных результатов, связанных с проблемой мультипликаторов являются следствиями наших результатов. Следствием наших результатов является случай, когда семейства {Ui}, {tjJ} определены на одном и том же вероятностном пространстве и независимы. К этим предельным теоремам примыкают полученные d диссертации предельные теоремы с разнораспределенными мультипликаторами: найдены необходимые и достаточные условия сходи-
'См.; Гнеденко В. М., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.: Гсстехиздат. 1949. 264 с.
2См., напр.: Ledoux М., Talagiand М. Probability in Banach Spaces. Berlin Heidelberg New York. 1991. 512 p.; GineE., Marcus M.B., Zinn J. On random multipliers in the theorem with p-stable limit, 0 < p < 2. - Probability in Banach spaces. Proc. of Vl-th. Int. Conf., Birkhansiv, Boston, 1990, p. 120-149; Ledoux M., Talagrand M, Conditions d'integrabilite pour les multiplicateus dans les TLC Banachique. Ann. Prob 1989. V. 17. N 11. P. 916-921.
і» мости по распределению последовательности S„ = У^^пі^і, n Є Nt
»=1 где Zni - такие независимые бесконечно малые случайные величины,
что семейства {&,,},{/,} определены ка одном и том же вероятностном пространстве и независимы, а случайные элементы /, принадлежат области нормального притяжения р-устойчивого закона. Заметим, что известные признаки сходимости сумм независимых разнораспреде-ленных банаховозначных случайных элементов3 основаны па теореме Прохорова4 и формулируются в терминах равностепенной непрерывности их характеристических функционалов в топологии типа топологии Сазонова или компактности некоторого семейства ковариационных операторов. В нашем случае критерий сходимости сумм S% сформулирован в терминах распределений случайных величин ni
Одним из интенсивно развивающихся в настоящее время направлений является изучение сходимости случайных линий определенных суммами или иными функциями от случайных величин. В русле этого направления лежат результаты третьей главы. В ней доказаны теоремы о сходимости случайных ломаных, случайных ступенчатых линий, определенных суммами, максимумами или билинейными формами от случайных величин X„k(k(ui))- Особенность этих предельных теорем состоит в том, что сходимость в них доказывается для почти всех
В главе IV введено и изучено понятие банахова пространствах типа (F, F\). Частными случаями этого понятия являются понятия пространств устойчивых и радемахеровских типов р, а также пространств типа Ф5. Получена характеризация пространств типа (F, F{) в терминах предельных теорем для сумм случайных элементов X„k(k(wi)).
Скорость сходимости к нормальному закону в банаховозначных
3См.: Круглов В. М. Дополнительные главы теории вероятностей.М.: Высшая школа. 1984. 264 с.
4См.:Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория, вероятя. и ее применен. 1956. Т. 1.JV 2. С. 117-238.
5См. о типах пространств, напр.: Pisiei G. "Type'' des espaces normes. In: Seminaire Maurey - Schvartz. Paris:Ecole Politechnique. 1973 - 1974; Exp 4; Pisier G. Une propriete du type p-stable. In: Seminaire Maurey-Schvartz- Paris:Ecole Politechnique. 1973 - 1974. Exp 8; Fazekas I. On Banach space of of type Ф. Proc. Int. Conf. on Functional Spaces. Рогпап. 1S86. Ser. Teubner Texte zur Math., ed. i. Musielk, Leipzig. 1986. V. 103. P. 20- 25.
предельных теоремах изучалась в большом количестве работ6. Ряд статей посвящен начатым В.М. Золотаревым исследованиям, уточняющим скорость сходимости к р-устойчивому закону в одномерных предельных теоремах'. Изученью скорости сходимости на классах множеств сумм независимых банаховозначных случайных элементов со случайными коэффициентами к р-устойчивому закону посвящена глава V.
Цель работы. Получить условия сходимости по распределению сумм или иных функций от случайных процессов, наблюдаемых в случайные моменты времени. Получить условия сходимости по распределению сумм одинаково распределенных случайных элементов, со случайными коэффициентами. Найти оценки скорости сходимости в этих предельных теоремах.
Научная новизна. В диссертации доказан ряд новых предельных теорем для сумм и иных функций от независимых случайных величин, зависящих от случайного параметра - случайных процессов, наблюдаемых з случайные моменты времени. Особенность этих предельных теорем состоит в том, что в них доказывается сходимость для почти всех значений случайного параметра к одной и той же случайной величине. Получены обобщения этих результатов на случайные процессы со значениями в банаховом пространстве.
Получены необходимые и достаточные условия сходимости по распределению сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, принадлежащих области нормального притяжения р-устой-чивого закона, взвешенных независимыми бесконечно малыми случайными величинами. Изучены обобщения этого результата на случайные элементы со значениями в банаховом пространстве. В таких предельных теоремах получены оценки скорости сходимости, которые остаются эффективными даже в случае, когда предельное распределение сосредоточено на подпространстве меньшей размерности, чем рассматриваемые суммы, и имеют неулучшаемый характер.
6См. напр.:Паулаускас В.И.. Рачкаускас А.Ю. Точность аппроксимации в центральной предельной теореме в банаховых пространствах. ВильнюсМокслас. 1987. 188 с; Сазонов В.В., Ульянов В.В. Асимптотические разложения вероятности сумме независимых случайных величин попасть в шар. Успехи мат. наук. 1995. Т. 50. N 5(305). С. 203 - 222.
7См. напр.: Christoph G., Werner W. Convergence theorems with a stable limit law. Akadeinie Verlag. 1992. 202 p.
Практическая ценность. Предложен новый взгляд на широкий класс задач, связанных с приложениями теории вероятностей к мате--матической статистике. Полученные предельные теоремы могут быть использованы при статистической обработке данных, связанных с такими задачами.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Вильнюсских международных конференциях по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1985, 1989, 1993). на школах - семинарах "Проблемы устойчивости стохастических моделей" (Пермь, 1992, Эгер (Венгрия), 1994, Казань, 1995), на Всероссийской школе-колоквкуме по стохастическим методам геометрии и анализа (Абрау-Дюрсо, 1994), на XXIII Бакурианской школе-колоквиуме (1990), на Всероссийской школе-колоквиуме по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 1995), на Международноой конференции, посвященной памяти академика М.Ф.Кравчука (Киев-Луцк, 1992), на Международной научной конференции, посвященной 100-летиюсодня рождения С. Банаха (Львов, 1992), на первой Украинско-Скандинавской конференции "Stochastic Dynamical Systems: Theory and Applications" (Ужгород, 1995), на семинаре МИРАН под руководством академика Ю.В. Прохорова (1994), на семинаре Варшавского университета под руководством профессора С.Квапеня (Польша, 1994), на семинарах Дебрецен-ского университета под руководстзом профессора М. Арато (Венгрия, 1994), на семинарах Вильнюсского университета под руководством профессора В.В. Паулаускаса (Литва, 1985-1990), на семинарах МГУ под руководством профессоров В.М. Круглова, В.М.Золотарева, В.В. Калашникова (1992-1995).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из пяти глав, разделенных на 38 параграфов, и списка литературы, состоящего из 113 наименований.
