Содержание к диссертации
Введение
1 О мере с максимальной энтропией для специального потока над локальным возмущением счетной топологической схемы Бернулли 10
1.1. Введение к главе 1 10
1.2. Производящие функции специальных потоков, построенных по локальным возмущениям счетной ТСБ и функциям из класса $(Y(G)) 12
1.3. Критерий устойчивости 21
1.4. Меры с максимальной энтропией 25
1.5. Специальные потоки, построенные по локальным возмущениям счётной ТСБ и локально-постоянным функциям 30
1.6. Специальные потоки, построенные по локальным возмущениям счётной ТСБ и положительным функциям с суммируемыми вариациями 44
2 Равновесные распределения на множестве перестановок целых чисел 52
2.1. Введение к главе 2 52
2.2. Комбинаторная лемма 55
2.3. Вычисление предельной случайной перестановки для теплицевой матрицы с конечным числом ненулевых диагоналей 58
2.4. Равновесные случайные перестановки 71
2.5. Вариационный принцип на множестве перестановок Ez{&) 73
2.6. Пример: трёх-диагональные матрицы 78
3 Устойчиво-возвратные функции на пространстве путей счётного графа 81
3.1. Введение к главе 3 81
3.2. Устойчивая возвратность в случае локально-постоянной функции 91
3.3. Функции с суммируемыми вариациями на пространстве путей конечного графа 107
3.4. Возвратность устойчиво-возвратных функций 114]
3.5. Теорема солидарности 126
3.6. Положительная возвратность устойчиво-возвратных функций 129
3.7. Возмущения возвратных функций 133
Заключение
- Производящие функции специальных потоков, построенных по локальным возмущениям счетной ТСБ и функциям из класса $(Y(G))
- Специальные потоки, построенные по локальным возмущениям счётной ТСБ и локально-постоянным функциям
- Вычисление предельной случайной перестановки для теплицевой матрицы с конечным числом ненулевых диагоналей
- Функции с суммируемыми вариациями на пространстве путей конечного графа
Введение к работе
Актуальность темы. Символическая динамика занимается изучением динамических систем, у которых в качестве точек фазового пространства фигурируют бесконечные наборы символов, принадлежащих конечному или счётному алфавиту, или, как ещё говорят, множеству состояний. При этом наиболее распространённым и во многих случаях естественным преобразованием, задающим динамику, является сдвиг; вместе с тем, зачастую возникает необходимость рассматривать и другие преобразования (это относится, например, ко второй главе диссертации). Методы символической динамики играют важную роль при изучении классических динамических систем гиперболического типа, в частности, геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны, (см. И '4'). Существует также тесная связь между символическими системами и решётчатыми моделями статистической физики^ И
Систематическое исследование символических систем со счётным множеством состояний началось сравнительно недавно, в конце 70-х — первой половине 80-х гг. Необходимо отметить, что наличие у символической динамической системы счётного (а не конечного) числа состояний и связанная с этим некомпактность фазового пространства существенным образом усложняют её изучение и приводят к возникновению целого ряда новых задач, которые не актуальны или даже не имеют смысла в случае конечного числа состояний. В то же время подобные системы естественным образом появляются, например, при рассмотрении рассеивающих биллиардов'7'. Источником значительного числа задач символической динамики со счётным множеством состояний служит термодинамический формализм — совокупность идей и понятий, пришедших в теорию динамических систем из статистической физики (выделим здесь работы^ И t10l).
МСееащ Я.Г. Марковские развиенш в У-лиффеоиорфтиы. Функи, анализ u «о прім., 2 (1966), Ж, 64-69.
І^Боугк Р. Метсщы ошаояпчесхой дян&ывкя. — М.: Мір* 1979.
f Lalley S, Renewal theorems in symbolic dynamics with application» to geodesic flow», поп-Euclidean tes»lation* and their fractal limit sets. Acta Uathematico, 163 (1990), 1-53.
WBedford Т., Keane M., Series C. (Eds). Ergodic Theory, Symbolic Dynamic» and Hyperbolic Spaces. — Oxford University Press, Oxford, 1991.
I'lRutllt D, Thermodynamic formalism. — Reading, MA: Addison-Wesley, 1378.
tlKeikt G. Equilibrium states in ergodic theory. — Cambridge Univ. Press, 1996.
РІБуяжмовіч Л.А., Синай Я.Г., Чернов Н.И. Марноване раэбвенвл дій двумерных гкперболвческвх бвл-лиардов. УМН, 45 (1990), вып. 3, 97-134.
І'ІГуреввч Б.М-, Савчевю СВ. Тсрмодвнаиич«*к4 формалин дм сніїволігчеаскх цепей Маркова со сч&г» mat числом состоіниі. УИН, 53 (199S), suit. 2, 3-106.
'''Sarig О.М. Thermodynamic formalism for countable Marlrav shifts. Eryod. Th. and Dynam. Just., 10(1999), 15S5-1J9J.
I "I Yuri M. Multi-dimensional maps with infinite invariant measures and countable state softc shifts. Indag, Math., 8 (199І), 355-183.
t>UC НАЦИОНАЛЬНАЯ {
1 | БИБЛИОТЕКА J
. і и і 11 її iPKi»)
В рамках термодинамического формализма одним из основных является понятие равновесного распределения. Пусть заданы топологическая динамическая с ист* (У, jT) (т.е. топологическое пространство Y с непрерывным отображением Т : У —* У) и непрерывная функция / : У -+ R. Тогда на Т-инвариантных борелевских вероятностных мерах ц на Y можно рассмотреть функционал V(n) = Л/1(Г) + f /dp, где ЛДХ1) — энтропия преобразования Т относительно меры /і, причём мы вначале берём только те меры, для которых сумма энтропии и интеграла имеет смысл. В случае некомпактного пространства У, когда могут возникнуть "плохие" меры ft, т.е. меры с ЛМ(Т) = с», S fdy. = —оо, иногда удаётся продолжить 'Р(-) и на них. (см. І11' І12» М). Меры, на которых достигается верхняя грань функционала 7^(-), называются равновесными распределениями (относительно /). При / = 0 равновесные распределения — это меры с максимальной энтропией. Среди наиболее важных вопросов, возникающих в связи с вариационной задачей для функционала V{')., выделим следующие: о существовании и единственности равновесного распределения; о возможности охарактеризовать равновесное распределение как гиббсовскую меру (другими словами, вопрос о справедливости вариационного принципа Гиббса); вопрос о предельном поведении последовательностей равновесных распределений, отвечающих исчерпывающим последовательностям "конечных подсистем" исходной системы.
В диссертации рассматриваются три задачи символической динамики, в которых главным предметом исследования является понятие равновесного распределения в контексте сформулированных выше вопросов.
В первой главе диссертации рассматриваются специальные потоки над некоторым классом топологических цепей Маркова, а именно, над локальными возмущениями топологической схемы Бернулли со счётным числом состояний. Под локальным возмущением понимается результат удаления конечного множества рёбер в соответствующем графе. Первая задача заключается в том, чтобы найти достаточные, а если возможно, то и необходимые условия существования (единственной) меры с максимальной энтропией для специального потока S/, построенного по любому локальному возмущению счётной топологической схемы Бернулли и по функции /, определённой на фазовом пространстве этой схемы Бернулли. Таким образом, изучается устойчивость свойства потока Sj иметь меру с максимальной энтропией при локальных возмущениях базы потока.
lll>Gurevich В.М. A variational diar&cterlxation cf one-dimenaional countable state Gibbs random fields, Z.Wahr* Khtitdiehkeittihtvrie vera. Gebiete, «8 {1984), Ї05-Ї42.
^Walters P. tnv&R&at me&eurea and equilibrium states for some mappings which expand distances- 2Vonf. jimer* Math. 5«., 23B (1ЭТ8), 121-15),
Специальные потоки, построенные по счётным топологическим цепям Map -кова и положительным локально-постоянным функциям, исследовались в ра-боте!1'] СВ. Савченко. Его результаты используются в первой главе диссертации, где в качестве функции /, определяющей поток, берутся функции нескольких типов. В случае, когда / зависит только от нулевой координаты Уо последовательности у — (у{) из базы потока, получены необходимые и достаточные условия устойчивости в указанном выше смысле. Для локально-постоянных функций / и функций с суммируемыми вариациями приводятся достаточные условия устойчивости. Применение полученных результатов иллюстрируется на примере исследования геодезического потока на модулярной поверхности"4' ""
Вторая глава диссертации посвящена вопросам, побудительным мотивом к изучению которых была работа Фихтнера'16'. В связи с некоторыми математическими проблемами квантовой статистической механики в I16' использовался специальный класс случайных перестановок счётного множества Z.. Не вдаваясь в точное описание модели Фихтнера (которое приводится ниже), отметим, что в ней фигурирует неотрицательная матрица а = (ах,у)х,уєг с <*х,х = 1 и для каждого конечного Z С Z строится случайная перестановка множества Z, распределение которой определяется по а в соответствии с заданным правилом. Фихтнер исследовал предельные точки последовательностей таких случайных перестановок при монотонном стремлении отвечающих им конечных множеств к Z. Оказалось, что на а можно наложить дополнительное ограничение, при котором предельные точки указанных последовательностей окажутся случайными перестановками множества Z, разложимыми на конечные циклы, а их распределения будут гиббсовскими мерами со спецификацией, которая выражается через матрицу а.
В качестве множества Z в главе 2 диссертации берётся одномерная целочисленная решётка Z и ставится задача, отталкиваясь от модели Фихтнера, получить на множестве перестановок целых чисел класс вероятностных мер, которые в известном смысле можно считать равновесными распределениями, а затем исследовать эти меры с точки зрения термодинамического формализма. При этом важно подчеркнуть два момента. Во-первых, на множестве перестановок целых чисел необходимо ввести подходящее преобразование Т,
[**]Сичепкэ С»В. Спепеаиьные потоїх, построенные по счетпыьс топологшчесжпк цепаы Марком. Фуыки* анализ и по поїм., 32 (I99S}, Ш, ifhbZ.
t^Katok S. Coding af closed geodesies after Gaues and Mone. Cvometriaa didieala, 63 (1ОД5), 123-H5.
[^Gurevich Б.М., Kalok S- Arithmetic coding and entropy for the positive geodesic flow on the modular sur&ce. Мок. mtli. J., 1 (2001), no. 4, 569-582.
[I'lFichtner K.-H. Random permutations of countable sets. Pn/t>. Theory and Rtl. Fieldi, 80 (1991), 35-80.
отличное от сдвига (сдвиг для наших целей не годится, поскольку множество перестановок Z, которые разлагаются на конечные циклы, относительно сдвига неинвариантно). Предлагается определить действие преобразования Т на перестановки д : Z —> Z по правилу (Тд)(х) = s(x+l) — 1, X Є Z. Во-вторых, требуется подобрать "правильный" класс матриц а, которые "согласованы" с преобразованием Т. По этой причине в работе рассматривается класс men-лицевых матриц а.
В диссертации для теплицевых матриц с конечным числом ненулевых диагоналей вычисляются распределения соответствующих предельных случайных перестановок множества Z. Доказано, что эти распределения Т-инвари-антны и что они являются подходящими кандидатами на роль искомых равновесных распределений на множестве перестановок целых чисел. Изучены свойства полученных равновесных распределений.
Задача, которой посвящена третья глава диссертации, состоит в том, чтобы обобщить понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы на случай функций общего вида, заданных на пространстве путей счётного графа.
Исходя из классификации неразложимых цепей Маркова со счётным числом состояний по ассимптотическому поведению их переходных вероятностей, Вир-Джонс'17! I18' дал определение возвратной, нуль-возвратной и положительно-возвратной бесконечной неотрицательной матрицы. СаригІ"! 11 распространил эти понятия на случай действительнозначных функций, определённых на пространстве односторонне-бесконечных путей счётного графа; оказалось, что функции и матрицы из аналогичных классов обладают во многом схожими свойствами. Более узкое понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы было введено Б.М. Гуревичем в' '. Выяснилось, что устойчивая возвратность играет важную роль в вопросах сходимости равновесных распределений, отвечающих конечным подматрицам бесконечной неотрицательной матрицы (см. I21' *'). Так, устойчивая возвратность бесконечной неотрицательной матрицы А, в отличие от положительной возвратности, гарантирует сходимость последовательности равновесных распределений, построенной по исчерпывающей последовательности неприводимых конечных подматриц матрицы А, к равновесному распределению, отвечающему А.
MVere-Jone» D. Geometric «godidty in denumeraWe Markov chain». Quart, J. Мові. Oxford Ser, (2), 13 (1951), 7-28.
t'lVere-Jone» D. Eigodic properties of nonnegati»e matrices 1. Pacific J. AfaiA., 2Ї (Ш7), 381-386.
t'lSarig O.M. Thermodynamic formalism for null recrarent potentials. Itrael J. Math., 121 (2Й01), 2SJ-311.
Р^Гуревнч Б.М. Устойчи»с-во»»ратиые неотрицательные матрицы. УМН, 51 (1996), выл. 3,195*196.
^^Гуревш Б.М. Кояечные агшрокснкацня бесконечных кеотртсатепЬБЫх матриц н сходныость равновесных распревеленя*. ДАН, 347 (1996), J*6, 732-735.
Данное в диссертации определение устойчиво-возвратной функции выражается в терминах радиусов сходимости производящих функций локальных статистических сумм. Показано, что свойства устойчиво-возвратных функций аналогичны основным свойствам устойчиво-возвратных матриц.
Цель работы: исследовать устойчивость структуры множества мер с максимальной энтропией для специальных потоков, построенных над счётной топологической схемой Бернулли, при локальных возмущениях базы потока; получить на множестве перестановок целых чисел класс равновесных распределений и изучить эти распределения в контексте термодинамического формализма; обобщить понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы на случай функций общего вида, заданных на пространстве путей счётного графа.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
Получен критерий устойчивости структуры множества мер с максимальной энтропиейдля специального потока, построенного над счётной топологической схемой Бернулли по функции / вида /(у) = /(j/o), при локальных возмущениях базы потока.
Для более общей по сравнению с предыдущим пунктом ситуации локально-постоянных функций / и функций / с суммируемыми вариациями найдены достаточные условия устойчивости.
На множестве перестановок целых чисел с помощью предельного перехода построен естественный класс вероятностных мер и установлено, что эти меры представимы в виде равновесных распределений.
Для полученных равновесных случайных перестановок множества Z доказана справедливость вариационного принципа Гиббса.
Понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы обобщено на случай функций общего вида, заданных на пространстве путей счётного графа.
Доказано, что основные свойства устойчиво-возвратных функций аналогичны свойствам устойчиво-возвратных матриц.
Методы исследования. В работе используются: метод производящих функций, методы и результаты теории дискретных марковских цепей и теории неотрицательных матриц, комбинаторные методы теории вероятностей, метод трансфер-матрицы, результаты теории динамических систем и функционального анализа, а также стандартные аналитические и вероятностные методы.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации но-
сят теоретический характер. Они могут быть полезны специалистам, работающим на стыке теории вероятностей, статистической физики, теории динамических систем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории вероятностей и статистической физике механико-математического факультета МГУ (под рук. проф. Б.М. Гуревича и проф. В.И. Оселедца), на Колмогоровских чтениях (Москва, 2000) и на Конференции молодых учёных в МГУ (2001).
Публикации. По теме диссертации опубликованы три работы [1-3], список которых приведён в конце настоящего автореферата.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх
глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 36 наименований. Общий объём диссертации составляет 139 страниц.
Производящие функции специальных потоков, построенных по локальным возмущениям счетной ТСБ и функциям из класса $(Y(G))
Структура настоящей работы подчиняется следующему порядку. Каждой задаче посвящена отдельная глава. Каждая глава разбита на разделы, занумерованные двумя цифрами, первая из которых обозначает номер соответствующей главы, а вторая — порядковый номер данного раздела внутри этой главы. Все выделяемые формулировки (теоремы, леммы, определения и т.д.) снабжены номерами вида п.ш, где п — номер главы, am — порядковый номер данной формулировки внутри своего класса. Перейдём теперь к краткому описанию каждой из задач и обзору основных результатов, содержащихся в данной работе. В главе 1 рассматриваются специальные потоки над некоторым классом топологических цепей Маркова, а именно, над локальными возмущениями топологической схемы Бсрнулли со счётным числом состояний, и меры с максимальной энтропией для таких потоков. Под локальным возмущением понимается удаление конечного множества ребер в соответствующем графе. Основная задача этой главы — найти достаточные, а если возможно, то и необходимые, условия (в терминах функции /, определяющей поток) того, что существует (единственная) мера с максимальной энтропией одновременно для специального потока S/, построенного по / и счётной топологической схеме Бернулли, и для специального потока Sj, определённого над произвольным локальным возмущением этой схемы Бернулли. Таким образом, будет изучаться устойчивость свойства потока 5/ иметь (единственную) меру с максимальной энтропией при локальных возмущениях базы потока. Специальные потоки, построенные по счётным топологическим цепям Маркова и положительным локально-постоянным функциям, исследовались СВ. Савченко в работе [29].
В частности, там показано, что для соответствующих потоков не может существовать более одной меры с максимальной энтропией, и приводится критерий существования такой меры. Эти утверждения играют существенную роль в наших рассуждениях. Основные результаты главы 1 заключаются в следующем. Мы рассматриваем несколько типов функции /. В случае, когда функция / зависит только от нулевой координаты Уо последовательности у = (у,-) в базе потока, будут получены необходимые и достаточные условия, при которых имеет место устойчивость в указанном выше смысле (см. теорему 1.2). Одним из главных инструментов доказательства этого результата служит выведенная в разделе 1.2 формула (см. теорему 1.1), которая показывает, что производящая функция, связанная с "локальным" классом замкнутых орбит потока S/, построенного над локальным возмущением схемы Бер ну лл и по функции / = /(уо), рациональным образом выражается через аналогичную функцию, отвечающую нсвозмущённому потоку, и производящие функции конечного графа, порождённого возмущёнными вершинами. Упомянутая формула также может эффективно применяться для точного или приближённого вычисления топологической энтропии соответствующих потоков.
В случае, когда / зависит от конечного числа координат последовательности у = (у,), т.е. имеет вид /(у) = /(уо,Уі,--.,Ут), "г 1, будут приведены достаточные условия устойчивости (теорема 1.3). Что же касается функций / с "бесконечной памятью1 ,то мы ограничимся рассмотрением функций с суммируемыми вариациями и для этого класса приведём достаточные условия устойчивости (теорема 1,4). Полученные результаты сопровождаются примерами специальных потоков, которые возникают при исследовании замкнутых геодезических на модулярных поверхностях. Глава 2 посвящена вопросам, побудительным мотивом к изучению которых явилась работа Фихтпера [10], где он в контексте квантовой статистической механики для построения случайных разложений на конечные кластеры случайных точечных конфигураций на К использовал специальный класс случайных перестановок счетного множества. Отметим схематически рад элементов модели Фихтнера (подробности см. в разделе 2.1). Пусть Z — счётное множество и пусть задана матрица а — {ая,у)х,ие2, удовлетворяющая условиям (а) о1)3/ 0, (Ь) ах,х — 1. Для каждого конечного подмножества Z С Z определяется вероятностная мера Pz на множестве отображений g : Z — Z по правилу: ция), где h пробегает множество всех перестановок Z, и Рг({з}) = 0 в противном случае. В [10] показано, что если матрица а удовлетворяет дополнительному условию "компактности", то для всякой исчерпывающей последовательности {.} конечных подмножеств Z существуют подпоследовательность {- /(Jt)}b=i и вероятностная мера Р на множестве Zz = {/ : Z — Z} такие, что Р = Іші -к» Pzllk) в смысле сходимости всех конечномерных распределений. Заметим, что предельная мера Р зависит от матрицы а и от, вообще говоря, подпоследовательности {- 1(ь)}ь=1. Далее, всякая предельная мера Р обладает следующими свойствами: во-первых, она является распределением вероятностей случайной перестановки множества Z, которая разлагается на конечные циклы; во-вторых, её можно считать в определённом смысле гиббеовской мерой, спецификация которой определяется только матрицей а. Наконец, если на матрицу а наложить некоторое усиленное условие "компактности", то существует ровно одна гиббеовская случайная перестановка с соответствующей спецификацией, что одновременно гарантирует и единственность предельной меры Р. В настоящей работе будем рассматривать одномерную целочисленную решётку Ъ и множество Еъ перестановок 2, разлагающихся на конечные циклы. Основная задача главы 2 заключается в том, чтобы, отталкиваясь от модели Фихтнера, получить на множестве Ez класс вероятностных мер, которые в известном смысле можно считать равновесными распределениями, и исследовать эти меры с точки зрения термодинамического формализма. В связи с этим важны два аспекта. Во-первых, на множестве Ez необходимо ввести подходящее преобразование.
Дело в том, что преобразование сдвига для наших целей не годится, поскольку множество Ez относительно сдвига не является инвариантным. В качестве преобразования, задающего динамику на множестве Ez, возьмём преобразование Т, действующее на перестановку g : Z — Z по правилу (Тд)(х) = д[х + 1) - 1, і Є Z; тогда TEz = Ez- Во-вторых, необходимо подобрать такой класс матриц а, которые в некой роде "инвариантны" относительно Т. Поэтому в этой работе будет рассматриваться класс теплицевых матриц а — (( x,y)x,yZ, т.е. таких, что аХіУ = ах іУ , когда у — х — у — х . Итак, на роль Т-инвариантных равновесных мер будут претендовать предельные точки последовательностей {Pz,}, %\ X 21, где меры Pz построены по теплицевам матрицам а. Мы ограничимся подробным изучением случая теплицевых матриц a = (axJ)XtVez с конечным числом ненулевых диагоналей: #{j : у — х = j = аХіУ 0} со. Оказывается, в этом случае предельную меру можно вычислить, что составляет центральный результат главы 2 (см. теорему 2.1). А именно, пусть а — теплицева матрица с конечным числом ненулевых диагоналей, удовлетворяющая условиям (а)-(Ь) и условию "компактности", а Ezipt) — множество всех перестановок д Є Ez, для которых осХів 0, х 2. Тогда существует Т-инвариантная вероятностная мера Ра на 2s такая, что Pa(Ez(a)) = 1 и для всякой последовательности {Z[}iZn %i X i конечных подмножеств Z справедливо равенство 1іт;_юо Pzt = Р„ в смысле сходимости всех конечномерных распределений; динамическая система (Ez(a),T, Ра) изоморфна (по модулю множеств меры нуль) некоторой марковской системе, причём будут выписаны её начальные и переходные вероятности, а сам изоморфизм предъявлен в явном виде. Далее будет показано, что предельная мера Ра является единственным равновесным распределением на множестве перестановок Ez{oc) относительно функции v„(g) = lnao,ff(o)i одновременно в данной ситуации будет вычислено топологическое давление (теорема 2.2). Наконец, мы докажем, что на множестве Ez(ct) существует ровно одна вероятностная Т-инвариантная гиббеовская мера с фихтнеровской спецификацией, построенной по матрице а, причём эта мера совпадает с равновесным распределением Ра (см. теорему 2.3).
Специальные потоки, построенные по локальным возмущениям счётной ТСБ и локально-постоянным функциям
Если (Y(G),S) — локальное возмущение ТСБ и функция / Є 354 ( )) зависит более чем от одной координаты, то, вообще говоря, не представляется возможным выписывать для соответствующих производящих функций формулы, подобные (1.2.3), и использовать для вычисления топологической энтропии потока S/ уравнения типа (1.2.22). Тем не менее, обратившись к классу локально-постоянных функций / с конечной вариацией Vo(/) ос можно получить следующую теорему, которую естественно рассматривать как обобщение импликации п) і) из критерия устойчивости (теорема 1.2), доказанного ранее в разд. 1.3. Теорема 1.3. Пусть (Y(Go),S) - топологическая схема Бернулли со счетным множеством вершин V. Пусть задана функция f класса (Y (Go)) (то 1) такая, что Vo(f) со. Предположим, что Ret,v 0 и Ffffy(x) —} со при х —у R$fy — 0- Тогда для специального потока 5/, построенного по (K(Go), S) и функции f, h(Sf) со и существует (единственная) мера с максимальной энтропией относительно S/. То же самое верно и для потока 5/, определенного над произвольным локальным возмущением (Y(G),S) ТСБ (Г(Со),5). Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что V С N. Проведём здесь доказательство этой теоремы для случая локального возмущения ТСБ (в случае самой ТСБ ситуация только упрощается). Итак, пусть (Y(G),S) — локальное возмущение ТСБ (Y(GQ),S), а функция / удовле-j творяет условиям теоремы. Прежде всего убедимся, что для / выполняется условие (1.1.1). Поскольку Re/tv 0, то Oj(v) —у +00 при v —У со. Возьмём какое-нибудь у = (у,) Є Y(G). Если supt 0y = 00, то найдется такая подпоследовательность {г"г}і і, "/ 0, и такое /о, что у,-, —у со при / — со и для всякого / IQ имеем 9f(yit) 2VQ(J) + 1. Тогда f{Shy) О&л,) - Vo(/) Vo{/) + 1 0, I /о, и, следовательно, ряд Е=і f(Sky) расходится. Если же supt- 0 уі со, то при к 1 ук пробегает конечное множество значений, а значит, в у может встретиться только конечное число различных последовательностей (у Ук+и.-. Л+п). Так как / Є 5 (Г(С)), то infjtM f(Sky) = mmfc x/(5fcy) 0. В силу этого ряд J2kLi f(Sky) снова расходится.
Аналогично доказывается расходимость ряда SJtL-i f(Sky)- Таким образом, определён специальный поток 5/, построенный по (Y(G),S) и функции /. Рассмотрим отображение (т + 1)-редукции Фт+і. При этом отображении функции / ставится в соответствие функция Фт+1/ = / о Ф"1 . Так как /(у) = Дуо»!/і,. --iVm), то величина (Фт+і/)(у) определяется только нулевой координатой у0 последовательности у y(G(m-H ), т.е. Фт+1/ е Поэтому, существует единственная мера с максимальной энтропией относительно потока 5/ тогда и только тогда, когда существует единственная мера с максимальной энтропией относительно потока S$„+1/, построенного над (Y"(G m+1)),S); к тому же h(Sf) = Глава J. О мере с максимальной энтропией для специального потока 32 Таким образом, задача сводится к исследованию потока S$m+1j. Далее по ходу дока-] зательства мы покажем, что (5 m+l/) со. Хотя (Y"(G m+1 ), S) уже не является локальным возмущением ТСБ, это топологическая цепь Маркова. Учитывая то, что Фщ-и/ 30(F(G(m+1 )), воспользуемся условиями (1)-(2) (см. конец разд. 1.2). Обозначим для удобства / = 4 m+i/ и рассмотрим производящую функцию с +и,/, ), V(G(m+1)), Если её радиус сходимости г := TG(+ ),/,« 0, то, рассуждая как и при доказательстве теоремы 1.2, нетрудно проверить, что tpG{m+0,/, ( ), непрерывно дифференцируема па интервале (О, г). Предположим, что найдётся такая точка х" (0, со), что 1 Vc(" +4 ./,.&( ) - (1.5.3) Тогда г 0 и в силу строгой монотонности и непрерывности функции Рсі п+1К/ w(x) СУ ществует единственное решение х уравнения pG[m+i ,/,ш(х) 1 Из условия (1.5.3) вытекает, что х лежит внутри интервала сходимости ряда (m+i),/)Тй(х), т.е. х Є (0,г). Поэтому З с! 1»,/.«Л1) _, 00 и, значит, для потока 5Ф,„+,/ выполняются соотношения (1)-(2). Следовательно, чтобы доказать существование (единственной) меры с максимальной энтропией относительно потока Ф,„+1/, достаточно при некотором w Є V(G m+l ) предъявить число х , которое удовлетворяло бы условию (1.5.3). Перейдём к непосредственному поиску такого х . Пусть w — полная вершина графа G\ в которую можно попасть из любой вершины графа G, т.е. (iv,v),(v,w) B{G) Vi Є V. Такая w найдётся в силу того, что G отвечает локальному возмущению ТСБ. Возьмём в качестве w Є V(G m+1 ) последовательность, все элементы которой совпадают с w: w = (іУ,ги,... , ги). Пусть JV0 N — наименьшее из чисел, для которых V Л {ті Є N : n iV0} 7 0- При N No обозначим через Gjv полный подграф графа G, который порождается множеством Глава 1. О мере с максимальной энтропией для специального потока 33 вершин {v V : v N}, а через GJf — полный подграф графа G, порождённый множеством вершин {v V : v N). Очевидно, V(GN) U V(G%) = V, V{GN) П V{Gf{) = 0. Определим при N No функции /jy и / , принадлежащие классу 50(K(G(m+1 )), полагая Так как при х 1 ряд Q(+I у д(я) заведомо расходится, то будем рассматривать только а; Є [0,1). Хотя функция / может принимать и отрицательные значения (из условий теоремы не следует даже отделенность / от нуля), ряд 9?С(т+о /щ( ) вполне корректно определён при ж 0 (на самом деле, можно показать, что при достаточно больших N ififYij) 0 для любого пути 7 Є C(G -m+l ;w)), Тогда для всех 0 х 1 имеем Предположим, что для некоторого N No ыы нашли такое х Є (0,1), которое удовлетворяет следующим соотношениям: В силу (1.5.4) для такого x"N выполнено условие (1.5.3), т.е. x N — искомая точка. Поэтому доказательство теоремы сводится к нахождению а; , при котором имело бы место (1.5.5). Обратимся к подробному анализу производящей функции G +OJ+ilS(x)- Поскольку] граф G отвечает локальному возмущению ТС Б, то существует такое Ni Є N, Ni N0, что при N Ni имеем: 1) w Є V(GJV); 2) для любого v Є V(GH) и любого v Є V(Gjy) {v,v ),(v ,v) Є E{G); 3) Пусть П(С) — множество всех конечных путей в графе G. Напомним, что ранее были: введены координатные функции v ) := V;, 0 і ті, пути 7 = ( 0, 1, - - -,vn)- Для всякого 7 Є n(G) такого, что 0(7) ( 7?) определим величины (7), 0 і /(7), полагая Рассмотрим следующие множества путей: Здесь функция )/(2:) не зависит от выбора г V(? ), так как значение а 2(7,ж) не зависит от конца е(7) пути 7 и для всякого 7 Є Г]у и произвольного v Є V(Gjy) путь 7«5 задаваемый равенствами /(7v) = 1(у), vi(7u) — (7)» г = 0)-- i (7) — 1 e(7v) — v» тоже принадлежит множеству Г)/. По аналогичным причинам Ф(а:) не зависит от выбора v G V(GN), аФ (а;) — от v Є V(GJ ). Кроме того в обозначениях опущены индексы (?, т, ш, /, поскольку данные объекты не меняются на протяжении этого доказательства. Распишем теперь производящую функцию V G( "+ ) /+ ш(х)) обозначив её через (р (х). В силу разложения (1.5.С), формулы (1.5.8), приведённого выше замечания и того факта, что из любой вершины v V(Gjy) в графе С? исходит ребро в любую вершину v Є V"(Gj?) и наоборот, при N Ni и q 1 находим Докажем обратное неравенство. Будем считать, что N\ выбрано настолько большим что, помимо прочего, имеет место следующее свойство: при N Ni найдётся такая вершина и Є V(Gjy), и Ф что bhv )i (и ) E{G) W Є V. Тогда всякому пути j Є T]J с е(7) = и поставим в соответствие путь 7 вида Введём конечную неотрицательную матрицу Ац(х) = (а (ж)), где v = (r0 i,..., vm)\ v = (VQ,V[, .. .,v tn) Є V(Gxw ), зависящую от параметра x Є (0,1), по формуле Обозначим через а /(г,ті), ті 0, (И,У )-ЫЙ элемент n-ой степени матрицы Ан{х). считая а 6,{х,0) равным 1, если v = v , и 0 в остальных случаях.
Вычисление предельной случайной перестановки для теплицевой матрицы с конечным числом ненулевых диагоналей
Используя результаты, содержащиеся в работе [2G], и утверждения, полученные в разд. 1.2-1.3, можно доказать следующую теорему, продолжающую тематику теорем 1.2-1.3 на случай функций с суммируемыми вариациями и составляющую основной результат данного раздела. Теорема 1.4. Пусть (Y(Go),S) — топологическая схема Бернулли, имеющая счетное множество вершин V, и пусть задана положительная функция f Є Зо( (С?о)} с V(/) ooj которая удовлетворяет условию (а). Предположим, что R$f,v 0 и F$flv(x) = jCueva " пРи х — Rety 0. Тогда для произвольного локального возмущения {Y(G),S) ТСБ (Y(Go),S) (к в частности, для нее самой) специальный поток S/, построенный по (Y(G),S) и f, имеет h(Sf) оо и обладает единственной мерой с максимальной энтропией. Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу условия (а) и компактности множества Y{G x ) в метрике р функция / отделена от нуля, т.е. / const 0. Поэтому для / имеет место соотношение (1.1.1), а значит, специальный поток Sf действительно определён.
Поскольку Re,у 0, то 6j(v) — оо при v — со. Возьмём такое N, что Oj(v) Vo(/) для всякого v JV, и такое с 0, что f с. Введём функцию / из класса 5(У(С?)), положив Пусть Sj — специальный поток, построенный по (Y(G), S) и /. Тогда по теореме 1.2 h{Sj) со. Но f{y) /(у) при всех у 6 Y(G). Таким образом, h(Sf) h(Sf) и h(Sj) оо. Воспользуемся теперь некоторыми результатами, полученными в работе [26]. Здесь не- обходимо сделать следующие предварительные замечания, В [26] рассматривается класс функций / Є 3Q(Y(G)), для которых V„(/) Aqn, п 0, где Л 0и0 д 1, т.е. более узкий, чем класс функций с суммируемыми вариациями. Однако, нетрудно проверить, что все утверждения из [26], которые мы будем применять далее, остаются справедливыми и при условии V(/) со. Кроме того, в [26] фигурируют односторонние последовательности у+ на связном ориентированном графе G и соответственно 5-инвариантныс меры на множестве Y+(G). Но поскольку всякую функцию / : Y+(G) -+ Ш. можно рассматривать как функцию из So {Y(G)), а всякую б -инвариантную меру на Y (G) можно однозначным образом продолжить до S-инвариантной меры на Y(G) и наоборот, то в некоторых случаях будем приводить результаты из [26] уже переформулированными в терминах двустороннс-бесконечных последовательностей у Є Y{G). Пусть Г — ориентированный апериодический граф со счётным множеством вершин У"(Г) и пусть задана функция g : Y+{T) — R с V(g) оо. В [26] понятие положительной возвратности (см. также разд. 3.1 главы 3 настоящей работы) распространяется с неотрицательных матриц на произвольные функции с суммируемыми вариациями. Приведём вкратце соответствующее определение.
Обозначим д п) = =о до Sk и. для каждой вершины v Є V(r) введём статистические суммы Функция g называется положительно-возвратной ([26, Dcf.2]), если для некоторого (а следовательно, и для любого) v Є V(T) существует константа Kv 0 и натуральное Л такие, что Vn Nu Zn{g,v)j\n Є [K 1, Kv] при некотором А 0. Оказывается, что положительно-возвратные функции, как и положительно-возвратные матрицы, обладают целым рядом отличительных свойств, часть из которых будет использована нами в дальнейшем. Рассмотрим на Y {G) функцию r/(y+) = — h(Sj)f(y+). Очевидно, V(;/) со. Проверим] что ц положительно-возврати а. Для этого обратимся к [26, Theorem 9], где указаны достаточные условия положительной возвратности. Множество Y+(G) удовлетворяет всем условиям Тії .9 из [26], поскольку граф G отвечает локальному возмущению ТСБ. Убедимся, что [іч1]от оо. Так как 8j — Vo(/) f &j и h{S$f) h(S/) со, то для каждого у+ Y+(G) имеем Ho Ref,v 0, поэтому из формулы (1.2.19) и теоремы 1.1 (см. также замечание 1.4) вытекает, что FeJtv(e 1 V) оо. Вместе с оценкой (1.6.1) отсюда следует, что Ці іЦсо со. Поскольку для / имеет место (а), то с учётом сказанного выше выполнены все условия Theorem 9[2G], а значит, функция TJ положительно-возвратна. Рассмотрим вариационную задачу на "давление" относительно функции —i) = h(S/)f и множества Y(G). А именно, для всякой меры fi Є ф_ч(У(С)) задаётся функционал давления и определяется топологическое давление Покажем, что верхняя грань в правой части (1.6.3) достигается, причём на единствен-] ной мере, т.е. существует единственное равновесное распределение относительно функции h(Sj)f на множестве Y{G). Воспользуемся с этой целью вариантом вариационного принципа, полученным в [26] для вариационной задачи относительно положительно-возвратной функции. Так как fjloo со, то применяя обобщение теоремы Рюэля-Перрона-Фробениуса, которое на случай положительно-возвратных функций установлено в [26] (см. Th.4), к функции т), с учётом Th.l [26] получаем, что для А = еГ(Г();- і) существуют т-конечная мера ж на Y+(G) и положительная функция u : Y+(G) — R такие, что Lvu = \и, Ь" е = Хн и Jy-UGjUdx: = 1. При этом, хки единственны с точностью до постоянного множителя, а тп, где dm = udx, является 5"-инвариантной вероятностной мерой на Y+(G). Из того, что граф G отвечает локальному возмущению ТСБ, следует, что ТЦМ (Y(G), S) имеет конечное число образов [26], а значит, согласно [26, Ргор.2], собственная функция и отделена от нуля и бесконечности, т.е. найдутся такие константы Кі, Кі 0, что К\ и{у+) К2 Vy+ Є Y+(G). Наконец, в соответствии с решением вариационной задачи (1.6,3), изложенном в [26, Corollary 2], если функция г] положительно-возвратна, собственная функция и оператора Lv отделена от нуля и бесконечности и Jrjdm —со, то m является единственной мерой, на которой достигается верхняя грань в (1.6.3). Итак, нам необходимо ещё проверить, что ft)dm —со. Поскольку К\ и Къ и SY -(G)U C = 1) ТО МОЖНО считать, что с — вероятностная мера, и Покажем, что ЦХ Л» со. Действуя как и при выводе (1.6.1), получаем Рассмотрим P(Y[G);hf) как функцию от переменной h 0. Для простоты обозначим! P(ft) = Р(У(7);Л/). Очевидно, P(ft) не возрастает по ft. Кроме того, из (1.6.6) видно, что P(h(Sf)) 0. Нам понадобится следующая
Функции с суммируемыми вариациями на пространстве путей конечного графа
Используя результаты, содержащиеся в работе [2G], и утверждения, полученные в разд. 1.2-1.3, можно доказать следующую теорему, продолжающую тематику теорем 1.2-1.3 на случай функций с суммируемыми вариациями и составляющую основной результат данного раздела. Теорема 1.4. Пусть (Y(Go),S) — топологическая схема Бернулли, имеющая счетное множество вершин V, и пусть задана положительная функция f Є Зо( (С?о)} с V(/) ooj которая удовлетворяет условию (а). Предположим, что R$f,v 0 и F$flv(x) = jCueva " - пРи х — Rety 0. Тогда для произвольного локального возмущения {Y(G),S) ТСБ (Y(Go),S) (к в частности, для нее самой) специальный поток S/, построенный по (Y(G),S) и f, имеет h(Sf) оо и обладает единственной мерой с максимальной энтропией. Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу условия (а) и компактности множества Y{G x ) в метрике р функция / отделена от нуля, т.е. / const 0. Поэтому для / имеет место соотношение (1.1.1), а значит, специальный поток Sf действительно определён. Поскольку Re,у 0, то 6j(v) — оо при v — со. Возьмём такое N, что Oj(v) Vo(/) для всякого v JV, и такое с 0, что f с. Введём функцию / из класса 5(У(С?)), положив Пусть Sj — специальный поток, построенный по (Y(G), S) и /. Тогда по теореме 1.2 h{Sj) со. Но f{y) /(у) при всех у 6 Y(G). Таким образом, h(Sf) h(Sf) и h(Sj) оо. Воспользуемся теперь некоторыми результатами, полученными в работе [26]. Здесь не- обходимо сделать следующие предварительные замечания, В [26] рассматривается класс функций / Є 3Q(Y(G)), для которых V„(/) Aqn, п 0, где Л 0и0 д 1, т.е. более узкий, чем класс функций с суммируемыми вариациями. Однако, нетрудно проверить, что все утверждения из [26], которые мы будем применять далее, остаются справедливыми и при условии V(/) со. Кроме того, в [26] фигурируют односторонние последовательности у+ на связном ориентированном графе G и соответственно 5-инвариантныс меры на множестве Y+(G). Но поскольку всякую функцию / : Y+(G) -+ Ш. можно рассматривать как функцию из So {Y(G)), а всякую б -инвариантную меру на Y (G) можно однозначным образом продолжить до S-инвариантной меры на Y(G) и наоборот, то в некоторых случаях будем приводить результаты из [26] уже переформулированными в терминах двустороннс-бесконечных последовательностей у Є Y{G).
Пусть Г — ориентированный апериодический граф со счётным множеством вершин У"(Г) и пусть задана функция g : Y+{T) — R с V(g) оо. В [26] понятие положительной возвратности (см. также разд. 3.1 главы 3 настоящей работы) распространяется с неотрицательных матриц на произвольные функции с суммируемыми вариациями. Приведём вкратце соответствующее определение. Обозначим д п) = =о до Sk и. для каждой вершины v Є V(r) введём статистические суммы Функция g называется положительно-возвратной ([26, Dcf.2]), если для некоторого (а следовательно, и для любого) v Є V(T) существует константа Kv 0 и натуральное Л такие, что Vn Nu Zn{g,v)j\n Є [K 1, Kv] при некотором А 0. Оказывается, что положительно-возвратные функции, как и положительно-возвратные матрицы, обладают целым рядом отличительных свойств, часть из которых будет использована нами в дальнейшем. Рассмотрим на Y {G) функцию r/(y+) = — h(Sj)f(y+). Очевидно, V(;/) со. Проверим] что ц положительно-возврати а. Для этого обратимся к [26, Theorem 9], где указаны достаточные условия положительной возвратности. Множество Y+(G) удовлетворяет всем условиям Тії .9 из [26], поскольку граф G отвечает локальному возмущению ТСБ. Убедимся, что [іч1]от оо. Так как 8j — Vo(/) f &j и h{S$f) h(S/) со, то для каждого у+ Y+(G) имеем Ho Ref,v 0, поэтому из формулы (1.2.19) и теоремы 1.1 (см. также замечание 1.4) вытекает, что FeJtv(e 1 V) оо. Вместе с оценкой (1.6.1) отсюда следует, что Ці іЦсо со. Поскольку для / имеет место (а), то с учётом сказанного выше выполнены все условия Theorem 9[2G], а значит, функция TJ положительно-возвратна. Рассмотрим вариационную задачу на "давление" относительно функции —i) = h(S/)f и множества Y(G). А именно, для всякой меры fi Є ф_ч(У(С)) задаётся функционал давления и определяется топологическое давление Покажем, что верхняя грань в правой части (1.6.3) достигается, причём на единствен-] ной мере, т.е. существует единственное равновесное распределение относительно функции h(Sj)f на множестве Y{G). Воспользуемся с этой целью вариантом вариационного принципа, полученным в [26] для вариационной задачи относительно положительно-возвратной функции. Так как fjloo со, то применяя обобщение теоремы Рюэля-Перрона-Фробениуса, которое на случай положительно-возвратных функций установлено в [26] (см. Th.4), к функции т), с учётом Th.l [26] получаем, что для А = еГ(Г();- і) существуют т-конечная мера ж на Y+(G) и положительная функция u : Y+(G) — R такие, что Lvu = \и, Ь" е = Хн и Jy-UGjUdx: = 1. При этом, хки единственны с точностью до постоянного множителя, а тп, где dm = udx, является 5"-инвариантной вероятностной мерой на Y+(G). Из того, что граф G отвечает локальному возмущению ТСБ, следует, что ТЦМ (Y(G), S) имеет конечное число образов [26], а значит, согласно [26, Ргор.2], собственная функция и отделена от нуля и бесконечности, т.е. найдутся такие константы Кі, Кі 0, что К\ и{у+) К2 Vy+ Є Y+(G). Наконец, в соответствии с решением вариационной задачи (1.6,3), изложенном в [26, Corollary 2], если функция г] положительно-возвратна, собственная функция и оператора Lv отделена от нуля и бесконечности и Jrjdm —со, то m является единственной мерой, на которой достигается верхняя грань в (1.6.3). Итак, нам необходимо ещё проверить, что ft)dm —со. Поскольку К\ и Къ и SY -(G)U C = 1) ТО МОЖНО считать, что с — вероятностная мера, и Покажем, что ЦХ Л» со. Действуя как и при выводе (1.6.1), получаем Рассмотрим P(Y[G);hf) как функцию от переменной h 0. Для простоты обозначим! P(ft) = Р(У(7);Л/). Очевидно, P(ft) не возрастает по ft. Кроме того, из (1.6.6) видно, что P(h(Sf)) 0. Нам понадобится следующая
Похожие диссертации на Равновесные распределения в некоторых задачах символической динамики со сч#тным числом состояний
