Введение к работе
Актуальность темы. В классической теории ветвящихся процессов, изложенной в известных монографиях Харриса Т.Е., Севастьянова Б.А., Атрея К. и Нея П., рассматривается, как правило, ситуация, когда законы размножения частиц не меняются от поколения к поколению. Попытки изучить более сложную ситуацию, когда эти законы подвержены изменению с течением времени, привели к формированию на рубеже шестидесятых и семидесятых годов двадцатого столетия двух новых направлений в теории ветвящихся процессов.
С одной стороны, возникла теория ветвящихся процессов в изменяющейся среде (по другой терминологии, неоднородных ветвящихся процессов). Под средой при этом понимается совокупность заданных для каждого поколения законов размножения частиц. В работах этого направления таких авторов как Ягерс П., Д'Суза Ж., Иржина М., Линдвалл Т., Агрести А., Биггингс Дж. обычно находятся условия, налагаемые на среду, при выполнении которых ветвящийся процесс в изменяющейся среде обладает тем или иным свойством. Например, вырождается с вероятностью 1, или является суперкритическим, или имеет одну скорость роста и т.п. Следует отметить, что полная классификация этих процессов пока не получена.
С другой стороны, возникла теория ветвящихся процессов в случайной среде. Рассмотрение этих процессов обусловлено желанием выявить интегральные свойства различных ветвящихся процессов в изменяющихся средах. С этой целью предполагается, что сами эти среды являются реализациями некоего случайного механизма, отсюда и название — случайные среды. Чтобы исследовать ветвящийся процесс в случайной среде, необходимо знать вероятностную природу указанного случайного механизма. В настоящее время наиболее активно изучается модель Смита-Вилкинсона, в которой предполагается, что законы размножения различных поколений формируются независимо друг от друга. Опишем эту модель подробнее.
Пусть последовательности случайных величин
оо »=0
где No = {0,1,2,...}, одинаково распределены и независимы при разных п. Введем производящие функции
Ш = 7Г<> + 7Г^>5 + 7#V + . . . , п Є No.
Последовательность {n, п Є N0} неотрицательных целочисленных случайных величин называется ветвящимся процессом в случайной среде {тгП) п Є No}, если
M(s«» + » |o,fl,-.. ,Єп,7Г0,7Гі,--. ,*п) = (Л»(«)){в> nN0
(для простоты изложения будем считать, что о = 1)- Из этого определения видно, что если случайная среда фиксирована, то ветвящийся процесс в случайной среде представляет собою ветвящийся процесс в изменяющейся среде, а это, в свою очередь, означает, что если известна численность всех поколений вплоть до п-го, то частицы п-го поколения размножаются независимо друг от друга и от предыстории процесса в соответствии с законом размножения, задаваемым производящей функцией /n(s). В работах Смита В. и Вилкинсона В.1, Атрея К. и Карлина С.2, Тэнни Д.3 была дана классификация ветвящихся процессов в случайной среде. Выяснилось (если отбросить детали), что процесс {п} вырождается п.н. при М1п/о(1) < 0, и вероятность невырождения процесса Р(„ > 0) при п -* оо имеет положительный предел при М1п/о(1) > 0. В соответствии с этим ветвящийся процесс в случайной среде {п} называется
1 Smith W.L., Wilkinson W.E., On branching processes in random environments. Ann. Math. Statist. (1969) 40, №Z, 814-827.
2Athreya K.B., Karlin S., On branching processes with random environments, I: Extinction probabilities. Ann. Math. Statist. (1971) 42, N%, 1499-1520.
3Tanny D., Limit theorems for branching processes in a random environment. Ann. Probab. (1977) 5, N4, 100-116.
надкритическим, если
Mln/^(1) >0;
критическим, если
Mln/J(l) = 0;
докритическим, если
М1п/^1) <0.
Позже Афанасьевым В.И.4 было установлено, что эта классификация нуждается в большей детализации в докритическом случае. Оказывается, вид асимтотики вероятности невырождения докритического ветвящегося процесса в случайной среде существенно зависит от знака M(/q(1) In /о(1)). В соответствии с этим докритический ветвящийся процесс в случайной среде, удовлетворяющий условию М(/о(1) 1п+ /о(1)) < +оо, называется умеренно докритическим, если
M(/i(l)ln/i(l))>0; промежуточно докритическим, если
M(/J(l)ln/J(l))=0; строго докритическим, если
M(^(l)ln/i(l))<0.
Козловым М.В.5 впервые обнаружена глубокая связь между ветвящимися процессами в случайной среде и случайными блужданиями. Положим
f" (I) Хп= In/^(1), »Ь = ад~|(1)а. "N.
4Афанасьев В.И., Предельные теоремы для условного случайного блуждания и некоторые применения. Диссертация кандидата наук. Москва, МГУ, 1980.
5Козлов М.В., Об асимптотике вероятности невырождения критических ветвящихся процессов в случайной среде. Теория вероятностей и ее применения (1976) 21, №4, 813-825.
В силу требований, предъявляемых к случайной среде {тгп}, пары случайных величин (^1,771),(.^2,772),--- независимы и одинаково распределены. Введем так называемое сопровождающее
случайное блуждание So = О, 5„ = 52 -^ и Є N. Поскольку
г=1 МХі = МIn/о(1), то блуждание {Sn} имеет положительный,
нулевой и отрицательный снос, если ветвящийся процесс в случайной среде является надкритическим, критическим и докри-тическим соответственно. Оказалось, что многие задачи, касающиеся ветвящихся процессов в случайной среде, сводятся к так называемым условным предельным теоремам для случайных блужданий. Это — раздел теории вероятностей, активно развивающийся с начала семидесятых годов двадцатого столетия такими авторами как Иглхарт Д., Дюрре Р., Доней Р., Больт-хаузен И. и тесно примыкающий к теории слабой сходимости вероятностных мер, созданной Прохоровым Ю.В., Скороходом А.В. и другими математиками. Развитие теории условных предельных теорем для случайных блужданий в настоящее время во многом стимулировано потребностями теории ветвящихся процессов в случайных средах.
Исследования по асимптотике вероятности невырождения для ветвящихся процессов в случайной среде были осуществлены Козловым М.В. и Афанасьевым В.И. Для критического ветвящегося процесса в случайной среде Козлов М.В.5 установил, что при п —> оо
Р(Є„ >0)х1/^
(запись ап х Ьп означает, что 0 < lim (an/6n) < lim (an/bn) <
+00). Афанасьев В.И.4 исследовал докритический случай и показал, что если {„} — умеренно докритический процесс, то при п —> оо
P(Cn>0)x7"/n3^,
где 7 = min (/о(1))'-, если {„} — промежуточно докритический
610,1]
процесс, то
р(„ > о) х (м/(1)Г/ч/^;
если {„} — строго докритический процесс, то
Р(„ > 0) ж (М/5(1))п.
Лишь в 1999 г. Гейгеру И. и Керстингу Г. удалось усилить результат Козлова М.В. Они показали, что в критическом случае при п -> со
Р(„>0)~с/^,
где с — положительная постоянная. Следует отметить, что Дек-
кинг Д., Лиу К., Д'Суза Ж. и Хэмбли В. исследовали предел
lim л/Р(п > 0) для докритического случая. К работам по
П—ЮО
асимптотике вероятности невырождения тесно примыкает работа Ватутина В.А. и Дьяконовой Е.Е.6, в которой исследуется асимптотика вероятности вырождения в фиксированный момент для критического случая.
Перейдем к предельным теоремам для ветвящихся процессов в случайной среде. Пусть Р^ и Mff означают вероятность и математическое ожидание соответственно, вычисленные при условии, что случайная среда {ттп} фиксирована. Положим
тпп = Мпп.
В работах Атрея К. и Карлина С.7, Тэнни Д.8 установлено, что для надкритического ветвящегося процесса в случайной среде с вероятностью 1 существует lim n/m„ = W, причем W > 0
гг—к»
с положительной вероятностью, если М((і 1п+^!)/ті) < +оо. Первая предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде была получена в работе Афанасьева
6Ватутин В.А., Дьяконова Е.Е., Критические ветвящиеся процессы в случайной среде: вероятности невырождения в фиксированный момент. Дискретная математика (1997) 9, №4, 100-126.
7Athreya К.В., Karlin S., Branching processes with random environments, II: Limit theorems. Ann. Math. Statist. (1971) 42, ЛГ--6, 1843-1858.
8Tanny D., A necessary and sufficient condition for a branching process in a random environment to grow like the product of its means, Stoch. Proc. Appl. (1988) 28, 123-139.
В.И. [7]. Затем этот результат был обобщен в работе Козловым М.В.9. Разнообразные предельные теоремы для критического и докритического ветвящихся процессов в случайной среде были получены в работах Афанасьева В.И. [7-13]. Эти теоремы составляют основное содержание диссертации, и поэтому о них будет рассказано позднее. Говоря о предельных теоремах для ветвящихся процессов в случайной среде, следует упомянуть близкие к рассматриваемой тематике работы Боровкова К.А. и Ватутина В.А.10, Ватутина В. А. и Фляйшманна К.11, посвященные редуцированным ветвящимся процессам в случайной среде. Теория ветвящихся процессов в случайной среде тесно связана с бурно развивающейся теорией случайных блужданий в случайной среде. Обозначим (п число переходов блуждающей частицы из точки п в точку п + 1 до момента первого достижения полуоси (—оо,0]. Оказывается, что если случайное блуждание в случайной среде возвратно или п.н. уходит в —со, то {„} является ветвящимся процессом в случайной среде, причем производящие функции {/n(s)} в этом случае дробно-линейны. Благодаря указанной взаимосвязи были решены некоторые задачи, касающиеся случайных блужданий в случайной среде. Например, задача о предельных законах для блуждания, уходящего в +оо, в работе Кестена X., Козлова М.В., Спицера Ф.12, задача об асимптотике распределения максимума блуждания, уходящего в —оо, и задача об асимптотике распределения момента первого достижения полуоси (—00,0] для возвратного блуждания в работах Афанасьева В.И. [3, 11]. Упомянутый частный случай ветвящихся процессов в случайной среде, когда производящие
9Козлов М.В., Условная функциональная предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде. Доклады РАН (1995) 344, №-1, 12-15.
10Borovkov К.А., Vatutin V.A., Reduced critical branching processes in random environment. Stoch. Proc. Appl. (1997) 71, 225-240.
12 Fleischmann K., Vatutin V.A., Reduced subcritical Galton-Watson processes in a random environment. Adv. Appl. Probab. (1999) 31, JV-1, 88-111.
12Kesten H., Kozlov M.V., Spitzer F., A limit law for random walk in a random environment. Compositio Mathematica (1975) 30, N-2, 145-168.
функции {fn(s)} дробно-линейны (это означает, что
Ш = 1 - т-^- + т^-, * Є [-1,1], п Є No, 1 - а„ 1 - a„s
где (croiA))i («ь/Зі), — независимые одинаково распределенные пары случайных величин, удовлетворяющие условиям 0 < ап < 1, рп > О, ап + /?„ < 1) играет важную роль, поскольку, как показала практика, уже при его рассмотрении приходится разрешать значительное число аналитических трудностей, свойственных общему случаю.
Цель работы — установить предельные теоремы для ветвящихся процессов в случайной среде и условные предельные теоремы для случайных блужданий.
Основные методы исследования. В работе используются методы теории слабой сходимости вероятностных мер. В частности, на основе обобщенных условных принципов инвариантности для ветвящихся процессов в случайной среде и остановленных случайных блужданий доказываются различные предельные теоремы, связанные с моментами достижения фиксированного уровня и максимума. Систематически используется метод сведения задач для ветвящихся процессов в случайной среде к соответствующим задачам для сопровождающих случайных блужданий. При исследовании докритических ветвящихся процессов в случайной среде весьма эффективным оказался метод перехода к сопряженной случайной среде.
Научная новизна. Все приведенные в диссертации результаты являются новыми. Основные результаты таковы:
-
доказаны предельные теоремы для критического, умеренно докритического, промежуточно докритического и строго докри-тического ветвящихся процессов в случайной среде и выявлено влияние случайной среды на вид предельного распределения;
-
получены условные функциональные предельные теоремы для логарифма числа частиц в критическом, умеренно докрити-ческом и промежуточно докритическом случаях;
-
доказаны обобщенные условные принципы инвариантности для критического ветвящегося процесса в случайной среде и остановленного случайного блуждания с нулевым сносом, выявлена тесная взаимосвязь этих двух процессов;
-
найдены асимптотики распределения максимального числа частиц в критическом и докритическом случаях и распределения момента первого достижения отрицательной полуоси возвратным случайным блужданием в случайной среде;
-
получены предельные теоремы для критического ветвящегося процесса в случайной среде и остановленного случайного блуждания с нулевым сносом, связанные с моментами достижения уровня и максимума.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут найти применение в научно-исследовательской работе специалистов по теории вероятностей МИАН им. В.А. Стеклова, МГУ им. М.В. Ломоносова, СПбГУ, ВолГУ. Они уже используются другими авторами в своих исследованиях. Кроме того, результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров для студентов и аспирантов университетов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН на семинаре Отдела дискретной математики под руководством Зуб-' кова A.M., в МГУ им. М.В. Ломоносова на различных семинарах по теории случайных процессов, на Пятой Международной Петрозаводской конференции по вероятностным методам в дискретной математике (2000г.), на Седьмой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (2000г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах автора, приведенных в конце реферата.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит
из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 87 наименований. Объем работы — 234 страницы.
