Введение к работе
Актуальность темы
Диссертационная работа относится к области математической теории страхования, являющейся важным разделом современной теории вероятностей. Предметом исследований в данной работе является проблема определения платежеспособности страховых компаний, функционирующих на финансовом рынке, и выработки оптимальных стратегий принятия инвестиционных решений с целью минимизации такого параметра, характеризующего платежеспособность компании, как вероятность разорения.
Исследование вероятности разорения занимает одно из центральных мест в работах, посвященных описанию участия страховых компаний на финансовом рынке1,2,3'4. При заданных параметрах процесса, описывающего эволюцию капитала, в некоторых ситуациях можно получать оценки вероятности разорения как функции начального капитала как на конечном, так и на бесконечном интервалах времени. Так, для классической модели Крамера-Лундберга в случае, если распределения размера исков не имеют "тяжелых хвостов", справедливы экспоненциальные оценки5 вероятности разорения ф(и) как функции первоначального капитала и:
ф{и) < e'Ru, R > 0.
Погружение рассматриваемой модели в финансовый рынок позволяет улучшать эти оценки, управляя параметром вероятности разорения с использованием различных инвестиционных стратегий. В то же время финансовый риск может оказаться существенным для страховых компаний и неосторожное использование рисковых активов может ослаблять платежеспособность компании не в меньшей мере, чем большие выплаты но требованиям2,3,4.
Так, в 2002г Фроловой, Кабановым, Пергаменщиковым4 при полном вложении капитала в акции, моделируемые геометрическим броуновским движением с параметрами fi и а, в случае экспоненциального распределения размера требований получены следующие оценки вероятности неразорения V(u):
(1) если р := 2ц/а2 > 1, то для некоторого К > 0
4>{u) = l-Kv}-p{\ + o{\)), и^оо\
lNorberg R. Ruin problems with assets and liabilities of diffusion type. Stoch. Proc. and Appl., 1999, v. 81, p. 255-2G9.
2Paulsen J. Risk theory in a stochastic environment., Stoch. Proc. and Appl., 1993, v. 21, p. 327-301.
3Kalashnikov V., Norberg R. Power tailed ruin probabilities in the presence of risky investments, Stoch. Proc. and Appl., 2002, v. 98, p. 211-228.
Frolova A., Kabanov Yu., Perfjnmenahckikov S. In the Insurance business risky investments are dangerous. — Finance and Stochastics, 2002, v. 6, № 2, p. 227-235.
5Howlts N.I,., Ccrba- H.U., Hickman J.C., Janes О.Л., Natbitt C.J. Actuarial Mathematics. Society of Actuaries, 1986.
(2) если р := 2^/ст2 < 1, то if {и) = 0 для любого и.
Из этого результата видно, что даже в случае «надежных акций» (2ц/а2 > 1) полное инвестирование капитала в акции ухудшает характеристику платежеспособности: скорость стремления к нулю вероятности разорения приобретает степенной характер. То же относится и к ситуации, когда лишь фиксированная доля капитала инвестируется в акции, а оставшаяся доля остается свободной или вкладывается в безрисковый актив.
В связи с этим становится актуальной проблема оптимального управления инвестициями с целью минимизации вероятности разорения. Наряду с решением этой проблемы важной становится также задача вычисления вероятности разорения как функции начального капитала при различных достаточно простых и естественных стратегиях, соответствующих, например, постоянной доле вложения в рисковый актив или постоянному количеству средств, вложенных в рисковый актив.
В 2003г Hipp и Plum 6 в предположении возможности заимствований денежных средств рассматривали проблему оптимального управления в модели Крамера-Лундберга при инвестировании капитала в два вида активов: рисковый, моделируемый геометрическим броуновским движением (акции) и безрисковый (банковский счет). Получен вид оптимальной стратегии, зависящей от решения уравнения Беллмана.
Как показано в настоящей диссертации, необходимость заимствований в указанной ситуации возникает по крайней мере при малых значениях резерва; точнее, заем должен осуществляться в размере, отношение которого к резерву неограниченно возрастает при уменьшении резерва.
Специфика рассматриваемых в диссертационной работе моделей управления инвестицями по сравнению с имеющимися в литературе состоит в следующем. В диссертационной работе при рассмотрении оптимальных стратегий не предусматривается возможность заимствования денежных средств страховой компанией. Это выражается ограничением на количество средств, вкладываемых в рисковый актив: в каждый момент времени это количество не должно превышать текущее значение резерва. Данная постановка задачи представляется более естественной но сравнению с известными из литературы постановками, предполагающими отсутствие ограничений на заимствования при любых значениях капитала. (Ранее задачи оптимального управления инвестициями при различного рода бюджетных ограничениях рассматривались только для модели с диффузионной аппроксимацией классического процесса риска7.)
6№рр С, Plum М. Optimal investment for investors with stale dependent income, and for insurers. — Finance and Stochastics, 2003, v. 7, № 3, p. 299-321.
7Luo Sh., Taksar M., Tsoi A. On Reinsurance and Investment for Large Insurance Portfolios. — Insurance: Mathematics and Economics, 2008, v. 42, p. 434-444.
В 2003г Бойковым А.В.8,9 рассматривалась модель Крамера-Лундберга со стохастическими премиями, в которой предполагается, что процесс, описывающий поступление страховых премий является случайным, точнее, сложным пуассоновским процессом. Получены интегро-дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет вероятность неразорения при полном инвестировании капитала в банковский счет и при полном инвестировании капитала в акции.
В настоящей диссертационной работе продолжается исследование модели со стохастическими премиями с учетом инвестирования. В частности, впервые исследуется проблема оптимального управления в данной модели.
Для обеих указанных моделей при рассмотрении в настоящей диссертации стратегий, состоящих во вложении постоянной доли средств в акции, ставятся задачи не только асимптотического исследования вероятности разорения при больших значениях начального капитала, но и ее изучения как функции начального капитала на всей положительной полуоси. Также исследуется вопрос корректной постановки сингулярных задач для определения и численных расчетов вероятности разорения при всех рассматриваемых в работе стратегиях.
Цель работы
Целью диссертации является исследование вероятности разорения в модели Крамера-Лундберга и ее модификации со стохастическими премиями при различных управлениях инвестициями страховой компании, не использующих заимствования: оптимальном, минимизирующем вероятность разорения на бесконечном интервале времени, и управлении, состоящем во вложении постоянной доли средств в акции. При этом особое внимание уделяется случаю, когда отдельные страховые требования (и премии) имеют экспоненциальное распределение.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
1. Для вероятности неразорения, соответствующей стратегии постоянной доли вложения в рисковый актив, в модели Крамера-Лундберга с экспоненциальным распределением размера требований впервые проведено ее полное исследование как функции начального капитала на всей положительной полуоси: 1) осуществлена корректная постановка сингулярной задачи для линейного интегро-дифференциального уравнения (ИДУ), которому удовлетворяет вероятность неразорения;
^Войков А.В. Стохастические модели капитала страхоной компании и оценииаиис іюроятиости неразорения. — Дисс. на соискание ученой степени канд. фнз.-матем. наук. М.:МИ РАН, 2003, 83 с.
^Королев В.Ю., Бснтіг U.E., Шаргин С.Я. Математические основы теории риска. М-: Физматлит, 2007, 544с.
2) доказаны существование и единственность ее решения; 3) получены асимптотические представления не только при больших, но и при малых значениях начального капитала.
-
Впервые исследована задача оптимального управления инвестициями при невозможности заимствований денежных средств, изучена структура оптимального управления. Для случая экспоненциальных распределений требований получены асимптотические представления оптимальной стратегии и функции Беллмана при больших и малых значениях начального капитала. Показано, что при малых значениях капитала оптимальным является полное вложение средств в рисковый актив. Это позволяет использовать результаты указанных выше исследований при анализе функции Беллмана рассматриваемой оптимизационной задачи, в частности, для получения ее асимптотических представлений при малых значениях начального капитала и для проведения численных расчетов.
-
Результаты, связанные с исследованием оптимального управления в модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями и стратегий вложения постоянной доли капитала в рисковый актив, проводились впервые и все результаты являются новыми.
Методы исследования
В диссертационной- работе используются методы теории управляемых случайных процессов, стохастической оптимизации (в частности, метод динамического программирования Беллмана), методы теории мартингалов и стохастических дифференциальных уравнений. Кроме того, применяются асимптотические методы для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в частности, метод асимптотической диагонализации.
Теоретическая и практическая ценность
Результаты и методы диссертации могут быть полезными как с теоретической, так и с практической точек зрения, специалистам в области страховой и финансовой математики, актуариям.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на следующих конференциях:
-
Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Москва, МИЭМ, 2004, 2005, 2006гг.
-
Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ). "Спектральные и эволюционные задачи", Крым, Севастополь, поселок Батилиман, 2004, 2010гг;
-
XIII международная школа-семинар "Новые информационные технологии", Крым, г.Судак, 2005 (Работа была отмечена 2-й премией);
4. Российский экономический конгресс. Москва, МГУ, 2009г.
Основные результаты диссертации опубликованы в журнале "Обозрение прикладной и промышленной математики", в сборниках ЦЭМИ РАН, в трудах КРОМШ и в сборниках МИЭМ.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 12 работ, из них 2 статьи [1], [2] в журнале, входящем в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы результаты кандидатских диссертаций. Список публикаций приведен в конце настоящего автореферата.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из оглавления, введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 53 наименования. Общий объем диссертации составляет 138 страниц.
